Автор: Нохум-Даниэль Блиндер

Теорема. Пусть $(X,\tau)$ — произвольное топологическое пространство. Тогда  система всех его замкнутых множеств имеет такие свойства:

1. Множества $X$ и $\varnothing$ будут замкнутыми;
2. Произвольная система замкнутых множеств в пересечении дает замкнутое множество;
3. Произвольная конечная система замкнутых множеств в объединении дает замкнутое множество;

Доказательство

1. Обозначим через $(X,\tau)$ произвольное топологическое пространство. В таком случае, $X$ и $\varnothing$ являются замкнутыми множествами (в то же время и открытыми по 3-ей аксиоме топологического пространства), так как $X\setminus\varnothing=X$ — открытое множество и $X\setminus X=\varnothing$ — также открытое множество.
2. Обозначим через $\left\{ F_{\alpha} \right\}$ систему замкнутых множеств. Следовательно, с учетом того факта, что замкнутое множество есть дополнение открытого, получаем $\bigcap_{\alpha} F_{\alpha} = \bigcap_{\alpha}(X \setminus G_{\alpha}) = X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}$, так как. объединение открытых множеств есть множество открытое, а его дополнение — замкнуто, то множество $X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}$ — замкнуто.
3. Аналогично попробуем найти объединение конечной системы замкнутых множеств: $\bigcup_{n=1}^{k} F_{n} = \bigcup_{n=1}^{k}(X \setminus G_{n}) = X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n}$ , так как пересечение конечного числа открытых множеств $G_k$ будет открытым множество, то $X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n}$ — замкнуто.

Вышеперечисленные свойства систем замкнутых множеств, однозначно их характеризуют, поэтому не исключается подход, при котором эти свойства принимаются за систему аксиом, определяющих топологическое пространства. Следовательно, имеет место следующая
Теорема. Если $X$ — произвольное множество и $\lambda$ семейство его подмножеств, обладающее следующими свойствами:

1. $X, \varnothing \in \lambda$
2. Пересечение множеств любой подсистемы в $\lambda$ принадлежит $\lambda$
3. Объединение множеств любой конечной подсистемы в $\lambda$ принадлежит $\lambda$

Предположим, что $\upsilon$ — семейство дополнений всех различных множеств из $\lambda$. В таком случае $\upsilon$ будет топологией на $X$, а $\lambda$ — системой замкнутых множеств топологического пространства $(X,\upsilon)$.

Литература:

• Александров А. Д., Нецветаев Н.Ю.; Геометрия: Учебное пособие — изд. «Наука», гл. ред. физ.-мат. лит., 1990 (с.474-478)
• В. Н. Худенко: учебно-методические комплексы Балтийского федерального университета им. И. Канта, «Топология», глава 3
• Конспект лекций З.М. Лысенко.

Свойства замкнутых множеств

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Свойства замкнутых множеств»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 3

   Что из этого верно (ВНИМАНИЕ: возможны несколько правильных ответов)

   • Пересечение любого количества замкнутых множеств замкнуто.
   • Пересечение любого количества замкнутых множеств открыто.
   • Объединение конечного числа замкнутых множеств открыто.
   • Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 3

   Топологическое пространство — это…?

   • Компакт
   • Шар
   • Множество
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 4

   Заполните пропуски.

   • Топологическое пространство — (множество) с выделенной системой его подмножеств, называемых открытыми, удовлетворяющих определенным аксиомам. Систему выделенных подмножеств также называют (топологией), а соответствующие подмножества - (открытыми) в данной топологии.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5

   Что определяют свойства системы замкнутых множеств как система аксиом?
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 5

   Заполните пропуск.

   • Дополнение к замкнутому множеству - (открытое) множество.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Пусть множество $E \subset \mathbb{R}^n$. Тогда множество всех точек $x \in \mathbb{R}^n$, не принадлежащих множеству $E$, называется дополнением множества $E$ и обозначается $cE$ или $E^c$.

Теорема. Для того чтобы множество $E \subset \mathbb{R}^n$ было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение $G \equiv cF$ было открытым. Доказательство.
Необходимость. Пусть $E$ замкнуто и $x$ – произвольная точка из $G$. Докажем, что она будет внутренней в $G$. Поскольку $x \notin E$, то она не будет предельной точкой для $E$ и найдется такая ее окрестность $U_x$, которая не содержит ни одной точки из $E$. Следовательно, эта окрестность полностью содержится в $G$, так что $x$ – внутренняя точка множества $G$.
Достаточность. Предположим теперь, что $G$ – открыто. Докажем тогда, что $E$ замкнуто. Для этого достаточно показать, что любая точка $x$, которая не принадлежит $E$, не будет предельной для $E$. Если $x \notin E$, то $x \in G$, а так как $G$ открыто, следовательно найдется окрестность $U_x \subset G$. Она не будет содержать точек из $E$, так что $x$ не является предельной для $E$, ч. т. д.

Отношение двойственности. Пусть $\left\{ E_{\alpha} \right\}$ – произвольное семейство множеств. Тогда дополнение к объединению множеств $E_{\alpha}$ равно пересечению дополнений множеств $E_{\alpha}$, а дополнение к пересечению равно объединению дополнений, т. е. $c(\bigcup E_{\alpha}) = \bigcap(cE_{\alpha}), c(\bigcap E_{\alpha}) = \bigcup(cE_{\alpha})$.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.236)
• Учебно-методические ресурсы Петрозаводского государственного университета, курс матанализа, часть 4, глава 7 «Функции многих переменных»
• Конспект лекций З.М. Лысенко.

ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Назовем точку $x_0$ предельной точкой множества $E$, если в произвольной окрестности точки $x_0$ существует хотя бы одна точка из $E$, отличная от $x_0$.
Предложение. Если $x_0$ – предельная точка множества $E$, то в произвольной ее окрестности содержится бесконечное множество точек из $E$. Доказательство. Обозначим через $U$ произвольную окрестность $x_0$. Предположим, что в этой окрестности содержится лишь конечное число точек множества $E$, отличных от $x_0$. Тогда среди них найдется точка $x_1$, ближайшая к $x_0$. Но тогда в шаре радиуса $\left| x_1-x_0 \right| > 0$ с центром в $x_0$ нет ни одной точки из $E$, отличной от $x_0$, а это невозможно, поскольку $x_0$ – предельная точка множества $E$.

Пример. Пусть $B_0 = \left \{ x : \left | x \right | < 1 \right \}$ – единичный шар. Очевидно, что любая точка этого шара является для него предельной. Если же $x_1$ находится на сфере, т. е. $\left| x_1 \right| = 1$, то она не принадлежит шару, но является предельной для шара. Действительно, пусть $B(x_1,\rho)$ — произвольная окрестность точки $x_1$. Тогда все точки вида $y = tx_1 (1-\rho < t < 1)$ принадлежат $B_0$ и содержатся в $B(x_1,\rho)$. Следовательно, $x_1$ является предельной для шара $B_0$ по определению.

Рассмотрим теперь точку $x_2$, такую, что $\left| x_2 \right| > 1$. Докажем, что она не будет предельной для $B_0$. Действительно, предположим, что $\rho = \left| x_2 \right| -1 > 0$. Тогда в $B(x_2,\rho)$ нет ни одной точки из $B_0$. Это легко можно показать, используя неравенство треугольника. Поэтому точка $x_2$ не является предельной для множества $B_0$.

Таким образом, можно видеть, что предельные точки множества могут как содержаться, так и не содержаться в нем.

Определение.Множество $E$ называется замкнутым, если все его предельные точки содержатся в нем.

Условимся считать пустое множество $\varnothing$ замкнутым. Пространство $\mathbb{R}^n$, очевидно, является замкнутым по определению.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.234-235)
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 1 1964 г.(с. 351-352)
• Конспект лекций З.М. Лысенко.

Замкнутые множества

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Замкнутые множества»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 3

   Если в любой окрестности точки $x_0$ найдется хотя бы одна точка множества $E$, отличная от $x_0$, то такая точка называется…?

   • центром множества
   • предельной точкой множества
   • краем множества
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 3

   Что из нижеуказанного верно

   • Множество обязательно содержит все свои предельные точки
   • Множество не содержит ни одной своей предельной точки
   • Замкнутое множество не содержит ни одной своей предельной точки
   • Замкнутое множество содержит все свои предельные точки
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 4

   Расположите в правильно порядке шаги доказательства свойства предельных точек (Если $x_0$ – предельная точка множества $E$, то в любой ее окрестности содержится бесконечно много точек множества $E$.)

   • В произвольной окрестности точки x содержится лишь конечное число точек множества, отличных от x
   • Найдется точка y, ближайшая к x.
   • Тогда в шаре радиуса |y-x| > 0 с центром в точке x нет ни одной точки из множества, отличной от x
   • Невозможно, поскольку x – предельная точка множества
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5

   Множество $E$ называется замкнутым, если оно
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 5

   Замкнуто ли пустое множество и если да, то почему (ответить через запятую).
   Правильно
   

   Неправильно
   

Точки $(x, y)$ удовлетворяющие $x^2 + y^2 = r^2$ окрашены синим. Точки $(x, y)$ удовлетворяющие $x^2 + y^2 < r^2$ окрашены красным. Красные точки образует открытое множество. Объединение красных и синих точек есть замкнутое множество.

Пример 1. Любой открытый шар $B(x_0,r)$ является открытым множеством.
Пусть $x \in B(x_0,r)$. Докажем, что найдется окрестность $x$, которая целиком содержится в $B(x_0,r)$. Предположим, что $\rho = r — \left|x — x_0 \right|$. Тогда $\rho > 0$, так как $\left|x — x_0 \right| < r$. Покажем, что $B(x,\rho) \subset B(x_0,r)$. Пусть $y \in B(x,\rho)$. Тогда $\left|y — x \right| < \rho$. Оценим расстояние между $y$ и $x_0$. По неравенству треугольника имеем

$\left| y — x_0 \right| \leq \left| y — x \right| + \left| x — x_0 \right| < \rho + \left| x — x_0 \right| = r$,

что и требовалось доказать.

В частности, при $n = 1$ открытые шары – это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.
Пример 2. Для двух векторов $a,b \in \mathbb{R}^n$, таких, что $a^i < b^i (i = 1…,n)$, открытым интервалом называется множество всех точек $x$, координаты которых удовлетворяют условиям $a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)$. Такой интервал обозначается через $(a^1,b^1;…;a^n,b^n)$.В частности, в $\mathbb{R}^2$ открытые интервалы – это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в $\mathbb{R}^3$ – параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в $\mathbb{R}^n$ является открытым множеством.

Пусть $J$ – открытый интервал и пусть $x \in J$, т. е. $a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)$. Обозначим через $\delta^i = min(x^i — a^i,b^i — x^i) (i = 1,…,n)$ и $\delta = min(\delta^1,…,\delta^n)$. Покажем, что $B(x,\delta)$ содержится в $J$. Действительно, если $y \in B(x,\delta)$, то $|y-x| < \delta$. Отсюда следует, что $|x^i -y^i| < \delta$ для всех $i = 1,…,n$. Пользуясь определением числа $\delta$, легко показать, что $a^i < y^i < bi$ для всех $i = 1,…,n$, так что $y \in J$.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.232)
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 1 1964 г.(с. 350-351)
• Конспект лекций З.М. Лысенко.

ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Множество всех точек $x$пространства $mathbb{R}^n$, таких, что $| x- x_0| < rho, rho > 0$, называется открытым шаром с центром в точке $x_0$ и радиусом $rho$. Этот шар также называется $rho$-окрестностью точки $x_0$ и обозначается $B(x_0,rho)$.

Определение. Зададим подмножество $E$ пространства $mathbb{R}^n$. Точка $x_0$ множества $E$ называется внутренней точкой множества, если существует $B(x_0,rho)$, содержащийся в $E$. Иными словами, $x_0$ является внутренней точкой множества $E$, если она входит в $E$ вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество $E subset mathbb{R}^n$ называется открытым, если любая его точка будет внутренней в $E$. Условимся также считать пустое множество $varnothing$ открытым.

СВОЙСТВА ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ

Обозначим через $A$ множество индексов, и каждому элементу $alpha in A$ поставим в соответствие множество $E_{alpha}$. Тогда $left{E_{alpha}right}_{alpha in A}$ называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве $mathbb{R}^n$ обладают такими свойствами:

1. Пустое множество $varnothing$ и всё пространство $mathbb{R}^n$ открыты;
2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
3. Объединение всякого семейства $left{G_{alpha}right}_{alpha in A}$ открытых множеств также открыто

Доказательство.

1. Пустое множество $varnothing$ является открытым по определению, а пространство $mathbb{R}^n$, очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в $mathbb{R}^n$.
2. Пусть $E_1,…,E_n$ – открытые множества,$E = bigcap_{i=1}^{n}$. Предположи, что $x in E$. Тогда $x in E_i$ для любого $i=1,…,n$. Но все множества $E_i$ являются открытыми, так что для любого $i=1,…,n$ найдется открытый шар $B(x,rho_i) subset E_i$. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом $B(x,rho)$, где $r=min(rho_1,…,rho_n)$. Тогда $E(x,rho) subset E_i$ при каждом $i=1,…,n$, а значит, $B(x,rho) subset E$, и тем самым доказано, что множество $E$ открыто.
3. Пусть $E=bigcup_{alpha in A}E_{alpha}$, где все множества $E_{alpha}$ открыты. Докажем, что множество $E$ также открыто. Предположим, что $x in E$. Тогда $x$ принадлежит хотя бы одному из множеств $E_{alpha_0}$. Так как это множество $E_{alpha_0}$ открыто, то найдется окрестность $B(x,rho) subset E_{alpha_0} subset E$. Таким образом, $E$ – открытое множество.

$square$

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть $B_k$ – открытый шар с центром в нуле и радиусом $frac{1}{k}(k=1,2,…)$. Тогда $bigcap_{k=1}^{infty}B_k = left{0right}$. Но множество $left{0right}$, состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.231-233)
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 1 1964 г.(с. 348-350)
• Конспект лекций  З.М. Лысенко

Открытые множества и их свойства

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 3

   
   Что из этого НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО является открытым множеством

   • пересечение бесконечного набора открытых множеств
   • объединение бесконечного набора открытых множеств
   • пустое множество
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 3

   Как называется множество всех точек $x \in \mathbb{R}^n$, таких, что $|x| < \rho$

   • Закрытым шаром радиуса $$\rho$$ с центром в точке $$x_0$$
   • Открытым шаром радиуса $$\rho$$ с центром в точке $$0$$
   • Закрытым шаром радиуса $$\rho$$ с центром в точке $$0$$
   • Открытым шаром радиуса $$\rho$$ с центром в точке $$x_0 [$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 4

   
   Заполните пропуск

   • Точка &&x_0 \in E&& называется (внутренней точкой множества), если существует шар &&B(x_0,\rho)&&, содержащийся в нем.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5

   Множество называется открытым, если…?
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 5

   шар $B(x_0,r)$ также называется…
   Правильно
   

   Неправильно