Рубрика: Математический анализ

Публикации по учебной дисциплине «Математический анализ» для студентов специальности «Прикладная математика»

Обобщённый гармонический ряд

Обобщённым гармоническим рядом называют ряд:$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha}}=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha}}+\cdots $$

Сходимость обобщённого гармонического ряда

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha }},$$ где [latex]\alpha>0[/latex]. При [latex]\alpha=1[/latex] получаем гармонический ряд, а он как известно расходится.
При [latex]0<\alpha<1[/latex] имеем:$$S_{n}(\alpha)=1+ \frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha}}\geq n \cdot \frac{1}{n^{\alpha}}=n^{1-\alpha}\underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}\infty $$ Из этого следует, что [latex]S_{n}(\alpha)\rightarrow +\infty [/latex], а из этого следует расходимость ряда.
Теперь рассмотрим случай [latex]\alpha>1[/latex]. Выберем такое натуральное [latex]m[/latex], что [latex]n<2^{m}[/latex]. Тогда имеем:$$S_{n}(\alpha)\leq S_{2^{m}-1}(\alpha)=1+\left ( \frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}} \right )+\left ( \frac{1}{4^{\alpha}}+\frac{1}{5^{\alpha}}+\frac{1}{6^{\alpha}}+\frac{1}{7^{\alpha}} \right )+$$$$+\cdots +\left ( \frac{1}{(2^{m-1})^{\alpha}}+\frac{1}{(2^{m-1}+1)^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{(2^{m}-1)^{\alpha}} \right )\leq $$$$\leq 1+2^{1-\alpha}+(2^{2})^{1-\alpha}+\cdots +(2^{m-1})^{1-\alpha}=$$$$=1+2^{1-\alpha}+(2^{1-\alpha})^{2}+\cdots +(2^{1-\alpha})^{m-1}=\frac{1-(2^{1-\alpha})^{m}}{1-2^{1-\alpha}}$$ Отсюда следует, что при [latex]\alpha>1[/latex] имеем [latex]S_{n}(\alpha)\leq \frac{1}{1-2^{1-\alpha}}[/latex], т.е. последовательность частичных сумм ограниченна сверху, и по теореме о сходимости рядов с неотрицательными членами ряд сходится при [latex]\alpha>1[/latex].

Список Литературы

Тест на проверку знаний по данной теме.

Таблица лучших: Обобщённый гармонический ряд

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Гармонический ряд

Гармоническим называется ряд:$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}+\cdots,$$ т.е. гармонический ряд состоит из членов, обратных числам натурального ряда.

Сходимость Гармонического ряда

Проверим гармонический ряд на сходимость:
Общий член гармонического ряда стремится к 0.$$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0$$ Это показывает, что необходимое условие сходимости ряда выполняется. Для доказательства сходимости гармонического ряда будем использовать критерий Коши. По критерию Коши для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно чтобы:$$\forall \varepsilon >0, \exists N_{\varepsilon },\forall n>N_{\varepsilon },\forall p > 0:\left | \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+p} \right |<\varepsilon$$ В качестве [latex]\varepsilon[/latex] выберем [latex]\frac{1}{2}[/latex] и [latex]p=n[/latex]. Тогда:$$\left | \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+p} \right |=\left | \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right |>$$$$>\left | \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots +\frac{1}{2n} \right |=\frac{1}{2}=\varepsilon$$ Из этого следует что гармонический ряд не удовлетворяет критерию Коши. Иначе говоря гармонический ряд расходится.
grad

Связанные ряды

Обобщённый гармонический ряд

Обобщённым гармоническим рядом называется ряд:$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha }}=1+\frac{1}{2^{\alpha }}+\frac{1}{3^{\alpha }}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha }}+\cdots$$ Обобщённый гармонический ряд расходится при [latex]\alpha\leq 1[/latex] и сходится при[latex]\alpha>1[/latex]

Список Литературы

Тест на проверку знаний по данной теме.

Таблица лучших: Гармонический ряд

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий Коши

Теорема

Для того чтобы ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}[/latex] сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого [latex]\varepsilon >0[/latex] существовал такой номер [latex]N_{\varepsilon }[/latex], что для любого [latex]n>N_{\varepsilon }[/latex] и при любом натуральном [latex]p > 0[/latex] выполнялось неравенство:$$\left| a_{n+1}+a_{n+2}+…+a_{n+p} \right|<\varepsilon$$.

Доказательство

По определению, сходимость ряда эквивалентна сходимости последовательности его частичных сумм [latex]S_{n}[/latex]. В силу критерия Коши для последовательностей, сходимость последовательности [latex]{S_{n}}[/latex] эквивалентна ее фундаментальности. Фундаментальность последовательности [latex]{S_{n}}[/latex] означает, [latex]\forall \varepsilon >0, \exists N_{\varepsilon }: \forall n\geq N_{\varepsilon }, \forall p\in \mathbb{N}\rightarrow \left| S_{n+p}- S_{n} \right|<\varepsilon[/latex]. При этом:[latex]S_{n+p}-S_{n}=a_{1}+\ldots+a_{n}+a_{n+1}+\ldots+a_{n+p}-(a_{1}+\ldots+a_{n})=[/latex][latex]a_{n+1}+\ldots+a_{n+p},[/latex] тем самым теорема доказана.
Спойлер

Покажем, что ряд $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots$$ расходится. Для любого [latex]n[/latex] и [latex]p=n[/latex]:$$\sum_{k=n+1}^{n+p}a_{k}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{n}{2n}=\frac{1}{2},$$ т.е. для любого [latex]n[/latex] при [latex]\varepsilon =\frac{1}{2}[/latex] и [latex]p=n[/latex] критерий Коши не выполняется. Тем самым этот ряд расходится.

[свернуть]

Список Литературы

Тест на проверку знаний по данной теме.

Таблица лучших: Критерий Коши сходимости ряда

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Градиент функции и его геометрический смысл

Прежде чем приступать к прочтению данной статьи, я советую ознакомится с темой Производная по направлению

Определение

Градиент можно обозначать через $\mathrm{grad}\,\varphi$, но мы будем обозначать через $\nabla\varphi$ .
$$\nabla\varphi= \left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial y} ,\frac{\partial \varphi }{\partial z}\right )$$

Предположим, что i, j и k— координатные орты , то  $$\nabla\varphi= i\frac{\partial \varphi }{\partial x}+j\frac{\partial \varphi }{\partial y} +k\frac{\partial \varphi }{\partial z}$$ Предположим, что вектор [latex]l=(\cos\alpha ,\cos\beta, \cos\gamma )[/latex] и является единичным вектором. Теперь мы можем записать формулу для производной функции по направлению вектора [latex]l[/latex] с помощью градиента : $$\frac{\partial \varphi }{\partial l} = \cos\alpha \frac{\partial \varphi }{\partial x} + \cos\beta \frac{\partial \varphi }{\partial y} + \cos\gamma\frac{\partial \varphi }{\partial x} = (l,\nabla\varphi)$$ и как мы говорили ранее, что в [latex]l[/latex]-единственный вектор, следовательно мы имеем$$\frac{\partial \varphi }{\partial l}=\left | \nabla\varphi \right |\cos\delta $$ ($\delta$ — угол образованный вектором [latex]l[/latex] и [latex]\nabla\varphi[/latex] не трудно увидеть из этой формулы, что если в данной точке $$\left |\nabla\varphi \right |^{2}=\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial y} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial z} \right )^{2}\neq 0.$$

(2)

 В трех мерном пространстве градиент имеет хорошую геометрическую интерпретацию, градиент это вектор в котором производная достигает максимума ,только тогда, когда $\cos\varphi=1$. Теперь понятно, что градиент не зависит от выбора системы координат и определяется самой функцией. Мы можем смело сказать , что если градиент равен нулю в одной декартовой системе координат, то он равен нулю в каждой подобной системе координат. А если градиент не равен нулю то его независимость от выбора декартовой системы координат следует из его геометрического смысла .

Использованная литература:

Тесты

Градиент функции и его геометрический смысл

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Таблица лучших: Градиент функции и его геометрический смысл

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора

Если функция $f$ имеет производные всех порядков на промежутке $(x_{0}-R, x_{0}+R)$ и все эти производные ограничены в совокупности, т.е. существует такое число $L>0$, что для всех $x\in(x_{0}-R, x_{0}+R)$ и всех $n=0,1,2,…$ выполняется:

$\left|f^{(n)}(x)\right|\leq L$,

(где $L$ не зависит от $n$), то функция $f$ представляется рядом Тейлора:

[latex]f(x)=f(x_{0})+\frac{f^{‘}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f^{»}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+…+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+…[/latex], $\left|x-x_{0}\right|\leq R$

Доказательство:

Каким бы не было число $a$,

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a^{n}}{n!}=0$

Пусть $n_{0}$ такое , что $\frac{\left|a\right|}{n_{0}}<\frac{1}{2}$. Тогда при всех $n\geq n_{0}$ $\frac{\left|a\right|}{n}<\frac{1}{2}$, и поэтому

$\frac{a^{n}}{n!}=\frac{a^{n_{0}}}{n_{0}!}\frac{a}{n_{0}+1}\cdot\frac{a}{n_{0}+2}…\frac{a}{n}<\frac{a^{n_{0}}}{n_{0}!}(\frac{1}{2})^{n-n_{0}}$,

где правая часть неравенства стремится к нулю при $n\rightarrow\infty$, откуда и следует, что $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a^{n}}{n!}=0$. Это равенство следует и из того что, выражение $\frac{a^{n}}{n!}$ является общим членом сходящегося ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a^{n}}{n!}}$. Для того чтобы доказать формулу $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}}$, достаточно убедится, что

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}r_{n}(x)=0$,

где $r_{n}(x)$ — остаточный член в формуле Тейлора функции $f$. Возьмем $r_{n}(x)$ в форме Лагранжа ($r_{n}(x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$). Из $\left|f^{(n)}(x)\right|\leq L$ следует, что

$\left|r_{n}(x)\right|=\left|\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}\right|\leq L\frac{\left|x-x_{0}\right|^{n+1}}{(n+1)!}$,

где $\left|\xi-x_{0}\right|<\left|x-x_{0}\right|<R$. Поскольку в силу $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a^{n}}{n!}=0$

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\left|x-x_{0}\right|^{n+1}}{(n+1)!}=0$,

то при $\left|x-x_{0}\right|<R$ выполняется условие $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}r_{n}(x)=0$, что и требовалось доказать.

Литература

Тест:

Тест на тему: «Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора».