Теорема (критерий интегрируемости по Риману).

Пусть функция ограничена на отрезке . Для того чтобы была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство . Это равенство означает, что для любого положительного найдется такое положительное , что для каждого разбиения , диаметр которого , справедливо неравенство .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция интегрируема, т. е. существует конечный . Это означает, что для любого найдется такое , что для любого разбиения с и при любом выборе промежуточных точек выполнено неравенство . Это неравенство можно переписать так: . Зафиксируем произвольное разбиение с . Поскольку – верхняя грань множества всех интегральных сумм , соответствующих разбиению , и , то . Аналогично получаем . Таким образом, . Отсюда следует, что , если только .

Достаточность. Заметим, что для любого разбиения справедливо неравенство . Поскольку, по условию, при , то . Обозначим их общее значение через . Тогда получим, что для любого разбиения имеет место неравенство . Но и каждая интегральная сумма , отвечающая разбиению , также удовлетворяет неравенству . Отсюда следует, что . Поскольку правая часть последнего неравенства стремится к нулю при , то получаем .
Замечание. Из доказательства необходимости видно, что для интегрируемой функции ее верхняя и нижняя суммы Дарбу стремятся к интегралу от функции при стремлении к нулю диаметра разбиения.

Литература

• В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу. Часть 1, Одесса, Астропринт, 2009 [стр. 184-185]

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Этот тест служит проверкой на понимание хода доказательства данной теоремы.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Восстановите ход доказательства необходимости условия теоремы.

   • $$\exists I\equiv\lim_{d(\Pi)\to0}\sigma$$
   • $$\forall\epsilon\exists\delta>0\wedge d(\Pi)<\delta:\mid\sigma-I\mid<\epsilon$$
   • $$I-\epsilon < \delta < I+\epsilon$$
   • $$I-\epsilon\le\underline S_\Pi \le \overline S_\Pi \le I+\epsilon$$
   • $$\overline S_\Pi-\underline S_\Pi \le 2\epsilon$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Восстановите ход доказательства достаточности условия теоремы.

   • $$\forall\Pi:\underline S_\Pi\le\underline I \le\overline I\le \overline S_\Pi$$
   • $$\overline S_\Pi-\underline S_\Pi=0 \Rightarrow \underline I = \overline I =I$$
   • $$\underline S_\Pi\le I \le \overline S_\Pi \wedge \underline S_\Pi\le \sigma \le \overline S_\Pi$$
   • $$\mid\sigma-I\mid\le\overline S_\Pi-\underline S_\Pi$$
   • $$\lim_{d(\Pi)\to0}\sigma=I$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Если [latex]\lim_{x\rightarrow a }f(x)=0[/latex], то функция [latex]f(x)[/latex] называется бесконечно малой при [latex]x\rightarrow a[/latex].

Свойства

1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых функций при [latex]x\rightarrow a[/latex] есть бесконечно малая функция при [latex]x\rightarrow a[/latex]

Доказательство
Пусть [latex]f_{1}(x),f_{2}(x),..,f_{n}(x)[/latex] бесконечно малые функции при [latex]x\rightarrow a[/latex]. Тогда существуют числа [latex]\delta _{1},\delta _{2},..,\delta _{n}[/latex] и число [latex]\varepsilon >0[/latex] такие что
[latex]|x-a|<\delta _{1},|x-a|<\delta _{2},..,|x-a|<\delta _{n}[/latex] (1)
что влечет за собой условия
[latex]|f_{1}(x)|<\frac{\varepsilon }{n},|f_{2}(x)|<\frac{\varepsilon }{n},..,|f_{n}(x)|<\frac{\varepsilon }{n}[/latex] (2).
Если [latex]\delta =\min\begin{Bmatrix}\delta _{1};\delta _{2};..;\delta _{n}\end{Bmatrix}[/latex], то условие [latex]|x-a|<\delta [/latex] усиливает группу условий (1) что влечет за собой группу условий (2). Следовательно
[latex]\\|f_{1}(x)+f_{2}(x)+..+f_{n}(x)|\leqslant |f_{1}(x)|+|f_{2}(x)|+..+|f_{n}(x)|\\|f_{1}(x)|+|f_{2}(x)|+..+|f_{n}(x)|<\sum_{1}^{n}\frac{\varepsilon }{n}=\varepsilon\\|f_{1}(x)+f_{2}(x)+..+f_{n}(x)|<\varepsilon [/latex]

2. Произведение бесконечно малой функции [latex]f(x)[/latex] на ограниченную [latex]g(x)[/latex] в некоторой проколотой окрестности точки [latex]a[/latex] есть бесконечно малая функция при [latex]x\rightarrow a[/latex]

Доказательство
Так как функция [latex]g(x)[/latex] ограничена, то для [latex]x[/latex] удовлетворяющих условию
[latex]|x-a|<\delta _{1}[/latex] (1)
существует число
[latex]C:|g(x)|<C[/latex] (2)
Так как функция [latex]f(x)[/latex] бесконечно малая, то существует некоторая окрестность [latex]\delta _{2}[/latex] и число
[latex]\varepsilon >0[/latex] для которых выполняются условия
[latex]|x-a|<\delta _{2}[/latex] (3)
и
[latex]|f(x)|<\frac{\varepsilon}{C}[/latex] (4)
Выберем [latex]\delta=\min\begin{Bmatrix}\delta _{1};\delta _{2}\end{Bmatrix}[/latex]. Тогда условие [latex]|x-a|<\delta [/latex] более сильное чем (1) и (3) и поэтому оно влечет за собой условия (2) и (4).
Следовательно [latex]|f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|<\frac{\varepsilon }{C}C =\varepsilon [/latex]

3. Произведение конечного числа бесконечно малых функций при [latex]x\rightarrow a[/latex] есть бесконечно малая функция при [latex]x\rightarrow a[/latex]

Доказательство
Так как любая бесконечно малая функция [latex]f(x)[/latex] при [latex]x\rightarrow a[/latex] будет ограничена в некоторой [latex]\delta [/latex] окрестности точки [latex]a[/latex], то доказательство сводится к доказательству свойства 2.

Литература

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 83

Следующая тема →

Свойства пределов, связанные с алгебраическими операциями

Если функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex] имеют конечные пределы в точке [latex]a[/latex], причем [latex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A[/latex] и [latex]\lim_{x\rightarrow a}g(x)=B[/latex] то:

1. [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B[/latex]

Доказательство
Так как функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex] имеют предел в точке [latex]a[/latex], то при [latex]x\rightarrow a[/latex] величины [latex]h_{f}(x)=A-f(x)[/latex] и [latex]h_{g}(x)=B-g(x)[/latex] будут бесконечно малыми. Отсюда, согласно свойствам бесконечно малых [latex]h_{f}+h_{g}=(A+B)-(f(x)+g(x))[/latex] также будет бесконечно малой величиной. Что в свою очередь означает, что [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B[/latex]

2. [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB[/latex]

Доказательство
Так как функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex] имеют предел в точке [latex]a[/latex], то при [latex]x\rightarrow a[/latex] величины [latex]h_{f}(x)=A-f(x)[/latex] и [latex]h_{g}(x)=B-g(x)[/latex] будут бесконечно малыми. Поэтому [latex]g(x)=A-h_{f}(x)[/latex] и [latex]g(x)=B-h_{g}(x)[/latex]. Отсюда
[latex]\\f(x)g(x)=(A-h_{f})(B-h_{g})\\f(x)g(x)=AB-Ah_{g}-Bh_{f}+h_{f}h_{g}\\AB-f(x)g(x)=Ah_{g}+Bh_{f}-h_{f}h_{g}[/latex]
Согласно свойствам бесконечно малых, величина в правой части — бесконечно малая. Что в свою очередь означает, что [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB[/latex]

3. [latex]\lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}[/latex], причем [latex]B\neq 0[/latex]

Доказательство
Условие [latex]\lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}[/latex] эквивалентно тому, что разность [latex]\frac{A}{B}-\frac{f(x)}{g(x)}[/latex]
бесконечно малая величина при [latex]x\rightarrow a[/latex]. Покажем, что это утверждение имеет место. Приведем к общему знаменателю, получим [latex]\frac{Ag(x)-Bf(x)}{Bg(x)}[/latex]. Рассмотрим предел числителя дроби.
[latex]\\\lim_{x\rightarrow a}(Ag(x)-Bf(x))\\A\lim_{x\rightarrow a}g(x)-B\lim_{x\rightarrow a}f(x)\\AB-BA=0\: \Rightarrow \frac{A}{B}-\frac{f(x)}{g(x)}=0[/latex]
Что в свою очередь означает, что [latex]\lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}[/latex]

Свойства пределов, связанные с неравенствами

1. Теорема о двух милиционерах

Если [latex]\exists \delta > 0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)[/latex] выполняются неравенства [latex]g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)[/latex] и если [latex]\lim_{x\rightarrow a}g(x)= \lim_{x\rightarrow a}h(x)=A[/latex] то [latex]\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A[/latex].
Доказательство
Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть [latex]\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}[/latex] — последовательность из [latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex], причем [latex]\lim_{x\rightarrow \infty }x_{n}=a[/latex]. Тогда выполняются условия [latex]g(x_{n})\leqslant f(x_{n})\leqslant h(x_{n})[/latex] и [latex]\lim_{n\rightarrow \infty}g(x_{n})= \lim_{n\rightarrow \infty}h(x_{n})=A[/latex]. Тогда в силу свойств пределов последовательностей [latex]\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A[/latex]. Следовательно [latex]\lim _{x\rightarrow a }f(x)=A[/latex].
Теорему можно проиллюстрировать следующим графиком:


2. Если [latex]\exists\delta >0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)[/latex] выполняется неравенство [latex]f(x)\leqslant g(x)[/latex] и если[latex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A[/latex], [latex]\lim_{x\rightarrow a}g(x)=B[/latex], то [latex]A\leqslant B[/latex].

Доказательство
Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть [latex]\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}[/latex] — последовательность из [latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex], тогда числа [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] будут пределами последовательности [latex]\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}_{1}^{\infty }[/latex] т.е. [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A[/latex] и [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }g(x_{n})=B[/latex] Тогда в силу свойств пределов последовательностей [latex]A\leqslant B[/latex].

Литература

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 81-84

Следующая тема →

Существенное продвижение в теории определенного интеграла принадлежит Г. Дарбу, который ввел в рассмотрение наряду с интегральной суммой Римана верхнюю и нижнюю суммы (впоследствии названные суммами Дарбу).

Суммы Дарбу

Итак, пусть функция [latex]f\left(x\right)[/latex] — ограничена на [latex]\left[a;b\right][/latex] и существует разбиение этого отрезка [latex]T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}[/latex]. Это значит, что [latex]f[/latex] — ограничена на любом [latex]\triangle _{i}=\left[x_{i-1};x_{i}\right],[/latex] [latex]i =\overline{1,n}[/latex]. Отсюда, по второй теореме Вейtрштрасса, [latex]\exists M_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\sup f(x)},[/latex] [latex]\exists m_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\inf f(x)},[/latex] [latex] i=\overline{1,n}[/latex].

Итак, пусть мы выбрали какое-то конкретное разбиение отрезка  [latex][a;b][/latex] на n частей. Теперь выберем на каждой из этих частей промежуточные точки [latex]\xi _{i}[/latex] так, чтобы сумма площадей получившихся прямоугольников была минимальной. (см. задачу о вычислении площади криволинейной трапеции)

Построим интегральную сумму следующим способом: на каждом интервале [latex]\triangle _{i}[/latex] разбиения T точку [latex]\xi _{i}[/latex] будем выбирать так, чтобы получался прямоугольник минимальной площади, т.е. чтобы высота [latex]f\left(\xi _{i}\right)[/latex] была наименьшей. Наименьшую высоту нам как раз и даст операция [latex]\inf f(x)[/latex]: [latex]m_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\inf f(x)}.[/latex] Интегральная сумма, построенная на таких прямоугольниках, очевидно, есть самая маленькая из всевозможных сумм, получаемых на данном разбиении. Эта сумма называется нижней суммой Дарбу.

Точно так же можно построить и наибольшую для данного разбиения сумму: на каждом из интервалов [latex]\triangle _{i}[/latex] разбиения T мы выбираем точку [latex]\xi _{i}[/latex] так, чтобы значение [latex]f\left(\xi _{i}\right)[/latex] было максимальным: [latex]M_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\sup f\left(x\right)}[/latex]. Этим значениям соответствует интегральная сумма, называемая верхней суммой Дарбу. Теперь дадим более строгое определение.

---

Определение

[latex]\underbrace{S_{T}=\sum_{i=1}^{n}M_{i}\triangle x_{i}}[/latex] — верхняя сумма Дарбу

[latex]\underbrace{s_{T}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}\triangle x_{i}}[/latex] — нижняя сумма Дарбу

---

Замечание

Суммы Дарбу зависят от разбиения T и не зависят от выбора промежуточных точек [latex]\xi _{i}.[/latex]

Свойства сумм Дарбу

Свойство [latex]1^{\circ}[/latex]. 

Для любой выборки [latex]\xi =\left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}[/latex] и разбиения [latex]T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}[/latex] справедливы неравенства: [latex]s_{T}\leq \sigma _{T}\left(\xi ,f\right)\leq S_{T}[/latex].  (*)

Спойлер

[latex]\square[/latex] Так как [latex]\forall\xi _{i}\in \triangle _{i} [/latex] выполняются неравенства [latex]m_{i}\leq f\left(\xi _{i}\right)\leq M_{i}[/latex]. Домножим все части на [latex]\triangle x_{i}[/latex].

[latex]m_{i}\triangle x_{i}\leq f\left(\xi _{i}\right)\triangle x_{i}\leq M_{i}\triangle x_{i},i=\overline{1,n}[/latex]

Перейдя к сумме в каждой части неравенства, получаем:

[latex]\underset{s_{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}m_{i}\triangle x_{i}}}\leq\underset{\sigma _{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}f\left(\xi _{i}\right)\triangle x_{i}}}\leq \underset{S_{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}M_{i}\triangle x_{i}}}[/latex] (**)

Вывод: согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы [latex]\sigma _{T}[/latex] утверждения (*) и (**) равносильны.[latex]\blacksquare [/latex]

[свернуть]

 

Свойство [latex]2^{\circ}[/latex].

При T — фиксированном, справедливы равенства: [latex]S_{T}=\sup \sigma _{T}\left(\xi ,f\right),[/latex] [latex]s_{T}=\inf \sigma_{T}\left(\xi ,f\right)[/latex].

Спойлер

[latex]\square [/latex]  Докажем первое равенство. Необходимо показать, что [latex]S_{T}[/latex] — минимальный предел верхних границ для интегральной суммы (см. опр. точной верхней и нижней границ множества). Т.е. нужно показать следующее: [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists {\xi }'[/latex]: [latex]S_{T}-\varepsilon < \sigma _{T}\left({\xi }’,f\right)[/latex].  (*)

Т.к. [latex]M_{i}=\underset{x\in \triangle_{i}}{\sup f\left(x\right)}[/latex], то

[latex]\forall \varepsilon > o \ \exists\ {\xi }’_{i}\in \triangle _{i}[/latex]:

[latex]M_{i}-\frac{\varepsilon }{b-a}< f\left({\xi _{i}}’\right)[/latex]

[latex]0<M_{i}-f\left({\xi _{i}}’\right)< \frac{\varepsilon }{b-a}, i=\overline{1,n}[/latex]

Домножим на [latex]\triangle x_{i}[/latex]:

[latex]0\leq M_{i}\triangle x_{i}-f\left({\xi _{i}}’\right)\triangle x_{i}< \frac{\varepsilon}{b-a}\triangle x_{i}[/latex]

Просуммируем i- ые элементы:

[latex]0\leq\underset{S_{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n} M_{i}\triangle x_{i}}}-\underset{\sigma _{T}\left({\xi _{i}}’,f\right)}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}f\left({\xi _{i}}’\right)\triangle x_{i}}}<[/latex][latex]\underset{\varepsilon }{\underbrace{\sum_{i=1}^{n} \frac{\varepsilon }{b-a}\triangle x_{i}}}[/latex]

[latex]0\leq S_{T}-\sigma _{T}\left({\xi }’,f\right)< \varepsilon [/latex] (**)

Неравенства (*) и (**) равносильны.

Вывод: получили, что [latex]S_{T}[/latex]  — минимальный предел верхних границ для интегральной суммы [latex]\Rightarrow S_{T}=\sup \sigma _{T}\left(\xi ,f\right)[/latex].

Аналогично доказывается второе утверждение.[latex]\blacksquare [/latex]

[свернуть]

---

 Определение

Назовём разбиение [latex]T_{2}[/latex] продолжением (измельчением) разбиения [latex]T_{1}[/latex], если каждая точка разбиения [latex]T_{1}[/latex] является точкой разбиения [latex]T_{2}[/latex]. Иначе говоря, разбиение [latex]T_{2}[/latex] либо совпадает с разбиением [latex]T_{1}[/latex], либо получено из [latex]T_{1}[/latex] добавлением по крайней мере одной новой точки.

---

Свойство [latex]3^{\circ}[/latex].

Если разбиение [latex]T_{2}[/latex] — продолжение разбиения [latex]T_{1}[/latex], то [latex]s_{T_{1}}\leq s_{T_{2}}\leq S_{T_{2}}\leq S_{T_{1}}[/latex] (*), то есть при дроблении отрезка нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Спойлер

[latex]\square [/latex] Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда разбиение [latex]T_{2}[/latex] получается из [latex]T_{1}[/latex] добавлением только одной точки [latex]{x}’\in \left(x_{i-1};x_{i}\right)[/latex]. Пусть [latex]{\triangle _{i}}’=\left[x_{i-1};{x}’\right][/latex] и [latex]{\triangle_{i}}»=\left[{x}’;x_{i}\right][/latex] — отрезки, на которые точка [latex]{x}'[/latex] разбивает отрезок [latex]\triangle _{i}[/latex], а [latex]\lambda _{1}={x}’-x_{i-1}[/latex] и [latex]\lambda _{2}=x_{i}-{x}'[/latex] — длины этих отрезков.

Обозначим [latex]{m_{i}}’=\underset{x\in {\triangle _{i}}’}{\inf f\left(x\right)},[/latex] [latex]{m_{i}}»=\underset{x\in {\triangle _{i}}»}{\inf f\left(x\right)}, {m_{i}}=\underset{x\in {\triangle _{i}}}{\inf f\left(x\right)}[/latex]. Очевидно,что [latex]{m_{i}}’\geq m_{i},[/latex] [latex]{m_{i}}»\geq m_{i}[/latex]. В суммах [latex]s_{T_{2}}[/latex] и [latex]s_{T_{1}}[/latex] равны все соответствующие слагаемые, за исключением тех, которые связаны с отрезком [latex]\triangle _{i}[/latex]. Поэтому:

[latex]s_{T_{2}}-s_{T_{1}}={m_{i}}’\lambda _{1}+{m_{i}}»\lambda _{2}-m_{i}(\lambda _{1}+\lambda _{2})=[/latex] [latex]\left({m_{i}}’-m_{i}\right)\lambda _{1}+({m_{i}}»-m_{i})\lambda _{2}\geq 0\Rightarrow[/latex] [latex]s_{T_{1}}\leq s_{T_{2}}[/latex]

Аналогично доказывается неравенство [latex]S_{T_{2}}\leq S_{T_{1}}[/latex]. Отсюда, используя неравенство [latex]s_{T}\leq S_{T}[/latex] (доказанное в свойстве 1), получаем цепочку неравенств (*).[latex]\blacksquare [/latex]

[свернуть]

При добавлении точки [latex]x'[/latex] в разбиение [latex]T[/latex] верхняя сумма Дарбу уменьшится на величину площади не закрашенного прямоугольника

Свойство [latex]4^{\circ}[/latex].

Для любых разбиений [latex]{T}'[/latex] и [latex] {T}» [/latex] справедливо неравенство [latex]s_{{T}’}\leq S_{{T}»} [/latex].

Спойлер

[latex]\square [/latex] Пусть разбиение [latex]T[/latex] является продолжением как разбиения [latex]{T}'[/latex] , так и  разбиения [latex] {T}» [/latex]. Из неравенств, доказанных в прошлом пункте, получаем следующее:

1. [latex]s_{{T}’}\leq s_{T}\leq S_{T}[/latex]
2. [latex]S_{T}\leq S_{{T}»}[/latex]

В итоге: [latex]s_{{T}’}\leq s_{T}\leq S_{T}\leq S_{{T}»}[/latex], откуда следует [latex]s_{{T}’}\leq S_{{T}»}.[/latex] [latex]\blacksquare [/latex]

[свернуть]

Свойство [latex]5^{\circ}[/latex].

Существуют числа [latex]\underline{I}=\sup s_{T},[/latex] [latex]\bar{I}=\inf S_{T},[/latex] называемые верхним и нижним интегралами Дарбу, такие, что для любых разбиений [latex]{T}’,{T}»[/latex] отрезка [latex]\left[a;b\right][/latex]: [latex]s_{{T}’}\leq \underline{I}\leq \bar{I}\leq {S_{{T}»}}[/latex]

Спойлер

[latex]\square [/latex] Из неравенства, доказанного в 4 свойстве, по теореме об отделимости числовых множеств следует, что существует  [latex]\underline{I}=\sup s_{T}[/latex] и [latex] \underline{I}=\inf S_{T}[/latex] (супремум и инфимум) такие, что для всевозможных разбиений отрезка [latex]\left[a;b\right][/latex] и для любых разбиений [latex]{T}’,{T}»[/latex]  выполняется неравенство: [latex]s_{{T}’}\leq \underline{I}\leq \bar{I}\leq {S_{{T}»}}[/latex] [latex]\blacksquare[/latex]

[свернуть]

---

Замечание

Свойства 1-5 справедливы для любой ограниченной на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] функции.

---

Пример 1

Найти суммы Дарбу для функции [latex]f\left(x\right)=x^{3}[/latex] на отрезке [latex]\left[-2;3\right][/latex], соответствующие разбиению этого отрезка на [latex]n[/latex] равных частей.

Спойлер

В этом случае [latex]\triangle x_{i}=\frac{5}{n},[/latex] [latex]x_{i}=-2+\frac{5i}{n},[/latex] [latex]i=\overline{1,n}[/latex]. В силу непрерывности и возрастания этой функции при любом разбиении отрезка она достигает наименьшего [latex]m_{i}=x_{i-1}^{3}[/latex] и наибольшего [latex]M_{i}=x_{i}^{3}[/latex] значений на левом и правом концах частичного отрезка [latex]\left[x_{i-1};x_{i}\right][/latex] соответственно. Согласно формулам, находим:

[latex]s_{T}=\frac{5}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(-2+5\frac{i-1}{n})^{3},[/latex] [latex] S_{T}=\frac{5}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(-2+\frac{5i}{n}\right)^{3}[/latex]

Принимая во внимание, что [latex]\sum\limits_{i=1}^{n}i = \frac{n\left(n+1\right)}{2},[/latex] [latex]\sum\limits_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6},[/latex] [latex]\sum\limits_{i=1}^{n}i^{3} =\left(1+2+…+n\right)^{2}[/latex], в итоге получаем:

[latex]s_{T}=\frac{65}{4}-\frac{175}{2n} + \frac{125}{4n^{2}},[/latex] [latex] S_{T}=\frac{65}{4}+\frac{175}{2n}+\frac{125}{4n^{2}}[/latex]

Ответ: [latex]s_{T}=\frac{65}{4}-\frac{175}{2n}+\frac{125}{4n^{2}},[/latex] [latex] S_{T}=\frac{65}{4}+\frac{175}{2n}+\frac{125}{4n^{2}}[/latex]

[свернуть]

Пример 2

Для интеграла [latex]\int\limits_{0}^{\pi }\sin x dx[/latex] найти верхнюю и нижнюю интегральные суммы, соответствующие разбиению отрезка [latex]\left[0;\pi\right][/latex] на 3 равные части.

Спойлер

На отрезке [latex]\left[0;\frac{\pi }{3}\right][/latex] функция [latex]\sin x[/latex] монотонно возрастает и поэтому для этого отрезка имеем [latex]m_{0}=\sin 0=0,[/latex] [latex]M_{0}=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex].

На отрезке [latex]\left[\frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3}\right][/latex] наименьшим значением функции является [latex]m_{1}=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=[/latex] [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex], а наибольшим [latex]M_{1}=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1[/latex].

На отрезке [latex]\left[\frac{2\pi }{3};\pi\right][/latex] функция монотонно убывает, и поэтому:

[latex]m_{2}=\sin \pi =0,[/latex] [latex]M_{2}=\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)=[/latex] [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]

Т.к. все [latex]\triangle x_{i}[/latex] равны [latex]\frac{\pi }{3}[/latex], то

[latex]s_{T}=\frac{\pi }{3}\left(0+\frac{\sqrt{3}}{2}+0\right)=[/latex] [latex]\frac{\pi \sqrt{3}}{6}[/latex]

[latex]S_{T}=\frac{\pi }{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=[/latex] [latex]\frac{\pi \left(\sqrt{3}+1\right)}{3}[/latex]

Ответ: [latex]s_{T}=\frac{\pi }{3}\left(0+\frac{\sqrt{3}}{2}+0\right)=\frac{\pi \sqrt{3}}{6},[/latex] [latex]S_{T}=\frac{\pi }{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=[/latex] [latex]\frac{\pi \left(\sqrt{3}+1\right)}{3}[/latex]

[свернуть]

Литература:

• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I- 687 стр.(стр. 443- 445)
• Лысенко З.М. Конспект лекция по математическому анализу (тема «Определенный интеграл»)
• Морозова В.Д. Введение в анализ: Учеб. для вузов/Под ред. В.С.Зарубина,А.П.Крищенко — М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана,1996 — 408 стр. (стр. 219-220)

 

Тест по теме

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест с элементарными вопросами по теме «Суммы Дарбу и их свойства»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Первый замечательный предел :

   • Не существует замечательных пределов.
   • [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x} = 1[/latex]
   • [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x} = 0[/latex]
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Признаки сходимости числовых рядов :

   • признак Даламбера
   • признак Коши
   • признак Дарбу
   • признак Лейбнеца
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Продолжите предложение:

   Свойства сумм Дарбу справедливы для любой функции,..
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Установите соответствие

   Элементы сортировки

   • Верхняя сумма Дарбу
   • Не увеличивается
   • Нижняя сумма Дарбу
   • Увеличивается

   • Минимальный предел верхних границ для интегральной суммы

   • При дроблении отрезка верхняя сумма Дарбу

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Если каждая точка разбиения  [latex]T_{1}[/latex]  является точкой разбиения  [latex]T_{2}[/latex], то разбиение [latex]T_{2}[/latex] называется_____________________ разбиения [latex]T_{1}[/latex]

   • (продолжением)
   Правильно
   

   Неправильно
   

Таблица лучших: Тест по теме

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема (необходимое условие точки перегиба)

Если точка $latex x_{0}$ — точка перегиба функции $latex f(x)$ и если $latex \exists {f}»(x)$ в некоторой окрестности точки $latex x_{0}$ (непрерывная в точке $latex x_{0}$), то $latex {f}»(x_{0})=0$.

Доказательство

Докажем методом от противного, т.е предположим, что $latex {f}»(x_{0})\neq 0$. Тогда $latex {f}»(x_{0})> 0$ либо $latex {f}»(x_{0})< 0$.
По условию $latex {f}»$ непрерывна в точке $latex x_{0}$ $latex \Rightarrow$ по свойству сохранения знака непрерывной функции получим: $latex \exists \delta$: $latex \forall x\epsilon U_{\delta } (x_{0})$, $latex sign {f}»(x)=sign{f}»(x_{0})$, т.е по достаточному условию строгой выпуклости $latex {f}»(x)> 0$ $latex \forall x\epsilon (a;b)$ (функция выпукла вниз) или $latex {f}»(x)< 0$ $latex \forall x\epsilon (a;b)$ (функция выпукла вверх). Это противоречит определению точки перегиба, которое гласит, что при переходе через точку $latex x_{0}$ направление выпуклости меняется.

Теорема (достаточное условие точки перегиба)

Если функция $latex f(x)$ непрерывна в точке $latex x_{0}$ и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если $latex {f}»(x_{0})$ меняет знак при переходе через точку $latex x_{0}$, то точка $latex x_{0}$ —  точка перегиба функции $latex f(x)$.

Доказательство

Пусть $latex {f}»$ меняет знак с «-» на «+», тогда по достаточному условию строгой выпуклости функция $latex f(x)$ на интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ функция будет строго выпукла вверх, на интервале $latex (x_{0};x_{0}+\delta )$ — строго выпукла вниз, т.е при переходе через точку $latex x_{0}$ направление выпуклости изменяется $latex \Rightarrow$ по определению $latex x_{0}$- точка перегиба.

Пример:

Найти точки перегиба функции $latex f(x)=3x^{2}-x^{3}$.

Решение:

Найдем вторую производную функции: $latex {f}’=6x-3x^{2}$ $latex \Rightarrow$ $latex {f}» =6-6x$, значит $latex x=1$. Найдем промежутки знакопостоянства функции:

При переходе через точку $latex x=1$ функция изменяет направление выпуклости, значит $latex x=1$ — точка перегиба графика функции.

Список литературы

• Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
• Фихтенгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 303) .

Точки перегиба

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест на знание темы «Точки перегиба»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 6 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Впишите правильное слово

   • Пусть функция f непрерывна в точке x и имеет в этом точке конечную или бесконечную производную. Тогда, если эта функция при переходе через точку x меняет направление выпуклости, то точка x — (точка перегиба) функции f.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Укажите точку перегиба функции $latex y=x^{3}$:

   • x=1
   • Нет точки перегиба
   • x=0
   • x=4
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Верно ли, что если $latex x_{0}$-точка перегиба функции $latex f(x)$, то $latex {f}»(x_{0})=0$?

   • Да.
   • Нет.
   Правильно
   

   Неправильно