Понятие поля:

Коммутативное кольцо P , в котором есть единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.

Так как любое поле является кольцом, следовательно операции сложения и умножения являются бинарными алгебраическими операциями, им присущи данные свойства:

1. Всюду определенность;
2. Однозначность;
3. Замкнутость;

Также эти операции из-за того что это поле будут иметь следующие свойства:

1. Для любых $ a$, $ b$, $ c$ относительно операции $ +$ выполняются следующие свойства:
   • сложение коммутативно, $ a+b=b+a$,
   • сложение ассоциативно, $ a+(b+c)=(a+b)+c$,
   • существует единственный нулевой элемент 0 такой, что $ a+0=a$ для любого элемента $ a$,
   • для каждого элемента $ a$ существует единственный противоположный элемент — $ a$ такой, что $ a+(-a)=0$.
2. Для любых $ a$, $ b$, $ c$ относительно операции $ *$ выполняются следующие свойства:
   • умножение коммутативно, $ ab=ba$,
   • умножение ассоциативно, $ a(bc)=(ab)c$,
   • существует единственный единичный элемент 1 такой, что $ a\times 1=1\times a=a$ для любого элемента $ a$,
   • для каждого ненулевого элемента $ a$ существует единственный обратный элемент $ a^{-1}$ такой, что $ aa^{-1}=a^{-1}a=1$.
3. Операции сложения и умножения связаны между собой следующим соотношением: умножение дистрибутивно относительно сложения, $ (a+b)c=ac+bc$.

Примеры полей:

1. Рациональные числа;
2. Вещественные числа;
3. Комплексные числа;
4. Поле вычетов по модулю $p$, $p$ простое число;

Список использованной литературы:

1. Воеводин, В.В. Линейная алгебра : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974, ст. 28-29.
2. Конспект лекций Белозерова Г.С.

На странице «Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Теория» Вы можете ознакомиться с теоретическим материалом.

Упражнение 1.
Проверка оператора на линейность

Проверить, является ли оператор $A$ линейным в $R^3$
$Ax=\left(x_{2}+ x_{3}, 5x_{2}-x_{1}, x_{1}+8x_{3}\right)$

Упражнение 2.
Найти значение выражения $4A+7B$

$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$, $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3,x_2,x_3-x_1\right)$, $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2,1\right)$

Упражнение 3.
Найти значение выражения $B\cdot 4A$

$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$, $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2+\frac{1}{4}x_3,x_3\right)$, $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1+x_3,x_2,1\right)$

Упражнение 4.
Найти значение выражения $Ax-3Bx$

$A, B$ — линейные операторы из $\Omega\left(M_2\left(\mathbb{R}\right)\right)$,
$A=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$, $B=\begin{Vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{Vmatrix}$

Определение и примеры линейных операторов

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Выполните тест и проверьте хорошо ли Вы усвоили материал.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Является ли оператор \(D:P_{n}[x]\rightarrow P_{n-1}[x]\)линейным?
   \(X=P_n[x]\), \(Y=P_{n-1}[x]\)

   • Да
   • Нет
   • Невозможно определить
2. Задание 2 из 3

   2.

   Какие из операторов являются линейными?

   • \(Ax=x_{1}+x_{2}+x_{4}, x_{3}, x_{1}+x_{3}, x_{4}\)
   • \(Ax=x_{1}*x_{2}*x_{4}, x_{3}, x_{1}*x_{3}, x_{4}\)
   • \(\frac{x_{1}}{x_{3}},\frac{x_{2}}{x_{4}},\frac{x_{1}}{x_{3}},\frac{x_{2}}{x_{4}}\)
   • \(x_{4}, x_{3}, x_{2}, x_{1}\)
3. Задание 3 из 3

   3.

   Найти значение выражения: \(Ax+BCx\), при \(A\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, x_{1}-x_{2}\right)\), \(B\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{2},x_{1}\right)\), \(c\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{2}+x_{1},0\right)\).
   \((x_{1}\)запишите в виде x1, аналогично с \(x_{2}\) )

   • ((x1+x2,-x2-x1), (x2+x1,-x2-x1), (x2+x1,-x1-x2), (x1+x2,-x1-x2))

Список использованной литературы:

• Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984, стр.187
• Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С. Белозерова

Определение

Пусть $\left(X,\mathbb{P}\right)$, $\left(Y,\mathbb{P}\right)$ — линейные пространства.
Отображение $A:X\rightarrow Y$ называется линейным оператором, если $\forall a,b\in X$ $\forall\alpha,\beta\in \mathbb P$ выполняется равенство:
$A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b$.

Примеры часто используемых операторов:

• $\theta:X\rightarrow Y$ — нулевой оператор $\forall x\in X$ $\theta x=0$;
• $\varepsilon:X\rightarrow X$ — тождественный (единичный) оператор $\forall x\in X$ $\varepsilon x=x$;
• $\alpha\varepsilon:X\rightarrow X$ — скалярный оператор $\forall x\in X$ $\left(\alpha\varepsilon\right)x=\alpha x,$ $\alpha\in\mathbb{P}$;
• $\rho:X\rightarrow L_{1}$ — оператор прямого проектирования, где $X=L_{1}+L_{2}$,
  $\forall x\in X$ $x=x_{1}+x_{2}$, $x_{1}\in L_{1}$, $x_{2}\in L_{2}$, $\rho x=x_{1}$.

Операции над линейными операторами

Сумма линейных операторов

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$
$C:X\rightarrow Y$, $C=A+B$
$Cx=\left(A+B\right)x=Ax+Bx$ $\forall x\in X$.

Произведение оператора и скаляра

Пусть $A$ — линейный оператор из $\Omega\left(X,Y\right)$, $\lambda\in\mathbb{P}$.
Тогда произведением $\lambda A$ называется отображение $C:X\rightarrow Y$
$\forall x\in X$ $Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right)$.

Произведение линейных операторов

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ и из $\Omega\left(Y,Z\right)$
$X$, $Y$, $Z$ — линейные пространства над полем $\mathbb{P}$.
Оператор $BA:X\rightarrow Z$, определяемый соотношением $BAx=B\left(Ax\right)$ $\forall x\in X$,
называется произведением операторов $A$ и $B$.

Линейные операторы

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Пройдите тест, чтоб узнать насколько хорошо Вы усвоили материал.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Заполните пропуски в определении:
   Пусть \(\left(X,P\right)\), \(\left(Y,P\right)\) — линейные пространства.
   Если \(\forall a,b\in X\) \(\forall\alpha,\beta\in P\) \(A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b\), то чем является \(A:X\rightarrow Y\)?

   • (линейным оператором)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 1

   Указать в заданном порядке, что называется суммой операторов, их произведением, произведением оператора на скаляр:

   • Пусть \(A,B\) — линейные операторы из \(\Omega\left(X,Y\right)\) \(C:X\rightarrow Y\), \(C=A+B\) \(\forall x\in X\) \(Cx=\left(A+B\right)x=Ax+Bx\)
   • Пусть \(A,B\) — линейные операторы из \(\Omega\left(X,Y\right)\) и из \(\Omega\left(Y,Z\right)\) \(X\), \(Y\), \(Z\) — линейные пространства над полем \(\mathbb{P}\) \(BA=C\) \(C:X\rightarrow Z\) \(\forall x\in X\) \(Cx=\left(BA\right)x=b\left(Ax\right)\) \(B\circ A\)
   • Пусть \(A\) — линейный оператор из \(\Omega\left(X,Y\right)\), \(\lambda\in\mathbb{P}\). Тогда произведением \(\lambda A\) называется отображение: \(C:X\rightarrow Y\) \(\forall x\in X\) \(Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right)\).
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

   Сопоставить обозначение часто используемого оператора и его название:

   Элементы сортировки

   • Нулевой оператор
   • Тождественный оператор
   • Скалярный оператор
   • Дифференциальный оператор

   • \(\Theta\)

   • \(\varepsilon\)

   • \(\alpha\)

   • \(D\)

   Правильно
   

   Неправильно
   

Список использованной литературы:

• Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. Московского ун-та, 1990, часть 2 «Линейная алгебра и геометрия», §10, стр.214-216.
• Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984, стр.187
•  Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С. Белозерова

1. Определить скалярное произведение векторов $latex X, Y$

$latex X=(2, 1, -1, 2)$, $latex Y=(3, -1, -2, 1)$.

Нам известна теорема о том, что если два вектора $latex a,b$ заданы своими декартовыми прямоугольными координатами, то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат.
Воспользуемся ей. Получим:

$latex (X,Y)=2\cdot 3 + 1\cdot (-1) + (-1)\cdot (-2) + 2\cdot 1 =9$

Ответ: 9.

2. Нормировать вектор $latex X=(1,3,0,-2)$

Для того, чтобы нормировать вектор нам необходимо найти его модуль, и каждую координату разделить на него.

$latex |X|= \sqrt{1^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$

$latex X’ = (\frac{1}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}},0,-\frac{2}{\sqrt{13}})$

Ответ: $latex X’ = (\frac{1}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}},0,-\frac{2}{\sqrt{13}})$.

3. Определить угол между векторами $latex X, Y$

$latex X= (1, 2, 2, 3)$, $latex Y= (3, 1, 5, 1).$

Нам известно, что по определению скалярного произведения $latex (a,b)= |a|\cdot |b| \cos\angle (a,b)\Rightarrow \cos\angle (a,b)= \frac{(a,b)}{|a|\cdot |b|}$

Воспользовавшись тем, что $latex |a|=\sqrt{x_{1}^2+x_{2}^2+…+x_{n}^2}$, а также предыдущей формулой и метод нахождения скалярного произведения из первой задачи, получаем:

$latex \cos\angle (X,Y)= \frac{1\cdot 3 +2\cdot 1 + 2\cdot 5 + 3\cdot 1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2+3^2}\cdot \sqrt{3^2+1^2+5^2+1^2}}$

$latex \cos\angle (X,Y)= \frac{18}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{36}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Ответ: угол между векторами $latex X,Y $ равен $latex 45^\circ$.

4.Определить косинусы внутренних углов треугольника $latex ABC$, заданного координатами  вершин:

$latex A=(1,2,1,2)$, $latex B=(3,1,-1,0)$, $latex C=(1,1,0,1)$

Для того, что найти соответствующие углы необходимо найти координаты векторов, являющихся сторонами данных углов.
Найдем их.

$latex AB= (3-1,1-2,-1-1,0-2)= (2,-1,-2,-2)$

$latex |AB|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2}= \sqrt{13}$

$latex CB= (3-1,1-1,-1-0,0-1)= (2,0,-1,-1)$

$latex |CB|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{6}$

$latex AC= (1-1,1-2,0-1,1-2)= (0,-1,-1,-1)$

$latex |AC|= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{3}$

Воспользовавшись методом решения третей  задачи, найдем косинусы углов $latex A, B, C$.

$latex \cos\angle A= \frac{(-1)\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+(-1)\cdot (-2)}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{13}}= \frac{5}{\sqrt{39}}$

$latex \cos\angle B= \frac{2\cdot 2+(-2)\cdot (-1)+(-2)\cdot (-1)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{6}}= \frac{8}{\sqrt{78}}$

$latex \cos\angle C= \frac{1\cdot (-1) + 1\cdot (-1)}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}= -\frac{\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $latex \cos\angle A= \frac{5}{\sqrt{39}}$, $latex \cos\angle B= \frac{8}{\sqrt{78}}$,  $latex \cos\angle C= -\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Литература:

• Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
• Фаддев Д.К. , Соминский И.С.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972, с.128

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Алгебра 0%

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Нормировать вектор $latex X$

   Элементы сортировки

   • $ X^{\prime}= (\frac{3}{\sqrt{14}}, 0, \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}})$
   • $ X^{\prime}= (-\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{2}{\sqrt{10}}, \frac{1}{\sqrt{10}}, -\frac{2}{\sqrt{14}})$
   • $ X^{\prime}= (0, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

   • $ X= (3,0,1,2)$

   • $ X= (-1,2,1,-2)$

   • $ X= (0, -1,-2, 2)$

   Правильно 3 / 3Баллы

   Неправильно / 3 Баллы
2. Задание 2 из 3

   2.

   Найти скалярное произведение $latex X,Y$

   $latex X=(1,2,1,-1)$, $latex Y=(-2,3,-5,-2)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Найти косинус угла между векторами $latex X,Y$

   $latex X=(1,1,1,2)$, $latex Y=(3,1,-1,0)$

   • $$ \cos \alpha =\frac{\Pi}{2}$$
   • $$ \cos \alpha =0$$
   • $$ \cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{77}}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Критерии первообразности

[latex] U_n[/latex] — циклическая группа корней [latex] n[/latex]-й степени из единицы. Образующий элемент группы [latex] U_n[/latex] называется первообразным корнем [latex] n[/latex]-й степени из единицы.

Теорема 1 (Первый критерий первообразности)

Корень [latex] n[/latex]-й степени из единицы будет первообразным корнем [latex] n[/latex]-й степени из единицы [latex] \Leftrightarrow[/latex] не является корнем из единицы никакой степени [latex] <n[/latex].

Доказательство

Необходимость:
[latex] E[/latex] – первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы .
[latex] \forall m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m \ne 1[/latex];
[latex] U_n=[/latex] [latex]\{1, E, E^2, …, E^{n-1}\}[/latex].
От противного. Пусть [latex] E^m= 1[/latex], [latex] m < n[/latex], тогда [latex] E[/latex] образует группу [latex] {U}'_n[/latex] (или [latex] U_m[/latex]) = [latex]\{1, E, E^2, …, E^{m-1}, E^m\}[/latex] = [latex]\{1, E, E^2, …, E^{m-1}\}[/latex], где [latex] E^m= 1[/latex] и [latex] {U}'_n= m[/latex], но [latex] m < n \Rightarrow [/latex] [latex] {U}'_n \ne U_n \Rightarrow [/latex] [latex] E[/latex]- не образующий элемент [latex] U_n[/latex]. Получаем, что [latex] \forall m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m \ne 1[/latex].
Достаточность:
[latex] \forall m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m \ne 1 \Rightarrow [/latex]
[latex] E[/latex] — первообразный корень из единицы степени [latex]n[/latex].
От противного. Пусть [latex] E[/latex]-не является первообразным корнем [latex] n[/latex]-й степени из единицы [latex] \Rightarrow E [/latex] не образует группу [latex] U_n \Rightarrow [/latex]
[latex] U^E_n= {E^0, E^1, E^2,…< E^{n-1} } \ne U_n \Rightarrow U^E_n \in U_n \Rightarrow \exists k, 1 \leqslant k \leqslant n-1,[/latex] что [latex] E^{k-1}=1[/latex], но [latex] 0 \leqslant k+1 < n-1 [/latex], [latex] m= k-1 \Rightarrow[/latex] [latex] \exists m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m = 1 \Rightarrow [/latex] [latex] E[/latex] – первообразный корень степени [latex] n[/latex] из [latex] 1[/latex].

Лемма

Если [latex] E[/latex] — первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы, то
[latex] E^m= 1 \Leftrightarrow m \vdots n[/latex].

Доказательство

Необходимость:
Найдём [latex] m= nq+r[/latex], [latex] 0 \leq r \leq n-1[/latex];
[latex] 1= E^m= E^{nq+n}= E^{nr}E^r= (E^n)^qE^r= 1^qE^r= E^r[/latex].
Если [latex] r \in \mathbb{N}[/latex], то получим противоречие с первым критерием [latex] r=0 \Rightarrow m \vdots n[/latex].
Достаточность: [latex] m \vdots n \Rightarrow m=nq[/latex];
[latex] E^m= E^{nq}= (E^n)^q= 1^q=1[/latex].

Теорема 2 (Второй критерий первообразности)

Пусть [latex] E [/latex] — первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы, тогда [latex] E^k (k \in \mathbb{N})[/latex] является первообразным корнем степени [latex] n[/latex] из единицы [latex] \Leftrightarrow (n,k)=1[/latex].

Доказательство

[latex](n,k)= d[/latex]; [latex] n= n,d[/latex]; [latex] k= k,d[/latex]; [latex](n_1, k_1)=1[/latex].
Необходимость: [latex] E[/latex], [latex] E^n[/latex] — корни степени [latex] n[/latex] из единицы.
[latex] (n,k)=1 [/latex]
От противного. [latex] (n,k)=d > 1 \Rightarrow n_1 < n [/latex];
[latex](E^k)^{n_1} = (E^{k_1d})^{n_1}= E^{k_1dn_1}= E^{k_1(nd_1)}= E^{k_1n}= (E^n)^{k_1}= 1^{k_1}=1 \Rightarrow d=1[/latex] противоречие.
Достаточность: [latex] E [/latex] — первообразный корень степени [latex] n [/latex] из единицы;
[latex] (n,k)=1 [/latex];
[latex] E^k [/latex] — первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы.
От противного. Пусть [latex] E^k [/latex] – не является первообразным корнем степени [latex] n[/latex] из единицы, тогда по первому критерию первообразности: [latex] \exists m \in N[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex](E^k)^m= 1[/latex];
[latex] E^{km}=1 \Rightarrow [/latex] по лемме [latex] km \vdots n \Rightarrow m \vdots n [/latex], но [latex] m < n [/latex] – противоречие.

ПРИМЕРЫ

Найти все первообразные корни группы [latex]U_{12}[/latex], пользуясь вторым критерием первообразности.

Даны корни из единицы [latex]E_1 = i[/latex], [latex] E_3 = -i[/latex]. Построить группу [latex] U_4[/latex].

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест по вышеизложенному материалу

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   [latex]U_n[/latex] циклическая группа корней [latex]n[/latex]-ой степени из 1. Первообразным корнем [latex]n[/latex]-ой степени из 1 является________элемент группы [latex]U_n[/latex].

   • (образующий)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Установить соответствие между условиями теорем (критерии первообразности) и леммы:

   Элементы сортировки

   • не является корнем из единицы никакой степени $ < n$
   • $m \vdots n$
   • $(n,k)=1$

   • Корень$ n$-й степени из единицы будет первообразным корнем $n$-й степени из единицы $\Leftrightarrow$

   • Если $E$ - первообразный корень степени $n$ из единицы, то $ E^m= 1 \Leftrightarrow$

   • Пусть $E$ - первообразный корень степени $ n $ из единицы, тогда $ E^k (k \in \mathbb{N})$является первообразным корнем степени $n$ из единицы $\Leftrightarrow$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Взаимно простыми называются числа, которые не имеют никаких общих делителей, кроме:

   • $i$ и $-i$
   • $1$ и $-1$
   • $1$,$-1$,$i$ и $-i$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Какое количество первообразных имеет $\sqrt[5]{1}$ ?
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   Все первообразные корни группы [latex]U_9[/latex]

   • $ E= \cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}$
   • $E= \cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}$
   • $E= \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}$
   • $E= \cos\frac{13\pi}{6} + i\sin\frac{13\pi}{6}$
   • $E= \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Указать особенность первого и второго критерия

   • Оба критерия эквивалентны.
   • С помощью критериев первообразности находятся разные множества первообразных корней.
   • Второй критерий удобнее использовать на практике.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники

1. Белозеров Г.С. Конспект лекций.
2. Курош А.Г. Курс линейной алгебры. Издание тринадцатое, 2004. Стр.123-128.
3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. Наука, 1984. Стр.43-49.