Определение
Пусть задано два вектора ¯AB и ¯CD. Два вектора называются равными, если один из них может быть параллельным переносом совмещён так, что точка A перейдет в C, а точка B — в D.
¯AB=¯CD
A′=C
B′=D
Учебные работы студентов специальности прикладная математика Одесского национального университета имени И.И.Мечникова по курсу "Интернет технологии"
Учебные материалы по уневерситетскому курсу алгебры
Определение
Пусть задано два вектора ¯AB и ¯CD. Два вектора называются равными, если один из них может быть параллельным переносом совмещён так, что точка A перейдет в C, а точка B — в D.
¯AB=¯CD
A′=C
B′=D
Определение
Суммой двух векторов ¯AB и ¯CD назовём вектор ¯AD′, получающийся после параллельного переноса вектора ¯CD, так, что точка C переходит в точку B.
¯AB+¯CD=¯AD′
Матричные уравнения бывают трех типов.
Пример 1. Чтобы решить уравнение первого типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] слева.
[latex](1234)
{3⋅x1+4⋅x2=26⋅x1+8⋅x2=43⋅x3+4⋅x4=96⋅x3+8⋅x4=18
0 из 2 заданий окончено
Вопросы:
Обращение матриц. Решение матричных уравнений
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Правильных ответов: 0 из 2
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат |
|
Ваш результат |
|
Решите матричное уравнение
X⋅(5311−3−2−521)=(1−3010271078)
Решите матричное уравнение
(2−3114−525−73)⋅X⋅(976112111)=(20−218129231511)
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается | ||||
Нет данных | ||||
Определение:
Пусть A — некоторое непустое множество (A≠∅). Разбиением множества A называется непустое множество подмножеств Aj⊂A, j∈I (I — некоторое множество индексов), такое, что выполняются два условия:
Пример 1:
Множество R можно разбить следующим образом:
A1=R+, A2={0}, A3=R−
Графически это можно изобразить следующим образом:
Пример 2:
Аналогично множество Z можно представить в виде разбиения на множества четных и нечетных целых чисел:
A1=2Z, A2=2Z+1
Графически это можно представить следующим образом:
Пример 3:
Пусть задано множество A, состоящее из трех элементов {a,b,c}. Существует 5 способов разбить это множество:
Литература:
0 из 2 заданий окончено
Вопросы:
Тест
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Правильных ответов: 0 из 2
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат |
|
Ваш результат |
|
Заполните пропуски:
Укажите подмножества, из которых состоит разбиение множества N:
Большой вклад в развитие алгебры внес Джероламо Кардано, итальянский математик, который стал первым в Европе использовать отрицательные корни уравнений. В 1545 году Кардано опубликовал трактат, в котором описал алгоритм нахождения таких корней.
Наследователем Кардано стал еще один итальянский математик и инженер-механик Рафаэль Бомбелли, который, вдохновившись научной работы Кардано, окончательно ввел комплексные числа в математику и описал в своей научной работе «Алгебра» (1572) основные действия над такими числами.
В 1637 году вышла переломная в истории математики и науки книга «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках» французского математика и философа Рене Декарта. В этой работе Декарт и ввел название «мнимые числа», а спустя 140 лет (1777 год) Леонард Эйлер — российский, немецкий и швейцарский математики механик — ввел букву «latexi» (первая буква французского слова «imaginaire» — «мнимый») для обозначения таких чисел.
Множеством комплексных чисел называется множество latexR2 при условии выполнения следующих требований:
Для построения поля комплексных чисел — расширения множества вещественных, в котором уравнение разрешимо, — необходимо доказать следующее:
latexI. latex(C,+) — абелева группа.
latex[(a,b)+(c,d)]+(e,f) latex= latex(a+c,b+d)+(e,f) latex= latex((a+c)+e,(b+d)+f) latex= latex(a+(c+e),b+(d+f)) latex= latex(a,b)+(c+e,d+f) latex= latex(a,b)+[(c,d)+(e,f)];
latex(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b);
latex(0,0)+(a,b)=(a,b);
latex∀(a,b) ϵ C latex∃(−a,−b) ϵ C
latex(a,b)+(−a,−b)=(0,0);
latexII. latex(C∗,⋅) — абелева группа.
latex∃(x,y) ϵ C, latex∀(a,b) ϵ C
latex(a,b)(x,y)=(a,b) latex⇒(ax−by,ay+bx)=(a,b)
latex{ax−by=aay+bx=b
Рассмотрим возможные решения системы:
1) latexa≠0, b≠0
latex{a2x−bay=a2b2x+bay=b2
latex(a2+b2)x=a2+b2 latex⇒x=1, y=0.
2) latexa≠0, b=0
latex{ax=1ay=0
latexx=1, y=0.
3) latexa=0, b≠0 latex⇒x=1, y=0.
Следовательно, latexe=(1,0).
latex∀a,b ϵ C∗ latex∃(x,y) ϵ C∗:
latex(a,b)(x,y)=(1,0)
latex(ax−by,bx+ay)=(1,0)
latex{ax−by=1ay+bx=0
Домножим первое уравнение системы на latexa, а второе — на latexb, latexa≠0, b≠0.
latex{a2x−bay=ab2x+bay=0
latex(a2+b2)x=a latex⇒x=aa2+b2.
latexa2a2+b2−by=1 latex⇒a2a2+b2−1=by latex⇒a2−a2−b2a2+b2=by latex⇒y=−ba2+b2.
latex(a,b)−1=(aa2+b2,−ba2+b2).
latexIII. Дистрибутивность.
Проверим выполнение законов дистрибутивности. В самом деле,
latex(a,b)[(c,d)+(e,f)] latex= latex(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f).
latex
Покажем, что множество комплексных чисел является расширением множества вещественных.
latexM⊂C, latexM={(a,b) ϵ C | b=0} latex= latex{(a,0) | a ϵ R}.
Рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс (точки вида latex(a,0)), где latexx является реальной частью комплексного числа, и их свойства:
Таким образом, latexf:R → M
latexf(a)=(a,0) ∀a ϵ R.
latexa→(a,0). Поле вещественных чисел вкладывается во множество комплексных.
latex
latexx2+1=0. Обозначим latex0=(0,0), latex1=(1,0) и latexx=(u,v) latex⇒
latex(u,v)2+(1,0)=(1,0)
latex(u2−v2,2uv)=(0,0)
Решим систему уравнений на основе этого выражения:
latex{u2−v2=−12uv=0
latexv≠0, u=0,
latexv2=1⇒v=±(−1),
Следовательно, возможные решения уравнения — latex(0,1), (0,−1).
latexi=(0,1), −i=(0,−1) — мнимая единица latexi.
latex
Любое подмножество latexC′ множества latexC совпадает с latexC, если для latexC′ выполнимо:
latex
0 из 7 заданий окончено
Вопросы:
Тест на знание теории о построении поля комплексных чисел.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Правильных ответов: 0 из 7
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат |
|
Ваш результат |
|
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается | ||||
Нет данных | ||||
Расположить множества по возрастанию числа включений в него:
Выбрать условия, имеющие смысл
Выбрать те варианты, которые имеют смысл в рамках данной статьи:
Комплексное число, квадрат которого равен -1
О расширении какого множества идет речь в плане построении поля комплексных чисел?
Сопоставить ученого и его вклад в развитие комплексных чисел:
|
|
|
|
Дополнить определение:
Сопоставить условия:
Нейтральный элемент
|
|
Обратный элемент
|
|
Ассоциативность
|
|
Коммутативность
|
|