Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

Если функция y=f\left(x\right) имеет производную в точке x_{0}, значит \exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {f}'\left(x\right), тогда существует предельное положение секущей к графику функции в точке M_{0}\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right): y-y_{0}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\left(x-x_{0}\right) \left(x \to x_{0}\right) это означает, что в точке M_{0} \exists l_{0}=k_{0}x + b_{0} — касательная к графику функции, причём k_{0}={f}'\left(x_{0}\right).

Иллюстративный материал.

Таким образом геометрический смысл производной — угловой коэффициент касательной к графику функции y = f\left(x\right) в точке M_{0}\left(x_{0},{f}\left(x_{0}\right)\right), а уравнение касательной l_{0} ={f}\left(x_{0}\right)+ {f}'\left(x_{0}\right)\left(x - x_{0}\right).

 

Пример:

Найдите уравнение касательной к графику функции y=e^{2x-3} в точке x_{0} = 5, а также угол наклона касательной в этой точке.
Решение:
Известно, что уравнение касательной в точке имеет вид l={f}\left(x_{0}\right)+{f}'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right), причём {f}'\left(x_{0}\right)=\mathrm{tg}\alpha, где \alpha — угол наклона касательной.
Находим значение касательной в точке 5, получаем {f}'\left(x\right)=2e^{2x-3}, а в точке x_{0}=5: \, {f}'\left(5\right)=2e^{7} \Rightarrow l = e^{7}+2e^{7}\left(x-5\right) = -9e^{7}+2e^{7}x, \alpha = \mathrm{arctg}\left(2e^{7}\right).

Список литературы:

  • Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 109.
  • Лекции Зои Михайловны Лысенко.

 

Тест:

Тест на знание геометрического смысла производной.

Таблица лучших: Тест на знание геометрического смысла производной.

максимум из 13 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *