Натуральные, целые и рациональные числа
В процессе счёта возникли натуральные числа.
$latex \mathbb{N}=\{1,2,3,…,n,…\}$.
Сложение и умножение натуральных чисел снова даёт натуральное число. Операция «вычитание» во множестве натуральных чисел приводит к целым числам.
$latex \mathbb{Z}=\{0,1,-1,2,-2,…,n,-n\}$.
Операция «деление» во множестве целых чисел приводит к рациональным числам.
$latex \mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}, m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}\}$.
Например: $latex \frac{1}{2}; \frac{5}{8}; -\frac{1}{2}; -\frac{11}{8}; -\frac{1}{30} … $
Во множестве рациональных чисел $latex \mathbb{Q} $ выполняются все 4 арифметических действия. В данном множестве можно решать уравнения 1-ой степени $latex (a*x+b=c)$, однако, простейшее уравнение $latex x^2=a$, $latex a\in\mathbb{N} $ не всегда разрешимо в $latex \mathbb{Q} $, в частности, уравнение $latex x^2=2 $ не имеет решений в $latex \mathbb{Q} $.
Необходимость иррациональных чисел
Докажем, что уравнение $latex x^2=2 $ не имеет решений в $latex \mathbb{Q} $.
Теорема
Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
$latex \square $ Предположим противное. Предположим, что существует такое рациональное число, квадрат которого равен 2. Числа $latex p$ и $latex q$ — числитель и знаменатель данного рационального числа; $latex p$ и $latex q$ — взаимно простые (числа, наибольший общий делитель которых равен 1).
$latex \frac{p}{q}\in\mathbb{Q}, $ $latex (\frac{p}{q})^{2}=2 $
$latex p^{2}=2q^{2} $ $latex \Rightarrow $ $latex p^{2} \vdots 2 $
$latex p^{2} $ — чётное число, тогда $latex p$ — чётное.
Отсюда: $latex p=2s$
$latex 4s^{2}=2q^{2} |:2$
$latex 2s^{2}=q^{2} \Rightarrow q^{2} $ — чётное $latex \Rightarrow q $ — чётное.
Получили противоречие того утверждения, что $latex p$ и $latex q$ — взаимно простые. $latex \blacksquare $
Таким образом, проблема решения уже таких уравнений приводит к необходимости расширения множества рациональных чисел путём добавления к ним иррациональных чисел.
Бесконечные дроби: периодические десятичные дроби
Зная рациональное число, его можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
$latex 1)$ $latex \frac{3}{8}=0,375$ — конечная десятичная дробь;
$latex 0,375=\frac {375}{1000}=\frac {3}{8}$.
$latex 2)$ $latex \frac{27}{11}=2,454545…=2,(45)$ — бесконечная периодическая десятичная дробь.
$latex 2,(45)=2+\frac{45}{100}+\frac{45}{100^{2}}+\frac{45}{100^{3}}+\cdots$ $latex =2+45(\frac{1}{100}+\frac{1}{100^{2}}+\frac{1}{100^{3}}+\cdots)$.
Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $latex S_{n}=\frac{b_{1}}{1-q}$, где $latex b_{1}$ — первый член геометрической прогрессии, $latex q$ — знаменатель прогрессии.
Получим: $latex 2+45(\frac{1}{100}+\frac{1}{100^{2}}+\frac{1}{100^{3}}+\cdots)=$ $latex 2+45*\frac{\frac{1}{100}}{1-\frac{1}{100}}=$
$latex =2+\frac{45}{99}=2\frac{5}{11} $.
Договоримся, конечную десятичную дробь будем отождествлять с бесконечной десятичной дробью с $latex «0»$ в периоде.
$latex 0,375=0,375(0)$.
Между множеством множеством всех рациональных чисел и множеством всех периодических бесконечных десятичных дробей установлена связь, если отождествлять бесконечную периодическую дробь с $latex (9)$ с бесконечной периодической периодической дробью с $latex (0)$.
$latex 2,5=2,5(0)=2,4+0,1=2,4+\frac{1}{10}=$ $latex 2,4+(\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+\cdots)=$ $latex =2,4+\frac{9}{10}(\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}+\frac{1}{10^{3}}+\cdots)$ $latex=2,4+0,9(9)=2,4(9).$
Тест "Существование иррациональных чисел".
Тестовые задания по вышеизложенной теме.
Источники:
- З. М. Лысенко. Лекции по математическому анализу.
- В. И. Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса, «Астропринт», 2009г.), стр.1.
- В. И. Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.40. (скачать учебник можно здесь).
Подробнее про «существование иррациональных чисел» на:
