функции многих переменных

11.2 Непрерывные функции

Пусть $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$ , $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и точка $x_0 \in E$ .

Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$ , если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta > 0$ , что для всех $x \in E$ , удовлетворяющих условию $\lvert x−x_0 \rvert < \delta$ , справедливо неравенство $\lvert f(x)−f(x_0)\rvert < \varepsilon$ .

Если $x_0$ – предельная точка множества $E$ , то непрерывность функции $f$ в точке $x_0$ равносильна тому, что $\lim_\limits{{x \to x_0}, {x \in E}} f(x) = f(x_0)$ .

Пусть точка $x_0$ не является предельной для $E$ . Это означает, что найдется такая окрестность $U$ точки $x_0$ , в которой нет других точек множества $E$ . Такая точка называется изолированной точкой множества $E$ . Ясно, что каждая точка множества $E$ является либо предельной, либо изолированной. Очевидно, в изолированной точке множества $E$ любая функция $f$ непрерывна, это следует сразу из определения непрерывности.

Равносильное данному выше определение непрерывности в терминах окрестностей может быть сформулировано следующим образом.

Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$ , если для любой окрестности $V$ точки $f(x_0)$ найдется такая окрестность $U$ точки $x_0$ , что образ $f(U \cap E)$ множества $U \cap E$ содержится в $V$ , т. е. $f(U \cap E) \subset V$ .

Используя определение предела по Гейне, можно также легко сформулировать определение непрерывности функции в точке в терминах последовательностей.

Пусть функция $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$ , $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Для того чтобы $f$ была непрерывной в точке $x_0$ , необходимо и достаточно, чтобы были непрерывными в точке $x_0$ все ее компоненты.

Эта теорема мгновенно вытекает из следующего неравенства: $\lvert f^i(x) — f^i(x_0)\rvert \leqslant \lvert f(x) — f(x_0)\rvert = \sqrt{\sum_{i=1}^m[f^i(x) — f^i(x_0)]^2}(i = 1,\ldots,m)$

Пусть функции $f,g \colon E\to \mathbb{R}^{m}$ , $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Если $f$ и $g$ непрерывны в точке $x_0 \in E$ , то в этой точке непрерывны и функции $f + g$ , $f ·g$ . Если $f,g$ – действительные функции и $g(x) \neq 0$ на $E$ , то $\frac{f}{g}$ непрерывна в точке $x_0$ .

Действительно, если $x_0$ – изолированная точка, то в этой точке непрерывна каждая функция. Если же $x_0$ – предельная точка множества $E$ , то для доказательства этой теоремы достаточно применить соответствующую теорему для пределов функции.

Пусть $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$ , $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и $g\colon N\to \mathbb{R}^{k}$ , $N \subset \mathbb{R}^{m}$ , причем $f(E) \subset N$ . Если $f$ непрерывна в точке $x_0 \in E$ , а функция $g$ непрерывна в точке $y_0 = f(x_0) \in N$ , то композиция $h \equiv g \circ f$ непрерывна в точке $x_0$ .

Пусть $\varepsilon > 0$ . В силу непрерывности функции $g$ в точке $y_0$ , найдется такое $\eta > 0$ , что для всех $y \in N$ , удовлетворяющих условию $\lvert y−y_0 \rvert < \eta$ , выполнено неравенство $\lvert g(y)−g(y_0) \rvert < \varepsilon$ . Так как $f$ непрерывна в точке $x_0$ , то для числа $\eta$ существует такое $\delta$ , что для всех $x \in E$ , удовлетворяющих условию $\lvert x−x_0 \rvert < \delta$ , справедливо неравенство $\lvert f(x)−f(x_0) \rvert < \eta$ . Окончательно, если $\lvert x−x_0 \rvert < \delta$ , то, так как $y_0 = f(x_0)$ , получаем $\lvert h(x)−h(x_0)\rvert = \lvert g(f(x))−g(f(x_0))\rvert < \varepsilon$ .

Функция $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$ называется непрерывной на множестве $E$ , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Рассмотрим $\pi^i(x) = x^i (x \in \mathbb{R}^{n}), \pi^i \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} (i \in 1,\ldots,n)$ . Имеем $\lvert \pi^i(x)−\pi^i(x_0)\rvert = \lvert x^i −x^i_0\rvert \leqslant \lvert x−x_0\rvert,$ так что функция $\pi^i$ непрерывна на всем $\mathbb{R}^{n}$ .

Пусть $f(x) = (x^i)^ν$ , где $ν \in \mathbb{N}$ . Тогда функция $f\colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ непрерывна на всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$ .

Действительно, рассмотрим функцию $g(t) = t^ν (t \in \mathbb{R})$ . Тогда $f = g \circ\pi^i$ и из теоремы о непрерывности сложной функции сразу получаем утверждение.

Функция $f(x) = \sum_{{i_1}=0}^{m_1}\ldots\sum_{{i_n}=0}^{m_n} C_{i_1,\ldots,i_n}(x^1)^{i_1}\ldots(x^n)^{i_n}$ непрерывна на всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$ . Это следует из двух предыдущих примеров.

Пусть $f(x) = \lvert x\rvert (x \in \mathbb{R}^{n})$ . Тогда из неравенства $\lvert f(x)−f(x_0)\rvert = \lvert \lvert x\rvert −\lvert x_0\rvert\rvert \leqslant \lvert x−x_0\rvert (x, x_0 \in \mathbb{R}^{n})$ сразу следует непрерывность функции $f$ .

Множество $A \subset \mathbb{R}^{n}$ называется открытым относительно множества $B \subset \mathbb{R}^{n}$ , если существует такое открытое множество $G \subset \mathbb{R}^{n}$ , что $A = G \cap B$ .

Если функция $f\colon E\to \mathbb{R}^{m}$ непрерывна на множестве $E,$ то прообраз любого открытого множества $H \subset \mathbb{R}^{n}$ открыт относительно $E$ .

Если $H \cap f(E) = \varnothing$ , то прообраз множества $H$ равен $\varnothing$ и утверждение теоремы в этом случае справедливо.

Пусть $H \cap f(E) \neq \varnothing$ . Для каждого $y_0 ∈ H \cap f(E)$ построим окрестность $V_{y_0} \subset H$ и, пользуясь непрерывностью функции $f$ , для каждого $x_0 \in E$ , такого, что $f(x_0) = y_0$ , построим такую окрестность $U_{x_0}$ , что $f(U_{x_0} \cap E) \subset V_{y_0}$ . Обозначим через $G$ объединение всех таких окрестностей $U_{x_0}$ , полученных, когда $y_0$ пробегает все множество $H \cap f(E)$ . Нетрудно видеть, что прообразом множества $H$ является множество $G \cap E$ .

Примеры решения задач

Будет ли функция $f(x,y) = x^6 + y^3 + 2x^4y^3 — 1$ непрерывной на $\mathbb{R}^{2}$ ?

Решение

Да, будет по вышеуказанной теореме, как сумма непрерывных функций $f_1(x,y) = x^6 + y^3$ и $f_2(x,y) = 2x^4y^3 — 1$ . Каждая из них в свою очередь, очевидно будет непрерывна, потому что для любого $(x_0,y_0) \in \mathbb{R}^{2}$ $\lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} f_1(x, y) = \lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} x^6 + y^3 = x_0^6+y_0^3 = f_1(x_0)$ $\lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} f_2(x, y) = \lim_{{x \to x_0}, {y \to y_0}} 2x^4y^3 — 1 = 2x_{0}^4y_0^3 = f_2(x_0)$
Исследовать на непрерывность функцию $f(x,y)$ в точке $O(0, 0)$ .
$\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{2xy}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0\\ 0, x^2+y^2=0. \end{cases} \end{equation*}$

Решение

$\lim_{x\to 0} f(x,y) = \lim_{x\to 0}\dfrac{2\cdot 0 \cdot y}{0+y^2} = 0$ $\lim_{y\to 0} f(x,y) = \lim_{y\to 0}\dfrac{2y \cdot 0}{x^2+0} = 0$ Тем не менее, функция разрывна в $O(0, 0)$ , что показывается по Гейне. Выберем последовательности точек $(\dfrac1n, \dfrac1n)$ и $(\dfrac1n, -\dfrac1n)$ , сходящиеся к $O(0,0)$ . $\lim f(\dfrac1n, \dfrac1n) = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, \frac1n)}\dfrac{2xy}{x^2+y^2} = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, \frac1n)}\dfrac{2\cdot\dfrac1n\cdot\dfrac1n}{\dfrac1{n^2}+\dfrac1{n^2}} = 1$ $\lim f(\dfrac1n, -\dfrac1n) = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, -\frac1n)}\dfrac{2xy}{x^2+y^2} = \lim_{(x,y)\to(\frac1n, -\frac1n)}\dfrac{2\cdot\dfrac1n\cdot(-\dfrac1n)}{\dfrac1{n^2}+\dfrac1{n^2}} = -1$
Так как $\lim f(\dfrac1{n}, \dfrac1{n}) \neq\lim_\limits{(x,y)\to(\frac1{n}, -\frac1{n})}f(x,y)$ , то функция не непрерывна в данной точке.
Показать, что функция $f(x,y) = \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, \textrm{ если } x^2+y^2\neq 0$ и $f(0,0) = 0$ непрерывна в окрестности точки $(0, 0)$ .

Решение

Вне $0$ функция, очевидно, будет непрерывна, как композиция непрерывных. Найдём предел функции в точке $(0,0)$ : $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{\dfrac{xy}{xy}}{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{xy}}=$ $=\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac1{\sqrt{\dfrac1{y^2}+\dfrac1{x^2}}} = 0.$ Так как $f(0,0) = \lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ , то функция непрерывна в $(0,0)$ . Что и требовалось доказать.

Литература

Непрерывные функции

Тест на проверку знаний по теме «Непрерывные функции».

Задание 1 из 4

1.
Вставьте пропущенные слова.
- Функция $f\colon E\to \mathbb R^m$ называется непрерывной на множестве $E$ , если она .
  
  Пусть функции $f,g \colon E\to \mathbb R^m$ , $E \subset \mathbb R^n$ . Если , то в этой точке непрерывны и функции $f + g$ , $f ·g$ . Если $f,g$ – и $g(x) \neq 0$ на $E$ , то $\frac fg$ непрерывна в точке $x_0$ .
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Выберите функцию, непрерывную на всей вещественной оси:
- $\dfrac{2xy}{x^2+y^2}$
- $\dfrac{\cos x - \cos y}{x-y}$
- $\dfrac{y^2}{y-x}$
- $\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Каким должно быть множество $G\subset\mathbb{R}^{n}$ , такое, что $A = G \cap B$ , чтобы множество $A\subset\mathbb{R}^{n}$ называлось открытым относительно множества $B\subset\mathbb{R}^{n}$ ?
- Пустым.
- Комплексным.
- Открытым.
- Конечным.
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Восстановите определение непрерывной функции.
- $\forall\varepsilon > 0$
- $\exists\delta$
- $\forall x\in X$
- $\lvert x - x_0 \rvert < \delta$
- $\lvert f(x) - f(x_0)\rvert < \varepsilon$
Правильно

Неправильно

12.8.2 Локальные экстремумы функций многих переменных

. Пусть $f$ – действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Говорят, что $f$ имеет в точке $x_{0} \in E$ , если существует такая окрестность $U$ точки $x_{0}$ , что для всех $x \in U$ выполняется неравенство $f\left(x\right) \leqslant f\left(x_{0}\right)$ .

Локальный максимум называется строгим, если окрестность $U$ можно выбрать так, чтобы для всех $x \in U$ , отличных от $x_{0}$ , было $f\left(x\right) < f\left(x_{0}\right)$ .

Пусть $f$ – действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Говорят, что $f$ имеет в точке $x_{0} \in E$ , если существует такая окрестность $U$ точки $x_{0}$ , что для всех $x \in U$ выполняется неравенство $f\left(x\right) \geqslant f\left(x_{0}\right)$ .

Локальный минимум называется строгим, если окрестность $U$ можно выбрать так, чтобы для всех $x \in U$ , отличных от $x_{0}$ , было $f\left(x\right) > f\left(x_{0}\right)$ .

Локальный экстремум объединяет понятия локального минимума и локального максимума.

Пусть $f$ – действительная функция на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Если в точке $x_{0} \in E$ функция $f$ имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке,то $\text{d}f\left(x_{0}\right)=0.$ Равенство нулю дифференциала равносильно тому, что все частные производные равны нулю, т.е. $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(x_{0}\right)=0.$

В одномерном случае это – теорема Ферма. Обозначим $\phi \left(t\right) = f \left(x_{0}+th\right)$ , где $h$ – произвольный вектор. Функция $\phi$ определена при достаточно малых по модулю значениях $t$ . Кроме того, по теореме о производной сложной функции, она дифференцируема, и ${\phi}’ \left(t\right) = \text{d}f \left(x_{0}+th\right)h$ .
Пусть $f$ имеет локальный максимум в точкеx $0$ . Значит, функция $\phi$ при $t = 0$ имеет локальный максимум и, по теореме Ферма, ${\phi}’ \left(0\right)=0$ .
Итак, мы получили, что $df \left(x_{0}\right) = 0$ , т.е. дифференциал функции $f$ в точке $x_{0}$ равен нулю на любом векторе $h$ .

Определение
Точки, в которых дифференциал равен нулю, т.е. такие, в которых все частные производные равны нулю, называются . функции $f$ называются такие точки, в которых $f$ не дифференцируема, либо ее градиент равен нулю. Если точка стационарная, то из этого еще не следует, что в этой точке функция имеет экстремум.

Пусть $f \left(x,y\right)=x^{3}+y^{3}$ . Тогда $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 3 \cdot x^{2}$ , $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 3 \cdot y^{2}$ , так что $\left(0,0\right)$ – стационарная точка, но в этой точке у функции нет экстремума. Действительно, $f \left(0,0\right) = 0$ , но легко видеть, что в любой окрестности точки $\left(0,0\right)$ функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

У функции $f \left(x,y\right) = x^{2} − y^{2}$ начало координат – стационарная точка, но ясно, что экстремума в этой точке нет.

Пусть функция $f$ дважды непрерывно-дифференцируема на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$ . Пусть $x_{0} \in E$ – стационарная точка и $\displaystyle Q_{x_{0}} \left(h\right) \equiv \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)h^{i}h^{j}.$ Тогда

если $Q_{x_{0}}$ – знакоопределенная квадратичная форма, то функция $f$ в точке $x_{0}$ имеет локальный экстремум, а именно, минимум, если форма положительноопределенная, и максимум, если форма отрицательноопределенная;
если квадратичная форма $Q_{x_{0}}$ неопределенная, то функция $f$ в точке $x_{0}$ не имеет экстремума.

Воспользуемся разложением по формуле Тейлора (12.7 стр. 292). Учитывая, что частные производные первого порядка в точке $x_{0}$ равны нулю, получим $\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)h^{i}h^{j},$ где $0<\theta<1$ . Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$ . В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290), $a_{ij}=a_{ji}$ . Обозначим $\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$ По предположению, все частные производные второго порядка непрерывны и поэтому $\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$ Получаем $\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left[Q_{x_{0}} \left(h\right)+\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}\right].$ Обозначим $\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$ Тогда $|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$ , имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$ . Окончательно получаем $\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left[Q_{x_{0}} \left(h\right)+\epsilon \left(h\right)|h|^{2}\right]. \left(2\right)$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1), существует такое положительное число $\lambda$ , что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$ . Поэтому $\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$ Так как $\lambda>0$ , а $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$ , то правая часть будет положительной при любом векторе $h$ достаточно малой длины.
Итак, мы пришли к тому, что в некоторой окрестности точки $x_{0}$ выполнено неравенство $f \left(x\right) >f \left(x_{0}\right)$ , если только $x \neq x_{0}$ (мы положили $x=x_{0}+h$ \right). Это означает, что в точке $x_{0}$ функция имеет строгий локальный минимум, и тем самым доказана первая часть нашей теоремы.
Предположим теперь, что $Q_{x_{0}}$ – неопределенная форма. Тогда найдутся векторы $h_{1}$ , $h_{2}$ , такие, что $Q_{x_{0}} \left(h_{1}\right)=\lambda_{1}>0$ , $Q_{x_{0}} \left(h_{2}\right)= \lambda_{2}<0$ . В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$ . Тогда получим $f \left(x_{0}+th_{1}\right)−f \left(x_{0}\right) = \frac{1}{2} \left[ t^{2} \lambda_{1} + t^{2} |h_{1}|^{2} \epsilon \left(th_{1}\right) \right] = \frac{1}{2} t^{2} \left[ \lambda_{1} + |h_{1}|^{2} \epsilon \left(th_{1}\right) \right].$ При достаточно малых $t>0$ правая часть положительна. Это означает, что в любой окрестности точки $x_{0}$ функция $f$ принимает значения $f \left(x\right)$ , большие, чем $f \left(x_{0}\right)$ .
Аналогично получим, что в любой окрестности точки $x_{0}$ функция $f$ принимает значения, меньшие, чем $f \left(x_{0}\right)$ . Это, вместе с предыдущим, означает, что в точке $x_{0}$ функция $f$ не имеет экстремума.

Рассмотрим частный случай этой теоремы для функции $f \left(x,y\right)$ двух переменных, определенной в некоторой окрестности точки $\left(x_{0},y_{0}\right)$ и имеющей в этой окрестности непрерывные частные производные первого и второго порядков. Предположим, что $\left(x_{0},y_{0}\right)$ – стационарная точка, и обозначим $\displaystyle a_{11}= \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(x_{0} ,y_{0}\right), a_{12}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(x_{0}, y_{0}\right), a_{22}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(x_{0}, y_{0}\right).$ Тогда предыдущая теорема примет следующий вид.

Пусть $\Delta=a_{11} \cdot a_{22} − a_{12}^2$ . Тогда:

если $\Delta>0$ , то функция $f$ имеет в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ локальный экстремум, а именно, минимум, если $a_{11}>0$ , и максимум, если $a_{11}<0$ ;
если $\Delta<0$ , то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Примеры решения задач

Алгоритм нахождения экстремума функции многих переменных:

Находим стационарные точки;
Находим дифференциал 2-ого порядка во всех стационарных точках
Пользуясь достаточным условием экстремума функции многих переменных, рассматриваем дифференциал 2-ого порядка в каждой стационарной точке

Исследовать функцию на экстремум $f \left(x,y\right) = x^{3} + 8 \cdot y^{3} + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ .

Решение

Найдем частные производные 1-го порядка: $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3 \cdot x^{2} — 6 \cdot y;$ $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=24 \cdot y^{2} — 6 \cdot x.$ Составим и решим систему: $\displaystyle \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}= 0\\\frac{\partial f}{\partial y}= 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}3 \cdot x^{2} — 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^{2} — 6 \cdot x = 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^{2} — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^{2} — x = 0\end{cases}$ Из 2-го уравнения выразим $x=4 \cdot y^{2}$ — подставим в 1-ое уравнение: $\displaystyle \left(4 \cdot y^{2}\right)^{2}-2 \cdot y=0$ $16 \cdot y^{4} — 2 \cdot y = 0$ $8 \cdot y^{4} — y = 0$ $y \left(8 \cdot y^{3} -1\right)=0$ В результате получены 2 стационарные точки:
1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_{1} = \left(0, 0\right)$ ;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^{3} -1=0 \Rightarrow y^{3}=\frac{1}{8} \Rightarrow y = \frac{1}{2} \Rightarrow x=1, M_{2} = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$
Проверим выполнение достаточного условия экстремума:
$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6 \cdot x; \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=-6; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=48 \cdot y$
1) Для точки $M_{1}= \left(0,0\right)$ :
$\displaystyle A_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(0,0\right)=0; B_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(0,0\right)=-6; C_{1}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(0,0\right)=0;$
$A_{1} \cdot B_{1} — C_{1}^{2} = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Для точки $M_{2}$ :
$\displaystyle A_{2}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(1,\frac{1}{2}\right)=6; B_{2}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(1,\frac{1}{2}\right)=-6; C_{2}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(1,\frac{1}{2}\right)=24;$
$A_{2} \cdot B_{2} — C_{2}^{2} = 108>0$ , значит, в точке $M_{2}$ существует экстремум, и поскольку $A_{2}>0$ , то это минимум.
Ответ: Точка $\displaystyle M_{2} \left(1,\frac{1}{2}\right)$ является точкой минимума функции $f$ .
Исследовать функцию на экстремум $f=y^{2} + 2 \cdot x \cdot y — 4 \cdot x — 2 \cdot y — 3$ .

Решение

Найдём стационарные точки: $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2 \cdot y — 4;$ $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$
Составим и решим систему: $\displaystyle \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}= 0\\\frac{\partial f}{\partial y}= 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2 \cdot y — 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x — 2 = 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2\\y + x = 1\end{cases} \Rightarrow x = -1$
$M_{0} \left(-1, 2\right)$ – стационарная точка.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума: $\displaystyle A=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \left(-1,2\right)=0; B=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left(-1,2\right)=2; C=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \left(-1,2\right)=2;$
$A \cdot B — C^{2} = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Ответ: экстремумы отсутствуют.

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Локальные экстремумы функций многих переменных».

Задание 1 из 4

1.
Количество баллов: 1
Исследовать функцию $f$ на экстремумы: $f=e^{x+y}(x^{2}-2 \cdot y^{2})$
- $(0,0)$ - локальный минимум
- $(0,0)$ - локальный максимум
- $(-4,2)$ - локальный максимум
- $(-4,2)$ - локальный минимум
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 1
Существует ли экстремум у функции $f = 4 + \sqrt[3]{(x^{2}+y^{2})^{2}}$
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 1
Критическими точками функции f называются такие точки, в которых f ______________ ,либо ее градиент равен ____. (Ответ дайте через запятую.)
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 1
Алгоритм нахождения экстремума:
- Нахождение $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$
- Нахождение стационарных точек
- Нахождение $\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}$
- Нахождение $\text{d}^{2}f$
- Проверка знакоопределённости квадратичной формы
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Локальные экстремумы функций многих переменных

максимум из 4 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Литература:

В. И. Коляда, А. А. Кореновский КУРС ЛЕКЦИЙ по МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ часть 1 (2009 года) глава 12.8.2 стр. 293

См. Также:

Л. Д. Кудрявцев Курс математического анализа (1988-1989) том 2 §40. стр.299

Дифференцируемость функции в точке и существование частных производных

Дадим определение дифференцируемости функции в точке.
Определение. Функция $f \left( x \right) = f \left( x_1, \dots, x_n \right)$ называется дифференцируемой в точке $x^0 = \left( x_1^0, \dots, x_n^0 \right)$ , если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа $A_1, \dots, A_n$ , что $f \left( x \right) — f \left( x^0 \right) = \sum\limits_{i = 1}^{n} A_i \left( x_i — x_i^0 \right) + o \left( \rho \left( x, x^0 \right) \right) \qquad (2)$ при $x \to x^0$ .
Теорема 1. Функция $f \left( x \right)$ дифференцируема в точке $x^0$ в том и только том случае, когда в некоторой окрестности точки $x^0$ функция $f \left( x \right)$ может быть представлена в следующем виде: $f \left( x \right) = f \left( x^0 \right) + \sum\limits_{i = 1}^{n} f_i \left( x \right) \left( x_i — x_i^0 \right), \qquad (2)$ где функции $f_i \left( x \right)$ непрерывны в точке $x^0$ .

Доказательство

Пусть функция $f \left( x \right)$ дифференцируема в точке $x^0$ . Тогда выполнено условие (1). Заметим, что равенство $\psi \left( x \right) = o \left( \rho \left( x, x^0 \right) \right)$ при $x \to x^0$ означает, что $\psi \left( x \right) = \varepsilon \left( x \right) \rho \left( x, x^0 \right)$ , где $\lim_{x \to x^0} \varepsilon \left( x \right) = 0$ .
Тогда $\psi \left( x \right) = \frac{ \varepsilon \left( x \right) }{ \rho \left( x, x^0 \right) } \sum\limits_{i = 1}^{n} \left( x_i — x_i^0 \right) ^2 = \\ = \sum\limits_{i = 1}^{n} \varepsilon_i \left( x \right) \left( x_i — x_i^0 \right), \qquad (3)$
где $\varepsilon \left( x \right) = \varepsilon \left( x \right) \frac{ x_i — x_i^0 }{ \rho \left( x, x^0 \right) }$ , $\lim_{ x \to x^0 } \varepsilon \left( x \right) = 0$ , так как $0 \leq \frac{ \left| x_i — x_i^0 \right| }{ \rho \left( x, x^0 \right) } \leq 1$ .
Доопределим функции $\varepsilon_i \left( x \right)$ в точке $x^0$ по непрерывности, полагая $\lim_{x \to x^0} \varepsilon_i \left( x \right) = \varepsilon_i \left( x^0 \right) = 0$ .
Тогда из (1) и (3) получаем $f \left( x \right) = f \left( x^0 \right) + \sum\limits_{ i = 1 }^{ n } A_i \left( x_i — x_i^0 \right) + \sum\limits_{ i = 1 }^{ n } \varepsilon_i \left( x \right) \left( x_i — x_i^0 \right) = \\ = f \left( x^0 \right) + \sum\limits_{ i = 1 }^{ n } f_i \left( x \right) \left( x_i — x_i^0 \right), f_i \left( x \right) = A_i + \varepsilon_i \left( x \right).$ Так как функции $\varepsilon_i \left( x \right)$ непрерывны в точке $x^0$ , то и функции $f_i \left( x \right)$ непрерывны в точке $x^0$ и $f_i \left( x^0 \right) = A_i, i = \overline{1, n}$ .
Пусть выполнено (2). Тогда, воспользовавшись непрерывностью функции $f_i \left( x \right)$ в точке $x^0$ , положим $A_i = f_i \left( x^0 \right), f_i \left( x \right) = A_i + \varepsilon_i \left( x \right), \lim\limits_{x \to x^0} \varepsilon_i \left( x \right) = 0.$ Получаем $f \left( x \right) — f \left( x^0 \right) = \sum\limits_{i = 1}^{n} A_i \left( x_i — x_i^0 \right) + \sum\limits_{i = 1}^{n} \varepsilon_i \left( x \right) \left( x_i — x_i^0 \right) = \\ = \sum\limits_{i = 1}^{n} A_i \left( x_i — x_i^0 \right) + o \left( \rho \left( x, x^0 \right) \right),$ так как $\frac{ \left| \sum\limits_{i = 1}^{n} \varepsilon_i \left( x \right) \left( x_i — x_i^0 \right) \right| }{ \rho \left( x, x^0 \right) } \leq \sum\limits_{i = 1}^{n} \left| \varepsilon_i \left( x \right) \right| \to 0, x \to x^0.$

[свернуть]

Упражнение 1. Пусть функции

$f \left( x \right)$ и

$\varphi \left( x \right)$ определены в окрестности точки

$x^0 \in \mathbb{R}^n$ , функция

$f \left( x \right)$ дифференцируема в точке

$x^0$ и

$f \left( x^0 \right) = 0$ , а функция

$\varphi \left( x \right)$ непрерывна в точке

$x^0$ . Доказать, что функция

$f \left( x \right) \varphi \left( x \right)$ дифференцируема в точке

$x^0$ .
Упражнение 2. Доказать, что функция

$\left( x + y \right) \left( x^3 + y^3 \right) ^{\frac{1}{3}}$ дифференцируема в точке

$\left( 0, 0 \right)$ .
Указание. Воспользоваться результатом упр. 1.
Пример 1. Показать, что функция

$f \left( x, y \right) = \sqrt[3]{x^3 + y^4}$ дифференцируема в точке

$\left( 0, 0 \right)$ .

Решение

Покажем, что существует число $C > 0$ такое, что для любых $x \in \mathbb{R}$ и $y \in \mathbb{R}$ справедливо неравенство $\left| \sqrt[3]{x^3 + y^4} — x \right| \leq C \left| y \right| ^{\frac{4}{3}}. \qquad (4)$ Если $y = 0$ , то неравенство (4) справедливо при любом $C$ . Пусть $y \ne 0$ . Положим $t = xy^{- \frac{4}{3}}$ . Тогда неравенство (4) эквивалентно неравенству $\left| \psi \left( t \right) \right| < C$ , где $\psi \left( t \right) = \sqrt[3]{1 + t^3} — t$ .
Так как функция $\psi \left( t \right)$ непрерывна на $\mathbb{R}$ и $\psi \left( t \right) \to 0$ при $t \to \infty$ , то $\psi \left( x \right)$ есть ограниченная функция на $\mathbb{R}$ .
Итак, неравенство (4) установлено. Так как $\left| \frac{ y^{\frac{4}{3}} }{ \sqrt{ x^2 + y^2 } } \right| = \left| y \right| ^{\frac{1}{3}} \frac{ \left| y \right| }{ \sqrt{x^2 + y^2} } \leq \left| y \right| ^{\frac{1}{3}},$ то $y^{\frac{4}{3}} = o \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right), \left( x, y \right) \to \left( 0, 0 \right),$ и, следовательно, $\sqrt[3]{x^3 + y^4} = x + o \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right), \left( x, y \right) \to \left( 0, 0 \right),$ т. е. функция $f \left( x, y \right) = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ дифференцируема в точке $\left( 0, 0 \right)$ .

[свернуть]

Пример 2. Показать, что функция

$f \left( x, y \right) = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ недифференцируема в точке

$\left( 0, 0 \right)$ .

Решение

Первый способ. Пусть функция дифференцируема в точке $\left( 0, 0 \right)$ , тогда, согласно определению, существует числа $A$ и $B$ такие, что $f \left( x, y \right) — f \left( 0, 0 \right) = Ax + By + o \left( \rho \right), \rho = \sqrt{x^2 + y^2},$ где $f \left( x, y \right) = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ , $f \left( 0, 0 \right) = 0$ , $A = \frac{ \partial f \left( 0 , 0 \right) }{ \partial x }$ , $B = \frac{ \partial f \left( 0, 0 \right) }{ \partial y } = 1$ .
Поэтому $\sqrt[3]{x^3 + y^3} = x + y + o \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right).$ Пусть $x = y > 0$ , тогда $\sqrt[3]{2x} = 2x + 0 \left( x \right)$ или $\left( \sqrt[3]{2} — 2 \right) x = o \left( x \right)$ при $x \to 0$ , что противоречит определению символа $o \left( x \right)$ . Следовательно, функция $\sqrt[3]{x^3 + y^3}$ недифференцируема в точке $\left( 0, 0 \right)$ .
Второй способ. Если функция $f \left( x, y \right)$ дифференцируема в точке $\left( 0, 0 \right)$ , то ее можно в некоторой окрестности этой точки, согласно теореме 1, представить в следующем виде: $\sqrt[3]{x^3 + y^3} = x \varphi \left( x, y \right) + y \psi \left( x, y \right), \qquad (5)$ где функции $\varphi \left( x, y \right)$ и $\psi \left( x, y \right)$ непрерывны в точке $\left( 0, 0 \right)$ .
Пусть $k$ — произвольное число. Положим в (5) $y = kx$ . Тогда $\sqrt[3]{1 + k^3} = \varphi \left( x, kx \right) + k \psi \left( x, kx \right).$ Переходя к пределу при $x \to 0$ и пользуясь непрерывностью функции $\varphi \left( x, y \right)$ и $\psi \left( x, y \right)$ в точке $\left( 0, 0 \right)$ , получаем, что при любом $k$ выполняется равенство $\sqrt[3]{1 + k^3} + \varphi \left( 0, 0 \right) + k\psi \left( 0, 0 \right) = a + kb.$
Это неверно, так как функция $\sqrt[3]{1 + k^3}$ не есть линейная функция (ее вторая производная по $k$ не обращается тождественно в нуль).

[свернуть]

Из теоремы 1 следует, что функция

$f \left( x \right)$ , дифференцируемая в точке

$x^0$ , непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно: функция примера 2 непрерывна, но недифференцируема в точке

$\left( 0, 0 \right)$ .

Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.

Теорема 2. Если функция $f \left( x \right)$ дифференцируема в точке $x^0 \in \mathbb{R}^n$ , то она имеет в точке $x^0$ все частные производные $\frac{ \partial f }{ \partial x_i } \left( x^0 \right)$ , $i = \overline{1, n}$ , и $f \left( x \right) — f \left( x^0 \right) = \\ = \sum\limits_{i = 1}^{n} \frac{ \partial f }{ \partial x_i } \left( x^0 \right) \left( x_i — x_i^0 \right) + o \left( \rho \left( x, x^0 \right) \right), x \to x^0. \qquad (6)$

Доказательство

Пусть функция $f \left( x \right)$ дифференцируема в точке $x^0$ . Тогда найдутся такие числа $A_1, \dots, A_n$ , что при $x \to x_1^0$ будет выполнено равенство (1). Пусть в этом равенстве $x_1 \neq x_1^0$ , а $x_2 = x_2^0, \dots, x_n = x_n^0$ . Тогда равенство (1) принимает следующий вид: $f \left( x_1, x_2^0, \dots, x_n^0 \right) — f \left( x_1^0, \dots, x_n^0 \right) = \\ = A_1 \left( x_1 — x_1^0 \right) + o \left( \left| \Delta x_1 \right| \right), x_1 — x_1^0 = \Delta x_1 \to 0.$ Следовательно, существует предел: $A_1 = \lim\limits_{\Delta x_1 \to 0} \frac{ f \left( x_1, x_2^0, \dots, x_n^0 \right) — f \left( x_1^0 , \dots, x_n^0 \right) }{ \Delta x_1 } = \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } \left( x^0 \right).$ Аналогично доказывается, что у функции $f \left( x \right)$ в точке $x^0$ существуют и остальные частные производные и что $A_i = \frac{ \partial f }{ \partial x_i } \left( x^0 \right), i = \overline{ 2, n }.$ Подставляя эти выражения в равенство (1), получаем (6).

[свернуть]

Функция примера 2 имеет в точке

$\left( 0, 0 \right)$ обе частные производные первого порядка:

$\frac{ \partial f }{ \partial x } \left( 0, 0 \right) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{ f \left( x, 0 \right) — f \left( 0, 0 \right) }{ x } = \\ = \lim\limits_{x \to 0} \frac{ \sqrt[3]{x^3} }{ x } = 1, \frac{ \partial f }{ \partial y } \left( 0, 0 \right) = 1.$ Так как функция

$f \left( x, y \right) = sqrt[3]{x^3 + y^3}$ примера 2 недиффиринцируема в точке

$\left( 0, 0 \right)$ , то этот пример показывает, что из существования частных производных в точке не следует дифференцируемость функции в этой точке. Существование частных производных функции в точке не гарантирует даже непрерывности функции в этой точке.
Так, функция

$f \left( x \right) = \begin{cases} \frac{2xy}{x^2+y^2}, & x^2 + y^2 > 0, \\ 0, & x = y = 0 \end{cases}$ не имеет предела при

$\left( x, y \right) \to \left( 0, 0 \right)$ , а поэтому и не является непрерывной в точке

$\left( 0, 0 \right)$ . Тем не менее у этой функции в точке

$\left( 0, 0 \right)$ существуют обе частные производные:

$\frac{ \partial f }{ \partial x } \left( 0, 0 \right) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{ f \left( x, 0 \right) — f \left( 0, 0 \right) }{ x } = 0, \frac{ \partial f }{ \partial y } \left( 0, 0 \right) = 0.$

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Теорема 3. Если все частные производные $\frac{ \partial f }{ \partial x_i }$ , $i = \overline{1, n}$ определены в окрестности точки $x^0 \in \mathbb{R}^n$ и непрерывны в точке $x^0$ , то функция $f \left( x \right)$ дифференцируема в точке $x^0$ .

Доказательство

Рассмотрим случай функции трех переменных. Общий случай рассматривается аналогично. Пусть функции $\frac{ \partial f }{ \partial x } \left( x, y, z \right)$ , $\frac{ \partial f }{ \partial y } \left( x, y, z \right)$ , $\frac{ \partial f }{ \partial z } \left( x, y, z \right)$ определены в некотором шаре $S_\varepsilon \left( x^0, y^0, z^0 \right)$ и непрерывны в центре шара $\left( x^0, y^0, z^0 \right)$ .
Запишем приращения функции в следующем виде: $f \left( x, y, z \right) — f \left( x^0, y^0, z^0 \right) = \\ = f \left( x, y, z \right) — f \left( x^0, y, z \right) + f \left( x^0, y, z \right) — f \left( x^0, y^0, z \right) + \\ + f \left( x^0, y^0, z \right) — f \left( x^0, y^0, z^0 \right).$ Пусть $x^0 < x$ . Рассмотрим функцию одной переменной $\psi \left( t \right)$ при $t \in \left[ x^0, x \right]$ . На этом отрезке функция $\psi \left( t \right)$ имеет производную $\psi ‘ \left( t \right) = \frac{ \partial f }{ \partial x } \left( t, y, z \right).$ Применяя формулу конечных приращений Лагранжа для функции $\psi \left( t \right)$ на отрезке $\left[ x^0, x \right]$ , получаем $\psi \left( x \right) — \psi \left( x^0 \right) = \psi ‘ \left( x^0 + \theta \left( x — x^0 \right) \right) \left( x — x^0 \right), 0 < \theta < 1.$ Если подставить в эту формулу выражение для $\psi \left( t \right)$ , то $f \left( x, y, z \right) — f \left( x^0, y, z \right) = f_1 \left( x, y, z \right) \left( x — x^0 \right), \\ f_1 \left( x, y, z \right) = \frac{ \partial f }{ \partial x } \left( x^0 + \theta \left( x — x^0 \right), y, z \right). \qquad (7)$ Так как частная производная $\frac{ \partial f }{ \partial x } \left( x, y, z \right)$ непрерывна в точке $\left( x^0, y^0, z^0 \right)$ , то существует $\lim\limits_{ \left( x, y, z \right) \to \left( x^0, y^0, z^0 \right) } f_1 \left( x, y, z \right) = \frac{ \partial f }{ \partial x } \left( x^0, y^0, z^0 \right).$ Аналогично, $f \left( x^0, y, z \right) — f \left( x^0, y^0, z \right) = f_2 \left( , y, z \right) \left( y — y^0 \right), \\ f \left( x^0, y^0, z \right) — f \left( x^0, y^0, z^0 \right) = f_3 \left( , y, z \right) \left( z — z^0 \right), \qquad (8)$ где функции $f_2 \left( x, y, z \right)$ и $f_3 \left( x, y, z \right)$ имеют конечные пределы при $\left( x, y, z \right) \to \left( x^0, y^0, z^0 \right)$ . Доопределяя эти функции в точке $\left( x^0, y^0, z^0 \right)$ предельным значениями, получим, что функции $f_i \left( x, y, z \right)$ , $i = \overline{1, 3}$ , непрерывны в точке $\left( x^0, y^0, z^0 \right)$ . Таким образом, $f \left( x, y, z \right) — f \left( x^0, y^0, z^0 \right) = \\ = \left( x — x^0 \right) f_1 \left( x, y, z \right) + \left( y — y^0 \right) f_2 \left( x, y, z \right) + \left( z, z_0 \right) f_3 \left( x, y, z \right).$ Из непрерывности функций $f_1 \left( x, y, z \right)$ , $f_2 \left( x, y, z \right)$ и $f_3 \left( x, y, z \right)$ в точке $\left( x^0, y^0, z^0 \right)$ и теоремы 1 следует дифференцируемость функции $f \left( x, y, z \right)$ в точке $\left( x^0, y^0, z^0 \right)$ .

[свернуть]

Непрерывность частных производных в точке не является необходимым условием дифференцируемости функции в этой точке.
Функция

$f \left( x, y \right) = \begin{cases} \left( x^2 + y^2 \right) \sin \frac{ 1 }{ \sqrt{ x^2 + y^2 } }, & x^2 + y^2 > 0, \\ 0, & x = y = 0, \end{cases}$ дифференцируема в точке

$\left( 0, 0 \right)$ , так как

$f \left( x, y \right) = 0 \cdot x + 0 \cdot y + o \left( \sqrt{ x^2 + y^2 } \right), \left( x, y \right) \to \left( 0, 0 \right).$ Но при

$x^2 + y^2 > 0$ частная производная

$\frac{ \partial f }{ \partial x } \left( x, y \right) = 2x \sin \frac{ 1 }{ \sqrt{ x^2 + y^2 } } — \frac{ x }{ \sqrt{ x^2 + y^2 } } \cos \frac{ 1 }{ x^2 + y^2 }$ не имеет предела при

$\left( x, y \right) \to \left( 0, 0 \right)$ и, следовательно, не является непрерывной функцией в точке

$\left( 0, 0 \right)$ . Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что

$\frac{ \partial f \left( x, 0 \right) }{ \partial x }$ не имеет предела при

$x \to 0$ .

Список литературы

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 242-248
Лысенко З. М. Конспект лекций по курсу математического анализа (I курс)

Тест

Тест для проверки усвоения материала

Задание 1 из 2

1.
Функция $f \left( x \right)$ дифференцируема в точке $x^0$ , если все частные производные $\frac{ \partial f }{ \partial x_i }$ , $i = \overline{1, n}$ …
- определены в окрестности точки $x^0 \in \mathbb{R}^n$
- непрерывны в точке $x^0 \in \mathbb{R}^n$
- определены в точке $x^0 \in \mathbb{R}^n$
- непрерывны в окрестности точки $x^0 \in \mathbb{R}^n$
- имеют предел в точке $x^0 \in \mathbb{R}^n$
- имеют предел в окрестности точки $x^0 \in \mathbb{R}^n$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 2

2.
Функция $f \left( x \right)$ имеет в точке $x^0$ все частные производные $\frac{ \partial f }{ \partial x_i } \left( x^0 \right)$ , $i = \overline{1, n}$ , и
$f \left( x \right) — f \left( x^0 \right) = \sum\limits_{i = 1}^{n} \frac{ \partial f }{ \partial x_i } \left( x^0 \right) \left( x_i — x_i^0 \right) + o \left( \rho \left( x, x^0 \right) \right)$ при $x \to x^0$ , если в точке $x^0 \in \mathbb{R}^n$ она?
Правильно

Неправильно

Определение частной производной и её геометрический смысл

Определение. Пусть функция $f \left( x \right) = f \left( x_1, \dots, x_n \right)$ определена в окрестности точки $x^0 = \left( x_2^0, \dots, x_n^0 \right)$ . Рассмотрим функцию одной переменной $\varphi \left( x_1 \right) = f \left( x_1, x_2^0, \dots, x_n^0 \right).$ Функция $\varphi \left( x_1 \right)$ может иметь производную в точке $x_1^0$ . По определению такая производная называется частной производной $\frac{ \partial f }{ \partial x_1 } \left( x^0 \right)$ . Таким образом, $\frac{ \partial f }{ \partial x_1 } \left( x^0 \right) = \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } \left( x_1^0, \dots, x_n^0 \right) = \\ = \lim\limits_{\Delta x_1 \to 0 } \frac{ f \left( x_1, x_2^0, \dots, x_n^0 \right) — f \left( x_1^0, \dots, x_n^0 \right) }{ \Delta x_1 },$ где $\Delta x_1 = x_1 — x_1^0$ .
Аналогично определяются частные производные (первого порядка) $\frac{ \partial f }{ \partial x_i } \left( x_1^0, \dots, x_n^0 \right) , i = \overline{2, n}.$ Употребляются и другие обозначения для частных производных первого порядка: $\frac{ \partial f }{ \partial x_i } \left( x^0 \right) = f_{x_i} \left( x^0 \right) = D_i f \left( x^0 \right) = \\ = {f’}_{x_i} \left( x^0 \right) = \frac{ \partial }{ \partial x_i } f \left( x^0 \right) = \frac{ \partial f \left( x^0 \right) }{ \partial x_i }.$ Функция двух переменных может иметь в точке $\left( x^0, y^0 \right)$ две частные производные первого порядка $\frac{ \partial f }{ \partial x } \left( x^0, y^0 \right), \frac{ \partial f }{ \partial y } \left( x^0, y^0 \right).$ Для функции трех переменных — три частные производные первого порядка $\frac{ \partial f }{ \partial x } \left( x^0, y^0, z^0 \right), \frac{ \partial f }{ \partial y } \left( x^0, y^0, z^0 \right), \frac{ \partial f }{ \partial z } \left( x^0, y^0, z^0 \right).$ Поскольку при вычслении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, то техника вычисления частных производных такая же, как техника вычисления производных функции одной переменной.
Например, $\frac{ \partial }{ \partial x } \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{x^2 + y^2} } \frac{ \partial }{ \partial x } \left( x^2 + y^2 \right) = \frac{ x }{ \sqrt{x^2 + y^2} }.$

Геометрический смысл

Рассмотрим функцию двух переменных $z = f \left( x, y \right)$ , определенную на множестве $D \subset \mathbb{R}^2$ и имеющую конечные частные производные $\frac{ \partial z }{ \partial x }$ и $\frac{ \partial z }{ \partial y }$ в точке $M_0 \left( x_0, y_0 \right)$ . Чтобы выяснить геометрический смысл частных производных, выполним следующие построения. В плоскости $Oxy$ отметим точку $M_0$ .
Затем нарисуем поверхность $S$ , являющуюся графиком функции $z = f \left( x, y \right)$ . Без ограничения общности будем полагать, что поверхность расположена над плоскостью $Oxy$ . Через точку $M_0$ проведем плоскость $y = y_0$ параллельную коорднатной плоскости $Oxy$ . В сечении поверхности $S$ этой плоскостью получаем кривую $\Gamma$ . Уравнение этой кривой описывается функцией одной переменной $z = f \left( x, y_0 \right)$ . Так как в точке $M_0$ существует частная производная ${f’}_x \left( x_0, y_0 \right)$ , то она согласно геометрическому смыслу обычной производной функции одной переменной равна угловому коэффициенту касательной, проведенной в точке $N \left( x_0, y_0, f \left( x_0, y_0 \right) \right)$ к кривой $\Gamma$ : ${f’}_x \left( x_0, y_0 \right) = \tan \alpha,$ где $\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси $Ox$ . В этом состоит геометрический смысл частной производной ${f’}_x \left( x_0, y_0 \right)$ .

Список литературы

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 241-242
Лысенко З. М. Конспект лекций по курсу математического анализа (I курс)

Тест

Тест для проверки усвоения материала

Задание 1 из 3

1.
Сколько частных производных первого порядка может иметь функция двух переменных
- 1
- 2
- 3
- 4
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Определение частной производной
- Пусть функция $f \left( x \right) = f \left( x_1, \dots, x_n \right)$ определена в окрестности точки $x^0 = \left( x_2^0, \dots, x_n^0 \right)$ . Рассмотрим функцию одной переменной $\varphi \left( x_1 \right) = f \left( x_1, x_2^0, \dots, x_n^0 \right).$ Функция $\varphi \left( x_1 \right)$ иметь в точке $x_1^0$ . По определению такая (производная) называется частной производной.
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Геометрический смысл частной производной
- Геометрический смысл частной производной в точке - угла между касательной, проведенной в заданной точке к кривой, и положительным направлением оси $O x$ .
Правильно

Неправильно

Достаточные условия экстремума функции двух переменных

Дифференциальное исчисление функций многих переменных — важный раздел анализа, имеющий немало приложений в физике, инженерии и прикладной математике. Существенное количество практических задач формулируется в терминах функций от двух переменных — явном выражении поверхностей в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ . В классических курсах анализа их изучают с более общих позиций, рассматривая достаточные критерии экстремума функций вида $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ (также называемых скалярными полями), в терминах которых ведётся дальнейшее изложение.

Определение

Говорят, что функция

$f: \mathbb{E} \subset \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}$ имеет во внутренней точке

$x_{0}$

локальный минимум, если $\exists U(x_{0}) \subset \mathbb{E}: \forall f(x) \le f(x_{0})$ .
локальный максимум, если $\exists U(x_{0}) \subset \mathbb{E}: \forall f(x) \ge f(x_{0})$ .

Заменой неравенств на строгие получаем условия соответственно строгого локального минимума и максимума.

Определение

Якобианом векторного поля $f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \forall x \in \mathbb{R}^{m} f(x) = (f_{1}(x),…,f_{m}(x))$ , дифференцируемого в точке $x$ и непрерывного в некоторой её окрестности $U(x) \in \mathbb{R}^{m}$ называют линейный оператор $\mathbf{J}$ , описывающий наилучшее линейное приближение функции в некоторой окрестности точки $x$ и имеющий матрицу вида:

${ J }_{ f }(x)=\begin{Vmatrix} \frac { \partial f_{ 1 } }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f_{ 1 } }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f_{ 1 } }{ \partial x_{ m } } (x) \\ \frac { \partial f_{ 2 } }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f_{ 2 } }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f_{2} }{ \partial x_{ m } } (x) \\ … & … & … & … \\ \frac { \partial f_{m} }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f_{m} }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f_{m} }{ \partial x_{ m }} (x) \end{Vmatrix}$

— так называемую матрицу Якоби (матрица касательного отображения). Для скалярного поля матрица Якоби имеет вид:

${ J }_{ f }(x)=\begin{Vmatrix} \frac { \partial f }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f }{ \partial x_{ m } } (x) \end{Vmatrix}$

Определение

Гессианом скалярного поля $f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}$ , дважды дифференцируемого по всем аргументам в точке $x=(x^{1},…,x^{m}) \in \mathbb{R}^{m}$ , называют симметрическую квадратичную форму $H(x)=\sum _{ i=1 }^{ m }{ \sum _{ j=1 }^{ m }{ h_{ij}x_{i}x_{j} } }$ , описывающую наилучшее квадратичное приближение функции в некоторой окрестности точки $x$ и имеющую матрицу вида:

$\mathbf{H}_{f}(x) = \begin{Vmatrix} \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 1 }^{ 2 } } (x) & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 1 }\partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 1 }\partial x_{ m } } (x) \\ \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 2 }\partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 2 }^{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 2 }\partial x_{ m } } (x) \\ … & … & … & … \\ \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ m }\partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ m }\partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ m }^{ 2 } } (x) \end{Vmatrix}$

— так называемую матрицу Гессе, определитель которой обычно подразумевается под Гессианом. Матрица Гессе также описывает локальную кривизну скалярного поля.

Утверждение

Поведение функция $f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ , дважды дифференцируемой в точке $x=(x^{1},…,x^{m}) \in \mathbb{R}^{m}$ и непрерывной в некоторой окрестности $U(x) \subset \mathbb{R}$ этой точки, характеризуется формулой:

$f(\mathbf{x}+\mathbf{\Delta x}) \approx f(x) + \mathbf{J(x)\Delta x} + \frac{1}{2} \mathbf{\Delta x^{T} H(x) \Delta x}$

Достаточное условие экстремума в терминах частных производных

Для того, чтобы функция $f: U(x_{0}) \rightarrow \mathbb{R}$ , дважды дифференцируемая по всем аргументам в точке $x_{0}=(x_{0}^{1},…,x_{0}^{m}) \in \mathbb{R}^{m}$ , в ней имела экстремум достаточно, чтобы её Гессиан был знакоопределён, причем, положительная определённость влечёт наличие в точке строгого локального минимума, отрицательная определённость — строгого локального максимума.

Спойлер

Воспользуемся разложением в ряд Тейлора, обозначив вектор сдвига как $\mathbf{h}=(h_{1},…,h_{m})$ . Тогда

$f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) = f(\mathbf{x}) + \frac{1}{2!} \mathbf{h^{T} H(x) h} + \underline{o}((\left\| \mathbf{h} \right\|)^{2}),\left\| h \right\| =\sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ h_{ i }^{ 2 } } } \\ f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) = f(\mathbf{x}) + \sum _{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{m}{\frac {\partial f^{2}} {\partial x_{i} \partial x_{j}}h_{i}h_{j}}} + \underline{o}((\left\| \mathbf{h} \right\|)^{2}) \\ f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) — f(\mathbf{x}) = \frac {1}{2!} \left\| \mathbf{h} \right\|^{2}\left[\sum _{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{m}{\frac {\partial f^{2}} {\partial x_{i} \partial x_{j}} \frac{h_{i} } { \left\| \mathbf{h} \right\| } \frac{ h_{j}} {\left\| \mathbf{h} \right\|}}} + \underline{o}(1) \right]$

Отсюда следует, что знак выражения в левой части, позволяющий судить о наличии или отсутствии экстремума в точке $\mathbf{x}$ , определяется знаком выражения в квадратных скобках. Посмотрим на неё внимательнее: пусть $\mathbf{h} != 0$ , тогда вектор ${ e }=\left( \frac { h_{ 1 } }{ \left\| { h } \right\| } ,\frac { h_{ 2 } }{ \left\| { h } \right\| } ,…,\frac { h_{ m } }{ \left\| { h } \right\|} \right)$ имеет единичную норму $\left\| { e } \right\| = 1$ , каким бы он ни был. Форма $\sum _{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{m}{\frac {\partial f^{2}} {\partial x_{i} \partial x_{j}} \frac{h_{i} } { \left\| \mathbf{h} \right\| } \frac{ h_{j}} {\left\| \mathbf{h} \right\|}}}$ непрерывна на $\mathbb{R}^{m}$ как однородный многочлен второй степени от координат $\mathbf{h}$ в силу непрерывности вторых производных $f$ в окрестности $\mathbf{x}$ . Квадратичная форма непрерывна и на единичной сфере $S(0;1)=\left\{ x \in \mathbb{R}^{m}| \left\| { x } \right\| \le 1 \right\}$ . Приниципиальный интерес этот факт представляет по той причине, что единичная сфера — компакт, а свойства скалярных функций, непрерывных на компакте, хорошо известны и сыграют важную роль. В частности, непрерывная на компакте функция достигает на нём своих точных верхней и нижней граней $m$ и $M$ .
Если форма положительно определена, то $0 0$ , что $\forall y: \left\| y \right\| < \delta \quad \underline { o } (1)=\alpha (y) < m \Rightarrow \underline { o } (1) < m 0$ .
Доказательство для случая отрицательно определённой квадратичной формы симметрично приведенному.
Докажем далее, что значения разных знаков, принимаемые формой в окрестности данной точки, являются достаточным условием отсутствия в ней экстремума функции. Сохраняя обозначения предыдущего пункта, назовём $\mathbf{e_{m}}$ и $\mathbf{e_{M}}$ точки единичной сфера, в которых форма достигает значений $m$ и $M$ соответственно, причем пусть $m < 0 < M$ .
Вновь выпишем разложение в ряд Тейлора функции $f$ , взяв за вектор сдвига вектор $t\mathbf{e_{m}}$ , где число $t$ подобрано таким образом, чтобы $\mathbf{x}+t\mathbf{e_{m}} \in U(x)$ :

$f({ x }+{ h })-f({ x })=\frac { 1 }{ 2! } \left\| { te_{ m } } \right\| ^{ 2 }\left[ m+\underline { o } (1) \right] =\frac { 1 }{ 2! } (\left| t \right| \left\| { e_{ m } } \right\| )^{ 2 }\left[ m+\underline { o } (1) \right] =\frac { 1 }{ 2! } t^{ 2 }\left[ m+\underline { o } (1) \right]$

Аналогично рассуждениям предыдущего пункта, рассмотрим случай $\text{sign}(\underline {o}(1))=1$ : $\lim _{ \left\| t \right\| \rightarrow 0}{ \alpha (t\mathbf{e_{m}}) } = 0 \Rightarrow \exists \delta > 0: \forall t m$ . Тогда значение в квадратных скобках, как и выражение в левой части, неположительно. В ходе аналогичных рассуждений получим двойственную ситуацию для $\mathbf{e_{M}}$ . Следовательно, в любой окрестности $U(\mathbf{x})$ точки $\mathbf{x}$ функция $f$ принимает значения, как большие, так и меньше $f(\mathbf{x})$ , следовательно, в точке $\mathbf{x}$ экстремума быть не может по определению.

[свернуть]

Замечание 1

Условие не является необходимым, так как ничего не говорит о случае, когда квадратичная форма полуопределена, т.е. является и неположительна или неотрицательна, т.е. содержит критические точки, не являющиеся экстремальными, строго больше или меньше нуля на всех векторах окрестности.

Спойлер

Исследуем на экстремум функцию $f(x,y)=x^{4}+y^{4}-2x^{2}$ . Отыщем критические точки согласно необходимому условию:

$\begin{cases} \frac { \partial f }{ \partial x } (x,y)=4x^{ 3 }-4x=0, \\ \frac { \partial f }{ \partial x } (x,y)=4y^{ 3 }=0; \end{cases}$

Решаяя систему, получаем точки: $(-1,0),(0,0),(1,0)$ . Поскольку смешанные производные существуют и непрерывны и

$\frac { \partial f^{ 2 } }{ \partial x^{ 2 } } (x,y)=12x^{ 2 }-4, \frac { \partial f^{ 2 } }{ \partial y\partial x } (x,y)=0, \frac { \partial f^{ 2 } }{ \partial y^{ 2 } } (x,y)=12y^{ 2 }$

матрица Гессе имеет вид

${ H }_{ f }(x,y)=\begin{Vmatrix} 12x^{ 2 }-4 & 0 \\ 0 & 12y^{ 2 } \end{Vmatrix}$

Используя критерий Сильвестра, убедитесь, что в указанных трёх точках квадратичная форма полуопределена. Несмотря на то, что достаточный критерий экстремума в терминах квадратичного приближения неприменим, из записи функции в виде $f(x,y)=(x^{2}-1)^{2}+y^{4}-1$ очевидно, что в точках $(\pm 1, 0)$ функция (симметричная и монотонно возрастающая по обеим переменным) имеет строгий локальный минимум, а в точке $(0, 0)$ не имеет экстремума вовсе.
Нижеприведенное изображение наглядно демонстрирует правильность выводов. Нормалями к поверхности обозначены стационарные точки.

[свернуть]

Замечание 2

Функция может принимать экстремальные значения в граничных точках области определения. Вышеприведенное достаточное условие для их выявления использовать не рекомендуется, следует обратиться к аппарату теории условного экстремума.

Пример (Демидович, №3629)

Исследовать на локальный экстремум функцию

$z = x y \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}} \quad (a > 0, \quad b > 0)$

Спойлер

Вычислим первые частные производные. Решением нижеприведенной системы

$z^{ ‘ }_{ x }=\frac { y\left( 1-\frac { 2x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right) }{ \sqrt { 1-\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } } }, \quad z^{ ‘ }_{ y }=\frac { y\left( 1-\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 2y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right) }{ \sqrt { 1-\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } } }$

находим стационарные точки

$(0,0),\quad \left( \frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right) ,\quad \left( -\frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right) ,\quad \left( \frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,-\frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right) ,\quad \left( -\frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,-\frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right)$

Отметим, что в точках, лежащих на границе эллипса $1=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ частные производные не существуют, следовательно, их следует отдельно проверить на экстремум, что выходит за рамки аппарата данной статьи.

Для проверки достаточных условий выпишем вторые производные

$z^{ » }_{ x^{ 2 } }=\frac { -\frac { xy }{ a^{ 2 } } \left( 1-\frac { 2x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 3y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right)}{ \left(1-\frac { 2x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 3y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right)^{\frac{3}{2}} }, \quad z^{ » }_{ y^{ 2 } }=\frac { -\frac { xy }{ b^{ 2 } } \left( 1-\frac { 3x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 2y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right) }{ \left( 1-\frac { 2x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 3y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right) ^{ \frac { 3 }{ 2 } } }, \\ z^{ » }_{ xy }=\frac { 1+\frac { 2x^{ 4 } }{ a^{ 4 } } +\frac { 3x^{ 2 }y^{ 2 } }{ a^{ 2 }b^{ 2 } } +\frac { 2y^{ 4 } }{ b^{ 4 } } -\frac { 3x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 3y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } }{ \left( 1-\frac { 2x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 3y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right) ^{ \frac { 3 }{ 2 } } }$

Точка $(0,0)$ не является точкой условного экстремума
$\mathbf{ H }_{ z }(0,0)=\begin{Vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{Vmatrix},\quad \Delta_{1}=0,\quad \Delta_{2}=-1$
Заметим, что функция $z(x,y)$ чётна, а также $z \left( \frac { -a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right) = z \left( \frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { -b }{ \sqrt { 3 } } \right)$ .

Точки $(\pm \frac { a }{ \sqrt { 3 } }, \pm \frac { b }{ \sqrt { 3 } })$ являются точками условного экстремума

${ H }_{ z }(\frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { b }{ \sqrt { 3 } } )=\begin{Vmatrix} -\frac { 4b }{ \sqrt { 3 } a } & -\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \\ -\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } & -\frac { 4a }{ \sqrt{3}b} \end{Vmatrix},\quad \Delta _{ 1 }=-\frac { 4b }{ \sqrt { 3 } a } 0$ ${ H }_{ z }(\frac { -a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { b }{ \sqrt { 3 } } )=\left( \begin{array}{cc} \frac { 4b }{ \sqrt { 3 } a } & -\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \\ -\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } & \frac { 4a }{ \sqrt { 3 } b } \end{array} \right) ,\Delta _{ 1 }=\frac { 4b }{ \sqrt { 3 } a } >0, \quad \Delta _{ 1 }=\frac { 16 }{ 3 } — \frac{4}{3} = 4 > 0$

Соответственно, $\left(\pm \frac {a}{ \sqrt { 3 } } , \pm \frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right)$ — точки минимума, $\left(\pm \frac {a}{ \sqrt { 3 } } , \mp \frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right)$ — точки максимума.

Пример: $a = b = 2$

[свернуть]

Источники:

Зорич В.А., Математический анализ, ФАЗИС, 1997, стр. 454-461
Демидович Б.П., Сборник заданий и упражнений по математическому анализу, издание 13, исправленное, Издательство Московского Университета, Издательство ЧеРо, 1997
Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2014-2015 гг., семестр 2

Закрепление материала.

Таблица лучших: Достаточные условия экстремума функции многих переменных

максимум из 23 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Примеры решения задач

Литература

Непрерывные функции

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Примеры решения задач

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Таблица лучших: Локальные экстремумы функций многих переменных

Литература:

См. Также:

Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Список литературы

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Геометрический смысл

Список литературы

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Определение

Определение

Определение

Утверждение

Достаточное условие экстремума в терминах частных производных

Замечание 1

Замечание 2

Пример (Демидович, №3629)

Источники:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

5.

Подсказка

Таблица лучших: Достаточные условия экстремума функции многих переменных