Processing math: 100%

Равенство направленных отрезков


Определение
Пусть задано два вектора ¯AB и ¯CD. Два вектора называются равными, если один из них может быть параллельным переносом совмещён так, что точка A перейдет в C, а точка B — в D.

¯AB=¯CD
A=C
B=D

Вектор

Литература:

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 — стр.20.
  2. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968 — стр.60-63.
  4. В.А. Ильин, Э.Г Позняк Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1988 — стр.12-13.

Операция сложения


Определение
Суммой двух векторов ¯AB и ¯CD назовём вектор ¯AD, получающийся после параллельного переноса вектора ¯CD, так, что точка C переходит в точку B.

¯AB+¯CD=¯AD

Сумма

Литература:

РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения бывают трех типов.

  • 1. [latex]A \cdot X=B[/latex]
  • 2. [latex]X \cdot A=B[/latex]
  • 3. [latex]C \cdot X \cdot A=B[/latex]
  • Пример 1. Чтобы решить уравнение первого типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] слева.
    [latex](1234)

    \cdot X=[/latex] [latex](3559)
    [/latex], [latex]\det (1234)
    =-2[/latex]
    [latex]A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot 4=4[/latex]
    [latex]A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot 3=-3[/latex]
    [latex]A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot 2=-2[/latex]
    [latex]A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot 1=1[/latex]
    [latex](4321)
    [/latex], полученную матрицу транспонируем и умножим на [latex]\det^{-1} (1234)
    =-1/2[/latex]. Обратная матрица к [latex](1234)
    [/latex] равна [latex](213/21/2)
    [/latex].
    [latex]X=(213/21/2)
    \cdot [/latex] [latex] (3559)
    [/latex], [latex]X= (1123)
    [/latex]. Сделаем проверку [latex](1234)
    \cdot (1123)
    =[/latex][latex](3559)
    [/latex]. Уравнение решили правильно.
    Пример 2. Чтобы решить уравнение второго типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] справа.
    [latex]X \cdot (3254)
    =[/latex] [latex](1256)
    .[/latex] Матрица обратная к [latex](3254)
    [/latex] равна [latex](215/23/2)
    .[/latex] [latex]X=(1256)
    \cdot (215/23/2)
    ,[/latex] [latex]X=(3254)
    [/latex].
    Пример 3. Чтобы решить уравнение третьего типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] справа и на обратную матрице [latex]C[/latex] слева.
    [latex](3152)
    \cdot X \cdot (5678)
    =[/latex] [latex](1416910)
    [/latex]. Обратная матрица к [latex](3152)
    [/latex] равна [latex](2153)
    ,[/latex] обратная матрица к [latex](5678)
    [/latex] равна [latex](437/25/2)
    [/latex]. [latex]X=(2153)
    \cdot (1416910)
    \cdot [/latex][latex] (437/25/2)
    =(1234)
    [/latex].
    Проверка [latex](3152)
    \cdot (1234)
    \cdot (5678)
    =[/latex] [latex](1416910)
    [/latex].
    Пример 4. Случай когда обратная матрица не существует.
    [latex]X \cdot (3648)
    =[/latex] [latex](24918)
    [/latex].
    Матрицу [latex]X[/latex] запишем как [latex](x1x2x3x4)
    [/latex], [latex](3x1+4x26x1+8x23x3+4x46x3+8x4)
    =[/latex][latex](24918)
    [/latex].

    {3x1+4x2=26x1+8x2=43x3+4x4=96x3+8x4=18


    Эта система эквивалентна
    {3x1+4x2=23x3+4x4=9

    Решив данную систему получим общей вид решения [latex]X=(x1(23x1)/4x3(94x1)/3)
    [/latex]
    Литература

  • 1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии
  • 2. Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 211-213.
  • Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 118-119.
  • Решение матричных уравнений

    Обращение матриц. Решение матричных уравнений

    Таблица лучших: Решение матричных уравнений

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Разбиение множества

    Определение:
    Пусть A — некоторое непустое множество (A). Разбиением множества A называется непустое множество подмножеств AjA, jI (I — некоторое множество индексов), такое, что выполняются два условия:

    1. jIAj=A
    2. AiAj=, для любых i,jI таких, что ij

    Пример 1:
    Множество R можно разбить следующим образом:
    A1=R+, A2={0}, A3=R
    Графически это можно изобразить следующим образом:разбиение 1
    Пример 2:
    Аналогично множество Z можно представить в виде разбиения на множества четных и нечетных целых чисел:
    A1=2Z, A2=2Z+1
    Графически это можно представить следующим образом:
    разбиение 2
    Пример 3:
    Пусть задано множество A, состоящее из трех элементов {a,b,c}. Существует 5 способов разбить это множество:

    • {{a,b,c}}
    • {{a},{b},{c}}
    • {{a,b},{c}}
    • {{a},{b,c}}
    • {{b},{a,c}}

    Литература:

    • Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре

    Разбиение множества

    Тест

    Построение поля комплексных чисел

    Спойлер

    Спойлер
    Расширение числовых множества Необходимость в комплексных числах появилась, когда стало понятно, что не каждый многочлен имеет вещественные корни. Например, уравнение latexx2+1=0 не имеет корней среди вещественных чисел, так как еще в школе учили, что извлечь квадратный корень из отрицательного числа невозможно.

    Для построения поля комплексных чисел — расширения множества вещественных, в котором уравнение разрешимо, — необходимо доказать следующее:

    1. latexC — поле;
    2. latexRC;
    3. latexx2+1=0 — разрешимо в latexC (1);
    4. latexC минимально по включениям.
    Спойлер

    Спойлер

    Спойлер

    Спойлер

    Список источников:

    Тест на знание теории о построении поля комплексных чисел.