Следствия из основной теоремы алгебры. Канонические разложения.



Задача 1

Разложить на линейные (неприводимые) множители полином $latex f(x) = x ^{3}-6\cdot x^{2}+11\cdot x -6.$

Спойлер
  1. Каноническое разложение многочлена — разложение на неприводимые множители.
  2. Всякий многочлен $latex f(x)$ с вещественными коэффициентами представим единственным образом в виде произведения своего старшего коэффициента и линейных многочленов вида $latex (x-\alpha ),$ соответствующих его действительным корням, и квадратных вида $latex (x-\alpha )\cdot (x-\overline{\alpha } )=$ $latex x^{2} — (\alpha + \overline{\alpha } ) +\alpha \cdot \overline{\alpha },$ соответствующих парам сопряжённых комплексных корней (следствие из основной теоремы алгебры для вещественного случая).
  3. Дискриминант для уравнения третей степени выглядит, как: $latex D(f)= -4a_{2}^{3}a_4 + a_{2}^{2}a_{3}^{2} — 4a_1 a_{3}^{3} + 18a_1 a_2 a_3 a_4 — 27a_{1}^{2} a_{4}^{2}.$
  4. Если комплексное (но не действительное) число $latex \alpha $ служит корнем многочлена $latex f(x),$ с действительными коэффициентами, то корнем для $latex f(x)$ будет и сопряжённое число $latex \overline{\alpha }.$
  5. Любой многочлен выше второй степени (и при том нечётной) с вещественными коэффициентами точно имеет хотя бы один вещественный корень.
  6. Исходя из основной теоремы алгебры, и всего вышесказанного данный многочлен степени 3 точно имеет 3 комплексных корня, однако он имеет вещественные коэффициенты, так что возможны 3 случая:

    • $latex D(f)>0 \Rightarrow $ полином имеет 3 различных вещественных корня.
    • $latex D(f)=0 \Rightarrow $ хотя бы 2 корня совпадают.
    • $latex D(f)<0 \Rightarrow $ уравнение имеет один вещественный и пару сопряжённых корней.

[свернуть]

Спойлер

  1. Найти дискриминант и определить какими будут корни (комплексными или вещественными)
  2. Согласно результату подобрать оптимальный способ нахождения корней (например формула Кардано или Виета) и найти их.
  3. Согласно найденным корням разложить на линейные (неприводимые) множители полиномы.
  4. [свернуть]

Спойлер

  1. Найдём дискриминант многочлена $latex f(x) = x ^{3}-6\cdot x^{2}+11\cdot x -6.$
    $latex D(f)= -4a_{2}^{3}a_4 + a_{2}^{2}a_{3}^{2} — 4a_1 a_{3}^{3} — 27a_{1}^{2} a_{4}^{2} + 18a_1 a_2 a_3 a_4=$$latex -4\cdot (-6)^{3}\cdot (-6)+(-6)^2 \cdot 11^{2} — 4\cdot 1\cdot 11^{3} -$$latex 27\cdot 1^2 \cdot (-6)^{2}+18\cdot (-6) \cdot (-6) \cdot 11=$$latex -5184+4356-5324-972+7128=4$
  2. Подберём метод решения. $latex D(f)=4>0 \Rightarrow $ все корни вещественные,следовательно будет удобно использовать формулу Виета (которая также является одним из следствий основной теоремы алгебры).
    Найдём корни. По теореме Виета для кубического полинома имеем, что:

    • $latex x_{1} + x_{2} + x_{3}= -\frac{a_{1}}{a_{2}}$
    • $latex x_1 \cdot x_2 +x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac {a_{3}}{a_{1}}$
    • $latex x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = — \frac{a_{4}}{a_{1}}$

    Учитывая значения коэффициентов (а в особенности то, что $latex a_1 = 1$) имеем:

    • $latex x_{1} + x_{2} + x_{3}= 6$
    • $latex x_1 \cdot x_2 +x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = 11$
    • $latex x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 6$

    Очевидно, что $latex x_1 =1, x_2 = 2, x_3 = 3.$

  3. Учитывая найденные корни, разложим данный полином. Все корни данного полинома являются вещественными, а старший многочлен равен 1, следовательно разложение будет вида $latex (x-\alpha _1 )(x-\alpha _2 )(x-\alpha _3 ),$ где $latex \alpha _i , i= \overline{1,3}$ — соответствующие корни многочлена. Имеем:
    $latex f(x) = x ^{3}-6\cdot x^{2}+11\cdot x -6=$$latex (x-1)(x-2)(x-3).$ Задача решена.

    [свернуть]

Задача 2

Разложить на неприводимые вещественные множители многочлен $latex f(x)=x^6 +27.$

Спойлер

  1. Всякий многочлен $latex f(x)$ с вещественными коэффициентами представим единственным образом в виде произведения своего старшего коэффициента и линейных многочленов вида $latex (x-\alpha ),$ соответствующих его действительным корням, и квадратных вида $latex (x-\alpha )\cdot (x-\overline{\alpha } )=$ $latex x^{2} — (\alpha + \overline{\alpha } ) +\alpha \cdot \overline{\alpha },$ соответствующих парам сопряжённых комплексных корней (следствие из основной теоремы алгебры для вещественного случая).
  2. Если комплексное (но не вещественное) число $latex \alpha $ служит корнем многочлена $latex f(x)$ с вещественными коэффициентами, то корнем для этого многочлена $latex f(x)$ также будет и сопряжённое к нему $latex \overline{\alpha }.$
    [свернуть]

Спойлер

Учтите, что $latex f(x)=x^{6} +27 \Rightarrow x=\sqrt[6]{-27},$ а также, если $latex x \in \mathbb{C} \Rightarrow $ существует ровно n различных значений для $latex \sqrt[n]{x},$ причём полученных по формуле: $latex x=r\cdot (\cos \phi +i\cdot \sin \phi),$$latex \sqrt[n]{x}=w_{k}, k = \overline{0,n-1},$$latex w_k = \sqrt[n]{r}\cdot (\cos \frac{\phi + \pi \cdot k}{n} + $$latex i\cdot \sin \frac{\phi + \pi \cdot k}{n})$

[свернуть]

Спойлер

Как было написано в указаниях к решению, $latex f(x)=x^{6} +27 \Rightarrow x=\sqrt[6]{-27},$ однако следует помнить, что если $latex x \in \mathbb{C} \Rightarrow $ существует ровно n различных значений для $latex \sqrt[n]{x},$ причём полученных по формуле: $latex x=r\cdot (\cos \phi +i\cdot \sin \phi),$$latex \sqrt[n]{x}=w_{k}, k = \overline{0,n-1},$$latex w_k = \sqrt[n]{r}\cdot (\cos \frac{\phi + \pi \cdot k}{n} + $$latex i\cdot \sin \frac{\phi + \pi \cdot k}{n}).$ Для начала переведём -27 в тригонометрический вид комплексного числа: $latex -27 = -27 +0\cdot i = 27\cdot (\cos (-\pi )+i\cdot \sin (-\pi )).$ Теперь мы можем воспользоватся формулой, описанной ранее:

  1. $latex w_0 = \sqrt[6]{27}\cdot (\cos -\frac{\pi}{6} + $$latex i\cdot \sin -\frac{\pi}{6})=$$latex \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}- i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$$latex \frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
  2. $latex w_1 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{\pi}{6} + $$latex i\cdot \sin \frac{\pi}{6})=$$latex \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}+ i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$$latex \frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
  3. $latex w_2 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{3\pi}{6} + $$latex i\cdot \sin \frac{3\pi}{6})=$$latex i\cdot \sqrt{3}$
  4. $latex w_3 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{5\pi}{6} + $$latex i\cdot \sin \frac{5\pi}{6})=$$latex -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}+ i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$$latex -\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
  5. $latex w_4 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{7\pi}{6} + $$latex i\cdot \sin \frac{7\pi}{6})=$$latex -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}- i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$$latex -\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
  6. $latex w_5 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{9\pi}{6} + $$latex i\cdot \sin \frac{9\pi}{6})=$$latex -i\cdot \sqrt{3}$
  7. Заметим, что $latex w_0 = \overline{w_1},$ $latex w_2 = \overline{w_5},$ $latex w_3 = \overline{w_5},$ как и должно быть, ведь если комплексное (но не вещественное) число служит корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то корнем для этого многочлена также будет и сопряжённое к нему.
    Так, как все корни данного многочлена комплексные, то все множители будут вида $latex (x-w_k )\cdot (x-\overline{w_k } )=$$latex x^{2} — (w_k + \overline{w_k } )\cdot x +w_k \cdot \overline{w_k }, k=\overline{0,n-1}.$ Данный полином шестой степени, следовательно он имеет 6 корней, однако, так, как они комплексные, то для разложения в вещественные множители, сопряжённые значения будут перемножены и в итоге мы получим 3 множителя. Найдём их, учитывая написанное выше ($latex w_0 = \overline{w_1},$ $latex w_2 = \overline{w_5},$ $latex w_3 = \overline{w_5}$):

    1. $latex m_1 = x^2 — (w_0 + w_1)x + w_0 \cdot w_1 = $$latex x^2 — (\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} + i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})x +$$latex (\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=$$latex x^2-x+3$
    2. $latex m_2 = x^2 — (w_3 + w_4)x + w_3 \cdot w_4 = $$latex x^2 — (-\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{3}{2} + i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})x +$$latex (-\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (-\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=$$latex x^2+x+3$
    3. $latex m_3 = x^2 — (w_2 + w_5)x + w_2 \cdot w_5 = $$latex x^2 — (i\cdot \sqrt{3}-i\cdot \sqrt{3})x +$$latex i\cdot \sqrt{3}\cdot (-i\cdot \sqrt{3})=$$latex x^2+3$
    4. В результате имеем: $latex f(x) = x^6 +27 = (x^2-x+3)(x^2+x+3)(x^2+3)$

      [свернуть]

Задача 3

Построить полином по заданной таблице значений, пользуясь формулой Лагранжа:

0 1 2 3
x 1 2 3 4
y 2 1 4 3

Спойлер

Одним из следствий из основной теоремы алгебры является то, что всегда существует многочлен не более, чем n-ной степени, принимающий наперёд заданные значения ($latex y_0,y_1,…y_{n+1}$) при n+1 заданных значениях неизвестного ($latex x_0,x_1,\dots x_{n+1}$), и по Лагранжу такой многочлен определяется формулой: $$ f(x)=\underset{i=1} {\overset{n+1} {\sum }} \frac{y_i (x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\dots (x-a_{n+1})}{(a_i -a_1)(a_i -a_2)\dots (a_i -a_{i-1})(a_i -a_{i+1})\dots (a_i -a_{n+1})}$$

[свернуть]

Спойлер

Подставим данные значения в интерполяционную формулу Лагранжа, получим:
$latex \large \frac{2(x-2)(x-3)(x-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)}+$$latex \large \frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{(2-1)(2-3)(2-4)}+$$latex \large \frac{4(x-1)(x-2)(x-4)}{(3-1)(3-2)(3-4)}+$$latex \large \frac{3(x-1)(x-2)(x-3)}{(4-1)(4-2)(4-3)}=$$latex \large -\frac{1}{3}(x-2)(x-3)(x-4)-$$latex \large \frac{1}{2}(x-1)(x-3)(x-4)+$$latex \large 2(x-1)(x-2)(x-4)+$$latex \large \frac{1}{2}(x-1)(x-2)(x-3)=$$latex \large -\frac{4}{3}x^3+10x^2-\frac{65}{3}x+15$

[свернуть]

Рекомендуемая литература:

  1. (Теоретические сведения) А. Г. Курош «Курс высшей алгебры», Издание 9, 1968 года, стр. 147-161
  2. (Практические задания) Д. К. Фадеев, И. С. Соминский «Сборник задач по высшей алгебре», Издание 10, 1972 года, стр. 83-110
  3. Курош А. Г. «Курс высшей алгебры» девятое издание, 1968 года, стр. 147-166
  4. Белозеров Г.С. Конспект лекций

Канонические разложения.


Таблица лучших: Следствия из основной теоремы. Канонические разложения.

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Изоморфизм линейных пространств. Критерий изоморфности. Применение понятия изоморфизма к решению задач.

Спойлер

Изоморфизм линейных пространств, свойства

Дано два конечномерных линейных пространства [latex] (X_1, \mathbb{P})[/latex] и [latex] (X_2, \mathbb{P})[/latex], заданных над одним полем [latex] \mathbb{P}[/latex](любое числовое поле)
[latex] X_1 \simeq X_2[/latex] (изоморфны), если:

  1. [latex] \exists f: X_1 \to X_2[/latex] (т.е.[latex] \forall a\in X_1[/latex] сопоставляется вектор [latex] a`\in X`[/latex], образ вектора[latex] a[/latex], причём различные векторы из [latex] X[/latex] обладают различными образами и всякий вектор из [latex] X`[/latex] служит образом некоторого вектора из [latex] X[/latex]).
  2. [latex] f(\alpha a+\beta b) = \alpha f(a) + \beta f(b)[/latex], [latex] \forall a,b \in X_1[/latex], [latex] \forall \alpha, \beta \in P[/latex].

Свойства изоморфизма:

  1. [latex] f(0)= 0[/latex];
  2. [latex] f(-x)= f(x)[/latex];
  3. [latex] f(\sum\limits_{j=1}^k \alpha_je_j)= \sum\limits_{j=1}^k \alpha_j f(e_j)[/latex];
  4. ЛНЗ [latex] \to^f[/latex] ЛНЗ;
  5. ЛЗ [latex] \to^f[/latex] ЛЗ;
  6. Базис отображается в базис;
  7. dim [latex] X_1[/latex]= dim[latex] X_2[/latex];
  8. Прямая сумма [latex] \to[/latex] прямая сумма.

Критерий изоморфности:

[latex] X_1 \simeq X_2 \Leftrightarrow [/latex] dim [latex] X_1 = [/latex] dim [latex]X_2.[/latex]

[свернуть]

ПРИМЕР

Любой геометрический радиус-вектор плоскости, представим в виде:
[latex] x = ix_1 + jx_2[/latex]
svg111
При этом, если [latex] x = ix_1 + jx_2[/latex], [latex] y = iy_1 + jy_2[/latex], то
[latex] x + y = (x_1 + y_1)i +(x_2 + y_2)j[/latex] и [latex] \alpha x = (\alpha x_1)i + (\alpha x_2)j[/latex].
В результате устанавливаем взаимно однозначное соответствие [latex] x \Leftrightarrow (x_1, x_2)[/latex], соответствие между пространствами геометрических радиусов-векторов плоскости и двумерных арифметических векторов. Очевидно, оно будет изоморфизмом данных пространств, так как
если [latex] x \Leftrightarrow (x_1, x_2)[/latex], [latex] y \Leftrightarrow (y_1, y_2)[/latex], то [latex] x + y \Leftrightarrow (x_1 + y_1, x_2 + y_2)[/latex] и [latex] \alpha x \Leftrightarrow ( \alpha x_1, \alpha x_2 )[/latex].

Задача

Даны пространства [latex] A = \mathbb{R}[/latex] и [latex] B = \mathbb{R}[/latex]. Установить между ними соответствие, которое:

  1. будет являться изоморфизмом;
  2. не будет являться изоморфизмом.

Решение

  1. Первое, что мы делаем, это каждому числу [latex] a \in \mathbb{R}[/latex] ставим в соответсвие число [latex] b \in \mathbb{R}[/latex], придерживаясь правила: [latex] b= 2a[/latex]. Каждое [latex] b \in \mathbb{R}[/latex] будет отвечать единственному числу [latex] a= \frac{1}{2}b[/latex]. Отсюда следует, что утверждение [latex] b= 2a[/latex] устанавливает взаимно однозначное соответствие [latex] \mathbb{R} \Leftrightarrow \mathbb{R}[/latex]. Если [latex] a_1 \Leftrightarrow b_1[/latex] и [latex] a_2 \Leftrightarrow b_2[/latex], т.е. [latex] b_1 = 2a_1[/latex] и [latex] b_2= 2a_2[/latex] то [latex] (a_1+a_2) \Leftrightarrow (b_1+b_2)[/latex], так как [latex] b_1+b_2= 2a_1+2a_2 = 2(a_1+a_2)[/latex]. Если [latex] a \Leftrightarrow b[/latex], т.е. [latex] b= 2a[/latex], то [latex] \lambda a \Leftrightarrow \lambda b[/latex] для каждого действительного числа [latex] \lambda [/latex], так как [latex] \lambda b= \lambda 2a= 2 \lambda a[/latex]. Как результат, в данном соответствии [latex] b= 2a[/latex] сохраняются линейные операции, и оно является изоморфизмом.
  2. Следующее взаимно однозначное соответствие, которое будем рассматривать [latex] \mathbb{R} \Leftrightarrow \mathbb{R}[/latex], устанавливается формулой [latex] b= a^3[/latex] (число сопоставляемое числу [latex] a= \sqrt[3]{b}[/latex]). Данное соответствие не будет являться изоморфизмом, потому что будет сохранять линейные операции. Как пример, если [latex] a \Leftrightarrow b[/latex], т.е. [latex] b= a^3[/latex], то [latex]{(2a)}^3= 8a^3= 8b[/latex]. Значит, [latex] 2a \Leftrightarrow 8b[/latex], возникает противоречие условию [latex] \lambda a \Leftrightarrow \lambda b[/latex] для [latex] \lambda = 2[/latex] .

Задача

Проверить, являются ли изоморфными пространства:
[latex] X_1= \{ f(x) \in R[x] | f(x) \quad\vdots\quad (x^2+1) \}[/latex] и [latex] X_2[/latex], натянутое на систему векторов [latex] <a_1, a_2, a_3>. a_1=(0,0,1,0,1)[/latex], [latex] a_2=(0,1,0,1,0)[/latex] и [latex] a_3=(1,0,1,0,0)[/latex].

Решение

Найдем базис [latex] X_1[/latex]
[latex] \forall f(x) \in X_1 \Leftrightarrow f(x)= [/latex] [latex](x^2+1)(ax^2+bx+c)=[/latex] [latex]ax^4+bx^3+ax^2+cx^2+bx+c=[/latex] [latex]a(x^4+x^2)+b(x^3+x)+c(x^2+1)[/latex], таким образом [latex]<x^4+x^2,x^3+x,x^2+1>[/latex] — базис.
Очевидно, что система [latex] <a_1,a_2,a_3>[/latex], на которую натянуто [latex] X_2[/latex] ЛНЗ (линейно независимая система), dim [latex] X_1 =[/latex] dim [latex] X_2= 3[/latex]. Следовательно по критерию изоморфности [latex] X_1 \simeq X_2[/latex].

Источники

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Издание пятое, 1974.Стр. 170

Изоморфизм линейных пространств

Тест по теме: «Изоморфизм линейных пространств. Критерий изоморфности»

Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме. Сопряженность

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Спойлер

Комплексным числом [latex]z[/latex] называется число вида [latex]z=a+bi[/latex], где [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] – действительные числа, [latex]i[/latex] – так называемая мнимая единица. Число [latex]a[/latex] называется действительной частью [latex](Rez)[/latex] комплексного числа, число [latex]b[/latex] называется мнимой частью [latex](Imz)[/latex] комплексного числа.

[свернуть]

Сложение

Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
Тогда [latex]z=[/latex] [latex]z_1 + z_2[/latex] получается простым приведением подобных:
[latex]z_1 + z_2=[/latex] [latex]z_1 + z_2=[/latex] [latex]a_1+b_1i+a_2+b_2i=[/latex] [latex](a_1+a_2)+(b_1+b_2)i[/latex]

Спойлер

[latex]z_1=3+2i[/latex] и [latex]z_2=1+4i[/latex]
[latex]z_1 + z_2=[/latex] [latex]3+2i + 1+4i=[/latex] [latex](3+1)+(2+4)i=[/latex] [latex]4+6i[/latex]

[свернуть]

Вычитание

Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
Тогда [latex]z=[/latex] [latex]z_1 — z_2[/latex] получается аналогично со сложением:
[latex]a_1+b_1i — (a_2+b_2i)=[/latex] [latex](a_1-a_2)+(b_1-b_2)i[/latex]

Спойлер

[latex]z_1=6+i[/latex] и [latex]z_2=5+2i[/latex]
[latex]z_1 — z_2=[/latex] [latex]6+i — (5+2i)=[/latex] [latex](6-5)+(1-2)i=[/latex] [latex]1-i[/latex]

[свернуть]

Умножение

Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
Тогда [latex]z=[/latex] [latex]z_1 \times z_2=[/latex] [latex](a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i)[/latex].
Что делать на этом шаге? Все довольно просто, как Вы наверно и подумали, надо всего лишь раскрыть скобки и привести подобные:
[latex](a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i)=[/latex] [latex](a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i[/latex]

Спойлер

[latex]z_1=2+i[/latex] и [latex]z_2=3+2i[/latex]
[latex]z_1 — z_2=[/latex] [latex](2+i)(3+2i)=[/latex] [latex](6 — 2)+(4+3)i=[/latex] [latex]4+7i[/latex]

[свернуть]

Определение комплексно сопряженного числа

Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
[latex]z_1[/latex] называют комплексно сопряженным к [latex]z_2[/latex], если [latex]a_1 = a_2[/latex] и [latex]b_1 = -b_2[/latex], т.е. [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_1-b_1i[/latex].
И при перемножении [latex]z_1 \times z_2=[/latex] [latex]{a_1}^2-{b_1}^2[/latex]
Это потребуется для нашего следующего действия.

Деление

Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
Тогда [latex]z=[/latex] [latex]\frac{z_1}{z_2}=[/latex] [latex]\frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}[/latex]
На этом шаге обычно все и остановилось бы, но мы сможем еще упростить выражение благодаря знанию комплексно сопряженных чисел. Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число к знаменателю, получим:
[latex]\frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)}=[/latex] [latex]\frac{(a_1a_2+b_1b_2)+(a_2b_1-a_1b_2)i}{{a_2}^2+{b_2}^2}[/latex]

Спойлер

[latex]z_1=3+i[/latex] и [latex]z_2=3+2i[/latex]
[latex]\frac{z_1}{z_2}=[/latex] [latex]\frac{3+i}{3+2i}=[/latex] [latex]\frac{(3+i)(3-2i)}{9+4}=[/latex] [latex]\frac{9+2-6i+3i}{13}=[/latex] [latex]\frac{11-3i}{13}[/latex]

[свернуть]

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Спойлер

Перед дальнейшим прочтением материала просмотрите информацию о тригонометрической форме комплексного числа
svg111
Любое комплексное число [latex]z[/latex] можно представить в виде:[latex]|z|(\cos\phi+ i\sin\phi)[/latex], где [latex]|z|[/latex] — это модуль комплексного числа, а [latex]\phi=arg z[/latex] — это аргумент комплексного числа. [latex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/latex]

[свернуть]

Умножение

Произведением двух комплексных чисел [latex]z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1)[/latex] и [latex]z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2)[/latex] будет комплексное число вида [latex]z=z_1z_2=r_1r_2(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2)[/latex]

Спойлер

[latex]z_1=3(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})[/latex] и [latex]z_1=2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})[/latex]
[latex]z_1 \times z_2=[/latex] [latex]3(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}) \times 2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})=[/latex] [latex]6(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6})[/latex]

[свернуть]

Деление

Частным двух комплексных чисел [latex]z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1)[/latex] и [latex]z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2)[/latex] будет комплексное число вида [latex]z=z_1z_2=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1-\phi_2)+i\sin(\phi_1-\phi_2)[/latex]

Возведение в степень

[latex]\forall z \in C[/latex] [latex]z^n=[/latex] [latex]{r(\cos\phi+i\sin\phi)}^n=[/latex] [latex]r^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))[/latex]

Спойлер

[latex]z=3\sqrt{3}(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})[/latex]
[latex]z^10=[/latex] [latex]{3\sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})}^10=[/latex] [latex]{27}^5{(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})}^10=[/latex] [latex]{27}^5(\cos\frac{10\pi}{3}+i\sin\frac{10\pi}{3})=[/latex] [latex]{27}^5(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3})=[/latex]

[свернуть]

Извлечение корня

[latex]\forall z \in C[/latex] [latex]\sqrt[n]{z}=[/latex] [latex]\sqrt[n]{r(\cos\phi+i\sin\phi)}=[/latex] [latex]\sqrt[n]{r}(\cos\frac{\phi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\phi+2\pi k}{n})[/latex], [latex]k=\overline{0,n-1}[/latex]

Спойлер

[latex]z=8(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})[/latex]
[latex]\sqrt[3]{8(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})}=[/latex] [latex]2\sqrt[3]{(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})}=[/latex] [latex]2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{n}), k=\{0,1,2\}[/latex]
[latex]2(\cos\frac{2\pi}{9}+i\sin\frac{2\pi}{9})[/latex] — это первый корень.
[latex]2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3})=[/latex] [latex]2(\cos\frac{8\pi}{9}+i\sin\frac{8\pi}{9})[/latex] — это второй корень
[latex]2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3})=[/latex] [latex]2(\cos\frac{14\pi}{9}+i\sin\frac{14\pi}{9})[/latex] — это третий корень

[свернуть]

Тест поможет Вам проверить, как Вы усвоили материал

Литература

  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968,cтр 115-123
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, стр 194-210

Обращение матриц

Обращение матриц

Первый способ нахождения обратной матрицы. Пусть дана матрица [latex]A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}[/latex]. Обратную матрицу можно вычислить по формуле [latex]A^{-1}=(\det A)^{-1} \cdot A^{T},[/latex] где [latex]A^{T}[/latex] — транспонированная матрица алгебраических дополнений. Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольника. [latex]\det A=[/latex][latex]0 \cdot 3 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 3[/latex][latex]+2 \cdot 5 \cdot 3-3 \cdot 3 \cdot 3[/latex][latex]-5 \cdot 5 \cdot 0-2 \cdot 1 \cdot 7=4.[/latex] Если бы определитель был равен нулю, то обратная матрица не существует. Дальше найдем алгебраическое дополнение матрицы. Чтобы найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы, нужно вычеркнуть строку и столбец содержащий этот элемент, найти определитель минора каждого элемента и умножить на [latex]-1[/latex] в степени суммы номера строки и столбца в которых располагается элемент.
[latex]A_{11}=(-1)^{1+1} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=-4[/latex]
[latex]A_{12}=(-1)^{1+2} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=1[/latex]
[latex]A_{13}=(-1)^{1+3} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=1[/latex]
[latex]A_{21}=(-1)^{2+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=8[/latex]
[latex]A_{22}=(-1)^{2+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=-9[/latex]
[latex]A_{23}=(-1)^{2+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=3[/latex]
[latex]A_{31}=(-1)^{3+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=-4[/latex]
[latex]A_{32}=(-1)^{3+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix}=6[/latex]
[latex]A_{33}=(-1)^{3+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=-2[/latex]
Матрица алгебраических дополнений [latex]A = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 8 & -9 & 3 \\ -4 & 6 & -2 \end{pmatrix}[/latex]. Транспонируем Матрицу алгебраических дополнений, [latex]A^{T} = \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}[/latex]. Теперь найдем обратную матрицу [latex]A^{-1}=[/latex][latex]\frac{1}{4} \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]. Если обратная матрица найдена правильно, то при умножение обратной матрицы на исходную получим матрицу, у которой на главной диагонали единицы, а все остальные элементы равны нулю. [latex]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4 & -1/2 \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex]. Так как получили единичную матрицу, то обратная матрица найдена верно.
Второй способ нахождения обратной матрицы. Запишем рядом с исходной матрицей единичную [latex]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex]. Любую матрицу можно привести к единичной, это мы и сделаем с нашей матрицей [latex]A[/latex], выполняя действия по привидению матрицы [latex]A[/latex] к единичному виду, будем выполнять такие же с единичной матрицей.
[latex]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex]
Умножим вторую строку на [latex]-1[/latex] и прибавим к третьей.
[latex]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}[/latex]
Поменяем первую и третью строки местами.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/latex]
Первую строку умножим на [latex]-2[/latex] и прибавим ко второй.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/latex]
Вторую строку прибавим к третьей.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}[/latex]
Поделим третью строку на четыре.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
Умножим вторую строку на [latex]-2[/latex] и прибавим к первой.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
Умножим третью строку на [latex]-1[/latex] и прибавим ко второй.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ -1/4 & 9/4 & -3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
Умножим вторую строку на [latex]-1[/latex].
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
Вторую строку умножим на [latex]-4[/latex] и прибавим к первой.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
Полученная матрица является обратной.
Литература

  • 1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии
  • 2. Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 211-213.
  • Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 116, 125.
  • Обращение матриц

    Обращение матриц

    Таблица лучших: Обращение матриц

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Подгруппы. Критерий подгруппы

    Определение

    Подмножество [latex]H[/latex] группы [latex]G[/latex] называется подгруппой этой группы (обозначают [latex]H \le G[/latex]), если оно само является группой относительно сужения операции, определенной в группе [latex]G[/latex].

    Теорема (Критерий подгруппы)

    Непустое подмножество [latex]H[/latex] группы [latex]G[/latex] будет подгруппой тогда и только тогда, когда [latex]h_{1}h_{2}\in H[/latex] и [latex]h_{1}^{-1}\in H[/latex] для всех [latex]h_{1},h_{2} \in H[/latex]

    Обозначается

    [latex]<G, \ast>[/latex] — группа.

    [latex]H \subseteq G[/latex]

    [latex]H \le G \Leftrightarrow[/latex] [latex](\forall h_{1}, h_{2}\in H)[h_{1}\ast h_{2}^{-1}\in H][/latex]

    Спойлер

    Пусть [latex]H[/latex] — подгруппа группы [latex]G[/latex], т. е. [latex]H[/latex] — группа  относительно сужения операции, определенной в группе [latex]G[/latex]. Определена алгебраическая операция в [latex]H[/latex], поэтому [latex]h_{1}h_{2}\in H[/latex] для всех [latex]h_{1},h_{2}\in H[/latex].

    Проверим что единица [latex]e_{1}[/latex] подгруппы [latex]H[/latex] совпадает с единицей [latex]e[/latex] группы [latex]G[/latex]. Ясно, что [latex]e_{1}e=[/latex] [latex]ee_{1}=[/latex] [latex]e_{1}[/latex], т. к. [latex]e_{1}[/latex] — элемент из [latex]G[/latex].  В группе [latex]G[/latex] для [latex]e_{1}[/latex] имеется обратный элемент [latex]e_{1}^{-1}[/latex], то есть [latex]e_{1}^{-1}e_{1}=[/latex] [latex]e_{1}e_{1}^{-1}=[/latex] [latex]e[/latex]. Так как [latex]e_{1}[/latex] — единица в [latex]H[/latex], то [latex]e_{1}e_{1}=e [/latex]. Умножив обе части последнего равенства  на [latex]e_{1}^{-1}[/latex], получим: [latex]e_{1}^{-1}e_{1}e_{1}=[/latex] [latex]e_{1}^{-1}e_{1}[/latex] или [latex]ee_{1}=e[/latex], поэтому [latex]e_{1}=e[/latex]. Таким образом, единицы подгруппы [latex]H[/latex] и группы [latex]G[/latex] совпадают.

    Так как [latex]H[/latex] подгруппа, то для каждого [latex]h\in H[/latex] существует в подгруппе [latex]H[/latex] обратный элемент [latex]h^{-1}[/latex], то есть такой элемент, что [latex]h^{-1}h=[/latex] [latex]hh^{-1}=[/latex] [latex]e_{1}=[/latex] [latex]e[/latex]. Это означает, что [latex]h^{-1}[/latex] является обратным элементом в группе [latex]G[/latex] для элемента [latex]h\in H[/latex].

    Обратно, пусть [latex]h_{1}h_{2}[/latex] и [latex]h_{1}^{-1}\in H[/latex] для всех [latex]h_{1}, h_{2}\in H[/latex]. Тогда алгебраическая операция определенна на [latex]H[/latex]. Она ассоциативна в [latex]H[/latex], так как ассоциативность справедлива для всех элементов из [latex]G[/latex]. Элемент [latex]h^{-1}[/latex] обратный [latex]h \in H[/latex] также принадлежит [latex]H[/latex], поэтому [latex]h^{-1}h \in H[/latex] и [latex]hh^{-1}[/latex]. Поскольку [latex]h^{-1}h=[/latex] [latex]e=[/latex] [latex]hh^{-1}[/latex], то [latex]e \in H[/latex] и [latex]H[/latex] — группа.

    [свернуть]

     

    Спойлер

    [latex]<\mathbb{Z}, +>[/latex] — группа,

    [latex]3\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}[/latex],

    Z

    [latex]3\mathbb{Z} \overset{?}{\le} \mathbb{Z}[/latex],

    [latex] a,b \in 3\mathbb{Z} \Rightarrow[/latex] [latex]a=3m_{1} \wedge b=3m_{2}[/latex],

    [latex]-b=-(3m_{2})[/latex],

    [latex]a+(-b)=[/latex] [latex]3m_{1}+(-3m_{2})=[/latex] [latex]3m_{1}-3m_{2}=[/latex] [latex] 3(m_{1}-m_{2})=[/latex] [latex]3m_{3}\in 3\mathbb{Z}[/latex],

    [latex]3\mathbb{Z} \le \mathbb{Z}[/latex]

    [свернуть]

    Тест

    Подгруппы. Критерий подгруппы.

    Таблица лучших: Подгруппа

    максимум из 10 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Источник

    Г. С. Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре.

    В. С. Монахов. Учебное пособие «Введение в теорию конечных групп и их классов». Гомель 2003 (стр. 20-21)

    А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. Издание десятое. Стереотипное. Москва «Наука» 1971. (стр. 398-399)

    И. В. Проскуряков.  Сборник задач по линейной алгебре. Издание шестое. Стереотипное. Москва «Наука», 1984. (стр. 218-220)