Преобразование Фурье (прямое и обратное)

1. Понятие преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье. Пусть $f(x)$ есть комплекснозначная функция действительного переменного. Тогда преобразование Фурье функции $f(x)$ ( оно обозначается через $F[f]$ или $\hat{f}$) определяется формулой
$$\hat{f}(y)=F[f]=v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-iyx}dx\,(1)$$
Обратное преобразование Фурье(обозначается через $F^{-1}[f]$ или $\tilde{f}$) определяется формулой
$$\tilde{f}(y)=F^{-1}[f]=v.p.\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx\,(2)$$
Предполагается, что интегралы (1) и (2) существуют. Если функция $f(x)$ абсолютно интегрируема, то несобственные интегралы $$\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-iyx}dx$$$$\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx$$ существуют и совпадают с соответствующими интегралами в смысле главного значения. Поэтому для абсолютно интегрируемых функций преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье определяется как следующие несобственные интегралы:
$$F[f]=\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-iyx}dx$$
$$F^{-1}[f]=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx$$

2. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых на $\mathbb{R}$ функций.

Лемма 1. Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на $\mathbb{R}$ функции есть ограниченная и непрерывная на $\mathbb{R}$ функция.

Так как функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на $\mathbb{R}$, то
$$\left|\hat{f}(y)\right|=\left|\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx \right| \leq\intop_{-\infty}^{+\infty} \left| f(x)\right|dx= C_{0}$$ Cледовательно, $\hat{f}(y)$ есть ограниченная функция на $\mathbb{R}$. Для доказательства непрерывности функции $\hat{f}(y)$ запишем её в виде

$$\hat{f}(y)=\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cos{(yx)}dx$$ $$-i\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)\sin{(yx)}dx=$$ $$a(y)-ib(y)$$

и заметим, что, в силу леммы, функции $a(y)$ и $b(y)$ непрерывны на $\mathbb{R}$.

Теорема 1. Если функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на $\mathbb{R}$ и имеет в каждой точке конечную производную $f'(x)$, то справедливы формулы обращения

$$F^{-1}\left[F\left[f\right]\right]=f,$$ $$F\left[F^{-1}\left[f\right]\right]=f \,(5)$$

Так как выполнены условия теоремы, то справедливо равенство

$$f(x)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}dy \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{(y(x-t))}dt=$$

$$=\intop_{-\infty}^{+\infty}(a(y)cos{(yx)}+b(y)\sin{(yx)}dy$$

а следовательно, и равенства (4) и (5), которые, применяя обозначения (1) и (2), можно записать в виде (5).

Преобразование Фурье

Проверьте свои знания.

 

Литература

 

Сторона и ориентация поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Край поверхности.

Определим понятие стороны поверхности. Выберем на гладкой поверхности (замкнутой или ограниченной гладким контуром) точку M_{0} и проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке M_{0}. Рассмотрим точку M, обходящую этот контур, и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке M_{0} в первоначальное положение при любом выборе точки M_{0} на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противоположное, поверхность называется односторонней. Поверхность может быть задана уравнением F\left ( x,y,z \right ) = 0, не разрешенным относительно ни одной из переменных (неявное задание). При этом поверхность представляет собой множество всех точек. Например, уравнение x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2} = 0 задает сферу радиуса R с центром в начале координат. Наконец, поверхность может быть задана параметрически: $$x = \varphi \left ( u,v \right ), y = \psi \left ( u,v \right ), z = \chi \left ( u,v \right ), \forall \left ( u,v \right )\in g,$$ где \psi ,\chi ,\varphi− непрерывные функции в области g. Переменные $u$ и $v$ называются параметрами.
На рисунке ниже изображен вектор нормали к поверхности $A$.
188

Определение

Совокупность всех точек поверхности с одинаковым направлением нормали называется стороной поверхности.

Дальше введем понятие ориентации поверхности. Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность S, ограниченную контуром L, и выберем одну сторону этой поверхности.

Определение

Назовем положительным направление обхода контура L, при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверхности S, соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем отрицательным.

Определение

... показать

Список литературы

Небольшая викторина

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Перед прочтением данной статьи желательно ознакомиться с темой Определение криволинейных интегралов второго рода и их свойства. Физический смысл

Вычисление криволинейных интегралов II рода

Если $\Gamma$ — кусочно гладкая кривая заданная уравнением $r=r(t)$ $(\alpha\leq t\leq\beta)$, а функции ${\varphi }_{i}$ $(i=1,…,n)$ непрерывные вдоль кривой $\Gamma$, то существует криволинейный интеграл II рода $\int\limits_{\Gamma}^{}(F,\,dr)$ и справедливо равенство:
$$\int\limits_{\Gamma}(F,\,dr)=$$ $$=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sum\limits_{i=1}^{n}{\varphi}_{i}({x}_{1}(t),\ldots,{x}_{n}(t)){x’}_{i}(t)\,dt.$$

Примеры

  1. Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx-x\,dy)$, где $\Gamma$ — дуга окружности $x^2+y^2=1$, которая начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$.
    Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=\cos t, y=\sin t$ $(0\leq t\leq\frac{\pi}{2})$. Отсюда,

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx-x\,dy)=$$ $$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\sin t(-\sin t)-\cos t\cdot \cos t\right]\,dt=$$ $$=-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,dt=-t \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=$$ $$=-\left( \frac{\pi}{2}-0 \right)=-\frac{\pi}{2}.$$

  2. Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(ydx-xdy)$, где $\Gamma$ — отрезок, который начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$.
    Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=1-t, y=t$ $(0\leq t\leq1)$. Отсюда,

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}\left(y\,dx-x\,dy\right)=$$ $$=\int\limits_{0}^{1}[t(-1)-(1-t)\cdot 1]\,dt=$$ $$=-\int\limits_{0}^{1}\,dt=-t \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-(1-0)=-1.$$

  3. Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx+x\,dy)$, где $\Gamma$ — дуга окружности $x^2+y^2=1$, которая начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$.
    Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=\cos t, y=\sin t$ $(0\leq t\leq\frac{\pi}{2})$. Отсюда,

    $$\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx+x\,dy)=$$ $$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\sin t(-\sin t)+\cos t\cdot \cos t]\,dt=$$ $$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[{cos}^{2}t-{sin}^{2}t]\,dt =\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos 2t\,dt=$$ $$=\frac{\sin 2t}{2} \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\sin \pi}{2}-\frac{\sin 0}{2}=0.$$

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Чтобы убедиться в том что вы усвоили данный материал советую пройти этот тест.


Таблица лучших: Вычисление криволинейных интегралов второго рода

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Представление функции интегралом Фурье

Интеграл Фурье как разложение в сумму гармоник

Интегральную формулу Фурье можно переписать следующим образом:
$$f\left(x\right)=\intop _{ 0 }^{ +\infty }{ \left[ a\left(\lambda \right)\cos { \lambda x } +b\left(\lambda \right)\sin { \lambda x } \right] d\lambda },\quad\left(\ast\right)$$ где
$$a\left(\lambda \right)=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { \lambda \xi } d\xi } ,$$ $$b\left(\lambda \right)=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\sin { \lambda \xi } d\xi }.$$
Равенство $\left( \ast \right)$ аналогично разложению функции в тригонометрический ряд Фурье, а выражения $a\left(\lambda \right), b\left(\lambda \right)$ аналогичны формулам для коэффициентов Фурье.

Замечание. Для удобства дальнейших вычислений формула $\left(\ast\right)$ может быть упрощена, а именно:

  • Если $f\left(x\right)$ — чётная функция, то $$a\left(\lambda \right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\cos { \lambda \xi } d\xi } ,$$ а $b\left(\lambda \right)$ принимает значение $0.$ Тогда формулу $\left(\ast\right)$ можно записать в виде $$f\left(x\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \cos { \lambda x } d\lambda } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\cos { \lambda \xi } d\xi }.$$ Это выражение называется косинус-формулой Фурье.
  • Для нечётной $f\left(x\right)$ получаем соответственно, что $a\left(\lambda\right)$ обращается в нуль, а $$b\left(\lambda\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\sin { \lambda \xi } d\xi },$$ поэтому исходная формула приобретает вид $$f\left(x\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \sin { \lambda x } d\lambda } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\sin { \lambda \xi } d\xi }.$$ Таким образом, мы получили синус-формулу Фурье.

Замечание. Интегральная формула Фурье имеет эквивалентную ей комплексную формулу интеграла Фурье $$f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2\pi } \int\limits _{ -\infty }^{ +\infty }{ d\lambda } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left( \xi \right) { e }^{ i\lambda \left( x-\xi \right) }d\xi } .$$

Пример

Представить следующую функцию интегралом Фурье: $$f\left(x\right)=\begin{cases} 1,\quad если \quad \left| x \right| < 1; \\ 0,\quad если \quad \left| x \right| > 1. \end{cases}$$

Решение показать

Литература

Тестирование. Представление функции интегралом Фурье

Тесты помогут понять насколько хорошо был усвоен материал.

Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Для равномерной сходимости несобственного интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ необходимо и достаточно выполнение условия Коши. А именно: $\forall \varepsilon > 0 \, \exists \eta < b$ такое, что $\forall \eta^\prime,\eta^{\prime\prime} \epsilon (\eta,b)$ и $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon.$$

Доказательство

Необходимость

Пусть интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ равномерно сходится по параметру $y$ $\epsilon$ $Y$. Из определения получаем, что $\forall\varepsilon > 0$ найдется такое $\eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ , что $\forall \eta^\prime$ $\epsilon$ $[b,\eta)$ и для всех $y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство
$$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx \right| < \frac{\varepsilon}{2}.$$ При $\eta^\prime , \eta^{\prime\prime}$ $\epsilon$ $[\eta,b)$, $y$ $\epsilon$ $Y$ получим такое неравенство $$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| = \left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx — \int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq $$ $$\leq \left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx\right| + \left|\int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon,$$ а значит, что условие Коши выполнено.

Достаточность

Положим, что условие Коши выполняется. А это означает, что в силу критерия Коши несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится $\forall y$ $\epsilon$ $Y$. Докажем равномерную сходимость на $Y$. Рассмотрим неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon,$$ в котором устремим $\eta^{\prime\prime}$ к $b$, при этом $\eta^{\prime\prime} < b$. В результате для любого $\eta^{\prime} > \eta$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ получаем следующее: $$\left|\int\limits_{\eta^{\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq\varepsilon,$$ что и означает равномерную сходимость интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ на $Y$. $\Box$

Пример

Проверить интеграл на равномерную сходимость.

$$\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-yx^{2}}dx$$

Решение показать

Список литературы

Тест

Практические задания из данного теста были позаимствованы из сборника задач и упражнений по математическому анализу Б.П. Демидовича.

Рекомендую проверить насколько хорошо усвоен материал, пройдя следующий тест.

Таблица лучших: Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных