Теорема (единственность предела)

Если последовательность $\{ x^{(n)} \}$ имеет предел, то он единственный.

Доказательство

Предположим противное. Пусть $\{ x^{(n)} \}$ сходится к точкам $a$ и $b$, то есть $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = a$ и $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = b$. Тогда, по определению предела сходящейся последовательности, $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, a) = 0$ и $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, b) = 0$. В силу неравенства треугольника, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполнено неравенство $$0 \le \rho(a, b) \le \rho(a, x^{(n)}) + \rho(b, x^{(n)}).$$ Так как числовые последовательности $\rho(a, x^{(n)})$ и $\rho(b, x^{(n)})$ бесконечно малые, то $\rho(a, b) = 0$. Тогда, по аксиоме тождества в метрическом пространстве, $a = b$. Это доказывает единственность предела последовательности.

Источники

• Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Литература

• В.И.Коляда, А.А.Кореновский. «Курс лекций по математическому анализу», ч.1, 2009 г. стр.244
• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа», 2001 г. стр. 225.

Определение

Пусть задан ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}.$$ Если существует такое неотрицательное число $R$ (конечное или равное $+\infty$ ), что $\forall z:\left | z \right |<R$ ряд сходится, а для $\forall z:\left | z \right |>R$ ряд расходится, то $R$ называют радиусом сходимости степенного ряда.

Теорема о существовании радиуса сходимости

Для всякого степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ существует $R$ ($R\geq0$ — число или $+\infty$) такое, что:

1. Если $R=+\infty$, то ряд сходится во всей комплексной плоскости.
2. Если $R=0$, то данный ряд сходится в одной точке [latex]z=0[/latex].
3. Если $R\neq0$ и $R\neq+\infty$, то ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ абсолютно сходится в круге $K=\left\{z:\left |z \right |< \left | z_{0} \right | \right\}$ и расходится вне замыкания круга $K$.

Доказательство

Пусть $D$ — множество всех точек сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$. Данное множество не является пустым, так как обязательно содержит точку $z=0$.

1. Рассмотрим ситуацию, когда множество $D$ не ограничено. Пусть точка $z_{1}$ — произвольная точка комплексной плоскости. Тогда возьмем такое $z_{0} \in D$, что $\left|z_{1} \right|<\left|z_{0} \right|$ (существование такой точки $z_{0}$ следует из неограниченности множества $D$). Следовательно, $z_{1} \in D$. Таким образом, всякая точка комплексной плоскости принадлежит области сходимости. Обозначают: $R=+\infty$.
2. Если $D$ ограничено и содержит только одну точку $z=0$, то ряд сходится только в точке $z=0$ и расходится в любой дугой точке комплексной плоскости. Пишут: $R=0$.
3. В том случае, когда множество $D$ ограничено и содержит хотя бы одну точку помимо $z=0$, то $$R=sup\left|z \right|, z \in D.$$ Докажем, что данный ряд сходится в круге $K=\left\{z:\left | z \right |<R\right\}$, a вне замыкания круга — расходится.(рис. 1) Пусть точка $z_{k} \in K$. Следовательно, $\left|z_{k} \right| < R$. По определению точной верхней грани это означает, что $$\exists z_{1} \in D:\left|z_{k} \right| < \left|z_{1} \right| < R.$$ Так как ряд сходится в точке $z_{1}$, то, по теореме Абеля, он абсолютно сходится в точке $z_{k}$. Таким образом, ряд абсолютно сходится в каждой точке, лежащей внутри круга $K$. Пусть точка $z_{2}$ лежит вне замыкания круга $K$ (рисунок). Тогда $\left|z_{2} \right| > R$. Следовательно, данная точка не принадлежит области сходимости по определению точной верхней грани. Таким образом, ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ расходится в точке $z_{2}$. Что и требовалось доказать.

Литература

• Лысенко З.М. Конспекты лекций.
• Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2. стр 102-103.
• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. стр 427-430
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу, часть 2. стр 54-56

Существование радиуса сходимости

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Для закрепления вышеизложенного материала предлагаю пройти тест.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 5

   Расположите степенные ряды в порядке увеличения радиуса сходимости.

   • $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}x^{n}}{3^{n}\sqrt{n}}$
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n\cdot 4^{n}} $
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{{\left | x+4 \right |}^{n}}{n^{2}\cdot 3^{n}}$
   • $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{\left ( x+3 \right )}^{n}}{n!}$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}x^{n}}{3^{n}\sqrt{n}},\;\;\;R=1.5.$
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n\cdot 4^{n}}, \;\;\; R=2.$
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{{\left | x+4 \right |}^{n}}{n^{2}\cdot 3^{n}}, \;\;\; R=3.$
   $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{\left ( x+3 \right )}^{n}}{n!} \;\;\; R=+\infty.$
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 4

   Укажите степенные ряды, радиус сходимости которых равен единице.

   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( n! \right )^{2}}{\left ( 2n \right )!}x^{n}$
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{a^{\sqrt{n}}} \;\;\; \left ( a>0 \right )$
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( 2n \right )!!}{\left ( 2n+1 \right )!!}x^{n} $
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^{2}}x^{n}$
   Правильно
   

   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}, \;\;\; R=+\infty.$
   $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( n! \right )^{2}}{\left ( 2n \right )!}x^{n}, \;\;\; R=4. $
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^{2}}x^{n}, \;\;\; R=\frac{1}{e}.$

   Неправильно
   

   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}, \;\;\; R=+\infty.$
   $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( n! \right )^{2}}{\left ( 2n \right )!}x^{n}, \;\;\; R=4. $
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^{2}}x^{n}, \;\;\; R=\frac{1}{e}.$

Определение

Пусть в трехмерном пространстве выбрана прямоугольная система координат и задана гладкая кривая [latex] \Gamma[/latex] уравнением в координатной форме, то есть [latex]\Gamma =\left \{ x = x(t), y = y(t), z = z(t), \alpha \leq t\leq \beta \right \}[/latex]. Пусть теперь на множестве, которое входит в данное пространство задана непрерывная функция [latex]f(x, y, z)[/latex]. Тогда определенный интеграл вида:
$$\overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt = { \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds$$ называется криволинейным интегралом первого рода от функции [latex]f[/latex] по кривой [latex] \Gamma[/latex].

Свойства криволинейных интегралов первого рода

• Криволинейный интеграл первого рода аддитивен относительно кривой, то есть
  $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {{ \Gamma }_{i}}{ \int } } f(x, y, z)\,ds$$
  [spoilergroup]
  
  Доказательство

  Разобьем кривую [latex] \Gamma[/latex] на части, то есть [latex]\Gamma = (\Gamma_1,…,\Gamma_n)[/latex], таким образом, что конечная точка кривой [latex] \Gamma_i[/latex] совпадает с начальной точкой кривой [latex] \Gamma_{i+1}[/latex], [latex]i = \overline{i,n}[/latex]. Тогда интеграл [latex]\int_{\Gamma}f(x, y, z)ds[/latex] по свойству аддитивности определенного интеграла, если [latex]\Gamma_i = r(t) [/latex] [latex](\alpha_i \leq t \leq \beta _i)[/latex], [latex]\alpha _1 = \alpha[/latex] , [latex] \beta _n = \beta [/latex], можно представить следующим образом:
  ${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(x(t),y(t),z(t))|r'(t)|\,dt =$
  $=\sum\limits_{i=1}^{n}\overset {\beta_i}{ \underset {\alpha_i}{ \int }}f(x(t),y(t),z(t))|r'(t)|\,dt =\sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {\Gamma_i}{ \int }}f(x,y,z)\,ds.$

  [свернуть]
  
  [/spoilergroup]
• Криволинейный интеграл не зависит от ориентации кривой, то есть
  $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)ds = { \underset { \Gamma- }{ \int } } f(x, y, z)ds $$
  [spoilergroup]
  
  Доказательство

  Пусть точка [latex]A[/latex] — начало кривой [latex]\Gamma[/latex], точка [latex]B[/latex] — конец кривой [latex]\Gamma[/latex], а [latex]S[/latex] — ее длина. Пусть точка [latex]M = r(s)[/latex] принадлежит кривой [latex]AB[/latex], а [latex]s[/latex] — длина дуги [latex]\buildrel\,\,\frown\over{AM}[/latex]. Пусть [latex]\delta [/latex] — длина дуги [latex]\buildrel\,\,\frown\over{BM}[/latex], тогда [latex]\delta = S — s[/latex]. Представлением кривой [latex]BA[/latex] является функция [latex]r = r(S — \delta )[/latex], [latex]0\leq \delta \leq S[/latex].
  Совершив в интеграле замену [latex]s = S — \delta [/latex], учитывая, что [latex]{\mathrm{d} s} = -{\mathrm{d} \delta }[/latex], получаем:
  \( { \underset {\buildrel\,\,\frown\over{AB}}{ \int }}f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds = \)
  \(=-\overset {0}{ \underset {S}{ \int }} f(x(S — \delta), y(S — \delta), z(S — \delta))\,d\delta = \)
  \( =\overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(S — \delta), y(S — \delta), z(S — \delta))\,d\delta = { \underset {\buildrel\,\,\frown\over{BA}}{ \int }}f(x, y, z)\,d\delta.\)

  [свернуть]
  
  [/spoilergroup]
• Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.
  [spoilergroup]
  
  Доказательство

  Перейдем от данного уравнения [latex]r = r(t)[/latex], [latex]\alpha \leq t\leq \beta [/latex] к уравнению [latex]\rho = \rho (\tau )[/latex], [latex]\alpha \leq \tau \leq \beta[/latex] с помощью представления параметра [latex]t[/latex] через непрерывную строго возрастающею функцию другого параметра, то есть [latex]t = t(\tau )[/latex]. Получим:
  \(\overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt =\)
  \(= \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(x(t(\tau)), y(t(\tau)), z(t(\tau)))\left | \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}(t(\tau)) \right|t'(\tau)\,d\tau =\)
  \(=\overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(\xi(\tau), \eta(\tau), \zeta(\tau))\,d\tau\),
  где \(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} = |r'(t)|\).

  [свернуть]
  
  [/spoilergroup]

  Замечание: если для параметризации кривой [latex]\Gamma[/latex] использовать натуральный параметр (длину дуги), то криволинейный интеграл первого рода приобретет следующий вид:
  $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds, $$
  так как [latex]|r'(s)| = 1[/latex], [latex]0\leq s\leq S[/latex].

Физический смысл криволинейных интегралов первого рода

Пусть криволинейный интеграл первого рода представлен в следующем виде:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds. $$
Если правую часть равенства записать в виде предела интегральных сумм, то тогда получим:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \underset { l(T) \rightarrow 0 }{ \lim } \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i, y_i, z_i)\Delta s_i,$$
где [latex]x_i = x(s_i)[/latex], [latex]y = y(s_i)[/latex], [latex]z_i = z(s_i)[/latex], [latex]T[/latex] — разбиение отрезка [latex][0, S][/latex], то есть [latex]0 = s_0 < s_1 < … <s_n = S[/latex], [latex]\Delta s_i = s_i — s_{i-1}[/latex]. Разбиению кривой [latex]\Gamma[/latex] на дуги [latex]\Gamma _{s_{i-1}s_i}[/latex], [latex]i = \overline{1,n}[/latex] (рисунок 1) соответствует разбиение [latex]T[/latex] отрезка [latex][0, S][/latex] (рисунок 2).

[spoilergroup]

[spoilergroup]

Если рассматривать случай, когда функция [latex]f(x, y, z)[/latex] неотрицательна, то ее можно интерпретировать как линейную плотность распределения массы, а криволинейный интеграл [latex]\int_{\Gamma }f (x, y, z){\mathrm{d}s} — [/latex] как массу кривой [latex]\Gamma[/latex].

[spoilergroup]

Литература

• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., 2001 г. стр. 493-495
• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, том 2, стр. 494-498
• Коляда В.И. и Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу, часть 2, стр. 222-226
• Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах. — 4-е изд., 2001 г. стр. 321

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Данный тест поможет Вам проверить уровень знаний по данной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 4 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Криволинейный интеграл первого рода от функции [latex]f(x, y, z)[/latex] по кривой [latex]\Gamma[/latex] имеет следующий вид:

   • $\Gamma(x) = \overset {+\infty}{ \underset {0}{ \int }}t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\,dt,\, x>0$
   • $ { \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt$
   • ${ \underset {\Gamma}{ \int }}(F,dr) = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}(F(x(t),y(t), z(t)),r'(t))\,dt$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 1

   Вставьте пропущенные слова:

   • При естественной параметризации кривой $\Gamma$ криволинейный интеграл первого рода приобретает следующие пределы интегрирования: от (0) до (S).

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Какой должна быть функция $f(x,y,z)$, чтобы выполнялось равенство: $\overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt = { \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Найти соответствие между равенством и свойством криволинейного интеграла первого рода, которое это равенство описывает.

   Элементы сортировки

   • аддитивность относительно кривой
   • независимость от ориентации кривой
   • естественная параметризация

   • ${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = $ $ =\sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {{ \Gamma }_{i}}{ \int } } f(x, y, z)\,ds$

   • ${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)ds =$ $= { \underset { \Gamma- }{ \int } } f(x, y, z)ds$

   • ${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds =$ $= \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Пусть дан степенной ряд вида $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}z^n$ с радиусом сходимости $R$, где $c_n$,$z^{n}\in \mathbb{C}$. Тогда для этого ряда справедлива следующая теорема:

Теорема о вычислении радиуса сходимости степенного ряда

1. Если существует конечный или бесконечный предел$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_n \right |}$, то $$\frac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_n \right |}. (1)$$
2. Если существует конечный или бесконечный предел $\lim\limits_{n \to\infty} \left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$, то $$R=\lim\limits_{n \to\infty} \left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right | .(2)$$

Доказательство:

1. Докажем формулу (1). Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_n \right |} = \rho$.
   • Если $0<\rho<+\infty$, и $z_0$ — произвольная точка из круга $K=\left \{z:\left |z\right | < \frac{1}{\rho}\right \}$, то $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \cdot z_{0}^{n} \right |} = \left | z_{0} \right | \cdot \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left |c_{n} \right |} = \left |z_{0} \right | \cdot \rho < 1.$$ По признаку Коши сходимости ряда, ряд сходится в точке $z_{0}$. В силу того, что точка $z_{0}$ — произвольная точка круга $K$, исходный ряд сходится в $K$.
     Предположим, что точка $z_{m}$ не принадлежит кругу $K$, то есть $\left |z_{m} \right | > \frac{1}{\rho}$.Тогда $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \cdot z_{m}^{n} \right |} = \left | z_{m} \right | \cdot \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left |c_{n} \right |} = \left |z_{m} \right | \cdot \rho > 1.$$ По признаку Коши, ряд расходится.
     Значит, ряд сходится в круге $K$, и расходится вне его замыкания. Это значит, что $\frac{1}{\rho}$ — радиус сходимости исходного ряда.
     
     Круг сходимости $K$ c нанесенными точками $z_{0}$ и $z_{m}$

     

     [свернуть]
   • Если $\rho = 0$, то $\forall z \in \mathbb{C}$ выполняется следующее: $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \cdot z^{n} \right |} = \left | z \right | \cdot \rho = 0 .$$ По признаку Коши ряд сходится в точке $z$. В силу произвольности точки $z$ ряд сходится на всей комплексной плоскости. И это значит, что радиус сходимости ряда $R=+\infty$.
   • Пусть $\rho = +\infty$. Тогда $\forall z \neq 0$ $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \cdot z^{n} \right |} = \left | z \right | \cdot \rho = +\infty. $$ По признаку Коши, ряд расходится в точке $z$. Отсюда выходит, что радиус сходимости $R = 0$.
2. Доказательство (2) по сути идентично доказательству (1). Различие в том, что будет использоваться признак Даламбера сходимости ряда. Для этого выполним следующие преобразования: $$ R=\lim\limits_{n \to\infty} \left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right | = \frac{\lim\limits_{n \to \infty}\left | c_{n} \right |}{\lim\limits_{n \to \infty}\left | c_{n+1} \right |} = \frac{1}{(\frac{\lim\limits_{n \to \infty}\left | c_{n+1} \right |}{\lim\limits_{n \to \infty}\left | c_{n} \right |})} = \frac{1}{\lim\limits_{n \to\infty} \left | \frac{c_{n+1}}{c_{n}} \right |}.$$
   Пусть $\lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1}}{c_{n}} \right | = \rho$
   • Если $0<\rho<+\infty$, и $z_0$ — произвольная точка из круга $K=\left \{z:\left |z\right | < \frac{1}{\rho}\right \}$, то $z_0$ так же по модулю меньше, чем $\frac{1}{\rho}$. Отсюда следует, что $$\lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1} \cdot z_{0}^{n+1}}{c_{n} \cdot z_{0}^{n}}\right |=\left | z \right | \cdot \lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right |=\left |z \right | \cdot \rho < 1.$$ По признаку Даламбера сходимости ряда, ряд сходится в точке $z_{0}$. В силу того, что точка $z_{0}$ — произвольная точка круга $K$, исходный ряд сходится в $K$.
     Предположим, что точка $z_{m}$ не принадлежит замыканию круга $K$, то есть $\left |z_{m} \right | > \frac{1}{\rho}$. Тогда $$\lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1} \cdot z_{0}^{n+1}}{c_{n} \cdot z_{0}^{n}}\right |=\left | z \right | \cdot \lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right |=\left |z \right | \cdot \rho > 1.$$ По признаку Даламбера, ряд расходится.
     Значит, ряд сходится в круге $K$, и расходится вне него. А это значит, что $\frac{1}{\rho}$ — радиус сходимости исходного ряда.
   • Пусть $\rho = 0$, то $\forall z \in \mathbb{C}$ выполняется следующее:$$\lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1} \cdot z_{0}^{n+1}}{c_{n} \cdot z_{0}^{n}}\right |=\left |z \right | \cdot \rho = 0. $$ По признаку Даламбера, ряд сходится в точке $z$. В силу произвольности $z$ ряд сходится на всей комплексной плоскости. И это значит, что радиус сходимости ряда $R=+\infty$.
   • Пусть $\rho = +\infty$. Тогда $\forall z \neq 0$ $$\lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1} \cdot z_{0}^{n+1}}{c_{n} \cdot z_{0}^{n}}\right |=\left |z \right | \cdot \rho = +\infty. $$ По признаку Даламбера, ряд расходится в точке $z$. Отсюда выходит, что радиус сходимости $R = 0$.

Замечание

Пределы в формулах (1) и (2) могут не существовать. Однако существует универсальная формула для вычисления радиуса сходимости.

Теорема

Радиус сходимости$R$ степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}z^n$ высчитывается по формуле:
$$R = \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \right |}},$$
где $\frac{1}{0}=+\infty$ и $\frac{1}{+\infty}=0.$

Доказательство

Доказательство данной теоремы основано на применении обобщенного признака Коши: $$\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \cdot z^{n} \right |} = \left | z \right | \cdot \varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left |c_{n} \right |}. $$
Предположим, что ряд сходится в точке $z_{0}$, тогда из обобщенного признака Коши сходимости числового ряда с неотрицательными членами следует, что $\left | z_{0} \right | \cdot \varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left |c_{n} \right |}<1$. Отсюда получаем, что $$\left | z_{0} \right | < \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \right |}}.$$
Пусть ряд расходится в точке $z_{m}$. Тогда $\left | z_{m} \right | \cdot \varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left |c_{n} \right |}>1$. Отсюда $$\left | z_{m} \right | > \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \right |}}.$$
То есть, если $z$ по модулю меньше чем $\frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \right |}}$, то ряд сходится в данной точке, а если $z$ по модулю больше, то ряд в данной точке расходится. Из определения радиуса сходимости следует, что
$$R=\frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \right |}}.$$

Список использованной литературы:

• Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2015-2016 гг., 1-ый курс, семестр 2
• Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа. 3-е изд., испр. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 672 с — стр 427-430.
• Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, том 2.- 720 с. — стр. 104-110
• Коляда В.И., Кореновский А.А., Курс лекций по математическому анализу в 2-х частях, часть 2. — Одесса: Астропринт, 2009.- 292с. — стр.56-60.

Вычисление радиуса сходимости, формула Коши-Адамара

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест по материалу данной статьи

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

максимум из 7 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Найти радиус сходимости ряда: $$1+\frac{2\cdot x}{\sqrt{5\cdot5}}+\frac{4\cdot x^2}{\sqrt{9\cdot5^2}}+\frac{8\cdot x^3}{\sqrt{13\cdot5^3}}+\cdots$$

   • $\frac{\sqrt{5}}{2}$
   • $\infty$
   • $\frac{2}{5}$
   • Невозможно вычислить
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 3

   Выберите, какие формулы и признаки используются для вычисления радиуса сходимости степенного ряда

   • Признак Коши сходимости ряда
   • Критерий Коши равномерной сходимости ряда
   • Формула Грина
   • Признак Даламбера сходимости ряда
   • Формула Коши-Адамара
   • Признак Абеля равномерной сходимости ряда
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 3

   Сопоставьте степенной ряд с его радиусом сходимости

   Элементы сортировки

   • $\infty$
   • $\frac{1}{12}$
   • 1

   • $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$

   • $\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n}\cdot(12)^{n}$

   • $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}$

   Правильно
   

   Неправильно