М827. О равновеликих треугольниках

Задача из журнала «Квант» (1984 год, 1 выпуск)

Условие

Известно, что четыре синих треугольника на рисунке 1 равновелики.

Докажите, что три красных четырехугольника на этом рисунке также равновелики.
Найдите площадь одного четырехугольника, если площадь одного синего треугольника равна 1.

Решение

Нам понадобится следующая часто применяемая

Пусть $Р$ — точка на стороне $KL$ треугольника $KLM$ . Тогда отношение площадей треугольников и равно

$S_{MKP}:S_{MPL}=|KP|:|PL|.$ (Для доказательства достаточно заметить, что треугольники

$MKP$ и

$MPL$ имеют общую высоту проведенную из вершины

$М$ (рис. 2).).

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Введем обозначения, как на рисунке 1. Заметим, что треугольники $AA_0C_0$ и $AA_0C_1$ равновелики (каждый из них составлен из треугольника $AA_0B_0$ и одного из из синих треугольников). Эти треугольники имеют общее основание $AA_0$ , поэтому их вершины $C_0$ и $C_1$ равноудалены от прямой $AA_0$ , то есть прямые $AA_0$ и $C_1C_0$ параллельны. Аналогично, $BB_0||A_1A_0$ и $CC_0||B_1B_0$ . Рассмотрим трапецию $AA_0C_0C_1$ (рис. 3). Её диагонали пересекаются в точке $B_0$ , а продолжения боковых сторон — в точке $B$ . Эти точки лежат на прямой, соединяющей середины $D$ и $E$ её оснований $AA_0$ и $C_1C_0$ . (Действительно, $B_0$ — центр гомотетии треугольников $B_0AA_0$ и $B_0C_0C_1$ , а $B_0$ — центр гомотетии треугольников $BAA_0$ и $BC_1C_0$ ). А поскольку эта прямая параллельна $A_1A_0$ , точка $B_0$ — середина отрезка $A_1A$ . По лемме отсюда вытекает,что $S_{AB_0C}=S_{B_0A_1C}$ . Следовательно (см. рис. 1), площади четырехугольников $AB_0A_0B_1$ и $CA_0C_0A_1$ равны. Аналогично доказывается, что и третий красный четырехугольник $BC_0B_0C_1$ имеет такую же площадь.
Подумайте, останется ли верным утверждение этого пункта задачи, если потребовать равенства площадей только трех угловых синих треугольников.
Площадь красного четырехугольника $s=1+\sqrt{5}$ . Чтобы составить уравнение для нахождения искомой площади $s$ , выразим двумя способами отношение $|BC_1|:|C_1A|$ с помощью леммы:
$|BC_1|:|C_1A|=S_{CBC_1}:S_{CC_1A}=(2s+2):(s+2)=S_{B_0BC_1}:S_{B_0C_1A}=(s/2):1.$
(Пояснения здесь требуют только равенство $S_{B_0BC_1}$ . Как было показано выше, точка $E$ — середина $C_0C_1$ (рис. 3). Отсюда, опять-таки пользуясь леммой, легко вывести, что треугольники $B_0BC_1$ и $B_0BC_0$ равновелики. А вместе они составляют четырехугольник $BC_0B_0C_1$ площади $s$ ). Итак, $s$ удовлетворяет уравнению
$s^2-2s-4=0.$ откуда $s=1+\sqrt{5}$ .

Б. И. Чиник, В. Н. Дубровский

M1817. Окружности вписанные в четырёхугольник

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 6 выпуск)

Условие

Четырехугольник с перпендикулярными диагоналями вписан в квадрат. Диагонали и стороны четырехугольника разделили квадрат на 8 треугольников, попеременно окрашенных в красный и синий цвет (рис.1).

рис 1

Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в красные треугольники равна сумме радиусов окружностей, вписанных в синие треугольники.

Решение

Сначала два вспомогательных факта.

Диаметр вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности между суммой его катетов и гипотенузой, т.е. $2r = a + b — c.$ Обоснование этого полезного утверждения можно усмотреть из рисунка

Два взаимно перпендикулярных отрезка разделили квадрат на четыре четырехугольнька. Тогда сумма периметров любых двух несоседних из них равна сумме периметров двух других (рис.3).

рис 3

Обоснуем это. Один из разделяющих отрезков перенесем параллельно себе так, чтобы он прошел через центр квадрата; при этом сумма периметров несоседних четырехугольников останется прежней. То же самое сделаем со вторым отрезком. Но два отрезка, взаимно перпендикулярные и проходящие через центр квадрата, делят его на четыре равных четырехугольника. Теперь рассуждение легко закончить самостаятельно.

Вернемся к условию задачи. На основании утверждения 2 можно заключить, что сумма длин всех катетов красных треугольников равна сумме длин всех катетов синих треугольников. К этому можно добавить, что сумма длин всех гипотенуз красных треугольников равна сумме длин всех гипотенуз синих треугольников. Откуда используя утверждение 1, делаем вывод, что сумма радиусов окружностей, вписанных в красные треугольники, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в синие треугольники.

В. Произволов

М1803. О суммарной площади треугольников

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 1 выпуск)

Условие

В квадрате $ABCD$ взяты точки $P$ и $Q$ такие, что $\angle{PAQ}=\angle{QCP} = 45^{\circ}$ (рис. $1$ ). Докажите, что суммарная площадь треугольников $PAQ, PCB$ и $QCD$ равна суммарной площади треугольников $QCP, QAD$ и $PAB.$

Рис.1

Доказательство

Симметрично отразим $\triangle{APB}$ относительно прямой $AP,$ а $\triangle{AQD}$ — относительно прямой $AQ.$ При этом отраженные точки $B$ и $D$ «склеятся» в одну точку $M$ (рис. $2$ ).

Рис.2

Значит, суммарная площадь треугольников

$QCP, QAD$ и

$PAB$ равна площади четырехугольника

$APCQ$ плюс площадь треугольника

$PQM.$ Симметрично отразим

$\triangle{CPB}$ относительно прямой

$CP,$ а

$\triangle{CQD}$ — относительно прямой

$CQ.$ При этом отраженные точки

$B$ и

$D$ «склеятся» в одну точку

$N.$ Значит, суммарная площадь треугольников

$PAQ, PCB$ и

$QCD$ равны площади четырехугольника

$APCQ$ плюс площадь треугольника

$PQN.$
Остается заметить, что площади треугольников

$PQM$ и

$PQN$ равны, поскольку сами треугольники равны.

В.Произволов

M1276. О высотах треугольников, пересекающихся в одной точке

Задача из журнала «Квант» (1991 год, 9 выпуск)

Условие

Для данной хорды $MN$ окружности рассматриваются треугольники $ABC$ , основаниями которых являются диаметры $AB$ этой окружности, не пересекающие $MN$ , а стороны $AC$ и $BC$ проходят через концы $M$ и $N$ хорды $MN$ . Докажите, что высоты всех таких треугольников $ABC$ , опущенные из вершины $C$ на сторону $AB$ , пересекаются в одной точке.

Доказательство

Точки $M$ и $N$ — основания высот треугольника $ABC$ , опущенных из вершин $A$ и $B$ , поэтому третья высота проходит через точку $H$ их пересечения, причем точки $C$ , $M$ , $N$ и $H$ лежат на одной окружности $δ$ с диаметром $CH$ . Пусть $P$ — центр этой окружности. Заметим, что при движении диаметра $AB$ величина угла $C$ треугольника остаётся неизменной, — она измеряется полуразностью постоянных по величине дуг $AB$ и $MN$ (см. рисунок). Поскольку хорда $MN$ неподвижна, остаётся неизменной и окружность $δ$ (по которой движутся точка $C$ и диаметрально противоположная ей точка $H$ ), а тем самым и её центр $P$ : диаметр $CH$ — участок интересующей нас высоты — просто вращается вокруг точки $P$ .

Cycle

Е. Куланин

M1790. О равенстве суммарных длин участков границ разных цветов

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 2 выпуск)

Условие

Имеются в некотором количестве равносторонние треугольники, у каждого из которых одна сторона желтая, другая красная, а третья синяя. Можно прикладывать треугольники друг к другу одноцветными сторонами или участками одноцветных сторон. Таким образом составлен большой равносторонний треугольник $\Delta$ . Докажите, что суммарная длина участков границы треугольника $\Delta$ каждого из трех цветов одна и та же.

Решение

Все треугольники, составляющие равносторонний треугольник

$\Delta$ , окрасим в синий и белый цвета в шахматном порядке. Пусть при этом треугольники, примыкающие к границе треугольника

$\Delta$ , имеют синюю окраску (см. рисунок).

Совместная граница всех белых и синих треугольников на одну треть окрашена в каждый из трех цветов (желтый, красный или синий), поскольку она является суммарной границей всех белых треугольников. Вычтя эту границу из суммарной границы всех синих треугольников, получаем границу треугольника

$\Delta$ . Значит, граница треугольника

$\Delta$ на одну треть окрашена в каждый из трех цветов.

С.Волченков, В.Произволов