Метка: открытые множества

Пусть множество $E \subset \mathbb{R}^n$. Тогда множество всех точек $x \in \mathbb{R}^n$, не принадлежащих множеству $E$, называется дополнением множества $E$ и обозначается $cE$ или $E^c$.

Теорема. Для того чтобы множество $E \subset \mathbb{R}^n$ было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение $G \equiv cF$ было открытым. Доказательство.
Необходимость. Пусть $E$ замкнуто и $x$ – произвольная точка из $G$. Докажем, что она будет внутренней в $G$. Поскольку $x \notin E$, то она не будет предельной точкой для $E$ и найдется такая ее окрестность $U_x$, которая не содержит ни одной точки из $E$. Следовательно, эта окрестность полностью содержится в $G$, так что $x$ – внутренняя точка множества $G$.
Достаточность. Предположим теперь, что $G$ – открыто. Докажем тогда, что $E$ замкнуто. Для этого достаточно показать, что любая точка $x$, которая не принадлежит $E$, не будет предельной для $E$. Если $x \notin E$, то $x \in G$, а так как $G$ открыто, следовательно найдется окрестность $U_x \subset G$. Она не будет содержать точек из $E$, так что $x$ не является предельной для $E$, ч. т. д.

Отношение двойственности. Пусть $\left\{ E_{\alpha} \right\}$ – произвольное семейство множеств. Тогда дополнение к объединению множеств $E_{\alpha}$ равно пересечению дополнений множеств $E_{\alpha}$, а дополнение к пересечению равно объединению дополнений, т. е. $c(\bigcup E_{\alpha}) = \bigcap(cE_{\alpha}), c(\bigcap E_{\alpha}) = \bigcup(cE_{\alpha})$.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.236)
• Учебно-методические ресурсы Петрозаводского государственного университета, курс матанализа, часть 4, глава 7 «Функции многих переменных»
• Конспект лекций З.М. Лысенко.

Точки $(x, y)$ удовлетворяющие $x^2 + y^2 = r^2$ окрашены синим. Точки $(x, y)$ удовлетворяющие $x^2 + y^2 < r^2$ окрашены красным. Красные точки образует открытое множество. Объединение красных и синих точек есть замкнутое множество.

Пример 1. Любой открытый шар $B(x_0,r)$ является открытым множеством.
Пусть $x \in B(x_0,r)$. Докажем, что найдется окрестность $x$, которая целиком содержится в $B(x_0,r)$. Предположим, что $\rho = r — \left|x — x_0 \right|$. Тогда $\rho > 0$, так как $\left|x — x_0 \right| < r$. Покажем, что $B(x,\rho) \subset B(x_0,r)$. Пусть $y \in B(x,\rho)$. Тогда $\left|y — x \right| < \rho$. Оценим расстояние между $y$ и $x_0$. По неравенству треугольника имеем

$\left| y — x_0 \right| \leq \left| y — x \right| + \left| x — x_0 \right| < \rho + \left| x — x_0 \right| = r$,

что и требовалось доказать.

В частности, при $n = 1$ открытые шары – это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.
Пример 2. Для двух векторов $a,b \in \mathbb{R}^n$, таких, что $a^i < b^i (i = 1…,n)$, открытым интервалом называется множество всех точек $x$, координаты которых удовлетворяют условиям $a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)$. Такой интервал обозначается через $(a^1,b^1;…;a^n,b^n)$.В частности, в $\mathbb{R}^2$ открытые интервалы – это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в $\mathbb{R}^3$ – параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в $\mathbb{R}^n$ является открытым множеством.

Пусть $J$ – открытый интервал и пусть $x \in J$, т. е. $a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)$. Обозначим через $\delta^i = min(x^i — a^i,b^i — x^i) (i = 1,…,n)$ и $\delta = min(\delta^1,…,\delta^n)$. Покажем, что $B(x,\delta)$ содержится в $J$. Действительно, если $y \in B(x,\delta)$, то $|y-x| < \delta$. Отсюда следует, что $|x^i -y^i| < \delta$ для всех $i = 1,…,n$. Пользуясь определением числа $\delta$, легко показать, что $a^i < y^i < bi$ для всех $i = 1,…,n$, так что $y \in J$.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.232)
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 1 1964 г.(с. 350-351)
• Конспект лекций З.М. Лысенко.

ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Множество всех точек $x$пространства $mathbb{R}^n$, таких, что $| x- x_0| < rho, rho > 0$, называется открытым шаром с центром в точке $x_0$ и радиусом $rho$. Этот шар также называется $rho$-окрестностью точки $x_0$ и обозначается $B(x_0,rho)$.

Определение. Зададим подмножество $E$ пространства $mathbb{R}^n$. Точка $x_0$ множества $E$ называется внутренней точкой множества, если существует $B(x_0,rho)$, содержащийся в $E$. Иными словами, $x_0$ является внутренней точкой множества $E$, если она входит в $E$ вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество $E subset mathbb{R}^n$ называется открытым, если любая его точка будет внутренней в $E$. Условимся также считать пустое множество $varnothing$ открытым.

СВОЙСТВА ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ

Обозначим через $A$ множество индексов, и каждому элементу $alpha in A$ поставим в соответствие множество $E_{alpha}$. Тогда $left{E_{alpha}right}_{alpha in A}$ называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве $mathbb{R}^n$ обладают такими свойствами:

1. Пустое множество $varnothing$ и всё пространство $mathbb{R}^n$ открыты;
2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
3. Объединение всякого семейства $left{G_{alpha}right}_{alpha in A}$ открытых множеств также открыто

Доказательство.

1. Пустое множество $varnothing$ является открытым по определению, а пространство $mathbb{R}^n$, очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в $mathbb{R}^n$.
2. Пусть $E_1,…,E_n$ – открытые множества,$E = bigcap_{i=1}^{n}$. Предположи, что $x in E$. Тогда $x in E_i$ для любого $i=1,…,n$. Но все множества $E_i$ являются открытыми, так что для любого $i=1,…,n$ найдется открытый шар $B(x,rho_i) subset E_i$. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом $B(x,rho)$, где $r=min(rho_1,…,rho_n)$. Тогда $E(x,rho) subset E_i$ при каждом $i=1,…,n$, а значит, $B(x,rho) subset E$, и тем самым доказано, что множество $E$ открыто.
3. Пусть $E=bigcup_{alpha in A}E_{alpha}$, где все множества $E_{alpha}$ открыты. Докажем, что множество $E$ также открыто. Предположим, что $x in E$. Тогда $x$ принадлежит хотя бы одному из множеств $E_{alpha_0}$. Так как это множество $E_{alpha_0}$ открыто, то найдется окрестность $B(x,rho) subset E_{alpha_0} subset E$. Таким образом, $E$ – открытое множество.

$square$

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть $B_k$ – открытый шар с центром в нуле и радиусом $frac{1}{k}(k=1,2,…)$. Тогда $bigcap_{k=1}^{infty}B_k = left{0right}$. Но множество $left{0right}$, состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.231-233)
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 1 1964 г.(с. 348-350)
• Конспект лекций  З.М. Лысенко

Открытые множества и их свойства

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 3

   
   Что из этого НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО является открытым множеством

   • пересечение бесконечного набора открытых множеств
   • объединение бесконечного набора открытых множеств
   • пустое множество
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 3

   Как называется множество всех точек $x \in \mathbb{R}^n$, таких, что $|x| < \rho$

   • Закрытым шаром радиуса $$\rho$$ с центром в точке $$x_0$$
   • Открытым шаром радиуса $$\rho$$ с центром в точке $$0$$
   • Закрытым шаром радиуса $$\rho$$ с центром в точке $$0$$
   • Открытым шаром радиуса $$\rho$$ с центром в точке $$x_0 [$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 4

   
   Заполните пропуск

   • Точка &&x_0 \in E&& называется (внутренней точкой множества), если существует шар &&B(x_0,\rho)&&, содержащийся в нем.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5

   Множество называется открытым, если…?
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 5

   шар $B(x_0,r)$ также называется…
   Правильно
   

   Неправильно
   

Открытые множества

Определение. Множество всех точек $x$пространства $\mathbb{R}^n$, таких, что $| x- x_0| < \rho, \rho > 0$, называется открытым шаром с центром в точке $x_0$ и радиусом $\rho$. Этот шар также называется $\rho$-окрестностью точки $x_0$ и обозначается $B(x_0,\rho)$.

Определение. Зададим подмножество $E$ пространства $\mathbb{R}^n$. Точка $x_0$ множества $E$ называется внутренней точкой множества, если существует $B(x_0,\rho)$, содержащийся в $E$. Иными словами, $x_0$ является внутренней точкой множества $E$, если она входит в $E$ вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество $E \subset \mathbb{R}^n$ называется открытым, если любая его точка будет внутренней в $E$. Условимся также считать пустое множество $\varnothing$ открытым.

Свойства открытых множеств

Обозначим через $A$ множество индексов, и каждому элементу $\alpha \in A$ поставим в соответствие множество $E_{\alpha}$. Тогда $\left\{E_{\alpha}\right\}_{\alpha \in A}$ называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве $\mathbb{R}^n$ обладают такими свойствами:

1. Пустое множество $\varnothing$ и всё пространство $\mathbb{R}^n$ открыты;
2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
3. Объединение всякого семейства $\left\{G_{\alpha}\right\}_{\alpha \in A}$ открытых множеств также открыто

Доказательство.

1. Пустое множество $\varnothing$ является открытым по определению, а пространство $\mathbb{R}^n$, очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в $\mathbb{R}^n$.
2. Пусть $E_1,…,E_n$ – открытые множества,$E=\bigcap _{ i=1 }^{ n }{E}_{i}$. Предположим, что $x \in E$. Тогда $x \in E_i$ для любого $i=1,…,n$. Но все множества $E_i$ являются открытыми, так что для любого $i=1,…,n$ найдется открытый шар $B(x,\rho_i) \subset E_i$. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом $B(x,\rho)$, где $r=min(\rho_1,…,\rho_n)$. Тогда $E(x,\rho) \subset E_i$ при каждом $i=1,…,n$, а значит, $B(x,\rho) \subset E$, и тем самым доказано, что множество $E$ открыто.
3. Пусть $E=\bigcup_{\alpha \in A}E_{\alpha}$, где все множества $E_{\alpha}$ открыты. Докажем, что множество $E$ также открыто. Предположим, что $x \in E$. Тогда $x$ принадлежит хотя бы одному из множеств ${E}_{{\alpha}_{0}}$. Так как это множество ${E}_{{\alpha}_{0}}$ открыто, то найдется окрестность $B(x,\rho) \subset {E}_{{\alpha}_{0}} \subset E$. Таким образом, $E$ – открытое множество.$\square$

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть $B_k$ – открытый шар с центром в нуле и радиусом $\frac{1}{k}(k=1,2,…)$. Тогда $\bigcap_{k=1}^{\infty}B_k = \left\{0\right\}$. Но множество $\left\{0\right\}$, состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.231-233)
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 1 1964 г.(с. 348-350)
• Конспект лекций  З.М. Лысенко

Открытые множества и их свойства

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 3

   
   Что из этого НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО является открытым множеством

   • пересечение бесконечного набора открытых множеств
   • объединение бесконечного набора открытых множеств
   • пустое множество
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 3

   Как называется множество всех точек $x \in \mathbb{R}^n$, таких, что $|x| < \rho$

   • Закрытым шаром радиуса $$\rho$$ с центром в точке $$x_0$$
   • Открытым шаром радиуса $$\rho$$ с центром в точке $$0$$
   • Закрытым шаром радиуса $$\rho$$ с центром в точке $$0$$
   • Открытым шаром радиуса $$\rho$$ с центром в точке $$x_0 [$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 4

   
   Заполните пропуск

   • Точка &&x_0 \in E&& называется (внутренней точкой множества), если существует шар &&B(x_0,\rho)&&, содержащийся в нем.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5

   Множество называется открытым, если…?
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 5

   шар $B(x_0,r)$ также называется…
   Правильно
   

   Неправильно