Пусть функция $latex f(x)$ непрерывна в точке $latex x_{0}$ и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда, если эта функция при переходе через точку $latex x_{0}$ меняет направление выпуклости, т.е $latex \exists \delta$ такое что на $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ функция выпукла вверх (вниз), а на $latex (x_{0};x_{0}+\delta )$ функция выпукла вниз (вверх), то точка $latex x_{0}$ — точка перегиба функции $latex f(x)$.

Пример:

Рассмотрим функцию $latex f(x)=x^{3}$, где тогда $latex x=0$, является точкой перегиба данной функции.

 Список литературы:

• Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
• Фихтенгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 303)  .

Формулировка:

Если существует $ f^{(n)}(x_{0}) $, то $ f(x) $ представима в следующем виде:

$$ f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}}{k!}(x-x_{0})^{k}+o((x-x_{0})^{n})_{x\to x_{0}} $$

Это выражение $ f(x) $ называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (или локальной формулой Тейлора)

Доказательство:

Для начала докажем Лемму

Пусть функции $ \varphi(x),\psi(x) $ определены в  $ \delta $  окрестности точки $ x_{0} $ и удовлетворяют следующим условиям:

1. $ \forall x \in U_{\delta} \exists \varphi^{(n+1)}(x),\psi^{(n+1)}(x); $
2. $ \varphi(x_{0})=\varphi'(x_{0})=…=\varphi^{(n)}(x_{0})=0 $, $ \psi(x_{0})=\psi'(x_{0})=…=\psi^{(n)}(x_{0})=0 $
3. $ \psi(x)\neq0,\psi^{k}(x)\neq 0 \forall x\in U_{\delta}(x_{0}),k=\overline{1,n+1} $

Тогда $ \forall x\in U_{\delta}(x_{0}) $ существует точка $ \xi $, принадлежащая интервалу с концами $ x_{0} $ и $ x $ такая, что $ \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)} $

Доказательство 

Пусть, например, $ x \in (x_{0},x_{0}+\delta) $. Тогда применяя к функциям $ \varphi $ и $ \psi $ на отрезке $ [x_{0},x] $ теорему Коши и учитывая, что $ \varphi(x)=\psi(x)=0 $ по условию, получаем

$$ \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\psi(x)-\psi(x_{0})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}$, $ x_{0}<\xi_{1}<x $$

Аналогично, применяя к функциям $ \varphi’ $ и $ \psi’ $ на отрезке $ [x_{0},\xi_{1}] $ теорему Коши, находим

$$ \frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})-\varphi'(x_{0})}{\psi'(\xi_{1})-\psi'(x_{0})}=\frac{\varphi»(\xi_{2})}{\psi»(\xi_{2})},$$ $$ x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1} $$

Из этих двух равенств следует, что

$$ \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi»(\xi_{2})}{\psi»(\xi_{2})},$$ $$ x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta $$

Применяя теорему Коши последовательно к функциям $ \varphi» $ и $ \psi» $,$ \varphi^{(3)} $ и $ \psi^{(3)} $,…,$ \varphi^{(n)} $ и $ \psi^{(n)}$ на соответствующих отрезках получаем

$$ \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=…=\frac{\varphi^{n}(\xi_{n})}{\psi^{n}(\xi_{n})}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)} $$

где $ x_{0}<\xi<\xi_{n}<…<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta $

Равенство доказано для случая, когда $ x \in(x_{0},x_0+\delta) $, аналогично рассматривается случай, когда $ x \in(x_0-\delta,x_{0}) $.

Теперь, когда лемма доказана, приступим к доказательству самой теоремы:

Из существования $ f^{(n)}(x_{0}) $ следует, что функция $ f(x_{0}) $ определена и имеет производные до $ (n-1) $ порядка включительно в $ \delta $ окрестности точки  $ x_{0} $

Обозначим $ \varphi(x)=r_{n}(x),\psi(x)=(x-x_{0})^{n} $, где  $ r_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x) $.

Функции $ \varphi(x) $ и $ \psi(x) $ удовлетворяют условиям леммы, если заменить номер $ n+1 $ на $ n-1 $

Используя ранее доказанную лемму и учитывая, что $ r_{n}^{(n-1)}(x_{0})=0 $ получаем

$$ \frac{r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{r_{n}^{n-1}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{n!(\xi-x_{0})}, $$ $$ \xi=\xi(x)(*) $$

где $ x_{0}<\xi<x<x_{0}<x_{0}+\delta $ или $ x_{0}-\delta<x<\xi<x_{0} $.

Пусть $ x\to x_{0} $, тогда из неравенств следует, что $ \xi \to x_{0} $, и в силу существования $ f^{(n)}(x_{0}) $ существует

$$ \lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(x)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{x-x_0}= $$

$$ =\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{\xi-x_{0}}=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0 $$

Так как выполняются равенства $ r_{n}(x_{0})=r_{n}'(x_{0})=…=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0 $

Таким образом, правая часть формулы $ (*) $ имеет при $ x\to x_{0} $ предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, так же равный нулю. Это означает, что $ r_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}),x\to x_{0} $, то есть $ f(x)-P_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}) $, что и требовалось доказать.

Пример:

Разложить функцию $ y=\cos^{2}(x) $ в окрестности точки $ x_{0}=0 $  по Тейлору с остатком в форме Пеано.

Решение

Табличное разложение косинуса имеет следующий вид:

$$ \cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-…+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1}) $$

Представим функцию $ \cos^{2}(x) $ в виде:

$$ \cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x) $$

Заменим в табличном разложении $ x $ на $ 2x $ и подставим представление косинуса.Получим

$$ \cos^{2}(x)=1-x^2+\frac{x^{4}}{3}-…+(-1)^{n} \frac{2^{2n-1}x^{2n}}{2n!}+o(x^{2n+1})$$

Источники:

1. Конспект по курсу математического анализа Лысенко З.М.
2. Тер-Крикоровв А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа -М.:ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.-672 с. гл. IV §18 с. 161.

Тест на знание формулы Тейлора(ост.Пеано)

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Проверьте себя на знание доказательства и применения формулы Тейлора с остатком в форме Пеано.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 6 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   
   В условиях теоремы функция $latex f(x) $ представима в виде…

   • $ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}}{k!}(x-x_{0})^{k} + o((x-x_{0})^{n})_{x\to x_{0}} $
   • $ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}}{k!}(x-x_{0})^{k} $
   • $ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}}{k!}(x)^{k}+o((x)^{n})_{x\to0} $
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   
   Лемма, помогающая доказать теорему, гарантирует выполнение следующего равенства при определённых условиях:

   • $ \forall x\in U_{\delta}(x_{0}) \, существует\, такая\, точка\, \xi $$ $$ принадлежащая\, интервалу \,с \,концами \, x_{0} \, и \, x \,такая\, , \, что\, \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)} $
   • $ \forall x\in U_{\delta}(x_{0}) \, существует\, такая\, точка\, \xi $$ $$принадлежащая\, интервалу \,с \,концами \, x_{0} \, и \, x \,такая\, , \, что\, \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\psi(\xi)}{\varphi(\xi)} $
   • $ \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\psi(x)-\psi(x_{0})} $
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Каким условиям должны удовлетворять функции $latex \varphi(x) $  и $latex \psi(x) $ для того, чтоб для них выполнялась лемма, доказанная в этой главе?

   • $ \forall x \in U_{\delta} \exists \varphi^{(n+1)}(x),\psi^{(n+1)}(x) $
   • $ \varphi(x_{0})=\varphi'(x_{0})=...=\varphi^{(n)}(x_{0})=0 \, , \,\psi(x_{0})=\psi'(x_{0})=...=\psi^{(n)}(x_{0})=0 $
   • $ \psi(x)\neq0,\psi^{k}(x)\neq 0 \forall x\in U_{\delta}(x_{0}),k=\overline{1,n+1} $
   • $ \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)} $
   • $ \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\psi(x)-\psi(x_{0})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})} $
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Чему получился равен  $latex \lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{x-x_{0}} &s=1$?

   (буквами, например «один», «бесконечность», «ноль», «три»)
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   
   Восстановите логическую последовательность

   • $ Правая\, часть\, формулы\, \frac{r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{r_{n}^{n-1}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{n!(\xi-x_{0})} \, имеет\, при\, x\to x_{0} \, предел\, , \, равный\, нулю. $
   • $ Существует\, предел\, левой\, части\, формулы\, \frac{r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{r_{n}^{n-1}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{n!(\xi-x_{0})} \, при\, x\to x_{0} \,  равный\, нулю. $
   • $ r_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}),x\to x_{0} $
   • $ f(x)-P_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}) $
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   
   Соотнесите функции с их разложением по Тейлору с остатком в форме Пеано.

   Элементы сортировки

   • $ y=e^{x} $
   • $ y=ln(x+1) $
   • $ y=cos(x) $
   • $ y=sin(x) $

   • $ y=\sum\limits^{n}_{k=0}\frac{1}{k!}x^{k}+o(x^{n}) $

   • $ y=\sum\limits^{n}_{k=0}(-1)^{k}\frac{1}{k}x^{k}+o(x^{n}) $

   • $ y=\sum\limits^{n}_{k=0}(-1)^{k}\frac{1}{(2k)!}x^{2k}+o(x^{2n}) $

   • $ y=\sum\limits^{n}_{k=0}(-1)^{k}\frac{1}{(2k+1)!}x^{2k+1}+o(x^{2n+1}) $

   Правильно
   

   Неправильно
   

Эквивалентные функции

Определение :
Если [latex]\exists\dot{U}_{\delta }(x_{0})[/latex]в которой определены [latex]f,g[/latex]  и [latex]h:f(x)=g(x)h(x)[/latex],
причём [latex]lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=1\Rightarrow f[/latex] и [latex]g[/latex]- эквивалентные при [latex]x\rightarrow x_{0}[/latex] и пишут [latex]f_{x\rightarrow x_{0}}\sim g[/latex]
[latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)=1[/latex]
Понятие эквивалентные обычно используют, когда f и g — бесконечно малые или бесконечно большие при [latex]x\rightarrow x_{0}[/latex]

Критерий:
Для того, чтобы две бесконечно малые  [latex]\alpha[/latex]  и [latex]\beta[/latex] были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было [latex]lim\frac{\beta }{\alpha }=1[/latex]
Положив  [latex]\beta-\alpha =\gamma[/latex], будем иметь  [latex]\frac{\beta }{\alpha }-1=\frac{\gamma }{\alpha }[/latex]
Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если   [latex]\frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1[/latex] , то [latex]\frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0[/latex]  , то есть[latex]\gamma[/latex] есть бесконечно малая высшего порядка, чем  [latex]\alpha[/latex] и  [latex]\beta \sim \alpha[/latex] . Обратно, если дано, что [latex]\beta \sim \alpha[/latex] , то [latex]\frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0[/latex] , а тогда  [latex]\frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1[/latex].
С помощью этого критерия, например, видно, что при [latex]x\rightarrow 0[/latex] бесконечно малая  [latex]sin\: x[/latex]  эквивалентна [latex]x[/latex], а [latex]\sqrt{1+x}-1=\frac{1}{2}x[/latex].
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределённости  [latex]\left [ \frac{0}{0} \right ][/latex] . Т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых  [latex]\frac{\beta }{\alpha }[/latex]. Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой.

Замена функций эквивалентными при вычислении предела:

Теорема:
Если[latex]f\sim f_{1}[/latex] , а [latex]g\sim g_{1}[/latex] , при [latex]x\rightarrow x_{0}[/latex] , то если [latex]\exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}[/latex] , то  [latex]\exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}[/latex] и [latex]lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}=lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}[/latex]
Замечание:
Если в числителе или знаменателе стоит сумма, то  при раскрытии неопределенности заменять отдельные слагаемые эквивалентными величинами нельзя, т.к. такая замена может привести к неверному результату.

Примеры:

1) [latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx(e^{x}-1)}{cosx-cos3x}=[/latex][latex]\begin{bmatrix} arcsinx\sim x\\e^{x-1}\sim x \\cosx-cos3x=2sinxsin2x \ \end{bmatrix}[/latex][latex]\Rightarrow lim_{x\rightarrow 0}\frac{x*x}{4x^{2}}=[/latex][latex]\frac{1}{4}[/latex]

2) [latex]lim_{x\rightarrow \infty }x(e^{\frac{1}{x}}-1)=[/latex][latex]\begin{bmatrix} \frac{1}{x}=t\\ x\rightarrow \infty \Rightarrow t\rightarrow 0 \end{bmatrix}[/latex][latex]=lim_{t\rightarrow 0 }\frac{1}{t}(e^{t}-1)=[/latex][latex]lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}t=[/latex][latex]lim_{t\rightarrow 0}1=1[/latex]

Источники:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).
• Фихтенгольц Г. М. «Основы математического анализа, том 1» Издание шестое,  стереотипное 1968 Изд-во Наука (с. 112-114)

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест по теме «Эквивалентные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 6 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Дополните утверждение

   • Понятие эквивалентные обычно используют, когда две функции (бесконечно большие, бесконечно малые) или (бесконечно большие, бесконечно малые)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Какими свойствами обладает отношение эквивалентности:

   • Рефлексивность
   • Симметричность
   • Асимметричность
   • Транзитивность
   • Нетранзитивность
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   3 правильных ответа
3. Задание 3 из 6

   3.

   Соедините, создавая верные утверждения

   Элементы сортировки

   • $$x$$
   • $$1$$

   • f~g=>g~f

   • f~g, g~h =>f~h

   • $$arctg x~$$

   • $$lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx}{x}=$$

   • свойство симметричности

   • свойство транзитивности

   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Найдите предел:

   $$lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+4x)}{sin3x}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   
   Используются формулы:

   $$ln(1+\alpha )\sim \alpha ; sin\alpha \sim \alpha$$
5. Задание 5 из 6

   5.

   
   Установите соответствия:

   Элементы сортировки

   • $$x$$
   • $$xlna$$
   • $$\frac{x^{2}}{2}$$
   • $$\alpha x$$

   • $$sh x\sim$$

   • $$a^{x-1\sim }$$

   • $$1-cosx\sim$$

   • $$(1+x)^{\alpha }-1\sim$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   
   Для того, чтобы две бесконечно малые были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было

   • $$lim\frac{\beta }{\alpha }=1$$
   • $$lim\frac{\beta }{\alpha }=0$$
   • $$lim\frac{\beta }{\alpha }=\infty$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Вторая теорема Вейерштрасса

Если [latex]f\in C[a;b][/latex] , то она достигает своих точных граней, то есть

[latex] \exists \xi \in [a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x) [/latex]  и

[latex]\exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})= \inf\limits_{x \in [a;b]} f(x)[/latex] .

Доказательство:

[latex]\exists \xi \in [ a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b] } f(x) [/latex]
Обозначим [latex]M=\sup f(x)[/latex] (следует из первой теоремы Вейерштрасса)
В силу определения точной верхней грани выполняется условие: [latex]\forall x\in [a;b]:f(x)\leq M[/latex]
[latex]\forall \varepsilon >0\; \exists x_{\varepsilon }\in [a;b]:M-\varepsilon <f(x_{\varepsilon })[/latex]

Полагая [latex]\varepsilon =1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},…,\frac{1}{n},…[/latex] получим последовательность [latex]\left \{ x_{n} \right \}[/latex]такую, что для всех [latex] n\in N [/latex]выполняются условия [latex]\forall n\in \mathbb{N}:M-\frac{1}{n}<f(x_{n})\leq M[/latex] откуда получаем [latex] \lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n})[/latex] существует подпоследовательность [latex]\left \{ x_{n_{k}} \right \}[/latex]  (по теореме Больцано-Вейерштрасса) последовательности [latex]\left \{ x_{n} \right \}[/latex]  и точка [latex]\xi[/latex] , такие что [latex] \lim\limits_{x \to \infty } x_{n_{k}}=\xi[/latex] ,  где  [latex]\xi\in [a;b].[/latex]
В силу непрерывности функции [latex]f[/latex] в точке [latex]\xi[/latex] [latex]\lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=f(\xi )[/latex]

С другой стороны [latex]\left \{ f(x_{n_{k}}) \right \}[/latex] — подпоследовательность последовательности [latex]\left \{ f(x_{n}) \right \}[/latex], сходящейся к числу [latex]M.[/latex]
Поэтому  [latex]\lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=M[/latex]
В силу единственности предела последовательности заключаем, что[latex]f(\xi )=M=\sup\limits_{x \in [a;b]} f(x); [/latex]

Утверждение [latex]\exists \xi \in [ a; b]:f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x)[/latex] доказано.

Аналогично доказывается [latex]\exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})=\inf\limits_{x \in [a;b]} f(x) [/latex]
Функция непрерывна на интервале может не достигать своих точных граней (требовать непрерывности на сегменте существенно).

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.Том 1(стр. 176-178) 1968 Изд-во Наука.
• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест по теме «Вторая теорема Вейерштрасса»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Продолжите условие теоремы:

   Если функция непрерывна на отрезке, то она…

   • достигает своих точных граней
   • может не достигать своих точных граней
   • не имеет сходящейся подпоследовательности
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Выберите правильные варианты:

   • Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
   • Любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один конечный частичный предел
   • Из любой непрерывной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
   • Любая последовательность имеет хотя бы один конечный частичный предел
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   правильными являются 2 варианта ответа
3. Задание 3 из 6

   3.

   Функция непрерывная на интервале может…
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Установите правильную последовательность докозательства:

   • Обозначим $$ M= \sup f(x) $$
   • В силу определения точной верхней грани выполняется условие: $$\forall x\in [a;b]:f(x)\leq M$$
   • Т.к. последовательность ограниченная , то по теореме Больцано-Вейерштрасса существует подпоследовательность $$\left \{ x_{n_{k}} \right \}$$
   • В силу единственности предела последовательности $$f(\xi )= M= \sup f(x) ; x\in [a;b]$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   Дополните условие теоремы:

   • Если функция (непрерывна на отрезке), то она достигает своих (точных граней, граней)
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Установите соответствие:

   Элементы сортировки

   • f є С[a;b]
   • f є [a;b]
   • lim f(x)=0 (x->a)

   • функция непрерывна [a;b]

   • функция ограничена на [a;b]

   • f(x)-бесконечно малая функция

   Правильно
   

   Неправильно
   

Задача 1. (О вычислении пути)

Условие. Предположим, что $latex f(x)$ — скорость движения материальной точки по оси $latex OY$ и $latex f(x)>0$. Необходимо вычислить путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от $latex x=a$ до $latex x=b$.

Решение. Разобьём рассматриваемый промежуток времени от $latex a$ до $latex b$ на малые промежутки  (рис.3)  $$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b$$ На указанном промежутке скорость приближенно можно считать равной и постоянной, например, $latex f(x_{k})$. Получаем, что путь, пройденный материальной точкой за время $latex \triangle x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$ приближенно равен $latex f(x_{k})\triangle x_{k}$. Следовательно, путь пройденный от $latex a$ до $latex b$ приближенно равен:

$latex {S\approx f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$.                                                (1)

При уменьшении всех промежутков времени мы будем получать более точное значение пути. И так, чтобы получить точное значение пути, перейдём к пределу в формуле (1) :

$latex {S\approx \lim\limits_{\triangle x_{k}\to 0 }f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$.                                       (2)

Задача 2. (О вычислении площади криволинейной трапеции)

В предыдущей задаче мы вычислили путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от $latex x=a$ до $latex x=b$, перейдя к пределу. В математике предел вида (2) называется определённым интегралом(или интегралом Римана) от функции $latex f(x)$  в пределах от $latex a$ до $latex b$ и обозначается: $$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$$

Рассмотрим рис.1   Сумма вида (1) равна сумме  площадей прямоугольников с основаниями $latex \triangle x_{k}$  и высотами $latex f( x_{k})$. Т.е., данная сумма равна площади изображенной на рис.1 ступенчатой фигуры, обозначенной светло- и тёмно-зеленым цветом. При стремлении к нулю длин всех отрезков $latex \triangle x_{k}$ площадь указанной ступенчатой фигуры будет стремиться к площади отмеченной на рисунке ступенчатой фигуры, лежащей под графиком функции $latex y=f(x)$ на отрезке $latex [a;b]$.

Эту криволинейную фигуру часто называют криволинейной трапецией . Аналогично задачи 1, перейдём к пределу:

$latex {S=\lim\limits_{\lambda \to 0 }f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$ , где  $latex \lambda = \max \triangle x_{k}$

и $latex S$ -площадь, отмеченной на рисунке (1) фигуры (криволинейной трапеции).

Вывод: площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле:

[latex] S=\lim\limits_{\lambda \to 0 } \sum\limits_{n=1}^{k}f(x_{n})\triangle x_{n}[/latex] [latex]=\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex]                                                                 (3)

Рассмотрим пример:

Условие. Вычислить площадь $latex S$, заключенную между графиком функции $latex y=\sin x$ на отрезке от $latex 0$ до $latex \pi$ и осью $latex OX$ (рис. 2)

Решение. По формуле (3) предыдущей задачи получаем: $${S=\underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\sin x\ dx}$$

Так как одной из первообразных функции $latex f(x)=\sin x$ является функция $latex \Phi (x)=-\cos x$, то по формуле Ньютона -Лейбница получим: $$ S={{\underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\sin x\ dx}=(-\cos \pi)-(-\cos 0) }=2$$

Задача 3. (О вычислении массы линейного стержня по известной плотности)

Пусть задан прямолинейный стержень, который меняется вдоль оси (рис.3).
$latex \rho =\rho\ (x)$
Если бы плотность во всех участках стержня была бы одинаковой (однородный стержень), то масса m стержня :
$latex m=\rho (b-a)$, $latex \rho =const$
Но, так как плотность не является постоянной, то разобьем [a,b] на однородные участки (участки с одинаковой плотностью) :
$latex a=x_{o}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b$
$latex \forall \ \xi _{i}\in \triangle x_{i}$ , где $latex \triangle x_{i}=x_{i}-x_{i-1} $ $latex i=\overline{1,n}$
Масса каждого отрезка : $latex m\approx \rho (\xi _{i})\cdot \triangle x_{i}$ $latex
\Rightarrow$ масса всего стержня равна пределу суммы $latex {m=\lim\limits_{x \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\rho (\xi _{i})\triangle x_{i}}$

Замечание

В просмотренной задаче речь идёт о рассмотрении пределов сумм вида $latex {\sum\limits_{i=1}^{n}\rho (\xi _{i})\triangle x_{i}}$, которые называются интегральными суммами

Список литературы:

• А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 243-258
• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
2. Задача о вычислении массы линейного стержня по известной плотности.
3. Задача о вычислении пути, пройденного материальной точкой.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 4

   Для нахождения площади криволинейной трапеции сперва требуется:

   • Разбить отрезок на n-частей монотонным набором точек
   • Провести через точки деления прямые, параллельные oy
   • Получить n маленьких криволинейных трапеций
   • Сложить площади криволинейных транеций
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   
   Суммы вида $latex {\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\triangle x_{k}}$ называются

   • предельными
   • интегральными
   • Римановскими
   • производными
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Площадь всей ступенчатой фигуры (обозначена светло- и темно-зелёным цветом), составленной из прямоугольников, равна пределу суммы $$ {S=\sum_{n=1}^{k}=f(x_{n})\triangle x_{n}} $$

   при $latex \lambda \to 0$

   

    

   • Да, верно.
   • Нет, неверно.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Исходя из прочитанного материала, дополните предложение:

   • С помощью интегральных сумм вычисляется (масса) линейного стержня.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Площадь криволинейной трапеции можно вычислить только, если

   • наибольший отрезок из разбиения стремится к нулю
   • наименьший отрезок из разбиения стремится к нулю
   • сумма будет иметь предел S , не зависящий ни от выбора промежуточных точек, ни от способа разбиения
   • сумма будет иметь предел S , зависящий и от выбора промежуточных точек, и от способа разбиения
   Правильно
   

   Неправильно