Дифференцируемые функции и дифференциал

Определение: Если функция f определена в окрестности точки x_{0} и f(x)-f(x_{0}) = A\Delta x + \Delta x\alpha(\Delta x), где \lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x) = 0, а A — некоторая константа, то функцию f называют дифференцируемой в точке x_{0} и A\Delta x = df(x_{0}) называется дифференциалом функции f в точке x_{0}.

Определение: Если функция y = f(x) дифференцируема в любой точке x_{0} \in (a, b), то функция y называется дифференцируемой на промежутке (a, b).

Замечание: Если y = f(x) — дифференцируема на промежутке (a, b) и \exists {f}_{+}'(a) = \lim\limits_{x \to a+0} \frac{\Delta y}{x-a} и \exists {f}_{-}'(b) = \lim\limits_{x \to b-0} \frac{\Delta y}{x-b}, то функция y называется дифференцируемой на отрезке [a, b].

Критерий дифференцируемости функции

Формулировка:

Функция f дифференцируема в точке x_{0} тогда и только тогда, когда она имеет производную в точке x_{0}.

Доказательство:

Необходимость:
f(x) - дифференцируема в точке x_{0} \Rightarrow \exists A:\Delta f(x) = A\Delta x+\Delta x \alpha(\Delta x), где \lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x)= 0 \Rightarrow \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{A\Delta x +\Delta x\alpha(\Delta x)}{\Delta x} =  \lim\limits_{\Delta x \to 0} A + \alpha(\Delta x) =  A\Rightarrow \exists {f}'(x_{0}) = A \Rightarrow dy =  {f}'(x_{0})\Delta x.

Достаточность:
\exists {f}'(x_{0}) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Rightarrow \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} - {f}'(x_{0}) =  \alpha (\Delta x), где \lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha (\Delta x) = 0 \Rightarrow \Delta f(x) = {f}'(x_{0})\Delta x + \alpha (\Delta x)\Delta x, а это и означает, что функция f(x) — дифференцируема в точке x_{0}.

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.


Таблица лучших: Дифференциал и дифференцируемость

максимум из 13 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

  1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу в двух частях (Часть 1, стр. 107-108.).
  2. Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.

Дифференцируемые функции и дифференциал: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *