Коммутативное кольцоP , в котором есть единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.
Так как любое поле является кольцом, следовательно операции сложения и умножения являются бинарными алгебраическими операциями, им присущи данные свойства:
Всюду определенность;
Однозначность;
Замкнутость;
Также эти операции из-за того что это поле будут иметь следующие свойства:
Для любых $ a$, $ b$, $ c$ относительно операции $ +$ выполняются следующие свойства:
Выполните тест и проверьте хорошо ли Вы усвоили материал.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Является ли оператор \(D:P_{n}[x]\rightarrow P_{n-1}[x]\)линейным?
\(X=P_n[x]\), \(Y=P_{n-1}[x]\)
Задание 2 из 3
2.
Какие из операторов являются линейными?
Задание 3 из 3
3.
Найти значение выражения: \(Ax+BCx\), при \(A\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, x_{1}-x_{2}\right)\), \(B\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{2},x_{1}\right)\), \(c\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{2}+x_{1},0\right)\).
\((x_{1}\)запишите в виде x1, аналогично с \(x_{2}\) )
Пусть $A$ — линейный оператор из $\Omega\left(X,Y\right)$, $\lambda\in\mathbb{P}$.
Тогда произведением $\lambda A$ называется отображение $C:X\rightarrow Y$
$\forall x\in X$ $Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right)$.
Произведение линейных операторов
Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ и из $\Omega\left(Y,Z\right)$
$X$, $Y$, $Z$ — линейные пространства над полем $\mathbb{P}$.
Оператор $BA:X\rightarrow Z$, определяемый соотношением $BAx=B\left(Ax\right)$ $\forall x\in X$,
называется произведением операторов $A$ и $B$.
Линейные операторы
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 3 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
Информация
Пройдите тест, чтоб узнать насколько хорошо Вы усвоили материал.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 1
Заполните пропуски в определении:
Пусть \(\left(X,P\right)\), \(\left(Y,P\right)\) — линейные пространства.
Если \(\forall a,b\in X\) \(\forall\alpha,\beta\in P\) \(A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b\), то чем является \(A:X\rightarrow Y\)?
(линейным оператором)
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 1
Указать в заданном порядке, что называется суммой операторов, их произведением, произведением оператора на скаляр:
Нам известна теорема о том, что если два вектора $latex a,b$ заданы своими декартовыми прямоугольными координатами, то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат.
Воспользуемся ей. Получим:
Нам известно, что по определению скалярного произведения $latex (a,b)= |a|\cdot |b| \cos\angle (a,b)\Rightarrow \cos\angle (a,b)= \frac{(a,b)}{|a|\cdot |b|}$
Воспользовавшись тем, что $latex |a|=\sqrt{x_{1}^2+x_{2}^2+…+x_{n}^2}$, а также предыдущей формулой и метод нахождения скалярного произведения из первой задачи, получаем:
[latex] U_n[/latex] — циклическая группа корней [latex] n[/latex]-й степени из единицы. Образующий элемент группы [latex] U_n[/latex] называется первообразным корнем [latex] n[/latex]-й степени из единицы.
Теорема 1 (Первый критерий первообразности)
Корень [latex] n[/latex]-й степени из единицы будет первообразным корнем [latex] n[/latex]-й степени из единицы [latex] \Leftrightarrow[/latex] не является корнем из единицы никакой степени [latex] <n[/latex].
Доказательство
Необходимость:
[latex] E[/latex] – первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы .
[latex] \forall m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m \ne 1[/latex];
[latex] U_n=[/latex] [latex]\{1, E, E^2, …, E^{n-1}\}[/latex].
От противного. Пусть [latex] E^m= 1[/latex], [latex] m < n[/latex], тогда [latex] E[/latex] образует группу [latex] {U}'_n[/latex] (или [latex] U_m[/latex]) = [latex]\{1, E, E^2, …, E^{m-1}, E^m\}[/latex] = [latex]\{1, E, E^2, …, E^{m-1}\}[/latex], где [latex] E^m= 1[/latex] и [latex] {U}'_n= m[/latex], но [latex] m < n \Rightarrow [/latex] [latex] {U}'_n \ne U_n \Rightarrow [/latex] [latex] E[/latex]- не образующий элемент [latex] U_n[/latex]. Получаем, что [latex] \forall m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m \ne 1[/latex].
Достаточность:
[latex] \forall m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m \ne 1 \Rightarrow [/latex]
[latex] E[/latex] — первообразный корень из единицы степени [latex]n[/latex].
От противного. Пусть [latex] E[/latex]-не является первообразным корнем [latex] n[/latex]-й степени из единицы [latex] \Rightarrow E [/latex] не образует группу [latex] U_n \Rightarrow [/latex]
[latex] U^E_n= {E^0, E^1, E^2,…< E^{n-1} } \ne U_n \Rightarrow U^E_n \in U_n \Rightarrow \exists k, 1 \leqslant k \leqslant n-1,[/latex] что [latex] E^{k-1}=1[/latex], но [latex] 0 \leqslant k+1 < n-1 [/latex], [latex] m= k-1 \Rightarrow[/latex] [latex] \exists m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m = 1 \Rightarrow [/latex] [latex] E[/latex] – первообразный корень степени [latex] n[/latex] из [latex] 1[/latex].
Лемма
Если [latex] E[/latex] — первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы, то
[latex] E^m= 1 \Leftrightarrow m \vdots n[/latex].
Доказательство
Необходимость:
Найдём [latex] m= nq+r[/latex], [latex] 0 \leq r \leq n-1[/latex];
[latex] 1= E^m= E^{nq+n}= E^{nr}E^r= (E^n)^qE^r= 1^qE^r= E^r[/latex].
Если [latex] r \in \mathbb{N}[/latex], то получим противоречие с первым критерием [latex] r=0 \Rightarrow m \vdots n[/latex].
Достаточность: [latex] m \vdots n \Rightarrow m=nq[/latex];
[latex] E^m= E^{nq}= (E^n)^q= 1^q=1[/latex].
Теорема 2 (Второй критерий первообразности)
Пусть [latex] E [/latex] — первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы, тогда [latex] E^k (k \in \mathbb{N})[/latex] является первообразным корнем степени [latex] n[/latex] из единицы [latex] \Leftrightarrow (n,k)=1[/latex].
Доказательство
[latex](n,k)= d[/latex]; [latex] n= n,d[/latex]; [latex] k= k,d[/latex]; [latex](n_1, k_1)=1[/latex].
Необходимость: [latex] E[/latex], [latex] E^n[/latex] — корни степени [latex] n[/latex] из единицы.
[latex] (n,k)=1 [/latex]
От противного. [latex] (n,k)=d > 1 \Rightarrow n_1 < n [/latex];
[latex](E^k)^{n_1} = (E^{k_1d})^{n_1}= E^{k_1dn_1}= E^{k_1(nd_1)}= E^{k_1n}= (E^n)^{k_1}= 1^{k_1}=1 \Rightarrow d=1[/latex] противоречие.
Достаточность: [latex] E [/latex] — первообразный корень степени [latex] n [/latex] из единицы;
[latex] (n,k)=1 [/latex];
[latex] E^k [/latex] — первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы.
От противного. Пусть [latex] E^k [/latex] – не является первообразным корнем степени [latex] n[/latex] из единицы, тогда по первому критерию первообразности: [latex] \exists m \in N[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex](E^k)^m= 1[/latex];
[latex] E^{km}=1 \Rightarrow [/latex] по лемме [latex] km \vdots n \Rightarrow m \vdots n [/latex], но [latex] m < n [/latex] – противоречие.
ПРИМЕРЫ
Найти все первообразные корни группы [latex]U_{12}[/latex], пользуясь вторым критерием первообразности.
Спойлер
Определяем с какими индексами будут корни и потом по формуле [latex](E_k= \cos\frac{2\pi k}{n} + i \sin \frac{2\pi k}{n})[/latex] находим эти самые первообразные корни.
[latex]U_{12}[/latex], [latex] (k, 12) = 1[/latex], [latex] k= 1, 5, 7, 11[/latex];
[latex]E_1, E_5, E_7, E_{11}[/latex]
[latex] E_1= \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}[/latex];
[latex] E_5= \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}[/latex];
[latex] E_7= \cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}[/latex];
[latex] E_{11}= \cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}[/latex];
[свернуть]
Даны корни из единицы [latex]E_1 = i[/latex], [latex] E_3 = -i[/latex]. Построить группу [latex] U_4[/latex].
Спойлер
Так как группа [latex] U_4[/latex] циклическая, то у нее есть образующий элемент x, этот элемент в свою очередь будет первообразным корнем и тогда, так как известные нам корни имеют индексы взаимно простые с [latex] 1[/latex] (по второму критерию) получим, что они и есть первообразными корнями. Теперь один из них возводим в степени [latex] 0, 1, 2, 3[/latex] получим [latex] 4[/latex] числа, они и будут составлять искомую группу:
[latex] U_4=[/latex] [latex]\{1, i, -1, -i\}[/latex].
[свернуть]
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 6 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
5
6
Информация
Тест по вышеизложенному материалу
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 6
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
Алгебра0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
4
5
6
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 6
1.
[latex]U_n[/latex] циклическая группа корней [latex]n[/latex]-ой степени из 1. Первообразным корнем [latex]n[/latex]-ой степени из 1 является________элемент группы [latex]U_n[/latex].
(образующий)
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 6
2.
Установить соответствие между условиями теорем (критерии первообразности) и леммы:
Элементы сортировки
не является корнем из единицы никакой степени $ < n$
$m \vdots n$
$(n,k)=1$
Корень$ n$-й степени из единицы будет первообразным корнем $n$-й степени из единицы $\Leftrightarrow$
Если $E$ - первообразный корень степени $n$ из единицы, то
$ E^m= 1 \Leftrightarrow$
Пусть $E$ - первообразный корень степени $ n $ из единицы, тогда $ E^k (k \in \mathbb{N})$является первообразным корнем степени $n$ из единицы $\Leftrightarrow$
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 6
3.
Взаимно простыми называются числа, которые не имеют никаких общих делителей, кроме:
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 6
4.
Какое количество первообразных имеет $\sqrt[5]{1}$ ?
Правильно
Неправильно
Задание 5 из 6
5.
Все первообразные корни группы [latex]U_9[/latex]
Правильно
Неправильно
Задание 6 из 6
6.
Указать особенность первого и второго критерия
Правильно
Неправильно
Источники
Белозеров Г.С. Конспект лекций.
Курош А.Г. Курс линейной алгебры. Издание тринадцатое, 2004. Стр.123-128.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. Наука, 1984. Стр.43-49.