Определение 1. Пусть линейное пространство называется конечномерным, если существует такая константа $M \in \mathbb{N}$, так что любая линейно независимая система (далее ЛНЗ) содержит не более $M$ векторов. В противном случае пространство называется бесконечномерным.
Замечание. Нулевое пространство будем считать конечномерным.
Пример 1. Бесконечномерным пространством является $(R[x], \mathbb{R})$. Рассмотрим систему векторов $\left\langle 1, x, x^{2}, \ldots, x^{n}\right\rangle.$ Это система ЛНЗ, так как из равенства $\alpha_{0} \cdot 1+\alpha_{1}\cdot x+\alpha_{2} \cdot x^{2}+\ldots+\alpha_{k}\cdot x^{k}=0$ следует, что $\alpha_{0}=\alpha_{1}=\alpha_{2}= \ldots =\alpha_{k}=0.$ Так как $k$ произвольно, то не существует ограничения $M$.
Пример 2. Пусть $X$ — конечномерное пространство. Рассмотрим в нем ЛНЗ систему, содержащую максимальное число векторов: $\left\langle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right\rangle.$ Дополняя эту систему произвольным векторм $y$, получаем уже линейно зависимую систему: $\left\langle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}, y\right\rangle.$ Тогда вектор $y$ линейно выражается через исходную систему, а именно: $$y=\alpha_{1} x_{1}+\alpha_{2} x_{2}+\ldots+\alpha_{m} x_{m}.$$
Лемма 1. Каждое подпространство конечномерного пространства в свою очередь конечномерно.
Лемма 2. Каждое подпространство есть линейная оболочка некоторой своей системы.
Конечномерность
Тест для проверки знаний по теме «Конечномерность».
Литература
- Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С..
- Воеводин В.В. Линейная алгебра М.: Наука, 1980.-400 с. (стр. 44-47)