Символ Ландау

Символами Ландау являются «О» большое и «о» малое (O и o).

Определение:

Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x_0, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что:

  • f является «О» большим от g при x\to x_0 и пишут f=\underset{x\to x_0}{O(g)}, если существует такая константа C>0, что для всех x из некоторой окрестности точки x_0 имеет место неравенство |f(x)| \leq C |g(x)|;
  • f является «о» маленьким от g при x\to x_0 и пишут f=\underset{x\to x_0}{o(g)}, если для любого \varepsilon >0 найдется такая проколотая окрестность U'_{x_0} точки x_0, что для всех x \in U'_{x_0} имеет место неравенство |f(x)|<\varepsilon|g(x)|.

Иначе говоря, в первом случае отношение |f|/|g| в окрестности точки x_0 ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при x\to x_0, то есть функция f является бесконечно малой в сравнении с g.

Примеры:

x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}, т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x=0;
\sin^2 x=\underset{x\to x_0}{O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}, т.к. \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0;
-x^3={O(x)}, т.к. \lim\limits_{x\to 0}\frac{-x^3}{x}=\lim\limits_{x\to 0}-x^2; а функция -x^2 ограничена сверху в окрестности точки 0.
\sin^2 x={O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}, т.к. \lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin^2 x}{x}=\lim\limits_{x\to x_0}\sin x; а функция \sin x всегда ограничена сверху единицей.

Свойства «О» большого и «о» маленького

Для функций f=f(x),\:g=g(x) и x \epsilon \mathbb{R} справедливы равенства:

  1. o(f)+o(f)=o(f);
  2. o(f) тем более есть O(f);
  3. o(f)+O(f)=O(f);
  4. O(f)+O(f)=O(f);
  5. \frac{o(f(x))}{g(x)}=o(\frac{f(x)}{g(x)}) и \frac{O(f(x))}{g(x)}=O(\frac{f(x)}{g(x)}), если g\neq 0; 
  6. o(o(f))=o(f);
  7. o(Cf)=o(f);
  8. C\cdot o(f)=o(f);
  9. o(f+o(f))=o(f);
  10. o(f)\pm o(f)=o(f);
  11. o(f^n)\cdot o(f^m)=o(f^{n+m}), n,m\epsilon\mathbb{N};
  12. (o(f))^n=o(f^n), n \epsilon\mathbb{N} .

Примеры:

\underset {x\to 0}{o(x^2)+o(x^2)}=\underset{x\to 0}{o(x^2)}
\underset {x\to 0}{o(2x^5)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}
\underset {x\to 0}{o(x^2)\cdot o(x^3)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}.

Символ Ландау

Тест по теме «Символ Ландау»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
  2. Википедия, статья «О большое и о малое»
  3. Кытманов А.А., Математический анализ, параграф 1.15.

Рекомендуемая к прочтению литература:

Символ Ландау: 3 комментария

  1. Вы даете ссылку на скачивание, а не ссылку на литературу. Нужно указать название и имя автора (если известно), а не только URL.

  2. Верно ли, что o(f)-o(f)=o(f) (свойство №10)? Просто в Кудрявцеве я его не нашёл, только для суммы 🙁

    1. Поскольку здесь не форум по анализу, то врядли кто-то ответит.
      Но для разности свойство 10 справедливо. Порассуждайте, отталкиваясь от определения.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *