Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Latin1Supplement.js

Ф1856. Максимальные скорости шайб

Задача из журнала «Квант» (2003 год, 1 выпуск)

Условие

Из тонкой жесткой проволоки согнули угол 90, одну из сторон угла закрепили в вертикальном положении, другую — в горизонтальном (рис. 1). На каждую из сторон надели маленькую шайбу массой M и соединили шайбы легким стержнем длиной L. Вначале этот стержень почти вертикален, затем от малого толчка система приходит в движение. Найдите максимальные скорости каждой из шайб. Трение отсутствует.

Рис. 1

Решение

Нижняя шайба вначале разгоняется, но к концу пути она должна остановиться; следовательно, где-то в промежуточном положении ее скорость будет максимальной. Запишем закон сохранения энергии (см.рис. 2):

Рис. 2

Mv22+Mu22=MgL(1cosα)и соотношение между скоростями: vcosα=usinα.

Тогда получим u2(1+tg2α)=2gL(1cosα), или u2=2gL(1cosα)cos2α.

Возьмем производную по углу и приравняем ее к нулю: 2cosα0sinα0+3cos2α0sinα0=0.

Подходит только cosα0=2/3, поэтому um=u(α0)=827gL0,55gL.

Когда верхняя шайба почти достигнет своего положения внизу, скорость второй станет равной нулю, и вся энергия достанется верхней. В этот момент v=vm=2gL1,41gL.

Р. Александров

13.4 Производная сложной функции

Пусть g — отображение открытого множества ERn в открытое множество NRm, а f:NRp. Тогда можно рассматривать сложную функцию F:ERp, F(x)=f(g(x))   (xE). Ее называют композицией F=fg.

Теорема. Пусть отображение g дифференцируемо в точке x0E, а отображение f дифференцируемо в соответствующей точке y0=g(x0)N. Тогда композиция F=fg дифференцируема в точке x0 и справедливо равенство
F(x0)=f(y0)g(x0).

Обозначим A=f(y0), B=g(x0). При достаточно малой длине вектора k вектор y0+kN и справедливо равенство
f(y0+k)f(y0)=A(k)+α(k)|k|,
где
limk0α(k)=0(α(0)=0).
(Заметим, что N — открытое множество, и поэтому y0+kN при достаточно малых по длине векторах k.) Если вектор h достаточно мал, то x0+hE. Положим kk(h)=g(x0+h)g(x0). Тогда f(y0+k)=f(g(x0+h))=F(x0+h) и получаем
F(x0+h)F(x0)=A(k(h))+α(k(h))|k(h)|,
где
k(h)=B(h)+β(h)|h|
по свойству дифференцируемости отображения g, и limh0β(h)=0. Подставив это в равенство (13.3), получаем
F(x0+h)F(x0)=A(B(h))+r(h),
где
r(h)=A(β(h)|h|)+α(k(h))|k(h)|.
По определению производной, нужно доказать, что limh0|r(h)||h|=0,
и тем самым теорема будет доказана.
Пусть r1(h)=A(β(h)|h|). Тогда в силу линейности отображения А,
|r1(h)||h|=|A(β(h))|A|β(h)|.
Но правая часть стремится к нулю при h0, и поэтому получаем, что
limh0|r1(h)||h|=0.
Теперь положим r2(h)=α(k(h))|k(h)|. Воспользуемся неравенством
|k(h)||B(h)|+|h||β(h)|[B+|β(h)|]|h|,
откуда
|r2(h)||h|(B+|β(h)|)|α(k(h))|.
Первый множитель справа ограничен при достаточно малых h, а второй множитель справа стремится к нулю при h0 в силу (13.2).
Таким образом, |r(h)||h||r1(h)||h|+|r2(h)||h| стремится к нулю при h0, и теорема доказана.

Замечание. В правой части равенства (13.1) мы имеем композицию линейных отображений f(y0) и g(x0). Поэтому доказанную теорему можно сформулировать так: производная композиции равна композиции производных.

Цепное правило.
Пусть z=f(y1,,ym) – действительная функция. Если положить yi=gi(x)(i=1,,m), то получим z=f(g1(x),,gm(x)), и тогда, согласно правилу дифференцирования сложной функции,
dzdx=fy1dg1dx++fymdgmdx
Положим теперь yi=gi(x1,,xn)(i=1,,m) и получим сложную функцию z=f(g1(x1,,xn),,gm(x1,,xn)). Если воспользоваться упомянутым только что правилом дифференцирования сложной функции, то получим
zxi=fy1g1xi++fymgmxi(i=1,,n).
Это равенство называется цепным правилом.

Цепное правило можно вывести также из только что доказанной теоремы. Действительно, положим в теореме p=1, т. е. рассмотрим случай, когда f – действительная функция. Тогда F:ER – действительная функция. Из соотношения (13.1) видно, что матрица производной F(x0) равна произведению матриц f(y0) и g(x0). В векторной форме это можно записать так:
(Fx1(x0),,Fxn(x0))=
=(fy1(y0),,fym(y0))(g1x1(x0)g1xn(x0)gmx1(x0)gmxn(x0)).
В частности,
Fxi=fy1g1xi++fymgmxi(i=1,,n),
и тем самым снова получаем цепное правило.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых фигурируют производные сложных функций. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.

  1. Найти производную сложной функции u=xyyx, где x=sin(t), y=cos(t)
    Решение

    ux=(xyyx)=1y(x)y(1x)=1y+yx2
    uy=(xyyx)=x(1y)1x(y)=xy21x
    dxdt=(sin(t))=cos(t) dydt=(cos(t))=sin(t)
    dudt=uxdxdt+uydydt=(1y+yx2)cos(t)+(xy1x)(sin(t))

  2. Найти полную производную сложной функции u=x+y2+z3, где y=sin(x), z=cos(x)
    Решение

    dudx=ux+uydydx+uzdzdx==1+2ycos(x)+3z2(sin(x))=1+2sin(x)cos(x)3cos2(x)sin(x)

  3. Найти полный дифференциал сложной функции u=ln2(x2+y2z2)
    Решение

    Вначале находим частные производные:
    ux=2ln(x2+y2z2)1x2+y2z22x
    uy=2ln(x2+y2z2)1x2+y2z22y
    uz=2ln(x2+y2z2)1x2+y2z2(2z)
    Для функции n-переменных y=f(x1,x2,,xn) полный дифференциал определяется выражением : dy=yx1dx1+yx2dx2++yxndxn. Согласно этой формуле, получаем :
    du=4ln(x2+y2z2)1x2+y2z2(xdx+ydyzdz)

  4. Вычислить приближенно (1,02)3,01
    Решение

    Рассмотрим функцию z=zy. При x0=1 и y0=3 имеем z0=13=1,
    Δx=1,021=0,02Δy=3,013=0,01.
    Находим полный дифференциал функции z=xy в любой точке:
    dz=yxy1Δx+yln(x)Δy
    Вычисляем его значения в точке M(1,3) при данных приращениях Δx=0,02 и Δy=0,01
    dz=3120,02+13ln(1)0,02=0,06
    Тогда z=(1,02)3,01z0+dz=1+0,06=1,06

  5. Найти частные производные второго порядка функции z=ex2y2
    Решение

    Вначале найдем частные производные первого порядка:
    zx=ex2y22xy2,zy=ex2y22x2y
    Продифференцировав их еще раз, получим:
    2zx2=ex2y24x2y4+ex2y22y2
    2zy2=ex2y24x4y2+ex2y22x2
    2zxy=ex2y24x3y3+ex2y24xy
    2zyx=ex2y24x3y3+ex2y24xy
    Сравнивая последние два выражения, видим, что 2zxy=2zyx

  6. Найти полный дифференциал второго порядка функции z=x3+y3+x2y2
    Решение

    Вначале находим частные производные до второго порядка:
    zx=3x2+2xy2,zy=3y2+2x2y
    2zx2=6x+2y2,2zy2=6y+2x2,2zxy=4xy
    Полный дифференциал второго порядка d2z функции z=f(x,y) выражается формулой:
    d2z=2zx2dx2+22zxydxdy+2zy2dy2
    Следовательно,
    d2z=(6x+2y2)dx2+8xydxdy+(6y+2x2)dy2

Литература

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.
  2. В. И. Коляда, А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу». — Одесса: Астропринт, 2009, ч.1, раздел 13.4 «Производная сложной функции» (стр. 311 — 313).
  3. А. П. Рябушко «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике». — Минск: «Вышэйшая школа», 1991, ч.2, разделы 10.2,10.3 «Полный дифференциал. Дифференцирование сложных и неявных функций», «Частные производные высших порядков. Касательная плоскость и нормаль к поверхности» (стр. 212 — 216).
  4. И. И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г.Гай, Г.П.Головач «Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл». «М.Едиториал», 2001, глава 2(4), «Производные и дифференциал высших порядков» (стр. 137).

Производная сложной функции

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

12.2 Производная

Пусть f – действительная функция, определенная на интервале (a,b)R. Производной функции f в точке x0(a,b) мы называли предел limh=f(x0+h)f(x0)h=f(x0).(12.3) Функцию f называли дифференцируемой в точке x0, если f(x0+h)=f(x0)+Ah+¯o(h)(h0). Ранее было показано, что дифференцируемость эквивалентна наличию производной.

Определим линейную функцию на прямой равенством A(h)=f(x0)h (hR). Тогда равенство (12.3) можно переписать в виде limhf(x0+h)f(x0)A(h)|h|=0,(12.4) а определение дифференцируемости можно сформулировать так: функция f дифференцируема в точке x0, если существует такая линейная функция A, что выполняется равенство (12.4). В таком виде определение дифференцируемости может быть перенесено на многомерный случай.

Определение. Пусть функция f:ER задана некотором открытом множестве ERn и точка x0E, если существует такая линейная форма A:RnR, что выполняется равенство limhf(x0+h)f(x0)A(h)|h|=0.(12.5) Эта линейная форма A называется производной функции f в точке x0 и обозначается f(x0). Её называют также дифференциалом функции f в точке x0 и обозначают df(x0).

Равенство (12.5) равносильно следующему соотношению: f(x0+h)=f(x0)+A(h)+r(h),(12.6) где r(h)|h|0 при h0. В этом случае пишут, что r(h)=¯o(h) и поэтому вместо (12.6) можно записать f(x0+h)=f(x0)+A(h)+¯o(|h|).(12.7)
Если положить h=xx0, то условие дифференцируемости (12.7) можно переписать в следующем виде: f(x)=f(x0)+A(xx0)+¯o(|xx0|).(12.8)

Обозначим λ(x)=f(x0)+A(xx0). Функция λ достаточно хорошо приближает функцию f вблизи точки x0. Эта функция λ является аффинной (аффинной называется функция вида λ(x)=A(x)+c, где A — линейная форма, т.е. аффинная функция — это сдвиг линейной формы на постоянную c).

Графиком функции f:ER (ERn) называется множество точек (x1,,xn,z)Rn+1, удовлетворяющих условию z=f(x1,,xn), где xE, а x1,,xn — координаты вектора x.

Пусть Q — некоторое множество в Rm. Расстоянием от точки x0 до множество Q называется число d(x0,Q)=infyQ|x0y|.

Определение. Пусть функция f:ER, где открытое множество ERn, и пусть Q — график функции f в Rn+1. Гиперплоскость H в Rn+1 называется касательной гиперплоскостью к графику функции f в точке w0=(x10,,xn0,z0), где z0=f(x0), если эта гиперплоскость проходит через точку w0 и выполнено условие limww0,wHd(w,Q)|ww0|=0.(12.9)

Пусть функция f дифференцируема в точке x0, Q — график функции f. Тогда выполнено соотношение f(x)=f(x0)+A(xx0)+¯0(|xx0|). Рассмотрим гиперплоскость H в Rn+1, определяемую уравнением z=f(x0)+A(xx0). Пусть w=(x1,,xn,z)H. Оценим, используя (12.8), d(w,Q)|f(x)f(x0)A(xx0)|=¯o(|xx0|). Но из неравенства |xx0||ww0| получаем, что выполнено соотношение (12.9). Таким образом, если функция f дифференцируема в точке x0, то в соответствующей точке w0 её графика существует касательная гиперплоскость. Эта гиперплоскость задается уравнением z=f(x0)+A(xx0), где A=f(x0). В этом состоит геометрический смысл производной.

Следует понимает, что f(x0)df(x0) — это единый символ, определяющий линейную форму, т.е. производная — это не число, а линейная форма. При этом функция f задана на некотором множестве ERn, а f(x0), как и всякая линейная форма, определена на всём пространстве Rn. В то же время для любого hRn значение линейной формы f(x0)(h) является действительным числом.

Согласно нашему обозначению, производная и дифференциал — одно и то же понятие.

Итак, мы получаем отображение x0df(x0), которое каждой точке x0E ставит в соответствие линейную форму df(x0).

При n=1 производной функции f в точке x0 мы называли число a=limh0f(x0+h)f(x0)h.
Это равносильно тому, что limh0f(x0+h)f(x0)ahh=0,(12.10) а функция f называлась дифференцируемой в точке x0, если существует такое число a, что выполнено неравенство (12.10).

В многомерном случае для определения производной мы используем линейную форму A. При n=1 существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел R и множеством R всех линейных форм на R. Это соответствие получим, если каждому числу aR поставим в соответствие линейную функцию A(h)=ah.
Поэтому, используя вышесказанное, с точностью до изоморфизма можно
отождествлять множество всех линейных форм и множество всех действительных чисел.

В одномерном случае часто различают понятие производной и дифференциала. Именно, производной называется число a, его обозначают f(x0), для которого справедливо равенство f(x0+h)f(x0)=f(x0)h+¯o(h), где первое слагаемое справа понимается как произведение двух чисел – f и h. Дифференциалом же называют линейную функцию на R, которая действует по правилу A(h)=f(x0)h (hR). Эту линейную функцию обозначают df(x0) и можно записать f(x0+h)f(x0)=df(x0)h+¯o(h). Здесь первое слагаемое справа понимается как значение линейной функции df(x0) в точке h. Его можно обозначить также df(x0)(h).

Теорема 1 (о производной аффинной функции). Пусть f — действительная аффинная функция на Rn, т. е. f(x)=Ax+c, где A – линейная форма, c – действительная постоянная, xRn. Тогда функция
f дифференцируема в каждой точке xRn и ее производная, или, что
то же самое, дифференциал, равна df(x)=A.

Доказательство. Поскольку форма A линейная, то f(x+h)f(x)=A(x+h)+c(A(x)+c)=A(x+h)A(x)=A(h). Отсюда следует limh0f(x+h)f(x)A(h)|h|=0, и теорема доказана.

Замечание. В частном случае, если f(x)=c, где c — постоянная, то df(x)=0, где 0 — нулевая линейная форма.

Теорема 1 показывает, что производная аффинной функции для всех точек xRn имеет одно и то же значение A. Это является обобщеним того факта, что в одномерном случае производная аффинной функции постоянна, т. е. (αx+β)=α. С геометрической точки зрения графиком аффинной функции является гиперплоскость и она же является касательной для самой себя.

Теорема 2 (о единственности дифференциала). Если f дифференцируема в точке x0, то ее дифференциал единственен.

Предположим, что существуют две линейные формы A1 и A2 на Rn такие что limh0f(x0+h)f(x0)Aih|h|=0(i=1,2). Тогда получаем limh0A1(h)A2(h)|h|=0. Покажем, что отсюда следует равенство A1=A2. Это будет означать, что эти формы совпадают в каждой точке u. Итак, нужно доказать, что для любого uRn справедливо равенство A1(u)=A2(u). Пусть uRn,u0. Полагая h=tu, где действительное число t0, получим, что limt0A1(tu)A2(tu)|tu|=0.
Можем считать, что t>0. Тогда, пользуясь линейностью A1 и A2, получим A1(u)A2(u)|u|=0, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Если f дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Из дифференцируемости f следует, что f(x)=f(x0)+A(xx0)+¯(o)(|xx0|), где A=df(x0) – линейная форма. Но поскольку линейная форма непрерывна в точке 0 и A(0)=0, то при xx0 два последних слагаемых справа стремятся к нулю, так что получаем limxx0f(x)=f(x0), что и требовалось доказать.

Замечание. Из непрерывности функции не следует дифференцируемость. Например, пусть f(x)=|x|,xRn. Тогда из неравенства ||x’|−|x»|| \le |x’ − x»| следует, что функция f равномерно непрерывна на всем \mathbb R^n. Покажем, что в точке x=0 она не является дифференцируемой.
Действительно, предположим, что существует такая линейная форма A, что \lim_{h \to \infty}\frac{f(h)-f()-A(h)}{|h|}=0, т.е. \lim_{h \to \infty}\frac{|h|-A(h)}{|h|}=0. Отсюда следует, что \frac{A(h)}{|h|}\to 1 при h \to 1. Если теперь вместо h взять -h, то получим, что \frac{-A(h)}{|h|}\to 1, или, что то же самое, \frac{A(h)}{|h|}\to -1. Тем самым, мы пришли к противоречию с единственностью предела.

Пример 1. Рассмотрим функцию f(x, y)=x^2+y^2 в окрестности точки (x_0, y_0). Имеем f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=(x_0+h)^2\- (y_0+k)^2-x_0^2-y_0^2= \\ =\underbrace{2x_0h+2y_0k}_{линейная часть} +h^2+k^2=A(h,k)+r(h,k), где  A(h, k) = 2x_0h+2y_0k – линейная функция переменных h и k, r(h, k)=h^2+k^2=\overline{o}(\sqrt{h^2+k^2}), поскольку \frac{r(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\to 0 при (h, k)\to (0, 0). Тем самым мы доказали дифференцируемость функции f в точке (x_0, y_0) по определению.

Пример 2. Пусть f(x,y)= \begin{equation*} \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, x^2+y^2>0, \\ 0, x=y=0. \end{cases} \end{equation*}
В окрестности каждой точки, кроме начала координат, эта функция
является частным двух непрерывных функций и знаменатель отличен от
нуля, так что она непрерывна. Докажем, что f непрерывна и в точке (0, 0). Для этого воспользуемся неравенством 2|xy|\le x^2+y^2. Отсюда получим, что |f(x,y)|\le\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}, а из этого неравенства вытекает, что \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0=f(0,0). Итак, функция f непрерывна в каждой точке (x,y)\in \mathbb R^2.
Покажем, что она не является дифференцируемой в начале координат. Предположим противное. Тогда справедливо равенство \frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}-\alpha h-\beta k=\overline{o}(\sqrt{h^2+k^2}), где \alpha и \beta — действительные числа. Если положим k=0, h\neq 0, то получим, что −\alpha h = \overline{o}(|h|). Отсюда следует, что \alpha = 0. Аналогично находим, что \beta = 0. Таким образом, получаем равенство \frac{hk}{\sqrt{h^2+k^2}}=\overline{o}(\sqrt{h^2+k^2}), или, поделив на \sqrt{h^2+k^2}, \frac{hk}{h^2+k^2}\to 0 \quad (\ (h,k)\to (0,0)\ ). Но это невозможно, ибо если взять h = k, то получим \frac{hk}{h^2+k^2}=\frac{1}{2}, так что приходим к противоречию.

Пример 3. Рассмотрим функцию f(x, y)=xy^2. Функция дифференцируема на всей плоскости OXY. Действительно, ведь полное приращение имеет вид f(x+h,y+k)-f(x,y)=(x+h)(y+k)^2-xy^2=\\=y^2h+2xyk+(2yk+k^2)h+xk^2, и положив y^2h+2xyk=A(h,k), xk^2+2yhk+hk^2=r(x,y), получим представление полного приращения вида аналогичного примеру 1.

Литература

Производная

Пройдите этот тест, чтобы проверить, как вы усвоили материал.

5.1 Дифференцируемость и производная

\DeclareMathOperator{\tg}{tg} \DeclareMathOperator{\sign}{sign} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} Определение 1. Пусть функция f определена на интервале (a, b) и точка x_0 ∈ (a, b). Если существует конечный предел \displaystyle  \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, то он называется производной функции f в точке x_0 и обозначается f^\prime(x_0), или \displaystyle \frac{df}{dx}(x_0), Df(x_0).

Определение 2. Пусть функция f определена на интервале (a, b) и точка x_0 ∈ (a, b). Функцию f будем называть дифференцируемой в точке x_0, если существует такая постоянная A (зависящая от x_0 и не зависящая от x), что справедливо равенство: f(x) − f (x_0) = A (x − x_0) + r(x), где r(x) = \overline{o} (x − x_0) \: \: \: (x \to x_0).

Короче определение дифференцируемости можно записать в следующем виде: f(x) − f (x_0) = A (x − x_0) + \overline{o} (x − x_0) \: \: \: (x \to x_0).
Покажем, что эти два определения эквивалентны в том смысле, что дифференцируемость функции равносильна существованию производной.

Теорема. Функция f дифференцируема в точке x_0 ∈ (a, b) тогда и только тогда, когда у f существует производная в точке x_0.

Пусть f дифференцируема в точке x_0. Это означает, что f(x) − f (x_0) = A (x − x_0) + \overline{o} (x − x_0), где A не зависит от x. Отсюда получаем:
\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = A+\frac{\overline{o} (x − x_0)}{x-x_0}.
Тогда, учитывая определение символа \overline{o}, имеем
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=A+\lim_{x\to x_0} \frac{\overline{o} (x − x_0)}{(x − x_0)} =A т. е. существует f^\prime(x_0) = A.
Обратно, если существует \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f^\prime(x_0), то \displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + f^\prime(x_0) = r_1(x), где r_1(x) \to 0 (x \to x_0). Отсюда следует, что f(x) — f(x_0) = f^\prime(x_0)(x-x_0)+r_1(x)(x-x_0). Обозначим r(x)=r_1(x)(x-x_0). Тогда r(x)=\overline{o}(x-x_0), т. е. f(x) − f (x_0) = f^\prime(x_0)(x-x_0)+\overline{o}(x-x_0) \: \: \: (x\to x_0), а это и означает, что f дифференцируема в точке x_0, причем A= f^\prime(x_0).

Итак, условие дифференцируемости равносильно наличию производной. Смысл дифференцируемости состоит в том, что в некоторой окрестности точки x_0 функция f представима в виде линейной функции l(x)= f (x_0)+f (x_0) f^\prime(x-x_0) приближенно с точностью до величины бесконечно малой более высокого порядка, чем (x-x_0) при x\to x_0.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью устанавливает следующая

Теорема. Если функция f дифференцируема в точке x_0, то она непрерывна в этой точке.

Дифференцируемость f означает, что
f(x) − f (x_0) = A(x_0)(x-x_0)+\overline{o}(x-x_0) \: \: \: (x\to x_0).
Отсюда следует, что \displaystyle \lim_{x\to x_0} (f(x)-f(x_0)) = 0, т. е. \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0), и тем самым теорема доказана.

Обратное утверждение неверно. Именно из непрерывности функции f не следует ее дифференцируемость. Примером может служить функция f(x)=|x|, непрерывная в точке x_0 = 0, для которой выражение \displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \frac{|x|}{x} = \sign x  не имеет предела x\to 0 и, следовательно, функция f не имеет производной в точке x_0 = 0. Значит, f не является дифференцируемой в нуле.

Итак, непрерывность – это необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости. Другими словами, если функция разрывна в точке x_0, то она недифференцируема в этой точке. Обратное неверно.

С геометрической точки зрения производная f^\prime(x_0) представляет собой тангенс угла наклона касательной к графику функции y = f(x) в точке M_0(x_0, f (x_0)). При этом касательной к графику функции f в точке M_0 называется предельное положение секущей M_0M при стремлении точки M (x, f(x)) вдоль кривой y = f(x) к точке M_0. В самом деле, если функция  f дифференцируема в точке x_0, то при стремлении M к M_0 вдоль кривой y = f(x) секущая M_0M имеет тангенс угла наклона, равный \displaystyle \tg\alpha(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},  и при x \rightarrow x_0  точка M стремится к M_0 вдоль кривой y = f(x). Так как \displaystyle  \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \to f^\prime(x_0)  \: \: \: (x\to x_0),  то \tg\alpha(x) \to f^\prime(x_0) при x\to x_0, т. е. секущая стремится занять некоторое предельное положение, тангенс угла наклона \alpha_0 которого равен f^\prime(x_0).Отсюда получаем уравнение касательной к графику дифференцируемой в точке x_0 функции y = f(x): k(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0) (x-x_0).

Примеры решения задач

  1. Найти производную f(x) = \sin x в точке x_0 = 0.
    Решение

    Пример можно легко решить, пользуясь определением производной, а так же первым замечательным пределом:
    \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \lim_{x\to 0} \frac{\sin x — \sin 0}{x-0}=\lim_{x\to 0} \frac{\sin x }{x}=1.

  2. Пусть f(x) = x^{2} Тогда производная f^\prime(x_0) равна?
    Решение

    \displaystyle f^\prime(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^2-x^2_0}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0} \frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}=
    \displaystyle = \lim_{x\to x_0} (x+x_0) = 2x_0

  3. Пусть f(x) = \left|x \right | и если x_0 \neq 0 существует ли f^\prime(x_0)?
    Решение

    f^\prime(x_0) = \sgn x_0, где \sgn обозначает функцию знака. А если x_0 = 0 f^\prime_+(x_0)=1, f^\prime_-(x_0)=-1, а следовательно f^\prime(x_0) не существует.

  4. Найдите уравнение касательной к графику функции y=e^{2x-3} в точке x_0 = 5, а также угол наклона касательной в этой точке.
    Решение

    Известно, что уравнение касательной в точке имеет вид l={f}\left(x_{0}\right)+{f}’\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right), причём {f}’\left(x_{0}\right)=\mathrm{tg}\alpha, где \alpha — угол наклона касательной.
    Находим значение касательной в точке 5, получаем {f}^\prime\left(x\right)=2e^{2x-3}, а в точке x_{0}=5: \, {f}^\prime\left(5\right)=2e^{7} \Rightarrow l = e^{7}+2e^{7}\left(x-5\right) =
    -9e^{7}+2e^{7}x, \alpha = \mathrm{arctg}\left(2e^{7}\right).

  5. Найдите по определению \sin x. на множестве \mathbb{R}
    Решение

    Воспользуемся определением производной (\sin x)^\prime:
    (\sin x)^\prime = \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} = \\ = \displaystyle \frac{2\sin \frac{\Delta x}{2}\cdot \cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x} = \\ = \displaystyle \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}} \cdot \cos(x+\frac{\Delta x}{2})
    Теперь сделаем подстановку \displaystyle \frac{\Delta x}{2} = t . При \Delta x \to 0, t \to 0. Применим первый замечательный предел:
    \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \frac { \sin \frac{\Delta x}2}{\frac{\Delta x}2} = \lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} = 1.
    Сделаем такую же подстановку \displaystyle \frac{\Delta x}{2} = t и используем свойство непрерывности:
    \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \left ( \cos x + \frac{\Delta x}{2} \right) = \lim_{t\to 0} \cos (x+t)= \cos x.

Смотрите также

  1. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 672 с. — с. 123-133.
  2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — с. 186-214.
  3. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — с.271-280.

Дифференцируемость и производная

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Дифференцируемость и производная».

6.2 Интегрирование по частям и замена переменной

Теорема (формула интегрирования по частям).
Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы на интервале I. Если одна из функций u(x)v'(x) или u'(x)v(x) имеет первообразную на интервале I, то на этом интервале имеет первообразную и другая функция, причем справедливо равенство \begin{equation}\label{eq:exp1}\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx\end{equation}.

Доказательство сразу следует из правила дифференцирования произведения. Действительно, пусть u(x)v'(x) имеет первообразную. Тогда, по правилу дифференцирования произведения, имеем [u(x)v(x)]’=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Отсюда получаем, что u'(x)v(x) является разностью двух производных функций, т. е. разностью двух функций, имеющих первообразные. Поэтому она сама также является производной, т. е. имеет первообразную, и справедливо равенство \eqref{eq:exp1}.

Замечание 1.
Коротко правило интегрирования по частям может быть записано так:
\int udv=uv-\int vdu.
Действительно, в этой записи используется формула для вычисления дифференциала функции du(x)=u'(x)dx.

Замечание 2.
Если одна из функций дифференцируема, а другая имеет первообразную, то их произведение (производной на функцию, имеющую первообразную) не обязано иметь первообразную. Такой пример приводится сразу после этого замечания. Поэтому в формулировке теоремы нужно предполагать наличие первообразной у одной из функций u'(x)v(x) или u(x)v'(x).

Утверждение.
Существуют дифференцируемая функция u и имеющая первообразную функция v, такие, что u’v не имеет первообразной.

Достаточно показать, что квадрат функции, имеющей первообразную, может не иметь первообразной.
Положим f(x)=|x|^\alpha \sin\displaystyle\frac{1}{x}, x\neq0, f(0)=0. При \alpha>1 функция f дифференцируема на \mathbb{R} и ее производная равна
\begin{equation*}f'(x) = \begin{cases}\alpha|x|^{\alpha-1}\sin\displaystyle\frac{1}{|x|}-|x|^{\alpha-2}\cos\displaystyle\frac{1}{x},\;  x\neq0, \\ 0,\;  x=0. \end{cases}\end{equation*}
Поскольку функция \alpha|x|^{\alpha-1}\sin\displaystyle\frac{1}{x}\equiv\varphi(x) (x\neq0), \varphi(0) = 0 непрерывна на \mathbb{R}, а значит, имеет первообразную на \mathbb{R}, то функция
v(x)\equiv|x|^{\alpha-2}\cos\displaystyle\frac{1}{x}=\varphi(x)-f'(x) (x\neq0),\;\; v(0) = 0,
имеет первообразную на \mathbb{R} как разность двух функций — \varphi(x) и f'(x), имеющих первообразные на \mathbb{R}.
Покажем, что при надлежащем выборе числа \alpha>1 функция v^2(x) не имеет первообразной на \mathbb{R}. Предположим противное. Пусть существует такая дифференцируемая на \mathbb{R} функция F, что для всех x\in \mathbb{R} справедливо равенство
F'(x)=v^2(x)=|x|^{2(\alpha-2)}\cos^2\displaystyle\frac{1}{x},\;\; (x\neq0),\;\; F'(0)=0.
Для k = 1, 2, \ldots обозначим
[a_k, b_k] = \left[\displaystyle\frac{4}{(4k+1)\pi}, \displaystyle\frac{4}{(4k-1)\pi}\right].
Если x\in[a_k, b_k], то
\displaystyle\frac{1}{x}\in\left[\displaystyle\frac{(4k-1)\pi}{4}, \displaystyle\frac{(4k+1)\pi}{4}\right], \\ \displaystyle\frac{2}{x}\in\left[\displaystyle\frac{(4k-1)\pi}{4}, \displaystyle\frac{(4k+1)\pi}{4}\right]=\left[2k\pi-\displaystyle\frac{\pi}{2}, 2k\pi+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right].
Поэтому для x\in[a_k, b_k] имеем
\cos^2\displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{1+\cos\displaystyle\frac{2}{x}}{2}\geqslant\displaystyle\frac{1}{2},
так что F'(x)\geqslant\displaystyle\frac{1}{2}x^{2(\alpha-2)}, x\in[A_k, b_k]. По теореме Лагранжа получим
F(b_k)-F(a_k)=F'(\xi_k)(b_k-a_k)\geqslant\displaystyle\frac{1}{2}\xi^{2(\alpha-2)}_k(b_k-a_k)\geqslant\displaystyle\frac{b_k-a_k}{2}b^{2(\alpha-2)}_k,
где \xi_k\in[a_k, b_k], а число \alpha>1 будет выбрано так, что \alpha<2. Отсюда получим
F(a_k)\leqslant F(b_k)-\displaystyle\frac{b_k-a_k}{2}b^{2(\alpha-2)}_k.
Заметим, что отрезки [a_k, b_k] попарно не пересекаются и, так как F'(x)\geqslant0, то функция F не убывает. Значит,
F(b_{k+1})\leqslant F(a_k)\leqslant F(b_k)-\displaystyle\frac{b_k-a_k}{2}b^{2(\alpha-2)}_k.
Отсюда следует, что
\begin{equation}\label{eq:exp2}F(b_{k+1})\leqslant F(b_1)-\displaystyle\frac{1}{2}\sum^{k}_{s=1}(b_s-a_s)b^{2(\alpha-2)}_s.\end{equation}
Оценим последнюю сумму справа. Имеем
b_s-a_s=\displaystyle\frac{8}{\pi}\displaystyle\frac{1}{(4s+1)(4s-1)},
так что
\sum^{k}_{s=1}(b_s-a_s)b^{2(\alpha-2)}_s=\\=c_s\sum^{k}_{s=1}\displaystyle\frac{1}{(4s+1)(4s-1)}\left(\displaystyle\frac{1}{4s-1}\right)^{2(\alpha-2)}\geqslant c’_s\sum^{k}_{s=1}\displaystyle\frac{1}{s^{2\alpha-2}}.
Если 2\alpha-2\leqslant1, т. е. \alpha\leqslant\displaystyle\frac{3}{2}, то \sum\limits^k_{s=1}\displaystyle\frac{1}{s^{2\alpha-2}}\rightarrow\infty(k\rightarrow\infty). Поэтому из \eqref{eq:exp2} следует, что F(b_{k+1})\rightarrow-\infty при k\rightarrow\infty. Но поскольку b_{k+1}\rightarrow+0 (k\rightarrow\infty), то это противоречит непрерывности функции F в точке x_0=0 справа, которая вытекает из дифференцируемости функции F в нуле.

Пример 1.
\int x e^x dx=\begin{bmatrix}u=x, & dv=e^x dx\\du=dx, & v=e^x\end{bmatrix}=x e^x-\int e^x dx=x e^x-e^x+C.

Пример 2. 
\int x\cos x dx=\begin{bmatrix}u=x, & dv=\cos x dx\\du=dx, & v=\sin x\end{bmatrix}=\\=x\sin x-\int\sin x dx=x\sin x+\cos x+C.

Пример 3. 
\int x\ln x dx=\begin{bmatrix}u=\ln x, & dv=x dx\\du=\displaystyle\frac{dx}{x}, & v=\displaystyle\frac{x^2}{2}\end{bmatrix}=\\=\displaystyle\frac{x^2}{2}\ln x-\displaystyle\frac{1}{2}\int x dx=\displaystyle\frac{x^2}{2}\ln x-\displaystyle\frac{x^2}{4}+C.

Следующий пример показывает такой способ применения формулы интегрирования по частям, когда в правой части появляется такой же интеграл, как и в левой части. Тогда искомый интеграл может быть найден из полученного равенства.

Пример 4. 
\int e^x\cos xdx=\begin{bmatrix}u=e^x, & dv=\cos xdx\\du=e^x dx, & v=\sin x\end{bmatrix}=\\=e^x\sin x-\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-\begin{bmatrix}u=e^x, & dv=\sin xdx\\du=e^x dx, & v=-\cos x\end{bmatrix}=\\=e^x\sin x+e^x\cos x-\int e^x\cos xdx.
Из этого равенства находим
\int e^x\cos xdx=\displaystyle\frac{e^x}{2}[\sin x+\cos x] + C.

Теорема (о замене переменной в интеграле). Пусть функция f имеет первообразную на интервале I, т. е.
\int f(t)dt=F(t)+C.
Пусть, далее, функция \varphi дифференцируема на интервале \Delta и \varphi(\Delta)\subset I. Тогда справедливо равенство
\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=F(\varphi(x))+C.

Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции имеем
[F(\varphi(x))]’=F'(\varphi(x))\varphi'(x)=f(\varphi(x))\varphi'(x).

Пример 1. \int\sin^3 xdx=\int\sin x(1-\cos^2 x)dx=[\cos x = t, dt =-\sin xdx]=\\=\int(t^2-1)dt=\displaystyle\frac{t^3}{3}-t+C=\displaystyle\frac{\cos^3 x}{3}-\cos x+C.

Пример 2. \int\displaystyle\frac{dx}{1+e^x}=\begin{bmatrix}\text{преобразуем} & \displaystyle\frac{1}{1+e^x}=\displaystyle\frac{1}{e^x(e^-x+1)}=\displaystyle\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\\ \text{положим} & 1+e^{-x}=t, dt=-e^{-x}dx\end{bmatrix}=-\int\displaystyle\frac{dt}{t}=\\=-\ln|t|+C=-\ln(1+e^{-x})+C=-\ln\displaystyle\frac{1+e^x}{e^x}+C=x-\ln(1+e^x)+C.

Замечание. Мы использовали равенство \int\displaystyle\frac{dx}{x}=\ln|x|+C. Это равенство следует применять отдельно для промежутков (0, +\infty) и (-\infty, 0).
При x>0 оно справедливо по той причине, что |x|=x, (\ln x+C)’=\displaystyle\frac{1}{x}.
Если же x<0, то |x|=-x, \ln(-x)+C)’=\displaystyle\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\displaystyle\frac{1}{x}, так что и в этом случае равенство верно.

Итак, если исходный интеграл представлен в виде \int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx, то, выполняя замену переменной t=\varphi(x), мы приходим к интегралу \int f(t)dt. Часто замену переменной в интеграле \int g(x)dx применяют в виде x = \psi(t), затем вычисляют интеграл по t, а чтобы вернуться к старой переменной x, нужно выразить новую переменную t через x.

Пример. Пусть I=\int\sqrt{1-x^2}dx.
Для вычисления этого интеграла положим x=\sin t. Тогда
dx=\cos tdt, \sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{\cos^2 t}=\cos t.
Подставляя это в исходный интеграл, получаем
I=\int\cos^2 tdt=\int\displaystyle\frac{1+\cos 2t}{2}dt=\displaystyle\frac{t}{2}+\displaystyle\frac{\sin 2t}{4}+C.
Из равенства x=\sin t имеем t=\arcsin x, так что
I=\displaystyle\frac{\arcsin x}{2}+\displaystyle\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+C.
Вычислим этот интеграл еще одним способом, основанным на применении формулы интегрирования по частям.
I=\int\sqrt{1-x^2}dx=\begin{bmatrix}u=\sqrt{1-x^2}, & dv=dx\\du=-\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx, & v=x\end{bmatrix}=\\=x\sqrt{1-x^2}+\int\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\\=x\sqrt{1-x^2}+\int\displaystyle\frac{x^2-1+1}{\sqrt{1-x^2}}dx=x\sqrt{1-x^2}-I+\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.
Воспользовавшись теперь равенством \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+c, вытекающим из того, что (\arcsin x+C)’=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, получим I=x\sqrt{1-x^2}-I+\arcsin x. Отсюда следует
I=\displaystyle\frac{1}{2}[x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x]+C.

Решение примеров

Интегрирование по частям:

  1. \int\text{arctg}\:xdx
    Решение

    \int\text{arctg}\:xdx=\begin{bmatrix}\text{arctg}\:{x}=u, du=\displaystyle\frac{dx}{1+x^2}\\dx=dv, v=x\end{bmatrix}=x\:\text{arctg}\: {x}-\int\displaystyle\frac{xdx}{1+x^2}=\\=x\:\text{arctg}\: {x}-\displaystyle\frac{1}{2}\int\displaystyle\frac{dx^2}{1+x^2}=x\:\text{arctg}\: {x}-\displaystyle\frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C.

  2. \int x\sin{x}dx
    Решение

    \int x\sin{x}dx=\begin{bmatrix}x=u, du=dx\\ \sin{x}=dv, v=-\cos{x}\end{bmatrix}=-x\cos{x}+\int\cos{x}dx=\\=-x\cos{x}+\sin{x}+C.

  3. \int xe^{x}dx
    Решение

    \int xe^{x}dx=\begin{bmatrix}u=x, du=dx\\dv=e^{x}dx, v=e^x\end{bmatrix}=xe^x-\int e^{x}dx=xe^x-e^x+C.

Замена переменной:

  1. \int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}
    Решение

    \int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}=\begin{bmatrix}\sqrt{e^x-1}=t, x=\ln(t^2+1)\\dx=\displaystyle\frac{2tdt}{t^2+1}\end{bmatrix}=2\int\displaystyle\frac{tdt}{t(t^2+1)}=\\=2\int\frac{dt}{t^2+1}=2\: \text{arctg}\: t+C.

  2. \int\displaystyle\frac{x^{2}dx}{5-x^6}
    Решение

    \int\frac{x^2dx}{5-x^6}=\begin{bmatrix}x^3=t\\dt=3x^2dx\\x^6=t^2\end{bmatrix}=\frac{1}{3}\int\frac{dt}{5-t^2}=\frac{1}{3}\int\frac{dt}{(\sqrt{5})^2-t^2}=\\=\frac{1}{6\sqrt{5}}\ln\left|\frac{\sqrt{5}+t}{\sqrt{5}-t}\right|+C=[t=x^3]=\frac{1}{6\sqrt{5}}\ln\left|\frac{\sqrt{5}+x^3}{\sqrt{5}-x^3}\right|+C.

Интегрирование по частям и замена переменной

Пройдя этот тест, вы закрепите пройденный ранее материал по теме «Интегрирование по частям и замена переменной»

Таблица лучших: Интегрирование по частям и замена переменной

максимум из 18 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
Литература

Смотрите также

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1970 (стр.23, 31)
  2. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001  (стр. 277, 281)
  3. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003 (стр. 461, 464)