Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — фундаментальная теорема математического анализа, гласящая, что из любой ограниченной последовательности точек пространства $\mathbb{R}^n$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Т. Б. — В., используется при доказательстве многих теорем анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема названа в честь чешского математика Бернарда Больцано и немецкого математика Карла Вейерштрасса, которые независимо друг от друга вывели ее формулировку и доказательство.

Формулировка. Любое бесконечное ограниченное множество $F \subset \mathbb{R}^n$ имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Пусть множество $F$ является бесконечным и ограниченным множеством. Предположим, что оно не имеет предельных точек. Следовательно, оно является замкнутым. Поскольку $F$ еще и ограничено, то, по теореме Гейне – Бореля, $F$ компактно. Для каждой точки $x \in F$ построим такую окрестность $U_x$, в которой нет других точек из $F$, кроме $x$ (если бы для какой-то точки $x$ такой окрестности не было, то эта точка была бы предельной для $F$). Тогда семейство $\left\{U_x \right\}_{x \in F}$ образует открытое покрытие компактного множества $F$. Пользуясь компактностью $F$, выберем из него некое конечное подпокрытие, иными словами. конечный набор шаров, в каждом из которых содержится лишь по одной точке из множества $E$. Но это противоречит тому, что множество $E$ бесконечно.$\square$
Замечание. Предельная точка, существование которой утверждается в данной теореме, вообще говоря, не обязана принадлежать множеству $E$.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.241-242)
• Теорема Больцано-Вейерштрасса. Материал из Википедии — свободной энциклопедии
• Конспект З.М. Лысенко

Теорема Гейне – Бореля. Чтобы множество $K \subset \mathbb{R}^n$ являлось компактным, необходимо и достаточно, чтобы $K$ было ограниченным и замкнутым.

Доказательство. Достаточность. Пусть $K$ замкнуто и ограничено. Тогда найдется сегмент $I \subset \mathbb{R}^n$, содержащий $K$. В силу леммы Гейне – Бореля, этот сегмент $I$ компактен. Поэтому, в силу свойств компактных множеств, компактно также его замкнутое подмножество $K$. Необходимость. Пусть $K$ —  компакт. Докажем, что данное множество ограничено. Обозначим через $B_s$ открытый шар с центром в точке $0$ радиуса $s$. Тогда последовательность шаров$\left\{B_s\right\}^{\infty}_{s=1}$ покрывает все пространство $\mathbb{R}^n$, а следовательно, и множество $K$. Так как $K$ компактно, следовательно, оно может быть покрыто конечным набором шаров $B_s$. Среди всех этих шаров выберем шар с наибольшим радиусом. Пусть это шар $B^{\ast}$. Тогда ясно, что $K \subset B^{\ast}$, так что $K$ ограничено. Покажем теперь, замкнутость множества $K$. Для этого достаточно показать, что любая точка $y \notin K$, не будет предельной для $K$. Итак, пусть $y \notin K$. Рассмотрим множества $G_k = c\overline{B}(y, \frac{1}{k}) (k = 1,2,…)$. Так как замкнутый шар $\overline{B}(y, \frac{1}{k})$ – множество замкнутое, следовательно его дополнение $G_k$ открыто. Кроме того, ясно, что$\bigcup^{\infty}_{k=1}G_k = \mathbb{R}^n \setminus \left\{y\right\}$. Поскольку $y \notin K$, то совокупность множеств $G_k (k = 1,2,…)$ образует открытое покрытие множества $K$. Пользуясь компактностью $K$, выберем из этого покрытия конечное подпокрытие $\left\{G_{k_1},…,G_{k_s}\right\}$ и положим $\rho = \frac{1}{max\left\{k_1,…,k_s\right\}} > 0$. Отсюда следует, что шар $B(y,\rho)$ не имеет общих точек с множеством $K$. Получаем, что точка $y$ не будет предельной для $K$. $\square$

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.235)
• Портнов И.В. Понятие и критерии компактности.