Рубрика: Алгебра

Учебные материалы по уневерситетскому курсу алгебры

Виды отображений. Распознавание свойств отображений. Композиция отображений. Обратимость. Примеры

Материал лекций по теме «Отображения, типы отображений, тождественное отображение»

Рассмотрим пример, в котором заданное соответствие не является отображением.

Задача №1
Условие задачи:
Задано $f(u) =\left | \frac{ u(u+1)(u+2)}{3} \right|$, $U=\mathbb Z$, $V=\mathbb N$. Определить, будет ли $f: U \rightarrow V$ отображением.

Решение

Данное соответствие будет отображением, если $\forall u \in U$ существует образ. Казалось бы, каким бы ни было $u$, произведение трех последовательных чисел всегда будет делиться на 3. Однако, при:

$\begin{matrix} u_1 = 0 & f(u_1) = 0 \\ u_2 = -1 & f(u_2) = 0 \\ u_3 = -2 & f(u_3) = 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow$ Не все прообразы имеют образы, т.к. $0 \notin \mathbb N$

$\Rightarrow$ Данное соответствие не является отображением.

[свернуть]

Рассмотрим задачи, в которых определим вид отображения и исследуем его на обратимость.

Задача №2
Условие задачи:
Заданы $U = \mathbb Z$, $V = \mathbb N$, $f(u) = u^2+2$, $f(u): U \rightarrow V$. Определить вид этого отображения и исследовать на обратимость.

Решение

Проверим, будет ли это отображение инъективным. Отображение инъективно, если для $\forall v \in V$ существует не более одного прообраза:

$\begin{matrix} u_1 = -1 & f(u_1) = 3 \\ u_2 = 1 & f(u_2) = 3 \end{matrix}$

$\Rightarrow$ Один из образов имеет более одного прообраза. Отображение не инъективно.

Проверим, будет ли отображение сюръективно. Отображение сюръективно, если каждый элемент множества $V$ является образом.

$5 \in V$, но $\nexists u \in U$ такого, что $f(u) = 5$. Т.е. хотя бы один из элементов множества $V$ не является образом.

$\Rightarrow$ Отображение не сюръективно.

Таким образом получили, что данное отображение не инъективно и не сюръективно.

Теперь исследуем отображение на обратимость. Для этого воспользуемся критерием обратимости, согласно которому отображение обратимо $\Leftrightarrow$ когда оно биективно. Поскольку отображение не иъективно и не сюръективно, оно биективным не является, а, следовательно, не обратимо.

[свернуть]

Задача №3
Условие задачи:
Заданы $U=\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, $V=\left[ -1; 1\right]$, $f: U \rightarrow V$, $f(u) = \sin{u}$. Определить вид отображения и исследовать на обратимость.

Решение

Определим вид отображения. Это отображение является инъективным, поскольку $\forall v \in V$ имеет не более одного прообраза. Это отображение также является сюръективным, поскольку $\forall v \in V$ является образом.

$\Rightarrow$ Отображение биективно.

Исследуем отображение на обратимость. Для этого, воспользуемся критерием обратимости. Поскольку отображение биективно, то, согласно критерию, оно обратимо. Действительно, для данного отображения существует обратное: $f^{-1}=\arcsin{u}$.

[свернуть]

Задача №4
Условие задачи: Заданы $f: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$, $g: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$, $f(u)=2u$, $g(u)=\frac{u}{2}$. Определить, обладает ли композиция этих отображений свойством коммутативности.

Решение

Проверим значение $(g \circ f)(u)$:

$(g \circ f)(u)=g(f(u))=g(2u)=u$

Проверим значение $(f \circ g)(u)$:

$(f \circ g)(u)=f(g(u))=f(\frac{u}{2})=u$

Получили, что $f \circ g = g \circ f$. Следовательно, композиция этих отображений обладает свойством коммутативности.

[свернуть]

Литература

  • Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1, ФИЗМАТЛИТ, 2001г., стр. 35-38

Виды отображений. Обратимость

Тест

Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису


Задача №1

Условие задачи

Векторы $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ и $x$ заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ сами образуют базис, и найти координаты вектора $x$ в этом базисе:$e_1=(1, 1, 1), e_2=(1, 1, 2), e_3=(1, 2, 3); x_f=(6, 9, 14); x_e$.

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1-ый

Проверим ЛНЗ системы $\langle e_1,e_2,e_3 \rangle$:
$$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 2\\1 & 2 & 3\end{vmatrix}=3+2+2-1-4-3=-1 \ne 0\Rightarrow$$ $\langle e_1,e_2,e_3 \rangle$ — ЛНЗ $\Rightarrow$ базис в $\mathbb{R}^3$.
Построим линейную комбинацию вектора $x$ в базисе $e$:
$x=\alpha_{1}e_{1}+\alpha_{2}e_{2}+\alpha_{3}e_{3} \Rightarrow$
$(6,9,14)=(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3},\alpha_{1}+\alpha_{2}+2\alpha_{3},\alpha_{1}+2\alpha_{2}+3\alpha_{3})$.
Решаем систему методом Гаусса и находим координаты вектора $x$ в базисе $e$: $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{1} & + & \alpha_{2} & + & \alpha_{3} & = & 6\\ \alpha_{1} & + & \alpha_{2} & + & 2\alpha_{3} & = & 9\\ \alpha_{1} & + & 2\alpha_{2} & + & 3\alpha_{3} & = & 14 \end{matrix}\right.$$ $$\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 1 & 2 & 9 \\ 1 & 2 & 3 & 14 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ $$\begin{cases}\alpha_{3}=3\\ \alpha_{2}+2\alpha_{3}=8\\ \alpha_{2}=8-6=2\\ \alpha_{1}=6-2-3=1\end{cases} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha_{1} & = & 1\\ \alpha_{2} & = & 2\\ \alpha_{3} & = & 3 \end{matrix}\right.$$

[свернуть]

Способ 2-ой

Проверим ЛНЗ системы $\langle e_1,e_2,e_3 \rangle$:
$$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 2\\1 & 2 & 3\end{vmatrix}=3+2+2-1-4-3=-1 \ne 0 \Rightarrow$$ $\langle e_1,e_2,e_3 \rangle$ — ЛНЗ $\Rightarrow$ базис в $\mathbb{R}^3$.
Строим матрицу перехода $x_{f}=\Gamma x_{e}$, где $\Gamma$ — матрица перехода. $$x_{e}=\Gamma^{-1}x_{f}$$ Находим обратную матрицу $\Gamma^{-1}$: $$\Gamma=\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right), \det \Gamma=-1$$ $$\tilde{\Gamma}=\left(\begin{matrix}-1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{matrix}\right)$$ $$\tilde{\Gamma}^{T}=\left(\begin{matrix}-1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{matrix}\right)$$ $$\Gamma^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$
$$x_{e}=\Gamma^{-1}x_{f}=\left(\begin{matrix}1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}6\\9\\14\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\right)$$

[свернуть]

Задача №2

Условие задачи

Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом, и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах:
$e_1=(1, 2, 1)$, $e_2=(2, 3, 3)$, $e_3=(3, 7, 1)$; $e’_1=(3, 1, 4)$, $e’_2=(5, 2, 1)$, $e’_3=(1, 1, -6)$.

Решение

Проверим ЛНЗ системы $\langle e_1,e_2,e_3 \rangle$: $$\begin{vmatrix}1 & 2 & 1\\2 & 3 & 3\\3 & 7 & 1\end{vmatrix} = 3+18+14-9-21-4=1 \ne 0 \Rightarrow $$ $\langle e_1,e_2,e_3 \rangle$ — ЛНЗ $\Rightarrow$ базис в $\mathbb{R}^3$.
Проверим ЛНЗ системы $\langle e’_1,e’_2,e’_3 \rangle$: $$\begin{vmatrix}3 & 1 & 4\\5 & 2 & 1\\1 & 1 & -6\end{vmatrix} = -36+1+20-8-3+30=4 \ne 0 \Rightarrow$$ $\langle e’_1,e’_2,e’_3 \rangle$ — ЛНЗ $\Rightarrow$ базис в $\mathbb{R}^3$.
Построим матрицу перехода $\Gamma_{E \to E’}$:
Построим линейную комбинацию для каждого вектора из базиса $E’$:
$$\left\{\begin{matrix}\alpha_{11}e_{1} & + & \alpha_{21}e_{2} & + & \alpha_{31}e_{3} & = & e’_{1}\\ \alpha_{12}e_{1} & + & \alpha_{22}e_{2} & + & \alpha_{32}e_{3} & = & e’_{2}\\ \alpha_{13}e_{1} & + & \alpha_{23}e_{2} & + & \alpha_{33}e_{3} & = & e’_{3} \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{11}(1, 2, 1) & + & \alpha_{21}(2, 3, 3) & + & \alpha_{31}(3, 7, 1) & = & (3, 1, 4)\\ \alpha_{12}(1, 2, 1) & + & \alpha_{22}(2, 3, 3) & + & \alpha_{32}(3, 7, 1) & = & (5, 2, 1)\\ \alpha_{13}(1, 2, 1) & + & \alpha_{23}(2, 3, 3) & + & \alpha_{33}(3, 7, 1) & = & (1, 1, -6) \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{11} & + & 2\alpha_{21} & + & 3\alpha_{31} & = & 3\\ 2\alpha_{11} & + & 3\alpha_{21} & + & 7\alpha_{31} & = & 1\\ \alpha_{11} & + & 3\alpha_{21} & + & \alpha_{31} & = & 4 \end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix}\alpha_{12} & + & 2\alpha_{22} & + & 3\alpha_{32} & = & 5\\ 2\alpha_{12} & + & 3\alpha_{22} & + & 7\alpha_{32} & = & 2\\ \alpha_{12} & + & 3\alpha_{22} & + & \alpha_{32} & = & 1 \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{13} & + & 2\alpha_{23} & + & 3\alpha_{33} & = & 1\\ 2\alpha_{13} & + & 3\alpha_{23} & + & 7\alpha_{33} & = & 1\\ \alpha_{13} & + & 3\alpha_{23} & + & \alpha_{33} & = & -6 \end{matrix}\right.$$ Решаем систему методом Гаусса и находим координаты векторов в новом базисе: $\left(\begin{array}{ccc|c|c|c}1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 1 \\ 2 & 3 & 7 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 4 & 1 & -6 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c|c|c}1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -5 & -8 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & -4 & -7 \end{array}\right)\sim $
$\left(\begin{array}{ccc|c|c|c}1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -5 & -8 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -4 & -12 & -8 \end{array}\right)$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{31} & = & 4\\ \alpha_{21} & = & 9\\ \alpha_{11} & = & -27 \end{matrix}\right. \Rightarrow\ e’_{1}=(-27, 9, 4)$$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{32} & = & 12\\ \alpha_{22} & = & 20\\ \alpha_{12} & = & -71 \end{matrix}\right.\Rightarrow\ e’_{2}=(-71, 20, 12)$$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{33} & = & 8\\ \alpha_{23} & = & 9\\ \alpha_{13} & = & -41 \end{matrix}\right. \Rightarrow\ e’_{3}=(-41, 9, 8)$$ $$\Gamma_{E \to E’}=\left(\begin{matrix}-27 & -71 & 41 \\ 9 & 20 & 9 \\ 4 & 12 & 8 \end{matrix}\right)$$
$x_{1}=-27x’_{1}-71x’_{2}-41x’_{3}$,
$x_{2}=9x’_{1}+20x’_{2}+9x’_{3}$,
$x_{3}=4x’_{1}+12x’_{2}+8x’_{3}$.

[свернуть]

Задача №3

Условие задачи

Найти размерность и базис линейных подпространств, натянутых на следующие системы векторов:
$a_{1}=(1, 0, 0, -1)$, $a_{2}=(2, 1, 1, 0)$, $a_{3}=(1, 1, 1, 1)$, $a_{4}=(1, 2, 3, 4)$,$a_{5}=(0, 1, 2, 3)$.

Решение

$L=\langle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5} \rangle$, где $L$ — подпространство
Исследуем эту систему векторов на линейную зависимость. Для этого составим матрицу, строками которой будут координаты векторов, и найдем ее ранг:
$$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right) \sim \left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right)$$ Вычеркивая любую из одинаковых строк (не забывая координаты какого вектора стояли на том месте), получаем: $$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right) \sim \left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right) $$ Делая аналогично предыдущему пункту, получаем: $$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right)$$ Ранг данной матрицы равен $3 \Rightarrow \dim L=3$. Базис образуют, например, векторы $a_{1}, a_{2}, a_{4}$ (это векторы, которые остались в матрице).

[свернуть]

Литература:

  1. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука, 1984 — стр.167-170.
  3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 — стр.52.

Тест на тему "Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису"

Тест на знание темы «Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису»

Таблица лучших: Тест на тему "Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису"

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Алгебраическая форма комплексного числа


 

Определение

Комплексное число $z$, записанное в виде $z=a+ib$,
называется алгебраической формой комплексного числа, где

$a$ и $b$ — вещественные числа,
$i$ — мнимая единица ($i^{2}=-1$) ,
$a=\mathrm{Re}\ z$ — вещественная часть $z$,
$b=\mathrm{Im}\ z$ — мнимая часть $z$.

Действия над комплексными числами:

Пусть даны два числа:
$z_{1}=a+ib$,
$z_{2}=c+id$

  • Cравнение:
    $z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow (\mathrm{Re}\ z_{1}=\mathrm{Re}\ z_{2})\wedge( \mathrm{Im}\ z_{1}=\mathrm{Im}\ z_{2})$,
    т.е. $(a=c)\wedge(b=d)$
  • Сложение:
    $z_{1}+z_{2}=(a+c)+i(b+d)$
  • Вычитание:
    $z_{1}-z_{2}=(a-c)+i(b-d)$
  • Умножение:
    $z_{1} \cdot z_{2}=ac+bci+adi+bdi^{2}$
    $=(ac-bd)+(ad+bc)i$
  • Деление:
    $ \large\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$
    $ \large =\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}$

Примеры действий над комплексными числами:

  • Найти сумму двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$, где
    $z_{1}=5+6i$, $\, z_{2}=8-4i$:

    $z_{3}=z_{1}+z_{2}$ $=(5+8)+(6-4)i$
    $z_{3}=13+2i$

  • Найти произведение двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$, где
    $z_{1}=4+3i$, $\, z_{2}=7+2i$:

    $z_{3}=z_{1} \cdot z_{2}$ $=(4 \cdot 7-3 \cdot 2)+(4 \cdot 2+3 \cdot 7)i$
    $z_{3}=22+29i \\ $

  • Упростить выражение $ \large\frac{(1+i)(3+i)(5-i)}{3-i} \\$:
    $ \large \frac{(1+i)(3+i)(5-i)}{3-i}=\frac{(3+i+3i+i^{2})(5-i)}{3-i}= \\$
    $ \large = \frac{15+20i+5i^{2}-3i-3i^{2}-i^{3}}{3-i}=\\ $
    т.к. $\, \large i^{2}=-1 \Rightarrow i^{3}=i^{2} \cdot i=-i \\$
    $ \large = \frac{7+23i}{3-i}= \frac{21-23}{3+1}+\frac{69+7}{3+1}i =\\$
    $ = -\frac{1}{2}+19i $

    • $\quad$

  • Найти решения уравнения $(3+2i)x+(-2+4i)y=-8+16i$:
    $\quad$
    $(3+2i)x+(-2+4i)y=-8+16i \Rightarrow $
    $3x+2xi-2y+4yi=-8+16i\Rightarrow$
    $(3x-2y)+(2x+4y)i=-8+16i\Rightarrow$

    Приравняем вещественную и мнимую часть в левой и правой частях уравнения и составим систему уравнений:

    $ \begin{cases}3x-2y=-8\\ 2x+4y=16\end{cases} \Rightarrow $
    $ \begin{cases}x=8-2y\\ 3(8-2y)-2y=-8\end{cases} \Rightarrow $
    $ \begin{cases}x=8-2y\\ 24-8y=-8\end{cases} \Rightarrow $
    $ \begin{cases}x=8-2y\\ 8y=32\end{cases} \Rightarrow $ $ \begin{cases}x=2\\ y= 3\end{cases} $

    Ответ: $ \ x=0$; $\, y=4$

Литература:

  1. Курс лекций по линейной алгебре. Г.С. Белозеров
  2. А.Г. Курош, Курс высшей алгебры (девятое издание, Москва, 1968), стр. 114-116

 

Алгебраическая форма комплексного числа

Тест на знание темы: «Алгебраическая форма комплексного числа»


Таблица лучших: Алгебраическая форма комплексного числа

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Определение

Пусть $G\ne \varnothing$, $»*»$ — БАО на $G.$ Тогда $(G, *)$ называется группой, если выполняются следующие три аксиомы.

  • 1. Ассоциативность. $\forall a, b, c\in G~$ $~ (a*b)*c=$$a*(b*c).$
  • 2. Нейтральный элемент. $\exists e\in G ,\forall a\in G~a*e=$$e*a=a.$
  • 3. Симметрический элемент. $\forall a\in G,\exists a^{‘}\in G$$ a*a^{‘}=a^{‘}*a=e.$

Если, кроме этих трех условий выполняется условие коммутативности $\forall a, b \in G~a*b=b*a,$ то такая группа называется абелевой.

Примеры

  • 1.) $(\mathbb Z, +), (\mathbb Q^{*}, +),(\mathbb R, +)$ — аддитивные группы (по сложению всякое кольцо является абелевой группой).
  • 2.) $(\mathbb Q^{*}, \cdot), (\mathbb R^{+}, \cdot),(\mathbb R^{*}, \cdot)$ — мультипликативные группы(совокупность отличных от нуля элементов любого поля является абелевой группой).
  • 3.) $ (\mathbb C_{[-1;1]}, +) $ — множество непрерывных вещественных функций определенных на $[-1;1].$
  • 4.) $(\mathbb R^{2}, +), (a, b)+(c, d)=$$(a+c, b+d).$
  • 5.) $G_{2n},$ где $n$ — простое. Возможно по крайней мере 2 группы: Циклическая группа $ C_{2n}$ и диэдр $D_{n}$

    • grafik1grafik1

Простейшие следствия из аксиом

  • 1. Нейтральный элемент — единственный.

Доказательство. Предположим противное. Пусть $\exists e^{‘},$ так как $e^{‘}$ — нейтральный элемент, то $e^{‘}e=e^{‘}$, но $e$ тоже нейтральный элемент, а значит $e^{‘}e=e \Longrightarrow e=e^{‘}. $

  • 2. $\forall a\in G~ \exists! a^{‘},a^{‘}a=e$

Доказательство. Предположим противное. Пусть $\exists a^{»},a^{»}a=aa^{»}=e,$$ a^{‘}a=aa^{‘}=e,$$ a^{‘}aa^{»}=(a^{‘}a)a^{»}=ea^{»}=a^{»},$ $a^{‘}(aa^{»})=a^{‘}e=a^{‘} \Longrightarrow $$a^{‘}=a^{»} $

  • 3. $a*x=b,(x*b=a)$, решение единственно.

Доказательство.

Единственность.

$x_{0}$ — решение. $ax_{0}=b, a^{‘}(ax_{0})=a^{‘}b,$$ (a^{‘}a)x_{0}=a^{‘}b$, $ex_{0}=a^{‘}b, x_{0}=a^{‘}b$

Существование.

$x_{0}=a^{‘}b, a(a^{‘}b)=$$(aa^{‘})b=eb=b$

  • 4. $(a^{‘})^{‘}=a, \forall a\in G$

Доказательство. По третьей аксиоме $a^{‘}(a^{‘})^{‘}=e, a^{‘}a=e \Longrightarrow$
$a^{‘}(a^{‘})^{‘}=a^{‘}a\Longrightarrow (a^{‘})^{‘}=a$.

  • 5. $(ab)^{‘}=b^{‘}a^{‘}$

Доказательство.
$(ab)(ab)^{‘}=e, aa^{‘}=e$, $bb^{‘}=e \Longrightarrow (aa^{‘})(bb^{‘})=$$(bb^{‘})(aa^{‘})=ee \Longrightarrow $$ (bb^{‘})(aa^{‘})=e \Longrightarrow$ $(ab)(ab)^{‘}=(bb^{‘})(aa^{‘}) \Longrightarrow$ $(ab)(ab)^{‘}=(ab)b^{‘}a^{‘} \Longrightarrow$$ (ab)^{‘}=b^{‘}a^{‘}$

  • 6. $\forall n\in \mathbb N$$ a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}$

Доказательство.

База индукции.

$a^{1}=a$.

Предположение индукции.

Пусть $n=k, a^{k}=\underset{k}{\underbrace{aa..a}}.$

Шаг индукции.

Пусть $n=k+1, a^{k}a^{1}=a(aa..a),$ $a^{k+1}=\underset{k+1}{\underbrace{aa..a}}$.

  • 7. $\forall n, m\in \mathbb N, a^{n}a^{m}=a^{n+m}$

Доказательство.

$a^{m}=\underset{m}{\underbrace{aa..a}}, a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}$

$a^{n}a^{m}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}} \cdot \underset{m}{\underbrace{aa..a}} \Longrightarrow$ $a^{n}a^{m}=\underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}$, $\underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}=a^{n+m} \Longrightarrow$ $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$

 

  • 8. $\forall n, m\in \mathbb N, (a^{n})^{m}=a^{nm}$

 

Доказательство.

$(a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)^{m}}} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=\underset{n\cdot m}{\underbrace{(aa..a)}} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}\cdot \underset{m}{\underbrace{(aa..a)}} $

$\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{n}$, $\underset{m}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{m} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=a^{n}a^{m}$

 

  • 9. $\forall n\in \mathbb N, (a^{n})^{‘}=(a^{‘})^{n}$

 

Доказательство.

$a^{n}(a^{n})^{‘}=e, (a^{‘})^{n}=$$\underset{n}{\underbrace{(a^{‘}a^{‘}..a^{‘})}},$

$\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}} \cdot \underset{n}{\underbrace{(a^{‘}a^{‘}..a^{‘})}}=e \Longrightarrow$ $a^{n}(a^{‘})^{n}=e \Longrightarrow$ $a^{n}(a^{‘})^{n}=a^{n}(a^{n})^{‘} \Longrightarrow$ $(a^{‘})^{n}=(a^{n})^{‘}.$
Литература

 

 

Тесты

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.


Таблица лучших: Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Бинарная алгебраическая операция. Исследование свойств операции

Определение

Бинарной алгебраической операцией (БАО), действующей на множестве $A$ называется отображение:

$*:A^2\rightarrow A$.

Примеры

  1. Операции $+$ и $\cdot$ на множествах $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$.
  2. В качестве множества $A$ в условиях вышеуказанного определения возьмём множество $\mathbb{Z}$, и определим $\forall a,b \in A\: a*b\overset{def}{=}(a+b)^2$. Тогда операция $*$ является бинарной алгебраической операцией.
  3. Операция $\backslash$ на множестве $\mathbb{R}$ не является БАО, т.к. нельзя делить на ноль. Но она является БАО на множестве $\mathbb{R}\backslash\{0\}$.
  4. Операция $*$, заданная на $\mathbb{Z}$ следующим образом —  $\forall a,b \in \mathbb{Z} \: a*b=a^b$ — не является алгебраичной, т.к. результат $1*(-3)=1^{-3} \notin \mathbb{Z}$.

Проверка на алгебраичность

Для того, чтобы проверить, является ли данное отображение бинарной алгебраической операцией, достаточно проверить три условия:

  1. Всюдуопределённость: $\forall a,b \in A\: \exists c = a*b$.
  2. Однозначность: $\forall a,b \in A\: \exists ! c = a*b$.
  3. Замкнутость: $\forall a,b \in A\: a*b = c \in A$.

Пример

Проверить, является ли отношение бинарной алгебраической операцией на множестве $\mathbb{Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\}$, если $\forall a,b \in A\: a*b\overset{def}{=} a\cdot b (\mod 6)$ (умножение по модулю 6).

Так как множество, на котором задано отношение, конечно, мы можем построить таблицу Кэлли (таблицу значений).

Расположим по вертикали и горизонтали элементы множества $\mathbb{Z}_6$, а на их пересечении — результат операции $*$. Получим таблицу:

a*b 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1

Исходя из таблицы, видно, что область значения операции совпадает с исходным множеством $\mathbb{Z}_6$ (выполняется замкнутость), в каждой клетке только один результирующий элемент (выполняется однозначность), и каждая клетка непустая (выполняется всюдуопредлённость).

Следовательно, указанное отображение $*$ является бинарной алгебраической операцией на множестве $\mathbb{Z}_6$.

Свойства БАО

Бинарная алгебраическая операция может обладать такими свойствами:

  1. Бинарная алгебраическая операция $*$, заданная на множестве $A$ называется ассоциативной, если $\forall a_1, a_2, a_3 \in A\: (a_1*a_2)*a_3=a_1*(a_2*a_3)$.
  2. Бинарная алгебраическая операция $*$, заданная на множестве $A$ называется коммутативной, если $\forall a_1, a_2 \in A\: a_1*a_2 = a_2*a_1$.

Примеры

  1. Операции $+$, $\cdot$ на множествах $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{N}$ являются коммутативными и ассоциативными.
  2. Операция $\backslash$ на множестве $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ не является коммутативной.

Пример решения №1

Определить, является ли бинарная алгебраическая операция $*$ на множестве $\mathbb{Z}$ коммутативной и/или ассоциативной.

$\forall a,b \in \mathbb{Z} \: a*b \overset{def}{=} a(b+1)$

Очевидно, что $a(b+1) \ne b(a+1)$, следовательно, операция $*$ коммутативной не является. Проверим ассоциативность (фиксируя \forall a,b,c \in \mathbb{Z}):

$a*(b*c)=a*(b(c+1))=a(b(c+1)+1)=abc+ab+a$

В свою очередь,

$(a*b)*c=(a(b+1))*c=a(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+a$.

Видим, что $a*(b*c) \ne (a*b)*c$. Таким образом делаем вывод, что операция $*$ не ассоциативна.

Пример решения №2

Определить, является ли бинарная алгебраическая операция $*$ на множестве $\mathbb{Z}^2$ коммутативной и/или ассоциативной.

$\forall (a_1,a_2), (b_1, b_2) \in \mathbb{Z}^2 \: (a_1, a_2) * (b_1, b_2) \overset{def}{=} (a_1 b_1, a_2 b_1 + b_2)$

Рассмотрим при $\forall (a_1,a_2), (b_1, b_2), (c_1, c_2) \in \mathbb{Z}^2$:

$((a_1, a_2) * (b_1, b_2)) * (c_1, c_2) = (a_1 b_1 c_1, (a_2 b_1 + b_2)c_1 + c_2)$

$(a_1, a_2) * ((b_1, b_2) * (c_1, c_2)) = (a_1 b_1 c_1, (a_2 b_1 + b_2)c_1 + c_2)$

Исходя из этого, сделаем вывод, что операция $*$ является ассоциативной. Из вида операции, представленного в условии, очевидно, что $*$ не является коммутативной.

Список литературы

  1. Белозёров Г.С. Конспект по алгебре и геометрии.
  2. А. Я. Овсянников —  Алгебраические операции (темы 1-4). Екатеринбург, Уральский федеральный университет.
  3. Воеводин В. В. — Линейная алгебра. Москва: Наука, 1974. (стр 9-13).

Бинарная алгебраическая операция

Тест предназначен для проверки знаний по теме «Алгебраическая операция. Исследование свойств операции».