Линейные оболочки и подпространства. Критерий подпространства

Выберем в линейном пространстве K, заданном над полем P, конечное число векторов \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, ..., \vec{e_{n}}.

Определение

Вектор вида \alpha_{1} \vec{e_{1}}+\alpha_{2}\vec{e_{2}}+...+\alpha_{n}\vec{e_{n}} называется линейной комбинацией векторов \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, ..., \vec{e_{n}}, где \alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} \in P.

Определение

Множество всех линейный комбинаций векторов \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, ..., \vec{e_{n}} называется линейной оболочкой.

Определение

Если непустое подмножество F пространства K само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения векторов на скаляр (число), определенных в K, то F называется линейным подпространством (обозначается F \le K).

Теорема (критерий подпространства)

F является линейным подпространством K, если выполняются такие условия:

  1. Если векторы \vec{a} и \vec{b} принадлежат F, то \vec{a} + \vec{b} тоже принадлежат F.
    \forall \vec{a}, \vec{b} \in F: \vec{a} + \vec{b} \in F.
  2. Если вектор \vec{a} принадлежит F, то и \alpha\vec{a} тоже принадлежит F.
    \forall \vec{a} \in F, \forall \alpha \in P: \alpha \vec{a} \in F
Спойлер

Если F линейное подпространство K, значит F — линейное пространство, соответственно оно замкнуто относительно умножения и сложения векторов на скаляры.

Докажем теперь в обратную сторону. \vec{a} \in F. По второму свойству 0\cdot \vec{a}=\vec 0 принадлежит F. Так же по второму свойству любой вектор из F содержит в F противоположный себе вектор -1 \cdot \vec{a}=- \vec{a}. Выходит - \vec{a} + \vec{a}= \vec 0 \in F

[свернуть]

 

Спойлер

\left \{ 0 \right \} — подпространство любого пространства F

f_{n}[x] — подпространство f_{m}[x], если n\le m

[свернуть]
Спойлер

Условие

Является ли линейным подпространством соответствующего векторного пространства следующая совокупность векторов:

все векторы n-мерного векторного пространства, координаты которых целые числа?

Решение

X=\mathbb{R}_{n}

L\subset X

L=\left \{ (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) | x_{i}\in \mathbb{Z}, i=\overline{1, n}\right \}

\forall \vec{x}, \vec{y} \in L, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}:

\alpha \vec{x} + \beta \vec{y} \overset{?}{\in L}

Возьмем \alpha=\frac{1}{2} и \beta=1

\vec{x}=(1, 1, ..., 1)\vec{y}=(-1, -1, ..., -1)

\alpha \vec{x} + \beta \vec{y}= (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, ..., \frac{1}{2})+ (-1, -1, ..., -1)= (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, ..., -\frac{1}{2})\notin L \Rightarrow L \not\le X

[свернуть]

Тест

Линейные оболочки и подпространства. Критерий подпространства

Таблица лучших: Линейные пространства

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники

Г. С. Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре.

В. В. Воеводин. Линейная алгебра. Издание второе, переработанное и дополненное. Москва «НАУКА» 1980. (стр. 42-43)

А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. Издание десятое. Стереотипное. Москва «НАУКА» 1971. (стр. 201-202)

И. В. Проскуряков.  Сборник задач по линейной алгебре. Издание шестое. Стереотипное. Москва «Наука», 1984. (стр. 168-170)