Учебные работы студентов специальности прикладная математика Одесского национального университета имени И.И.Мечникова по курсу "Интернет технологии"
Учебные материалы по уневерситетскому курсу алгебры
Определение
Пусть задано два вектора $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$. Два вектора называются равными, если один из них может быть параллельным переносом совмещён так, что точка $A$ перейдет в $C$, а точка $B$ — в $D$.
$\overline{AB}=\overline{CD}$
$A’=C$
$B’=D$
Определение
Суммой двух векторов $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$ назовём вектор $\overline{AD’}$, получающийся после параллельного переноса вектора $\overline{CD}$, так, что точка $C$ переходит в точку $B$.
$\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{AD’}$
Матричные уравнения бывают трех типов.
Пример 1. Чтобы решить уравнение первого типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] слева.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot X=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}[/latex], [latex]\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-2[/latex]
[latex]A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot 4=4[/latex]
[latex]A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot 3=-3[/latex]
[latex]A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot 2=-2[/latex]
[latex]A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot 1=1[/latex]
[latex]\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix}[/latex], полученную матрицу транспонируем и умножим на [latex]\det^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-1/2[/latex]. Обратная матрица к [latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}[/latex].
[latex]X=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix} \cdot [/latex] [latex] \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}[/latex], [latex]X= \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}[/latex]. Сделаем проверку [latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=[/latex][latex]\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}[/latex]. Уравнение решили правильно.
Пример 2. Чтобы решить уравнение второго типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] справа.
[latex]X \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix}.[/latex] Матрица обратная к [latex]\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix}.[/latex] [latex]X=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix},[/latex] [latex]X=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}[/latex].
Пример 3. Чтобы решить уравнение третьего типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] справа и на обратную матрице [latex]C[/latex] слева.
[latex]\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}[/latex]. Обратная матрица к [latex]\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix},[/latex] обратная матрица к [latex]\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}[/latex]. [latex]X=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix} \cdot [/latex][latex] \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}[/latex].
Проверка [latex]\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}[/latex].
Пример 4. Случай когда обратная матрица не существует.
[latex]X \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}[/latex].
Матрицу [latex]X[/latex] запишем как [latex]\begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \\ \end{pmatrix}[/latex], [latex]\begin{pmatrix} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} & 6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} \\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} & 6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4} \\ \end{pmatrix}=[/latex][latex]\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}[/latex].
\begin{cases}
3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} = 4\\
3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9\\
6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4}=18
\end{cases}
Эта система эквивалентна
\begin{cases}
3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9
\end{cases}
Решив данную систему получим общей вид решения [latex]X=\begin{pmatrix} x_{1} & (2-3x_{1})/4 \\ x_{3} & (9-4x_{1})/3 \\ \end{pmatrix}[/latex]
Литература
Обращение матриц. Решение матричных уравнений
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
Определение:
Пусть $A$ — некоторое непустое множество ($A \neq \emptyset$). Разбиением множества $A$ называется непустое множество подмножеств $A_j \subset A$, $j \in I$ ($I$ — некоторое множество индексов), такое, что выполняются два условия:
Пример 1:
Множество $\mathbb R$ можно разбить следующим образом:
$A_1 = \mathbb R^+$, $A_2 = \left\{0\right\}$, $A_3 = \mathbb R^-$
Графически это можно изобразить следующим образом:
Пример 2:
Аналогично множество $\mathbb Z$ можно представить в виде разбиения на множества четных и нечетных целых чисел:
$A_1 = 2\mathbb Z$, $A_2 = 2\mathbb Z + 1$
Графически это можно представить следующим образом:
Пример 3:
Пусть задано множество $A$, состоящее из трех элементов $\left\{a, b, c\right\}$. Существует $5$ способов разбить это множество:
Литература:
Тест
Большой вклад в развитие алгебры внес Джероламо Кардано, итальянский математик, который стал первым в Европе использовать отрицательные корни уравнений. В 1545 году Кардано опубликовал трактат, в котором описал алгоритм нахождения таких корней.
Наследователем Кардано стал еще один итальянский математик и инженер-механик Рафаэль Бомбелли, который, вдохновившись научной работы Кардано, окончательно ввел комплексные числа в математику и описал в своей научной работе «Алгебра» (1572) основные действия над такими числами.
В 1637 году вышла переломная в истории математики и науки книга «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках» французского математика и философа Рене Декарта. В этой работе Декарт и ввел название «мнимые числа», а спустя 140 лет (1777 год) Леонард Эйлер — российский, немецкий и швейцарский математики механик — ввел букву «$latex i$» (первая буква французского слова «imaginaire» — «мнимый») для обозначения таких чисел.
Множеством комплексных чисел называется множество $latex \mathbb{R}^2$ при условии выполнения следующих требований:
Необходимость в комплексных числах появилась, когда стало понятно, что не каждый многочлен имеет вещественные корни. Например, уравнение $latex x^2+1=0 $ не имеет корней среди вещественных чисел, так как еще в школе учили, что извлечь квадратный корень из отрицательного числа невозможно.
Для построения поля комплексных чисел — расширения множества вещественных, в котором уравнение разрешимо, — необходимо доказать следующее:
$latex \mathbf{I.} $ $latex \mathbf{(\mathbb{C},+)} $ — абелева группа.
$latex [(a,b)+(c,d)]+(e,f) $ $latex = $ $latex (a+c,b+d)+(e,f) $ $latex = $ $latex ((a+c)+e,(b+d)+f) $ $latex = $ $latex (a+(c+e),b+(d+f)) $ $latex = $ $latex (a,b)+(c+e,d+f) $ $latex = $ $latex (a,b)+[(c,d)+(e,f)] $;
$latex (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b) $;
$latex (0,0)+(a,b)=(a,b) $;
$latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C} $ $latex \exists(-a,-b)~\epsilon~\mathbb{C} $
$latex (a,b)+(-a,-b)=(0,0) $;
$latex \mathbf{II.} $ $latex \mathbf{(\mathbb{C}^{*},\cdot)} $ — абелева группа.
$latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C} $, $latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C} $
$latex (a,b)(x,y)=(a,b) $ $latex \Rightarrow (ax-by,ay+bx)=(a,b) $
$latex \begin{cases} ax-by=a & \\ ay+bx = b & \end{cases} $
Рассмотрим возможные решения системы:
1) $latex a\neq0,~b\neq0 $
$latex \begin{cases} a^2x-bay=a^2 & \\ b^2x+bay=b^2 & \end{cases} $
$latex (a^2+b^2)x=a^2+b^2 $ $latex \Rightarrow x=1,~y=0 $.
2) $latex a\neq0,~b=0 $
$latex \begin{cases} ax=1 & \\ ay=0 & \end{cases} $
$latex x=1,~y=0 $.
3) $latex a=0,~b\neq0 $ $latex \Rightarrow x=1,~y=0 $.
Следовательно, $latex e=(1,0) $.
$latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C}^{*} $ $latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}^{*} $:
$latex (a,b)(x,y)=(1,0) $
$latex (ax-by,bx+ay)=(1,0) $
$latex \begin{cases} ax-by=1 & \\ ay+bx = 0 & \end{cases} $
Домножим первое уравнение системы на $latex a $, а второе — на $latex b $, $latex a\neq0,~b\neq0 $.
$latex \begin{cases} a^2x-bay=a & \\ b^2x+bay = 0 & \end{cases} $
$latex (a^2+b^2)x = a $ $latex \Rightarrow x=\frac{a}{a^2+b^2} $.
$latex \frac{a^2}{a^2+b^2}-by=1 $ $latex \Rightarrow \frac{a^2}{a^2+b^2}-1=by $ $latex \Rightarrow \frac{a^2-a^2-b^2}{a^2+b^2}=by $ $latex \Rightarrow y=\frac{-b}{a^2+b^2} $.
$latex (a,b)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}) $.
$latex \mathbf{III.} $ Дистрибутивность.
Проверим выполнение законов дистрибутивности. В самом деле,
$latex (a,b)[(c,d)+(e,f)] $ $latex = $ $latex (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)$.
$latex \blacksquare $
Покажем, что множество комплексных чисел является расширением множества вещественных.
$latex M \subset \mathbb{C} $, $latex M=\left\{(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}~|~b=0 \right\} $ $latex = $ $latex \left\{(a,0)~|~a~\epsilon~\mathbb{R} \right\} $.
Рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс (точки вида $latex (a,0) $), где $latex x $ является реальной частью комплексного числа, и их свойства:
Таким образом, $latex f:\mathbb{R}~\rightarrow~ M $
$latex f(a)=(a,0)~\forall a~\epsilon~\mathbb{R} $.
$latex a \to (a,0)$. Поле вещественных чисел вкладывается во множество комплексных.
$latex \blacksquare $
$latex x^2+1=0 $. Обозначим $latex 0 = (0,0) $, $latex 1 = (1,0) $ и $latex x = (u,v)$ $latex \Rightarrow $
$latex (u,v)^2+(1,0)=(1,0) $
$latex (u^2-v^2,2uv)=(0,0) $
Решим систему уравнений на основе этого выражения:
$latex \begin{cases} u^2-v^2=-1 & \\ 2uv=0 & \end{cases} $
$latex v\neq0,~u=0 $,
$latex v^2=1 \Rightarrow v=\pm (-1)$,
Следовательно, возможные решения уравнения — $latex (0,1),~(0,-1) $.
$latex i=(0,1),~-i=(0,-1) $ — мнимая единица $latex i $.
$latex \blacksquare $
Любое подмножество $latex \mathbb{C’} $ множества $latex \mathbb{C} $ совпадает с $latex \mathbb{C} $, если для $latex \mathbb{C’} $ выполнимо:
$latex \blacksquare $
Тест на знание теории о построении поля комплексных чисел.
Джероламо Кардано
