1. Каноническое разложение многочлена — разложение на неприводимые множители.
2. Всякий многочлен $latex f(x)$ с вещественными коэффициентами представим единственным образом в виде произведения своего старшего коэффициента и линейных многочленов вида $latex (x-\alpha ),$ соответствующих его действительным корням, и квадратных вида $latex (x-\alpha )\cdot (x-\overline{\alpha } )=$ $latex x^{2} — (\alpha + \overline{\alpha } ) +\alpha \cdot \overline{\alpha },$ соответствующих парам сопряжённых комплексных корней (следствие из основной теоремы алгебры для вещественного случая).
3. Дискриминант для уравнения третей степени выглядит, как: $latex D(f)= -4a_{2}^{3}a_4 + a_{2}^{2}a_{3}^{2} — 4a_1 a_{3}^{3} + 18a_1 a_2 a_3 a_4 — 27a_{1}^{2} a_{4}^{2}.$
4. Если комплексное (но не действительное) число $latex \alpha $ служит корнем многочлена $latex f(x),$ с действительными коэффициентами, то корнем для $latex f(x)$ будет и сопряжённое число $latex \overline{\alpha }.$
5. Любой многочлен выше второй степени (и при том нечётной) с вещественными коэффициентами точно имеет хотя бы один вещественный корень.

Исходя из основной теоремы алгебры, и всего вышесказанного данный многочлен степени 3 точно имеет 3 комплексных корня, однако он имеет вещественные коэффициенты, так что возможны 3 случая:

• $latex D(f)>0 \Rightarrow $ полином имеет 3 различных вещественных корня.
• $latex D(f)=0 \Rightarrow $ хотя бы 2 корня совпадают.
• $latex D(f)<0 \Rightarrow $ уравнение имеет один вещественный и пару сопряжённых корней.

1. Найти дискриминант и определить какими будут корни (комплексными или вещественными)
2. Согласно результату подобрать оптимальный способ нахождения корней (например формула Кардано или Виета) и найти их.
3. Согласно найденным корням разложить на линейные (неприводимые) множители полиномы.
[свернуть]

1. Найдём дискриминант многочлена $latex f(x) = x ^{3}-6\cdot x^{2}+11\cdot x -6.$
   $latex D(f)= -4a_{2}^{3}a_4 + a_{2}^{2}a_{3}^{2} — 4a_1 a_{3}^{3} — 27a_{1}^{2} a_{4}^{2} + 18a_1 a_2 a_3 a_4=$$latex -4\cdot (-6)^{3}\cdot (-6)+(-6)^2 \cdot 11^{2} — 4\cdot 1\cdot 11^{3} -$$latex 27\cdot 1^2 \cdot (-6)^{2}+18\cdot (-6) \cdot (-6) \cdot 11=$$latex -5184+4356-5324-972+7128=4$
2. Подберём метод решения. $latex D(f)=4>0 \Rightarrow $ все корни вещественные,следовательно будет удобно использовать формулу Виета (которая также является одним из следствий основной теоремы алгебры).
   Найдём корни. По теореме Виета для кубического полинома имеем, что:
   • $latex x_{1} + x_{2} + x_{3}= -\frac{a_{1}}{a_{2}}$
   • $latex x_1 \cdot x_2 +x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac {a_{3}}{a_{1}}$
   • $latex x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = — \frac{a_{4}}{a_{1}}$

   Учитывая значения коэффициентов (а в особенности то, что $latex a_1 = 1$) имеем:

   • $latex x_{1} + x_{2} + x_{3}= 6$
   • $latex x_1 \cdot x_2 +x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = 11$
   • $latex x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 6$

   Очевидно, что $latex x_1 =1, x_2 = 2, x_3 = 3.$

3. Учитывая найденные корни, разложим данный полином. Все корни данного полинома являются вещественными, а старший многочлен равен 1, следовательно разложение будет вида $latex (x-\alpha _1 )(x-\alpha _2 )(x-\alpha _3 ),$ где $latex \alpha _i , i= \overline{1,3}$ — соответствующие корни многочлена. Имеем:
   $latex f(x) = x ^{3}-6\cdot x^{2}+11\cdot x -6=$$latex (x-1)(x-2)(x-3).$ Задача решена.
   [свернуть]

1. Всякий многочлен $latex f(x)$ с вещественными коэффициентами представим единственным образом в виде произведения своего старшего коэффициента и линейных многочленов вида $latex (x-\alpha ),$ соответствующих его действительным корням, и квадратных вида $latex (x-\alpha )\cdot (x-\overline{\alpha } )=$ $latex x^{2} — (\alpha + \overline{\alpha } ) +\alpha \cdot \overline{\alpha },$ соответствующих парам сопряжённых комплексных корней (следствие из основной теоремы алгебры для вещественного случая).
2. Если комплексное (но не вещественное) число $latex \alpha $ служит корнем многочлена $latex f(x)$ с вещественными коэффициентами, то корнем для этого многочлена $latex f(x)$ также будет и сопряжённое к нему $latex \overline{\alpha }.$
   
   [свернуть]

Учтите, что $latex f(x)=x^{6} +27 \Rightarrow x=\sqrt[6]{-27},$ а также, если $latex x \in \mathbb{C} \Rightarrow $ существует ровно n различных значений для $latex \sqrt[n]{x},$ причём полученных по формуле: $latex x=r\cdot (\cos \phi +i\cdot \sin \phi),$$latex \sqrt[n]{x}=w_{k}, k = \overline{0,n-1},$$latex w_k = \sqrt[n]{r}\cdot (\cos \frac{\phi + \pi \cdot k}{n} + $$latex i\cdot \sin \frac{\phi + \pi \cdot k}{n})$

Как было написано в указаниях к решению, $latex f(x)=x^{6} +27 \Rightarrow x=\sqrt[6]{-27},$ однако следует помнить, что если $latex x \in \mathbb{C} \Rightarrow $ существует ровно n различных значений для $latex \sqrt[n]{x},$ причём полученных по формуле: $latex x=r\cdot (\cos \phi +i\cdot \sin \phi),$$latex \sqrt[n]{x}=w_{k}, k = \overline{0,n-1},$$latex w_k = \sqrt[n]{r}\cdot (\cos \frac{\phi + \pi \cdot k}{n} + $$latex i\cdot \sin \frac{\phi + \pi \cdot k}{n}).$ Для начала переведём -27 в тригонометрический вид комплексного числа: $latex -27 = -27 +0\cdot i = 27\cdot (\cos (-\pi )+i\cdot \sin (-\pi )).$ Теперь мы можем воспользоватся формулой, описанной ранее:

1. $latex w_0 = \sqrt[6]{27}\cdot (\cos -\frac{\pi}{6} + $$latex i\cdot \sin -\frac{\pi}{6})=$$latex \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}- i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$$latex \frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. $latex w_1 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{\pi}{6} + $$latex i\cdot \sin \frac{\pi}{6})=$$latex \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}+ i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$$latex \frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
3. $latex w_2 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{3\pi}{6} + $$latex i\cdot \sin \frac{3\pi}{6})=$$latex i\cdot \sqrt{3}$
4. $latex w_3 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{5\pi}{6} + $$latex i\cdot \sin \frac{5\pi}{6})=$$latex -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}+ i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$$latex -\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
5. $latex w_4 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{7\pi}{6} + $$latex i\cdot \sin \frac{7\pi}{6})=$$latex -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}- i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$$latex -\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
6. $latex w_5 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{9\pi}{6} + $$latex i\cdot \sin \frac{9\pi}{6})=$$latex -i\cdot \sqrt{3}$

Заметим, что $latex w_0 = \overline{w_1},$ $latex w_2 = \overline{w_5},$ $latex w_3 = \overline{w_5},$ как и должно быть, ведь если комплексное (но не вещественное) число служит корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то корнем для этого многочлена также будет и сопряжённое к нему.
Так, как все корни данного многочлена комплексные, то все множители будут вида $latex (x-w_k )\cdot (x-\overline{w_k } )=$$latex x^{2} — (w_k + \overline{w_k } )\cdot x +w_k \cdot \overline{w_k }, k=\overline{0,n-1}.$ Данный полином шестой степени, следовательно он имеет 6 корней, однако, так, как они комплексные, то для разложения в вещественные множители, сопряжённые значения будут перемножены и в итоге мы получим 3 множителя. Найдём их, учитывая написанное выше ($latex w_0 = \overline{w_1},$ $latex w_2 = \overline{w_5},$ $latex w_3 = \overline{w_5}$):

1. $latex m_1 = x^2 — (w_0 + w_1)x + w_0 \cdot w_1 = $$latex x^2 — (\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} + i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})x +$$latex (\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=$$latex x^2-x+3$
2. $latex m_2 = x^2 — (w_3 + w_4)x + w_3 \cdot w_4 = $$latex x^2 — (-\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{3}{2} + i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})x +$$latex (-\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (-\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=$$latex x^2+x+3$
3. $latex m_3 = x^2 — (w_2 + w_5)x + w_2 \cdot w_5 = $$latex x^2 — (i\cdot \sqrt{3}-i\cdot \sqrt{3})x +$$latex i\cdot \sqrt{3}\cdot (-i\cdot \sqrt{3})=$$latex x^2+3$

В результате имеем: $latex f(x) = x^6 +27 = (x^2-x+3)(x^2+x+3)(x^2+3)$

[свернуть]

Одним из следствий из основной теоремы алгебры является то, что всегда существует многочлен не более, чем n-ной степени, принимающий наперёд заданные значения ($latex y_0,y_1,…y_{n+1}$) при n+1 заданных значениях неизвестного ($latex x_0,x_1,\dots x_{n+1}$), и по Лагранжу такой многочлен определяется формулой: $$ f(x)=\underset{i=1} {\overset{n+1} {\sum }} \frac{y_i (x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\dots (x-a_{n+1})}{(a_i -a_1)(a_i -a_2)\dots (a_i -a_{i-1})(a_i -a_{i+1})\dots (a_i -a_{n+1})}$$

Подставим данные значения в интерполяционную формулу Лагранжа, получим:
$latex \large \frac{2(x-2)(x-3)(x-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)}+$$latex \large \frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{(2-1)(2-3)(2-4)}+$$latex \large \frac{4(x-1)(x-2)(x-4)}{(3-1)(3-2)(3-4)}+$$latex \large \frac{3(x-1)(x-2)(x-3)}{(4-1)(4-2)(4-3)}=$$latex \large -\frac{1}{3}(x-2)(x-3)(x-4)-$$latex \large \frac{1}{2}(x-1)(x-3)(x-4)+$$latex \large 2(x-1)(x-2)(x-4)+$$latex \large \frac{1}{2}(x-1)(x-2)(x-3)=$$latex \large -\frac{4}{3}x^3+10x^2-\frac{65}{3}x+15$

Изоморфизм линейных пространств, свойства

Дано два конечномерных линейных пространства [latex] (X_1, \mathbb{P})[/latex] и [latex] (X_2, \mathbb{P})[/latex], заданных над одним полем [latex] \mathbb{P}[/latex](любое числовое поле)
[latex] X_1 \simeq X_2[/latex] (изоморфны), если:

1. [latex] \exists f: X_1 \to X_2[/latex] (т.е.[latex] \forall a\in X_1[/latex] сопоставляется вектор [latex] a`\in X`[/latex], образ вектора[latex] a[/latex], причём различные векторы из [latex] X[/latex] обладают различными образами и всякий вектор из [latex] X`[/latex] служит образом некоторого вектора из [latex] X[/latex]).
2. [latex] f(\alpha a+\beta b) = \alpha f(a) + \beta f(b)[/latex], [latex] \forall a,b \in X_1[/latex], [latex] \forall \alpha, \beta \in P[/latex].

Свойства изоморфизма:

1. [latex] f(0)= 0[/latex];
2. [latex] f(-x)= f(x)[/latex];
3. [latex] f(\sum\limits_{j=1}^k \alpha_je_j)= \sum\limits_{j=1}^k \alpha_j f(e_j)[/latex];
4. ЛНЗ [latex] \to^f[/latex] ЛНЗ;
5. ЛЗ [latex] \to^f[/latex] ЛЗ;
6. Базис отображается в базис;
7. dim [latex] X_1[/latex]= dim[latex] X_2[/latex];
8. Прямая сумма [latex] \to[/latex] прямая сумма.

Критерий изоморфности:

[latex] X_1 \simeq X_2 \Leftrightarrow [/latex] dim [latex] X_1 = [/latex] dim [latex]X_2.[/latex]

Комплексным числом [latex]z[/latex] называется число вида [latex]z=a+bi[/latex], где [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] – действительные числа, [latex]i[/latex] – так называемая мнимая единица. Число [latex]a[/latex] называется действительной частью [latex](Rez)[/latex] комплексного числа, число [latex]b[/latex] называется мнимой частью [latex](Imz)[/latex] комплексного числа.

[latex]z_1=3+2i[/latex] и [latex]z_2=1+4i[/latex]
[latex]z_1 + z_2=[/latex] [latex]3+2i + 1+4i=[/latex] [latex](3+1)+(2+4)i=[/latex] [latex]4+6i[/latex]

[latex]z_1=6+i[/latex] и [latex]z_2=5+2i[/latex]
[latex]z_1 — z_2=[/latex] [latex]6+i — (5+2i)=[/latex] [latex](6-5)+(1-2)i=[/latex] [latex]1-i[/latex]

[latex]z_1=2+i[/latex] и [latex]z_2=3+2i[/latex]
[latex]z_1 — z_2=[/latex] [latex](2+i)(3+2i)=[/latex] [latex](6 — 2)+(4+3)i=[/latex] [latex]4+7i[/latex]

[latex]z_1=3+i[/latex] и [latex]z_2=3+2i[/latex]
[latex]\frac{z_1}{z_2}=[/latex] [latex]\frac{3+i}{3+2i}=[/latex] [latex]\frac{(3+i)(3-2i)}{9+4}=[/latex] [latex]\frac{9+2-6i+3i}{13}=[/latex] [latex]\frac{11-3i}{13}[/latex]

Перед дальнейшим прочтением материала просмотрите информацию о тригонометрической форме комплексного числа

Любое комплексное число [latex]z[/latex] можно представить в виде:[latex]|z|(\cos\phi+ i\sin\phi)[/latex], где [latex]|z|[/latex] — это модуль комплексного числа, а [latex]\phi=arg z[/latex] — это аргумент комплексного числа. [latex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/latex]

[latex]z_1=3(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})[/latex] и [latex]z_1=2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})[/latex]
[latex]z_1 \times z_2=[/latex] [latex]3(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}) \times 2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})=[/latex] [latex]6(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6})[/latex]

[latex]z=3\sqrt{3}(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})[/latex]
[latex]z^10=[/latex] [latex]{3\sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})}^10=[/latex] [latex]{27}^5{(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})}^10=[/latex] [latex]{27}^5(\cos\frac{10\pi}{3}+i\sin\frac{10\pi}{3})=[/latex] [latex]{27}^5(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3})=[/latex]

[latex]z=8(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})[/latex]
[latex]\sqrt[3]{8(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})}=[/latex] [latex]2\sqrt[3]{(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})}=[/latex] [latex]2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{n}), k=\{0,1,2\}[/latex]
[latex]2(\cos\frac{2\pi}{9}+i\sin\frac{2\pi}{9})[/latex] — это первый корень.
[latex]2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3})=[/latex] [latex]2(\cos\frac{8\pi}{9}+i\sin\frac{8\pi}{9})[/latex] — это второй корень
[latex]2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3})=[/latex] [latex]2(\cos\frac{14\pi}{9}+i\sin\frac{14\pi}{9})[/latex] — это третий корень

Пусть [latex]H[/latex] — подгруппа группы [latex]G[/latex], т. е. [latex]H[/latex] — группа  относительно сужения операции, определенной в группе [latex]G[/latex]. Определена алгебраическая операция в [latex]H[/latex], поэтому [latex]h_{1}h_{2}\in H[/latex] для всех [latex]h_{1},h_{2}\in H[/latex].

Проверим что единица [latex]e_{1}[/latex] подгруппы [latex]H[/latex] совпадает с единицей [latex]e[/latex] группы [latex]G[/latex]. Ясно, что [latex]e_{1}e=[/latex] [latex]ee_{1}=[/latex] [latex]e_{1}[/latex], т. к. [latex]e_{1}[/latex] — элемент из [latex]G[/latex].  В группе [latex]G[/latex] для [latex]e_{1}[/latex] имеется обратный элемент [latex]e_{1}^{-1}[/latex], то есть [latex]e_{1}^{-1}e_{1}=[/latex] [latex]e_{1}e_{1}^{-1}=[/latex] [latex]e[/latex]. Так как [latex]e_{1}[/latex] — единица в [latex]H[/latex], то [latex]e_{1}e_{1}=e [/latex]. Умножив обе части последнего равенства  на [latex]e_{1}^{-1}[/latex], получим: [latex]e_{1}^{-1}e_{1}e_{1}=[/latex] [latex]e_{1}^{-1}e_{1}[/latex] или [latex]ee_{1}=e[/latex], поэтому [latex]e_{1}=e[/latex]. Таким образом, единицы подгруппы [latex]H[/latex] и группы [latex]G[/latex] совпадают.

Так как [latex]H[/latex] подгруппа, то для каждого [latex]h\in H[/latex] существует в подгруппе [latex]H[/latex] обратный элемент [latex]h^{-1}[/latex], то есть такой элемент, что [latex]h^{-1}h=[/latex] [latex]hh^{-1}=[/latex] [latex]e_{1}=[/latex] [latex]e[/latex]. Это означает, что [latex]h^{-1}[/latex] является обратным элементом в группе [latex]G[/latex] для элемента [latex]h\in H[/latex].

Обратно, пусть [latex]h_{1}h_{2}[/latex] и [latex]h_{1}^{-1}\in H[/latex] для всех [latex]h_{1}, h_{2}\in H[/latex]. Тогда алгебраическая операция определенна на [latex]H[/latex]. Она ассоциативна в [latex]H[/latex], так как ассоциативность справедлива для всех элементов из [latex]G[/latex]. Элемент [latex]h^{-1}[/latex] обратный [latex]h \in H[/latex] также принадлежит [latex]H[/latex], поэтому [latex]h^{-1}h \in H[/latex] и [latex]hh^{-1}[/latex]. Поскольку [latex]h^{-1}h=[/latex] [latex]e=[/latex] [latex]hh^{-1}[/latex], то [latex]e \in H[/latex] и [latex]H[/latex] — группа.

[latex]<\mathbb{Z}, +>[/latex] — группа,

[latex]3\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}[/latex],

[latex]3\mathbb{Z} \overset{?}{\le} \mathbb{Z}[/latex],

[latex] a,b \in 3\mathbb{Z} \Rightarrow[/latex] [latex]a=3m_{1} \wedge b=3m_{2}[/latex],

[latex]-b=-(3m_{2})[/latex],

[latex]a+(-b)=[/latex] [latex]3m_{1}+(-3m_{2})=[/latex] [latex]3m_{1}-3m_{2}=[/latex] [latex] 3(m_{1}-m_{2})=[/latex] [latex]3m_{3}\in 3\mathbb{Z}[/latex],

[latex]3\mathbb{Z} \le \mathbb{Z}[/latex]