Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Для равномерной сходимости несобственного интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ необходимо и достаточно выполнение условия Коши. А именно: $\forall \varepsilon > 0 \, \exists \eta < b$ такое, что $\forall \eta^\prime,\eta^{\prime\prime} \epsilon (\eta,b)$ и $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство

$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon.$

Доказательство

Необходимость

Пусть интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ равномерно сходится по параметру $y$ $\epsilon$ $Y$ . Из определения получаем, что $\forall\varepsilon > 0$ найдется такое $\eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ , что $\forall \eta^\prime$ $\epsilon$ $[b,\eta)$ и для всех $y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство

$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx \right| < \frac{\varepsilon}{2}.$ При

$\eta^\prime , \eta^{\prime\prime}$

$\epsilon$

$[\eta,b)$ ,

$y$

$\epsilon$

$Y$ получим такое неравенство

$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| = \left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx — \int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq$

$\leq \left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx\right| + \left|\int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon,$ а значит, что условие Коши выполнено.

Достаточность

Положим, что условие Коши выполняется. А это означает, что в силу критерия Коши несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ . Докажем равномерную сходимость на $Y$ . Рассмотрим неравенство

$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon,$ в котором устремим

$\eta^{\prime\prime}$ к

$b$ , при этом

$\eta^{\prime\prime} < b$ . В результате для любого

$\eta^{\prime} > \eta$ и

$y$

$\epsilon$

$Y$ получаем следующее:

$\left|\int\limits_{\eta^{\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq\varepsilon,$ что и означает равномерную сходимость интеграла

$\int\limits_a^b f(x,y)dx$ на

$Y$ .

$\Box$

Пример

Проверить интеграл на равномерную сходимость.

$\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-yx^{2}}dx$

Решение

Данный интеграл сходится $\forall y > 0$ . Если он сходится равномерно, то для любых (фиксированных) $\eta^{\prime},\eta^{\prime\prime}\geq\eta$ и при всех $y>0$ выполняется неравенство

$\int\limits_{\eta^{\prime}}^{\eta^{\prime\prime}} e^{-yx^{2}}dx <\varepsilon. (\bigstar)$

По теореме о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра, интеграл в левой части представляет собой непрерывную функцию переменной $y$ . Отсюда $F(y) \equiv \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}} e^{-yx^{2}}dx \rightarrow F(0) = \eta^{\prime\prime} — \eta^\prime (y \rightarrow 0).$

Так как $F(y) <\varepsilon$ , то и $F(0) = \lim\limits_{y \rightarrow 0}F(y) \leq\varepsilon$ , что означает $\eta^{\prime\prime} — \eta^\prime \leq\varepsilon$ . Однако из-за того, что $\eta^\prime,\eta^{\prime\prime}$ $\epsilon$ $[\eta, +\infty)$ можно выбрать таким образом, что $\eta^{\prime\prime} — \eta^\prime$ будет сколь угодно большим, неравенство $\bigstar$ не выполняется для всех $\eta^\prime,\eta^{\prime\prime}$ из полуинтервала $[\eta, +\infty)$ . Значит, условие Коши для этого интеграла нарушено и он не является равномерно сходящимся. $\Box$

[свернуть]

Список литературы

Тест

Практические задания из данного теста были позаимствованы из сборника задач и упражнений по математическому анализу Б.П. Демидовича.

Рекомендую проверить насколько хорошо усвоен материал, пройдя следующий тест.

Задание 1 из 4

Определить области сходимости интегралов

Элементы сортировки

$Max(p, q) > 1$
$\left| \frac{p - 1}{q} \right| < 1$
$p < 1$
$p > \frac{1}{2}$

$\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x\cos x}{x^{p} + x^{q}}dx$

$\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{\sin{x^{q}}}{x^{p}}dx$

$\int\limits_{0}^{2} \frac{dx}{|\ln x|^p}dx$

$\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{\sin{x}}{x^{p} + \sin x}dx$

$(p>0)$

Задание 2 из 4

2.
Для равномерной сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно выполнение…
Задание 3 из 4

3.
Выберете интегралы, которые сходятся неравномерно в указанных промежутках
- $\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-\alpha x}\sin xdx$ $(0 < \alpha_{0} \leq \alpha < +\infty)$
- $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x-\alpha)^2 + 1}$ $(0 \leq \alpha < + \infty)$
- $\int\limits_{1}^{+\infty}x^{\alpha}e^{-x}dx$ $(a \leq \alpha \leq b)$
- $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}e^{-\alpha x}$ $(0 \leq \alpha < + \infty)$
- $\int\limits_{0}^{+\infty}\sqrt{\alpha}e^{-\alpha x^2}$ $(0 \leq \alpha < + \infty)$
Задание 4 из 4

4.
Сформулируйте условие Коши.
- $\forall \varepsilon > 0$
- $\exists \eta < b$
- $\forall \eta^\prime,\eta^{\prime\prime} \epsilon (\eta,b)$ и $\forall y$ $\epsilon$ $Y$
- выполняется неравенство $\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| < \varepsilon$

Таблица лучших: Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

максимум из 14 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

Пусть функция двух переменных $f(x,y)$ определена на данной области: $\{a \leq x < + \infty, c \leq y \leq d\}$ (см. рисунок), и при каждом фиксированном $y \, \epsilon \, [c,d]$ существует несобственный интеграл $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$ , являющийся функцией от $y$ . Тогда функция $I(y) = \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$ $y \, \epsilon \, [c,d]$ называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра $y$ . Также, интервал $[c,d]$ может быть бесконечным.

Возьмем функцию $f(x,y)$ . Интеграл вида $\int\limits_a^b f(x,y)\,dx$ является сходящимся на множестве $Y$ , при выполнении следующих условий:

$- \infty < a < b \leq + \infty$
функция $f(x,y)$ определена на $[a, b) \times Y$ , где $Y$ является множеством параметров.
$\forall \eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ функция $f(x,y)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a, \eta ]$ .
$\forall y$ $\epsilon$ $Y$ несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится.

Можно сделать вывод, что несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится на $Y$ , при условии, что $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое $\eta(y, \varepsilon) < b$ , такое, что для любого $\eta^\prime \, \epsilon (\eta, b)$ выполняется неравенство

$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b} f(x,y)dx\right| <\varepsilon .$

Читать далее «Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.»

Критерий сходимости несобственных интегралов

Теорема

Пусть $f(x)$ не изменяет знак на полуинтервале $\left[ a ,b \right)$ и для любого $\xi$ из данного полуинтервала $f(x)$ интегрируема по Риману на отрезке $\left[ a ,\xi \right]$ . Тогда для сходимости несобственного интеграла $\int _{a}^{b}{f(x)dx}$ необходимо и достаточно, чтобы функция $\Phi (\xi )=\int _{ a }^{ \xi }{ f(x)dx }$ была ограничена на $\left[ a ,b \right)$ .

Спойлер

$\Phi(t)$ — площадь заштрихованной фигуры.

[свернуть]

Доказательство

Докажем вначале теорему для $f(x)$ неотрицательной. Покажем, что функция $\Phi (\xi )$ возрастает. Действительно, для любых ${\xi}_{1}$ , ${\xi}_{2}$ из $\left[ a ,b \right)$ , ${\xi}_{1}<{\xi}_{2}$

$\Phi({ \xi }_{ 1 })-\Phi({ \xi }_{ 2 })=\overset { { \xi }_{ 1 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx-\overset{ { \xi }_{ 2 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx=\overset { { \xi }_{ 2 } }{ \underset { { \xi }_{ 1 } }{ \int } } f(x)dx \ge 0 ,$ так как

$f(x)$ неотрицательна.

Из определения сходимости несобственного интеграла, интеграл $\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx }$ сходится тогда, когда существует конечный предел

$\underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim } \overset { \xi }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx=\underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim }\Phi (\xi ) ,$ а данный предел существует как предел монотонной и ограниченной функции

$\Phi (\xi )$ .

В случае если $f(x)$ — неположительная, то рассмотрим функцию $g(x) = -f(x)$ — неотрицательную. Из сходимости g(x) следует сходимость f(x), а для g(x) теорема уже доказана.

Спойлер

Изучим на сходимость следующий интеграл: $\overset { 0 } { \underset { -1 }{ \int }} \frac {dx}{ \sqrt{ -x } }$ .
Особая точка — $x_0 = 0$ . Функция $\Phi (\xi)=\int_{-1}^{\xi}{\frac{dx}{\sqrt{-x}}}$ должна быть ограничена сверху. Найдем неопределенный интеграл
$\int \frac {dx}{ \sqrt{ -x } } = 2 \sqrt{-x} + С .$
Из этого следует, что
$\overset { \xi } { \underset { -1 }{ \int }} \frac {dx}{ \sqrt{ -x } } = 2 \sqrt{-\xi} + 2 = 2(\sqrt{-\xi} + 1) .$
Так как $\xi \in \left [-1;0\right ]$ , то функция $\Phi (\xi)$ ограничена сверху числом $4$ , а значит интеграл сходится.

[свернуть]

Список Литературы

Критерий сходимости несобственных интегралов

Тест по теме: Критерий сходимости несобственных интегралов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме

Таблица лучших: Критерий сходимости несобственных интегралов

максимум из 30 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Будем рассматривать несобственный интеграл от неограниченной функции.

Теорема

Пусть $f(x)$ определена на полуинтервале $\left[ a ,b \right)$ . Для сходимости несобственного интеграла $\int _{a}^{b}{f(x)dx}$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши: для всякого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta\in\left[ a ,b \right)$ , что для любых ${ \xi }_{ 1 },{ \xi }_{ 2 }\in\left( \delta ,b \right)$ выполняется неравенство $\left| \int _{{\xi}_{1}}^{{\xi}_{2}}{f(x)dx} \right| < \varepsilon$ .

Доказательство

Обозначим функцию $\Phi (\xi ) = \int _{a}^{\xi}{f(x)dx}$ . Тогда, сходимость интеграла $\int _{a}^{b}{f(x)dx}$ означает существование конечного предела $\underset {\xi \to b-0}{\lim}\int _{a}^{\xi}{f(x)dx} = \underset {\xi \to b-0}{\lim}\Phi(\xi)$ , а этот предел существует, согласно критерию Коши, когда функция $\Phi(\xi)$ удовлетворяет условию

$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta \in \left[ a;b \right): \forall \xi_1, \xi_2 \in \left(\delta, b \right ) \Rightarrow \left|\Phi(\xi_2)-\Phi(\xi_1) \right| < \varepsilon .$
И в силу свойств интеграла получаем

$\left| \Phi (\xi _{ 2 })-\Phi (\xi _{ 1 }) \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx- \overset { \xi_1 }{ \underset {a }{ \int} }f(x)dx \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset {\xi_1 }{ \int } } f(x)dx \right| < \varepsilon .$
А это то, что нам и требовалось доказать.

Список Литературы

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме

Задание 1 из 3

1.
Необходимо отметить, какие из данных интегралов сходятся
- $\overset {2}{ \underset { 0 }{ \int } } \frac{dx}{x \sqrt x}$
- $\overset {0}{ \underset {-1}{ \int }} \frac{\text{arccos}xdx}{\sqrt{1-x^2}}$
- $\overset {1}{ \underset {0}{ \int }} \ln x dx$
- $\overset {1}{ \underset {-3}{ \int }} \frac{dx}{x+3}$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Каким из критериев Коши мы пользуемся при доказательстве теоремы (помимо данного)?
- Критерий Коши сходимости последовательности
- Критерий Коши существования предела функции
- Критерий Коши сходимости числового ряда
- Критерий Коши равномерной сходимости последовательности
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Сформулируйте в правильном порядке условие Коши
- $\forall \varepsilon > 0$
- $\exists \delta \in \left [ a;b \right )$
- $\forall \xi_1, \xi_2 \in \left ( \delta;b \right )$
- $\left| \int _{{\xi}_{1}}^{{\xi}_{2}}{f(x)dx} \right| < \varepsilon$
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

максимум из 30 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Несобственный интеграл на неограниченном промежутке

Пусть функция $f(x)$ определена в промежутке $[a,+ \infty),$ т.е. для $x \geq a$ , и интегрируема в любой конечной его части $[a,A],$ так что интеграл $\int_{a}^{A}f(x)dx$ имеет смысл при любых $A\geq a.$

Предел этого интеграла (конечный или бесконечный) при $A \to +\infty$ называют интегралом функции $f(x)$ от $a$ до $+\infty$ и обозначают символом

$\int\limits_{a}^{\infty}f(x)dx=\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A}f(x)dx(1)$

В случае, если этот предел конечен, говорят, что интеграл $(1)$ сходится, а функцию $f(x)$ называют интегрируемой в бесконечном промежутке $[a,+ \infty)$ . Если же предел $(1)$ бесконечен или вовсе не существует, то про интеграл говорят, что он расходится. В отличие от собственного интеграла, этот интеграл называются несобственным.

Спойлер

$\int\limits_{0}^{\infty}\cos(x)dx=\lim_{b \to +\infty}\int\limits_{0}^{b}\cos(x)dx=\lim_{b \to +\infty}\sin(x)\mid_{0}^{b}=\lim_{b \to +\infty}(\sin(b)-\sin(0))=$ $\lim_{b \to +\infty}\sin(b)$ этого предела не существует, следовательно интеграл расходится.

[свернуть]

Спойлер

$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+6x+7}=\lim_{b \to +\infty}\int\limits_{0}^{b}\frac{d(x+3)}{(x+3)^2-2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\lim_{b \to +\infty}\ln\bigg|\frac{x+3-\sqrt{2}}{x+3+\sqrt{2}}\bigg|\Bigg|_{0}^{b}=$ $\frac{1}{2\sqrt{2}}\lim_{b \to +\infty}\bigg(\ln\Big|\frac{b+3-\sqrt{2}}{b+3+\sqrt{2}}\Big|-\ln\Big|\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\Big|\bigg)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\bigg[\ln1-\ln\Big|\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\Big|\bigg]=$ $\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\Big|\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\Big|=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\frac{11+6\sqrt{2}}{7}$ интеграл сходится.

[свернуть]

Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом определяется интеграл в пределах от $-\infty$ до $b:$

$\int\limits_{-\infty}^{b}f(x)dx = \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b}f(x)dx$

Спойлер

$\int\limits_{-\infty}^{0}e^xdx=\lim_{b \to -\infty}\int\limits_{b}^{0}e^xdx=\lim_{b \to -\infty}e^x\mid_{b}^{0}=e^0-\lim_{b \to -\infty}(e^b)=e^0=1$ этот интеграл сходится.

Так выглядит данная функция, цветом же выделена область интеграла

[свернуть]

Несобственный интеграл на неограниченном промежутке

Тест на знание темы «Несобственный интеграл на неограниченном промежутке»

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1
Какое утверждение верно для данной записи:
$\int_{a}^{\infty}f(x)dx = \lim_{A \to +\infty}\int_{a}^{A}f(x)dx$
- Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится
- Если этот предел не существует, говорят, что интеграл сходится
- Если этот предел конечен, говорят, что интеграл расходятся
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 5

2.

Количество баллов: 3

К каждому интегралу поставить в соответствие предел.

Элементы сортировки

Расходится
$\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\frac{11+6\sqrt{2}}{7}$
$1$

$\int_{0}^{\infty}cos(x)dx$

$\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+6x+7}$

$\int_{-\infty}^{0}e^xdx$

Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 1
Запись вида: $\int_{a}^{\infty}f(x)dx = \lim_{A \to +\infty}\int_{a}^{A}f(x)dx$ называют
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 3
Отсортируйте в порядке возрастания значений несобственного интеграла
- $\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+6x+7}$
- $\int_{-\infty}^{0}e^xdx$
- $\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$
Правильно 3 / 3Баллы

Неправильно / 3 Баллы
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1
Интеграл расходиться или сходится?
$\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+4x+9}$
- Сходится
- Расходится
Правильно

Неправильно

Литература:

Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления 2 том, стр.562
Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З. М.
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2 стр.102
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа стр.387

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Доказательство

Необходимость

Достаточность

Пример

Список литературы

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

Таблица лучших: Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Оглавление

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

Теорема

Доказательство

Список Литературы

Критерий сходимости несобственных интегралов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Тест по теме: Критерий сходимости несобственных интегралов

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Критерий сходимости несобственных интегралов

Теорема

Доказательство

Список Литературы

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Несобственный интеграл на неограниченном промежутке

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

5.