Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису

Пусть задано линейное пространство $X$ над полем $\mathbb{P}$ $(X,\mathbb{P})$ . Это линейное пространство называется конечномерным, если существует такое натуральное число $M \in \mathbb{N}$ , что любая ЛНЗ система векторов пространства содержит не более $M$ векторов, в противном случае оно называется бесконечномерным.

Пусть $(X,\mathbb{P})$ — конечномерное пространство. Базисом пространства $X$ называется ЛНЗ система векторов, через которую линейно выражается каждый вектор этого пространства.

Размерностью конечномерного пространства $X$ называется число векторов любого его базиса. Обозначается как $dimX$ .

$\langle e_1,e_2,\ldots,e_m \rangle$ — старый базис
$\langle g_1,g_2,\ldots,g_m \rangle$ — новый базис
$x=\sum_{j=1}^{m}\alpha_je_j=\sum_{i=1}^{m}\beta_ig_i$
Тогда:
$\left\{\begin{matrix}g_{1}=\alpha _{11}e_{1}+\alpha _{12}e_{1}+…+\alpha _{1m}e_{1}\\ g_{2}=\alpha _{11}e_{1}+\alpha _{12}e_{1}+…+\alpha _{1m}e_{1}\\ \ldots\\ g_{m}=\alpha _{11}e_{1}+\alpha _{12}e_{1}+…+\alpha _{1m}e_{1}\end{matrix}\right.$ — система, описывающая переход от старого базиса к новому.

Литература:

Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 — стр.19.
Белозёров Г.С. Конспект лекций.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968 — стр.60-63.

Критерии прямой суммы

Рассмотрим критерии прямой суммы подпространств некоторого линейного пространства.

Пусть дано некоторое линейное пространство $\left(X, {\bf P}\right)$ и подпространства $L_1,L_2,\ldots,L_k \subset X$ . Тогда для того, чтобы сумма подпространств $L=L_1+L_2+\cdots+L_k$ являлась прямой, необходимо и достаточно, чтобы объединение базисов слагаемых-подпространств составляло базис суммы $L$ .

Пусть сумма $L$ — прямая. Тогда нужно доказать, что объединение базисов подпространств есть базис суммы. Выпишем базисы подпространств $L_i, i=\overline{1, k}$ : $E_1=\langle e_{11},e_{12},\ldots,e_{1m_1}\rangle,$ $E_2=\langle e_{21},e_{22},\ldots,e_{2m_2}\rangle,$ $\ldots,$ $E_k=\langle e_{k1},e_{k2},\ldots,e_{km_k}\rangle.$ Теперь построим объединенную систему из данных базисов. В итоге получим: $E=\langle{e_{11}},e_{12},\ldots,e_{1m_1},e_{21},e_{22},\ldots,e_{2m_2},\ldots,e_{k1},e_{k2},\ldots,e_{km_k}\rangle.$

Для того, чтобы система $E$ являлась базисом суммы $L$ , она должна удовлетворять определению базиса. То есть, любой вектор из $L$ должен выражаться через данную систему, и она должна быль линейно независимой. Первое условие соблюдается. Действительно, по определению прямой суммы: $\forall x\in L:$ $x=x_1+x_2+\cdots+x_k,$ где $x_i\in L_i, i=\overline{1, k}$ , причем такое представление единственно. Каждый вектор $x_i, i=\overline{1, k}$ может быть выражен через базис $L_i$ : $x_i=\alpha_{i1}e_{i1}+\alpha_{i2}e_{i2}+\cdots+\alpha_{im_i}e_{im_i},$ где $\alpha_{ij}\in {\bf P}, j=\overline{1, m_i}$ — коэффициенты линейной комбинации. Значит, вектор $x$ можно представить в другом виде: $x=\alpha_{11}e_{11}+\alpha_{12}e_{12}+\cdots+\alpha_{1m_1}e_{1m_1}+\cdots+\alpha_{21}e_{21}+\alpha_{22}e_{22}+\cdots+\\{}+\alpha_{2m_2}e_{2m_2}+\cdots+\alpha_{k1}e_{k1}+\alpha_{k2}e_{k2}+\cdots+\alpha_{km_k}e_{km_k},$ Как видим, вектор выражается через систему $E$ .

Остается доказать линейную независимость. Выпишем линейную комбинацию векторов системы $E$ и приравняем ее к нулю: $\begin{equation}\begin{gathered}\alpha_{11}e_{11}+\alpha_{12}e_{12}+\cdots+\alpha_{1m_1}e_{1m_1}+\cdots+\alpha_{21}e_{21}+\alpha_{22}e_{22}+\cdots+\\{}+\alpha_{2m_2}e_{2m_2}+\cdots+\alpha_{k1}e_{k1}+\alpha_{k2}e_{k2}+\cdots+\alpha_{km_k}e_{km_k}=0.\end{gathered}\end{equation}$ По первому критерию линейной независимости система $E$ будет линейно независима при следующих равенствах: $\alpha_{11}=\alpha_{12}=\cdots=\alpha_{km_k}=0.$ Опять же, данные слагаемые можно представить как линейные комбинации векторов из $L_i, i=\overline{1, k}$ , то есть: $x_i=\alpha_{i1}e_{i1}+\alpha_{i2}e_{i2}+\cdots+\alpha_{im_i}e_{im_i},i=\overline{1,k}.$ Теперь можно переписать уравнение $\left(1\right)$ в следующем виде: $x_1+x_2+\cdots+x_k=0.$ Получили представление нулевого вектора. По определению прямой суммы такое представление единственно и имеет вид: $0+0+\cdots+0=0$ . Отсюда следует: $x_i=0,i=\overline{1,k}$ . Так как каждый вектор $x_i$ представляется через соответствующий базис $L_i$ , то, следовательно, все коэффициенты линейных комбинаций равны нулю: $\alpha_{i1}=\alpha_{i2}=\cdots=\alpha_{im_i}=0,i=\overline{1,k}$ , что и требовалось доказать.

Таким образом, система $E$ линейно независима, и каждый вектор суммы $L$ выражается через данную систему. Необходимость доказана.

Теперь пусть объединение базисов $L_i,i=\overline{1,k}$ (оно же является системой $E$ ) есть базис суммы $L$ . Требуется доказать, что $L$ — прямая сумма. Значит, нужно показать, что представление любого вектора этой суммы единственно. Запишем представление некоторого вектора $x\in L$ в базисе суммы: $\begin{equation}\begin{gathered}x=\beta_{11}e_{11}+\beta_{12}e_{12}+\cdots+\beta_{1m_1}e_{1m_1}+\cdots+\\{}+\beta_{k1}e_{k1}+\beta_{k2}e_{k2}+\cdots+\beta_{km_k}e_{km_k}.\end{gathered}\end{equation}$ По свойству базиса такое представление единственно. Выражения вида $\beta_{i1}e_{i1}+\cdots+\beta_{im_i}e_{im_i}$ являются линейными комбинациями векторов из $L_i,i=\overline{1,k}$ . Тогда их можно заменить соответствующими векторами $y_i\in L_i$ и подставить в $\left(2\right)$ . Получим: $x=y_1+y_2+\cdots+y_k.$ Получили представление $x$ в виде вектора суммы. Пусть сумма $L$ не прямая, тогда может существовать другое представление вектора $x$ . А это необратимо приводит к изменению представления векторов $y_i$ и, соответственно, значений коэффициентов $\beta_{i1},\beta_{i2},\ldots,\beta_{im_i},i=\overline{1,k}$ . Но, как было сказано выше, вектор $x$ имеет единственное представление $\left(2\right)$ , то есть иного не существует. Получили противоречие. Следовательно, сумма $L$ является прямой, что и требовалось доказать.

Пусть дано линейное пространство $\left(X, {\bf P}\right)$ и подпространства $L_1,L_2,\ldots,L_k \subset X$ . Сумма данных подпространств $L$ будет прямой тогда и только тогда, когда пересечение любого подпространства с суммой остальных содержит только нулевой вектор.

Требуется доказать, что при $L=L_1\oplus L_2\oplus \cdots\oplus L_k$ пересечение любого подпространства с суммой остальных нулевое. Предположим, что $\exists L_i: L_i\cap\sum\limits_{j=1\\j\ne i}^k L_j \ne \left\{0\right\}.$ Тогда существует такой ненулевой вектор $x$ , что $x\in L_i$ и $x\in \sum_{j=1\\j\ne i}^k L_j$ . Этот вектор можно представить в виде:

$x=\overbrace{0+0+\cdots+0+x+0+\cdots+0}^{k\mbox{ векторов}}$ , так как $x\in L_i$ ;
$x=\sum_{j=1\\j\ne i}^k x_j$ , так как вектор принадлежит $\sum_{j=1\\j\ne i}^k L_j$ и, следовательно, может быть представлен как вектор суммы $L$ : $x=x_1+x_2+\cdots+x_{i-1}+0+x_{i+1}+\cdots+x_k.$

Таким образом, вектор прямой суммы $L$ не имеет единственного представления, что противоречит определению прямой суммы. Значит, наше предположение неверно, и $\forall L_i: L_i\cap\sum_{j=1\\j\ne i}^k L_j=\left\{0\right\}.$

Теперь докажем, что если $\forall L_i: L_i\cap\sum\limits_{j=1\\j\ne i}^k L_j=\left\{0\right\},$ то сумма $L$ — прямая. Снова пойдём от противного: пусть $L$ — не прямая сумма. Следовательно, по определению существует такой вектор $y$ , который имеет, по крайней мере, два различных представления. Запишем их общий вид: $y=x_1+x_2+\cdots+x_k,$ $y=z_1+z_2+\cdots+z_k,$ где $z_i, x_i \in L_i,i=\overline{1,k}$ . Вычтем из первого выражения второе. Получим: $0=\left(x_1-z_1\right)+\left(x_2-z_2\right)+\cdots+\left(x_k-z_k\right).$ Векторы $x_1-z_1, x_2-z_2,\ldots,x_k-z_k$ принадлежат подпространствам $L_1, L_2,\ldots,L_k$ соответственно, что вытекает из критерия подпространства. Значит, нулевой вектор представляется как вектор суммы $L$ . Пусть $x_1-z_1\ne 0.$ Перенесем данное слагаемое в левую часть. Тогда можно записать следующее: $\left(z_1-x_1\right)=\left(x_2-z_2\right)+\left(x_3-z_3\right)+\cdots+\left(x_k-z_k\right).$ То есть существует некоторый вектор $z_1-x_1\ne 0$ , что $z_1-x_1\in L_1,$ $z_1-x_1=\left(x_2-z_2\right)+\left(x_3-z_3\right)+\cdots+\left(x_k-z_k\right) \in \sum\limits_{j=2}^k L_j.$ Значит, пересечение подпространства $L_1$ и суммы $\sum_{j=2}^k L_j$ содержит ненулевые векторы. Получили противоречие. Следовательно, предположение неверно, и $L$ — прямая сумма подпространств. Теорема доказана.

Теперь рассмотрим следствия из критериев прямой суммы, а также приведём их доказательства, хоть они и небольшие.

Следствие 1.

Сумма двух подпространств будет прямой тогда и только тогда, когда их пересечение содержит только нулевой вектор.

Данное утверждение является частным случаем критерия $2$ прямой суммы при $k=2$ .

Следствие 2.

Размерность прямой суммы двух подпространств есть сумма размерностей данных подпространств.

По формуле Грассмана: $\dim L=\dim L_1+\dim L_2-\dim{\left(L_1 \cap L_2\right)},$ то есть размерность суммы подпространств $L_1$ и $L_2$ равна сумме размерностей данных подпространств без размерности их пересечения. Пересечение данных подпространств, как мы уже узнали, содержит только нулевой вектор. Следовательно, размерность пересечения равна $0$ . Тогда третье слагаемое в формуле Грассмана также равно $0$ , и мы приходим к изначальному утверждению.

Примеры

Теперь рассмотрим несколько примеров применения критериев прямой суммы.

Пусть дано линейное пространство, заданное в виде линейной оболочки $L=L\langle a_1,a_2,a_3,a_4\rangle$ , где $a_1=\left(1,1,0,0\right),$ $a_2=\left(0,5,0,3\right),$ $a_3=\left(0,0,2,0\right),$ $a_4=\left(-1,7,1,0\right).$ Разложить данное пространство в прямую сумму двух подпространств.

Решение

Для начала, проверим, является ли указанная система линейно независимой. Построим систему линейных комбинаций из векторов данной системы: $\left\{\begin{array}{rcl}x_1+x_2+0x_3+0x_4=0\\0x_1+5x_2+0x_3+3x_4=0\\0x_1+0x_2+2x_3+0x_4=0\\-x_1+7x_2+x_3+0x_4=0\end{array}\right.$ Воспользуемся методом Гаусса: $\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\-1 & 7 & 1 & 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 8 & 1 & 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 1 & -\frac{24}{5}\end{pmatrix}\sim$ $\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & -\frac{24}{5}\end{pmatrix}.$
Как видим, ни один из векторов не выражается через остальные. Значит, система линейно независима и является базисом пространства $L$ . Тогда данное пространство можно разложить в прямую сумму подпространств, разбив его базис, к примеру, на две такие подсистемы: $\langle a_1,a_2\rangle$ , $\langle a_3,a_4\rangle$ . Тогда разложение будет иметь вид: $L=L_1\oplus L_2$ , где $L_1=L\langle a_1,a_2\rangle$ , $L_2=L\langle a_3,a_4\rangle$ .
Даны подпространства $L_1=L\langle\left(1,1,3\right)\rangle$ , $L_2=L\langle\left(0,1,2\right),\left(3,5,9\right)\rangle$ . Проверить сумму подпространств $L_1$ и $L_2$ на прямоту.

Решение

И первая, и вторая исходные системы являются линейно независимыми, ведь в них нет векторов, что выражаются через другие векторы этой системы. Значит системы являются базисами подпространств, построенных на соответствующих линейных оболочках. Объединим эти базисы в единую систему векторов: $E=\langle\left(1,1,3\right),\left(0,1,2\right),\left(3,5,9\right)\rangle.$ Воспользуемся методом Гаусса: $\begin{pmatrix}1 & 1 & 3\\0 & 1 & 2\\3 & 5 & 9\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 3\\0 & 1 & 2\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 3\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & -4\end{pmatrix}.$ Получили, что система $E$ — линейно независима. Значит, объединение базисов исходных подпространств является базисом суммы подпространств $L$ : $L=L_1\oplus L_2$ .
Пусть даны подпространства $L_1=L\langle a_1,a_2,a_3\rangle$ , $L_2=L\langle b_1,b_2\rangle$ , $L_3=L\langle c_1,c_2,c_3\rangle$ . Проверить сумму данных подпространств на прямоту, если: $a_1 = \begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}, a_2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}, a_3 = \begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 0\end{pmatrix};$ $b_1=\begin{pmatrix}1 & -1\\2 & 0\end{pmatrix},b_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\-1 & 1\end{pmatrix};$ $c_1=\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 1\end{pmatrix},c_2=\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 1\end{pmatrix},c_3=\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}.$

Решение

Для удобства системы пронумеруем от $1$ до $3$ в соответствии с номерами подпространств.Указанные системы можно переписать в следующем виде: $\langle\left(0,0,1,1\right),\left(1,1,1,1\right),\left(1,1,0,0\right)\rangle,$ $\langle\left(1,-1,2,0\right),\left(0,0,-1,1\right)\rangle,$ $\langle\left(0,1,1,1\right),\left(1,1,2,1\right),\left(1,0,1,0\right)\rangle.$ Проверку линейной независимости можно сделать и без применения метода Гаусса. Действительно, в первой системе $a_1+a_3=\left(0,0,1,1\right)+\left(1,1,0,0\right)=\left(1,1,1,1\right)=a_2$ , в третьей: $c_1+c_3=\left(0,1,1,1\right)+\left(1,0,1,0\right)=\left(1,1,2,1\right)=c_2$ . Значит векторы $a_2$ и $c_2$ линейно выражаются через остальные. Вторая система, как можно видеть, уже является линейно независимой и, следовательно, базисом подпространства $L_3$ . Тогда, если откинуть линейно зависимые векторы в системах $1$ и $3$ , то получим базисы уже всех трех подпространств: $L_1=L\langle a_1,a_3\rangle,$ $L_2=L\langle b_1,b_2\rangle,$ $L_3=L\langle c_1,c_3\rangle.$ Теперь объединим данные базисы в единую систему векторов: $E=\langle a_1,a_3,b_1,b_2,c_1,c_3\rangle.$ Теперь только осталось понять, является ли сумма исходных подпространств прямой. Проверим систему $E$ на линейную независимость с помощью метода Гаусса: $\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0 & 0\\1 & -1 & 2 & 0\\0 & 0 & -1 & 1\\0 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.$ Переставим строки в матрице для более удобных элементарных преобразований: $\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\1 & -1 & 2 & 0\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & -2 & 2 & 0\\0 & -1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & -1 & 1\end{pmatrix}.$ Строки $2$ и $3$ пропорциональны, поэтому можно исключить, к примеру, вторую строку. Дальнейшие преобразования не имеют смысла в данной задаче: объединение базисов исходных подпространств не является базисом суммы, потому что объединенная система содержит, по крайней мере, один линейно зависимый вектор. Значит, сумма $L=L_1+L_2+L_3$ не будет прямой в соответствии с первым критерием суммы. Задача решена.

Критерии прямой суммы

Тест на закрепление материала «Критерии прямой суммы».

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 2
Пусть даны подпространства $L_1,L_2\subset \mathbb{R}_4\left[x\right]$ . Является ли сумма $L=L_1+L_2$ прямой, если $L_1=L\langle\left(x^4,0,2x^2,0,2\right)\rangle$ и $L_2=L\langle\left(0,0,0,3x,1\right),\left(5x^4,3x^3,0,x,4\right)\rangle$ ?
- Да.
- Нет.
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 2
Выберите подпространства, сумма которых с подпространством $L=L\langle\left(1,2,4,7,\right),\left(3,3,8,5,\right),\left(1,0,2,3,\right)\rangle$ будет прямой.
- $L'=L\langle\left(7,8,9,4,\right),\left(4,4,5,0,\right),\left(1,0,2,3,\right)\rangle$
- $L'=L\langle\left(1,9,9,3,\right)\rangle$
- $L'=L\langle\left(-8,-11,-20,24,\right)\rangle$
- $L'=L\langle\left(0,5,5,5,\right)\rangle$
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 1
Если сумма подпространств прямая, то что содержит пересечение каждого подпространства с суммой остальных?
Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 1
Завершите формулировку одного следствия из критериев прямой суммы, вписав пропущенные слова.
- прямой суммы двух подпространств есть (сумма) (размерностей) данных подпространств.
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 2
Расположите размерности прямых сумм указанных подпространств в порядке сверху вниз от наименьшей к наибольшей.
- $L_1=L\langle\left(7, 0, 2\right)\rangle$ ; $L_2=L\langle\left(7, 0, 5\right)\rangle$
- $L_1=L\langle\left(1, 1, 1\right), \left(7, 4, 4\right)\rangle$ ; $L_2=L\langle\left(5, 0, 3\right)\rangle$
- $L_1=L\langle\left(1, 1, 0, 1\right), \left(7, 3, 2, 0\right)\rangle$ ; $L_2=L\langle\left(5, 5, 5, 5\right), \left(3, 8, 1, 2\right)\rangle$

Смотрите также:

Базис и размерность линейного пространства, свойства

Определение 1. Базисом конечномерного пространства называется такая линейно независимая система (далее ЛНЗ) векторов этого пространства, через которую линейно выражается каждый вектор этого пространства.

Базис имеет огромное значение при изучении конечномерных линейных пространств, и часто используется в различных исследованиях. Он позволяет очень легко описать строение любого линейного пространства, заданного над произвольным полем.

Любой вектор $x$ из линейного пространства $X$ может быть представлен в виде линейной комбинации $x =\alpha_{1} e_{1}+\alpha_{2} e_{2}+\ldots+\alpha_{n} e_{n},$ где $\alpha_{1},\alpha_{2} \ldots\alpha_{n}$ — некоторые числа из поля, а $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ — базис $X$ . Данная линейная комбинация называется разложением вектора $x$ по базису, а сами числа $\alpha_{1},\alpha_{2} \ldots\alpha_{n}$ называются координатами вектора $x$ относительно этого базиса.

Лемма 1. Каждое конечномерное пространство является линейной оболочкой своего базиса.

Определение 2. Любые два базиса конечномерного пространства представляют из себя эквивалентные системы.

Из определения 2 получаем числовую характеристику пространства.

Размерностью ненулевого конечномерного пространства называется число векторов его базиса. Размерность нулевого пространства равна $0$ .

Обозначение для размерности пространства $X$ : $\operatorname{dim} Х$ .

Свойства базиса

Любая линейно независимая система $n$ -мерного пространства, содержащая $n$ векторов, является базисом этого пространства.
Любая система $n$ -мерного пространства, содержащая более $n$ векторов линейно зависима.
Любой вектор конечномерного пространства однозначно линейно выражается через базис.

Еще одно свойство базиса сформулируем в виде небольшой леммы и докажем ее.

Лемма 2. Каждую линейно независимую систему векторов конечномерного пространства можно пополнить до базиса этого пространства.

Пусть задано линейное пространство $X$ над произвольным полем $\mathbb{P}$ . Пусть в этом пространстве задана ЛНЗ система векторов $\left\langle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right\rangle.$ А размерность $\operatorname{dim} Х = n$ .

При $k=n$ очевидно, что наша система векторов сама является базисом(свойство $1$ ).
При $k<n$ рассмотрим множество всех ЛНЗ систем $x$ , для которых наша система — подсистема. Выберем систему содержащую максимальное количество векторов: $\langle x_{1}, \ldots, x_{k}, x_{k+1}, \ldots x_{s}\rangle.$
Эта система максимально ЛНЗ в $X$ , следовательно она является базисом. Тогда $s=n$ и отсюда следует, что $\langle x_{k+1}, \ldots x_{n} \rangle$ — искомое дополнение.

Лемма 3 (критерий базиса). Система векторов является базисом пространства тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.

Примеры решения задач

Рассмотрим несколько типовых задач нахождения базиса и размерности.

Показать, что следующая система векторов образуют линейное пространство. Найти базис и размерность. Все $n$ -мерные векторы вида $(\alpha, \beta, \alpha, \beta, \alpha, \beta, \ldots)$ , где $\alpha$ и $\beta$ — любые числа. $L=\{x=(\alpha, \beta, \alpha, \beta, \ldots) | \alpha, \beta \in \mathbb{R}\}$

Решение

$\forall x, y \in L: \forall a, b \in \mathbb{R}(a x+b y) \in L ?$

Покажем, что система векторов образуют линейное пространство: $a x+b y=a \cdot(\alpha, \beta, \alpha, \beta \ldots)+b(\varphi, \gamma, \varphi, \gamma \ldots) =$ $=(a \alpha, a \beta, a \alpha, a \beta \ldots)+(\varphi b, \gamma b, \varphi b, \gamma b \ldots)=$ $=(a \alpha+b \varphi, a \beta+\gamma b, a \alpha+b \varphi, a \beta+\gamma b \ldots) \in L.$

Построим стандартный базис: $e_{1}=(1,0,0,0, \ldots, 0)\rightarrow e_{1}^{\prime}=(1,0,1,0, \ldots)$ $e_{2}=(0,1,0,0, \ldots, 0)\rightarrow e_{1}^{\prime}=(0,1,0,1, \ldots)$ $e_{3}=(0,0,1,0, \ldots, 0)\rightarrow e_{3}^{\prime}=(1,0,1,0, \ldots)$ $e_{4}=(0,0,0,1, \ldots, 0)\rightarrow e_{4}^{\prime}=(0,1,0,1, \ldots)$

Следовательно, $\left\langle e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}\right\rangle$ — базис $L$ . Размерность равна 2.
Определить является ли $L$ линейным подпространством пространства $X$ . Найти базис и размерность. $X=M_{2}(\mathbb{R})$ $L=\left\{\left(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) | a+b+c=d\right\}.$

Решение

$\forall A, B \in L, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ $\alpha A+\beta B \in L ?$

Покажем сначала принадлежность к $M_{2}(\mathbb{R})$ . Пусть $A=\left(\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ll} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{array}\right),$ тогда $\alpha \cdot\left(\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1}\end{array}\right)+\beta \cdot\left(\begin{array}{ll} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{ll} \alpha a_{1} & \alpha b_{1} \\ \alpha c_{1} & \alpha d_{1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} \beta a_{2} & \beta b_{2} \\ \beta c_{2} & \beta d_{2} \end{array}\right)=$ $=\left(\begin{array}{ll} \alpha a_{1}+\beta a_{2} & \alpha b_{1}+\beta b_{2} \\ \alpha c_{1}+\beta c_{2} & \alpha d_{1} +\beta d_{2} \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R})$

Можем доказать, что $L$ является подпространством $X$ . $\left.\begin{array}{l} d_{1}=a_{1}+b_{1}+c_{1} \\ d_{2}=a_{2}+b_{2}+c_{2} \end{array}\right\} \Rightarrow\begin{array}{l} \alpha d_{1}=\alpha a_{1}+\alpha b_{1}+\alpha c_{1} \\ \alpha d_{2}=\alpha a_{2}+\alpha b_{2}+\alpha c_{2} \end{array} \Rightarrow$ $\Rightarrow \alpha d_{1}+\beta d_{2}=(\alpha a_{1}+ \beta a_{2})+(\alpha b_{1} + \beta b_{2})+(\alpha c_{1} + \beta c_{2}) \Rightarrow$ $\Rightarrow (\alpha A + \beta B) \in L \Rightarrow L \subset X.$

Теперь найдем базис исходя из условий. $E_{11}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\rightarrow E_{11}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right)$ $E_{12}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\rightarrow E_{12}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\0 & 1\end{array}\right)$ $E_{21}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\rightarrow E_{21}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\1 & 1\end{array}\right)$ $E_{22}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\rightarrow \nexists$

Предполагаемый базис: $E^{\prime}=\left\langle E^{\prime}_{11}, E^{\prime}_{12}, E^{\prime}_{21} \right\rangle$ . Проверим ЛНЗ нашего базиса.

Пусть $\alpha_{1}E^{\prime}_{11}+ \alpha_{2}E^{\prime}_{12}+ \alpha_{3}E^{\prime}_{21}=0,$ тогда $\left(\begin{array}{ll}\alpha_{1} & \alpha_{2} \\\alpha_{3} & \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\0 & 0\end{array}\right) \Rightarrow \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0 \Rightarrow$ $\Rightarrow$ по критерию ЛНЗ, $E^{\prime}$ — ЛНЗ.

Покажем, что через нашу ЛНЗ систему выражается каждый вектор этого пространства. Вспомним, что по условию $d = a + b + c.$ Отсюда следует, что $a \cdot\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+b \cdot\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+c\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=$ $=\left(\begin{array}{cc}a & b \\c & a+b+c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right)=A \Rightarrow$ $\Rightarrow \forall A \in L$ линейно выражается через $E^{\prime}$ . А так как мы доказали, что $E^{\prime}$ — ЛНЗ, то $E^{\prime}$ — базис $L$ . Размерность равна 3.
Определить является ли $L$ линейным подпространством пространства $X$ . Найти базис и размерность. $X=\mathbb{R}_{4}[x]$ $L=\left\{f(x)=\mathbb{R}_{4}[x] | f(x): x^{2}+2\right\}.$

Решение

Пусть $f(x) \in L$ и $f(x): x^{2}+2$ , тогда $f(x)=\left(x^{2}+2\right) \cdot\left(a x^{2}+b x+c\right).$

Докажем, что $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \forall f(x), g(x) \in L ?$

$\alpha(a x^{2}+b x+c)+\beta(a x^{2}+b x+c)=$ $(x^{2}+2)(\alpha a x^{2}+\alpha b x+\alpha c+\beta a x^{2}+\beta b x+\beta c)=$ $(x^{2}+2)(\alpha a x^{2}+\beta a x^{2}+\alpha b x+\beta b x+\alpha c+\beta c) \in L$

Теперь найдем базис: $f(x)=a x^{4}+b x^{3}+x^{2} c+2 a x^{2}+2 b x+2 c,$ тогда $a\left(x^{4}+2 x^{2}\right)+b(x^{3}+2 x)+c(x^{2}+2)$ и следовательно $\begin{array}{l}e_{1}=x^{4}+2 x^{2} \\ e_{2}=x^{3}+2 x \\ e_{3}=x^{2}+2 \end{array}$

Наш предполагаемый базис: $e=\langle e_{1}, e_{2}, e_{3}\rangle$ . Докажем ЛНЗ нашего базиса. $\alpha_{1} e_{1}+\alpha_{2} e_{2}+\alpha_{3} e_{3}=$ $=\alpha_{1} x^{4}+\alpha_{1} 2 x^{2}+\alpha_{2} x^{3}+\alpha_{2} 2 x+\alpha_{3} x^{2}+2 \alpha_{3}=0$ $\Rightarrow \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0 \Rightarrow$ $\Rightarrow$ по критерию ЛНЗ, $e$ — ЛНЗ.

Покажем, что через нашу ЛНЗ систему выражается каждый вектор этого пространства. $\forall f(x) \in L : f(x)=a x^{4}+b x^{3}+x^{2} c+2 a x^{2}+2 b x+2 c$ $\exists \alpha_{1}=a, \alpha_{2}=b, \alpha_{3}=c.$

Тогда $\alpha_{1} e_{1}+\alpha_{2} e_{2}+\alpha_{3} e_{3}=$ $= a(x^{4}+2 x^{2})+b(x^{3}+2 x)+c(x^{2}+2)$ $a x^{4}+2 a x^{2}+b x^{3}+2 b x+c x^{2}+2 c=$ $=a x^{4}+b x^{3}+x^{2} c+2 a x^{2}+2 b x+2 c = f(x) \Rightarrow$ $\Rightarrow \forall f(x)$ линейно выражается через любой вектор $e=\langle e_{1}, e_{2}, e_{3}\rangle$ . Тогда $e$ — базис. Размерность равна 3.

Базис и размерность линейного пространства, свойства

Тест для проверки знаний по теме «Базис и размерность линейного пространства, свойства».

Задание 1 из 5

1.
Дополните определение:
- Базисом конечномерного пространства называется такая система векторов этого пространства, через которую линейно выражается каждый вектор этого пространства.
Задание 2 из 5

2.
Как называется числовая характеристика линейного пространства?
- Линейная комбинация
- Конечномерность
- Размерность
- Эквивалентность
Задание 3 из 5

3.
Что представляют любые два базиса конечномерного пространства?
Задание 4 из 5

4.
Выберите только верные формулировки свойств.
- Любая линейно независимая система $n$ -мерного пространства, содержащая $n$ векторов, является базисом этого пространства.
- Любая система $n$ -мерного пространства, содержащая более $n$ векторов линейно зависима.
- Любой вектор конечномерного пространства неоднозначно линейно выражается через базис.
Задание 5 из 5

5.
Расставить базисы в порядке уменьшения размерности(от большего к меньшему).
- $z=\langle z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\rangle$
- $e=\langle e_{1}, e_{2}, e_{3}\rangle$
- $g=\langle g_{1}, g_{2}\rangle$

Литература

Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С..
Воеводин В.В. Линейная алгебра М.: Наука, 1980.-400 с. (стр. 50-54)
Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.-416 с. (стр. 301-305)
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.-384 с. (стр. 204-211)

Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами

Как известно, для любого линейного оператора можно определить матрицу этого оператора, при чем такая матрица будет единственной для заданной пары базисов (или одного базиса, в случае оператора из $\Omega \left(X\right)$ , где $\left(X,\:P\right)$ — линейное пространство). Тогда, действия над линейным операторами можно свести к операциям над их матрицами, заданными в фиксированных базисах.

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей суммы операторов будет сумма матриц этих операторов.

Зададим два линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$ и $\left(Y,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m$ , $\dim{Y} = n$ . В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ а в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle.$

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\:Y\right)$ . Для оператора $A$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$

Аналогично, зададим линейный оператор $B\in\Omega \left(X,\: Y\right)$ . Для него можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Be_{1}& = & b_{11}g_{1} & + & b_{21}g_{2} & + & \cdots & + & b_{n1}g_{n},\\ Be_{2}& = & b_{12}g_{2} & + & b_{22}g_{2} & + & \cdots & + & b_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Be_{m}& = & b_{1m}g_{1} & + & b_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & b_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $B$ будет иметь вид: $B_{ge} = \left(\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m}\\b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nm}\end{matrix}\right).$

Определим линейный оператор $C = A + B,\:$ где $C\in\Omega \left(X,\: Y\right).$ Для оператора $C$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}g_{1} & + & c_{21}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n1}g_{n},\\ Ce_{2}& = & c_{12}g_{2} & + & c_{22}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}g_{1} & + & c_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & c_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $C_{ge} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1m}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nm}\end{matrix}\right).$

Рассмотрим подробнее равенство. $\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = Ce_{j} =$ (по определению оператора суммы) $= \left(A + B\right)e_{j} = Ae_{j} + Be_{j} =$ (используя равенства для $Ae_{j}$ и для $Be_{j}$ ) $=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} + \sum_{i=1}^{n}b_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)g_{i}.$ Следовательно, $\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)g_{i}.$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{ge}$ представляет собой сумму соответствующих элементов матриц $A_{ge}$ и $B_{ge}$ , что и означает, что $C_{ge} = A_{ge} + B_{ge}.$

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей произведения оператора на число будет матрица этого оператора, умноженная на это число.

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\: Y\right)$ . Для оператора $A$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$

Определим линейный оператор $C = \lambda A,$ где $C\in\Omega \left(X,\:Y\right)$ , $\:\forall \lambda \in P$ . Для оператора $C$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}g_{1} & + & c_{21}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n1}g_{n},\\ Ce_{2}& = & c_{12}g_{2} & + & c_{22}g_{2} & + & \cdots & + & c_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}g_{1} & + & c_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & c_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $C_{ge} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1m}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nm}\end{matrix}\right).$

Рассмотрим подробнее равенство. $\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = Ce_{j} =$ (по определению произведения оператора на число) $= \left(\lambda A\right)e_{j} = \lambda \left(Ae_{j}\right)=$ (используя равенство для $Ae_{j}$ ) $=\lambda\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_{ij}g_{i}.$ Следовательно, $\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_{ij}g_{i}.$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{ge}$ представляет собой произведение числа $\lambda$ на соответствующий элемент матрицы $A_{ge}$ , что и означает, что $C_{ge} = \lambda A_{ge}.$

Лемма. В фиксированных базисах, матрицей произведения операторов будет произведение матриц этих операторов.

Зададим три линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$ , $\left(Y,\:P\right)$ и $\left(Z,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m,$ $\dim{Y} = n,$ $\dim{Z} = k$ . В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle,$ а в пространстве $Z$ — $\left \langle t \right \rangle = \left \langle t_{1},\: t_{2},\: \cdots,\: t_{k}\right \rangle.$

Зададим линейный оператор $A\in\Omega \left(X,\: Y\right)$ . Для оператора $A$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ae_{1}& = & a_{11}g_{1} & + & a_{21}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n1}g_{n},\\ Ae_{2}& = & a_{12}g_{2} & + & a_{22}g_{2} & + & \cdots & + & a_{n2}g_{n},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ae_{m}& = & a_{1m}g_{1} & + & a_{2m}g_{2} & + & \cdots & + & a_{nm}g_{n}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle g \right \rangle$ матрица оператора $A$ будет иметь вид: $A_{ge} = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm}\end{matrix}\right).$

Аналогично, зададим линейный оператор $B\in\Omega \left(Y,\:Z\right)$ . Для него можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Bg_{1}& = & b_{11}t_{1} & + & b_{21}t_{2} & + & \cdots & + & b_{k1}t_{k},\\ Bg_{2}& = & b_{12}t_{2} & + & b_{22}t_{2} & + & \cdots & + & b_{k2}t_{k},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Bg_{n}& = & b_{1n}t_{1} & + & b_{2n}t_{2} & + & \cdots & + & b_{kn}t_{k}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $i = \overline{1,\:n}$ . Тогда, в базисах $\left \langle g \right \rangle$ и $\left \langle t \right \rangle$ матрица оператора $B$ будет иметь вид: $B_{tg} = \left(\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ b_{k1} & b_{k2} & \cdots & b_{kn}\end{matrix}\right).$

Определим линейный оператор $C = BA,$ где $C\in\Omega \left(X,\:Z\right)$ . Для оператора $C$ можем записать систему: $\left\{\begin{matrix} Ce_{1}& = & c_{11}t_{1} & + & c_{21}t_{2} & + & \cdots & + & c_{k1}t_{k},\\ Ce_{2}& = & c_{12}t_{2} & + & c_{22}t_{2} & + & \cdots & + & c_{k2}t_{k},\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot \\ Ce_{m}& = & c_{1m}t_{1} & + & c_{2m}t_{2} & + & \cdots & + & c_{km}t_{k}.\\ \end{matrix}\right.$ Или можем записать кратко, через сумму: где $j = \overline{1,\:m}$ . Тогда, в базисах $\left \langle e \right \rangle$ и $\left \langle t \right \rangle$ матрица оператора $C$ будет иметь вид: $C_{te} = \left(\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1k}\\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2k}\\ \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\\ c_{k1} & c_{k2} & \cdots & c_{km}\end{matrix}\right).$

Рассмотрим подробнее равенство. $\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d} = Ce_{j} =$ (по определению произведения операторов) $= \left(BA\right)e_{j} = B\left(Ae_{j}\right) =$ (используя равенство для $Ae_{j}$ ) $= B\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}Bg_{i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}\left(Bg_{i}\right) =$ (используя равенство для $Bg_{i}$ ) $= \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \sum_{f=1}^{k} b_{fi}t_{f} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{f=1}^{k} a_{ij}b_{fi}t_{f} =\\=\sum_{f=1}^{k} \sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij}t_{f} = \sum_{f=1}^{k} \left(\sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij} \right)t_{f}.$ Следовательно, получили равенство: $\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d} =\sum_{f=1}^{k} \left(\sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij} \right)t_{f},$ а так как $d = \overline{1,\:k}$ и $f = \overline{1,\:k}$ , то получаем следующее: $c_{dj} = \sum_{i=1}^{n} b_{di}a_{ij}.$

Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{te}$ , с индексами $d$ и $j$ равен сумме попарных произведений каждого элемента $d$ -ой строки матрицы $B_{tg}$ на соответствующий элемент $j$ -ого столбца матрицы $A_{ge}$ . Это и означает, по определению произведения матриц, что $C_{te} = B_{tg}A_{ge}.$

Примеры решения задач

Пусть заданы два линейных оператора $A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{2}+x_{3},\:2x_{1}+x_{3},\:3x_{1}-x_{2}+x_{3}\right ),$ $B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{1}-x_{2}-x_{3},\:x_{1}-2x_{2}+x_{3},\:x_{1}+x_{2}-2x_{3}\right )$ и базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:0,\:1\right)\right \rangle.$ Найти матрицу суммы операторов $C = A + B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$

Решение

Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1 \\2 & 0 & 1 \\3 & -1 & 1\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\1 & -2 & 1 \\1 & 1 & -2\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $C = A + B.$ По лемме матрица оператора $C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $C_{e} = A_{e} + B_{e}$ , тогда имеем: $C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}0 & 1 & 1 \\2 & 0 & 1 \\3 & -1 & 1\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\1 & -2 & 1 \\1 & 1 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\3 & -2 & 2 \\4 & 0 & -1\end{array}\right)\cdot$

[свернуть]
Пусть задан оператор дифференцирования $D\in\Omega \left ( \mathbb{R}_{4}[x] \right )$ . Найти матрицу оператора $F = \sqrt{2}D$ $\left( F\in\Omega \left ( \mathbb{R}_{4}[x] \right) \right)$ в базисе $\left \langle e \right \rangle = \left \langle 1,\:\displaystyle x,\:\displaystyle x^{2},\:\displaystyle x^{3},\:\displaystyle x^{4}\right \rangle.$

Решение

Найдем матрицу оператора $D$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $D_{e} = \left(\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $F = \sqrt{2}D$ . По лемме матрица оператора $F$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $F_{e} = \sqrt{2}D_{e}$ , тогда имеем: $F_{e} = \sqrt{2}\left(\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2\sqrt{2} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 3\sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4\sqrt{2}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right)\cdot$

[свернуть]
Пусть заданы два линейных оператора $A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{1}-x_{2}+x_{3},\:x_{3},\:x_{2}\right ),$ $B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{1}+3x_{2},\:x_{1},\:x_{2}-x_{3}\right )$ и базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:1\right),\:\left(2,\:0,\:-1\right),\:\left(1,\:1,\:0\right)\right \rangle.$ Найти матрицу произведения операторов $C = BA$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$

Решение

Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 5 \\1 & 2 & 1 \\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $C = BA.$ По лемме матрица оператора $C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $C_{e} = B_{e}A_{e}$ , тогда имеем: $C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 5 \\1 & 2 & 1 \\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}5 & 1 & 5 \\4 & -1 & 1 \\-1 & -2 & 1\end{array}\right)\cdot$

[свернуть]
Пусть заданы два линейных оператора $A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(2x_{1}-x_{2},\:3x_{1}+x_{3},\:2x_{2}-2x_{3}\right ),$ $B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (x_{1}+x_{3},\:x_{2}-x_{1},\:3x_{2}+x_{3}\right )$ и базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:0,\:1\right)\right \rangle.$ Найти матрицу оператора $C = 2BA + 3A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$

Решение

Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\0 & 2 & -2\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\-1 & 1 & 0 \\0 & 3 & 1\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $D = BA.$ По лемме матрица оператора $D$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $D_{e} = B_{e}A_{e}$ , тогда имеем: $D_{e} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\-1 & 1 & 0 \\0 & 3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\0 & 2 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & -2 \\1 & 1 & 1 \\9 & 2 & 1\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $F = 2D.$ По лемме матрица оператора $F$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $F_{e} = 2D_{e}$ , тогда имеем: $F_{e} = 2\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & -2 \\1 & 1 & 1 \\9 & 2 & 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}4 & 2 & -4 \\2 & 2 & 2 \\18 & 4 & 2\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $G = 3A.$ По лемме матрица оператора $G$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $G_{e} = 3A_{e}$ , тогда имеем: $G_{e} = 3\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\0 & 2 & -2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}6 & -3 & 0 \\9 & 0 & 3 \\0 & 6 & -6\end{array}\right)\cdot$

Тогда, по лемме матрица оператора $C$ определяется равенством: $C_{e} = F_{e} + G_{e},$ получим: $C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}4 & 2 & -4 \\2 & 2 & 2 \\18 & 4 & 2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}6 & -3 & 0 \\9 & 0 & 3 \\0 & 6 & -6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}10 & -1 & -4 \\11 & 2 & 5 \\18 & 10 & -4\end{array}\right)\cdot$

[свернуть]
Пусть заданы три линейных оператора $A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{1}+x_{2}+x_{3},\:2x_{1}-x_{2},\:3x_{2}+x_{3}\right ),$ $B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{2}-3x_{3},\:x_{1}+x_{3},\:2x_{1}-3x_{2}\right ),$ $C\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{1},\:x_{2}-4x_{3},\:2x_{1}+6x_{3}\right )$ и базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:1\right),\:\left(1,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:1\right)\right \rangle.$ Найти матрицу оператора $D = A^{2} — 5B + 6C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$

Решение

Найдем матрицу оператора $A$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $A_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 1 & -1 \\1 & 3 & 4\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $B_{e} = \left(\begin{array}{rrr}-3 & 2 & -1 \\2 & 1 & 1 \\2 & -1 & -3\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $C$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$ $C_{e} = \left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\-4 & 1 & -3 \\8 & 2 & 6\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $F = A^{2}.$ Матрица оператора $F$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $F_{e} = A_{e}A_{e}$ , тогда имеем: $F_{e} = \left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 1 & -1 \\1 & 3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 2 \\2 & 1 & -1 \\1 & 3 & 4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}10 & 12 & 10 \\5 & 2 & -1 \\12 & 17 & 15\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $G = -5B.$ По лемме матрица оператора $G$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $G_{e} = -5B_{e}$ , тогда имеем: $G_{e} = -5\left(\begin{array}{rrr}-3 & 2 & -1 \\2 & 1 & 1 \\2 & -1 & -3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}15 & -10 & 5 \\-10 & -5 & -5 \\-10 & 5 & 15\end{array}\right)\cdot$

Найдем матрицу оператора $H = 6C.$ По лемме матрица оператора $H$ в базисе $\left \langle e \right \rangle$ описывается равенством: $H_{e} = 6C_{e}$ , тогда имеем: $H_{e} = 6\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\-4 & 1 & -3 \\8 & 2 & 6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}6 & 6 & 0 \\-24 & 6 & -18 \\48 & 12 & 36\end{array}\right)\cdot$

Тогда, по лемме матрица оператора $D$ определяется равенством: $D_{e} = F_{e} + G_{e} + H_{e},$ получим: $D_{e} = \left(\begin{array}{rrr}10 & 12 & 10 \\5 & 2 & -1 \\12 & 17 & 15\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}15 & -10 & 5 \\-10 & -5 & -5 \\-10 & 5 & 15\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr}6 & 6 & 0 \\-24 & 6 & -18 \\48 & 12 & 36\end{array}\right)=$ $=\displaystyle\left(\begin{array}{rrr}31 & 8 & 15 \\-29 & 3 & -24 \\50 & 34 & 66\end{array}\right)\cdot$

[свернуть]

Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами

Тест на знание темы «Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами».

Задание 1 из 6

1.
Количество баллов: 1
Найдите матрицу оператора $F=\sqrt{2}D,$ где $D$ — оператор дифференцирования ( $D\in\Omega \left ( \mathbb{R}_{4}[x] \right )$ ), в базисе $\left \langle e \right \rangle = \left \langle 1,\:x-c,\:\displaystyle\frac{\left(x-c\right)^{2}}{2!},\:\displaystyle\frac{\left(x-c\right)^{3}}{3!},\:\displaystyle\frac{\left(x-c\right)^{4}}{4!} \right \rangle.$
- $\begin{pmatrix} 0& 0& 0& 0& 0\\ \sqrt{2}& 0& 0& 0& 0\\ 0& \sqrt{2}& 0& 0& 0\\ 0& 0& \sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& \sqrt{2}& 0 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 0& \sqrt{2}& 0& 0& 0\\ 0& 0& \sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& \sqrt{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& \sqrt{2}\\ 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 0& \sqrt{2}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2\sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 3\sqrt{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 4\sqrt{2}\\ 0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 0& 0& 0& 0& 0\\ \sqrt{2}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2\sqrt{2}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 3\sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 4\sqrt{2}& 0 \end{pmatrix}$
Задание 2 из 6

2.
Количество баллов: 3
Выберите все правильные утверждения
- Матрица суммы двух операторов равна сумме матриц этих операторов, если эти матрицы имеют одинаковую размерность и заданы в одних и тех же базисах.
- Матрица суммы двух операторов равна сумме матриц этих операторов, если они имеют одинаковую размерность.
- Матрица суммы двух операторов не зависит от того, в каких базисах заданы матрицы этих операторов.
- Операторы, матрицы которых заданы в различных базисах, можно сложить, если совпадают размерности этих матриц.
Задание 3 из 6

3.
Количество баллов: 4
Пусть заданы два линейных оператора $A\left ( x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right ) = \left ( x_{3},\:x_{2} — x_{1},\:x_{2} + 4x_{3} \right )$ $B\left ( x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right ) = \left ( x_{1} + x_{2},\:x_{3} — x_{2},\:5x_{1} \right ).$

Чему будет равен след матрицы оператора $C = BA$ в базисе $\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:0,\:1\right) \right \rangle$ ?
Подсказка

След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы.
Задание 4 из 6

4.
Количество баллов: 4
Пусть заданы два линейных оператора $A\left ( x_{1},\:x_{2} \right ) = \left ( 7x_{1}+2x_{2},\:x_{1} — 3x_{2}\right )$ $B\left ( x_{1},\:x_{2}\right ) = \left ( x_{1},\:2x_{1} + 4x_{2} \right )$ и базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0\right),\:\left(0,\:1\right)\right \rangle$ .

Отсортируйте в порядке убывания значения определителей матрицы оператора $C$ , если все матрицы заданы в базисе $\left \langle e \right \rangle$ и $C$ определяется так:
- $C = 3B$
- $C = A + B$
- $C = BA$
- $C=3A$

Задание 5 из 6

5.

Количество баллов: 4

Установите соответствие между матрицей оператора $C = BA$ и базисом, в котором эта матрица может быть получена, если $A \left(x_{1},\; x_{2}\right)\,=\,\left(x_{1}+2x_{2},\;4x_{2}\right)\,$ $B \left(x_{1},\; x_{2}\right)\,=\,\left(x_{1}-3x_{2},\;2x_{1}+3x_{2}\right).$

Элементы сортировки

$\left(\begin{array}{rr}1 &-10\\ 2 & 16\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{rr}-2 &-3\\ 14 & 3\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{rrr}-14 &-17\\ 26 & 29\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{rrr}-18 &-16\\ 27 & 22\end{array}\right)$

$\left \langle \left(1, 0\right), \left(0, 1\right)\right \rangle$

$\left \langle \left(0, 1\right), \left(1, 0\right)\right \rangle$

$\left \langle \left(0, 1\right), \left(1, 1\right)\right \rangle$

$\left \langle \left(1, 1\right), \left(0, 1\right)\right \rangle$

Задание 6 из 6

6.
Количество баллов: 1
Заполните пропуски
- Пусть заданы два линейных оператора $A\in\Omega\left(X,\:Y\right)$ и $B\in\Omega\left(Y,\:Z\right).$
  
  Произведением данных операторов называется оператор $C=BA \in\Omega\left(X,\:Z\right),$ матрица которого равна произведению матрицы оператора (B) на матрицу оператора (A), заданных в некоторых базисах.

Смотрите также

Воеводин В.В. Линейная алгебра 400 стр. М.: Наука, 1980, cтр. 194-196
Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. 384 стр. М.: Наука, 1984, стр. 189-190

Изоморфизм линейных пространств. Критерий изоморфности. Применение понятия изоморфизма к решению задач.

Спойлер

ПРИМЕР

Любой геометрический радиус-вектор плоскости, представим в виде:
[latex] x = ix_1 + jx_2[/latex]

При этом, если [latex] x = ix_1 + jx_2[/latex], [latex] y = iy_1 + jy_2[/latex], то
[latex] x + y = (x_1 + y_1)i +(x_2 + y_2)j[/latex] и [latex] \alpha x = (\alpha x_1)i + (\alpha x_2)j[/latex].
В результате устанавливаем взаимно однозначное соответствие [latex] x \Leftrightarrow (x_1, x_2)[/latex], соответствие между пространствами геометрических радиусов-векторов плоскости и двумерных арифметических векторов. Очевидно, оно будет изоморфизмом данных пространств, так как
если [latex] x \Leftrightarrow (x_1, x_2)[/latex], [latex] y \Leftrightarrow (y_1, y_2)[/latex], то [latex] x + y \Leftrightarrow (x_1 + y_1, x_2 + y_2)[/latex] и [latex] \alpha x \Leftrightarrow ( \alpha x_1, \alpha x_2 )[/latex].

Задача

Даны пространства [latex] A = \mathbb{R}[/latex] и [latex] B = \mathbb{R}[/latex]. Установить между ними соответствие, которое:

будет являться изоморфизмом;
не будет являться изоморфизмом.

Решение

Первое, что мы делаем, это каждому числу [latex] a \in \mathbb{R}[/latex] ставим в соответсвие число [latex] b \in \mathbb{R}[/latex], придерживаясь правила: [latex] b= 2a[/latex]. Каждое [latex] b \in \mathbb{R}[/latex] будет отвечать единственному числу [latex] a= \frac{1}{2}b[/latex]. Отсюда следует, что утверждение [latex] b= 2a[/latex] устанавливает взаимно однозначное соответствие [latex] \mathbb{R} \Leftrightarrow \mathbb{R}[/latex]. Если [latex] a_1 \Leftrightarrow b_1[/latex] и [latex] a_2 \Leftrightarrow b_2[/latex], т.е. [latex] b_1 = 2a_1[/latex] и [latex] b_2= 2a_2[/latex] то [latex] (a_1+a_2) \Leftrightarrow (b_1+b_2)[/latex], так как [latex] b_1+b_2= 2a_1+2a_2 = 2(a_1+a_2)[/latex]. Если [latex] a \Leftrightarrow b[/latex], т.е. [latex] b= 2a[/latex], то [latex] \lambda a \Leftrightarrow \lambda b[/latex] для каждого действительного числа [latex] \lambda [/latex], так как [latex] \lambda b= \lambda 2a= 2 \lambda a[/latex]. Как результат, в данном соответствии [latex] b= 2a[/latex] сохраняются линейные операции, и оно является изоморфизмом.
Следующее взаимно однозначное соответствие, которое будем рассматривать [latex] \mathbb{R} \Leftrightarrow \mathbb{R}[/latex], устанавливается формулой [latex] b= a^3[/latex] (число сопоставляемое числу [latex] a= \sqrt[3]{b}[/latex]). Данное соответствие не будет являться изоморфизмом, потому что будет сохранять линейные операции. Как пример, если [latex] a \Leftrightarrow b[/latex], т.е. [latex] b= a^3[/latex], то [latex]{(2a)}^3= 8a^3= 8b[/latex]. Значит, [latex] 2a \Leftrightarrow 8b[/latex], возникает противоречие условию [latex] \lambda a \Leftrightarrow \lambda b[/latex] для [latex] \lambda = 2[/latex] .

Задача

Проверить, являются ли изоморфными пространства:
[latex] X_1= \{ f(x) \in R[x] | f(x) \quad\vdots\quad (x^2+1) \}[/latex] и [latex] X_2[/latex], натянутое на систему векторов [latex] <a_1, a_2, a_3>. a_1=(0,0,1,0,1)[/latex], [latex] a_2=(0,1,0,1,0)[/latex] и [latex] a_3=(1,0,1,0,0)[/latex].

Решение

Найдем базис [latex] X_1[/latex]
[latex] \forall f(x) \in X_1 \Leftrightarrow f(x)= [/latex] [latex](x^2+1)(ax^2+bx+c)=[/latex] [latex]ax^4+bx^3+ax^2+cx^2+bx+c=[/latex] [latex]a(x^4+x^2)+b(x^3+x)+c(x^2+1)[/latex], таким образом [latex]<x^4+x^2,x^3+x,x^2+1>[/latex] — базис.
Очевидно, что система [latex] <a_1,a_2,a_3>[/latex], на которую натянуто [latex] X_2[/latex] ЛНЗ (линейно независимая система), dim [latex] X_1 =[/latex] dim [latex] X_2= 3[/latex]. Следовательно по критерию изоморфности [latex] X_1 \simeq X_2[/latex].

Источники

Белозеров Г.С. Конспект лекций
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Издание пятое, 1974.Стр. 170

Изоморфизм линейных пространств

Тест по теме: «Изоморфизм линейных пространств. Критерий изоморфности»

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Два конечномерных линейных пространства [latex] (X_1, \mathbb{P})[/latex] и [latex] (X_2, \mathbb{P})[/latex], заданных над одним полем [latex] \mathbb{P}[/latex](любое числовое поле)
[latex] X_1 \simeq X_2[/latex] (изоморфны), если:
- $\exists f: X_1 \to X_2$ (т.е. $\forall a\in X_1$ сопоставляется вектор $a`\in X`$ , образ вектора $a$ , причём различные векторы из $X$ обладают различными образами и всякий вектор из $X`$ служит образом некоторого вектора из $X$ );
- $f(\alpha a+\beta b) = \alpha f(a) + \beta f(b)$ , $\forall a,b \in X_1$ , $\forall \alpha, \beta \in P$ ;
- $f(\sum\limits_{j=1}^k \alpha_je_j)= \sum\limits_{j=1}^k \alpha_j f(e_j)$ ;
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 1
По критерию изоморфности [latex] X_1 \simeq X_2 \Leftrightarrow [/latex]
- dim $X_1 =$ dim $X_2$
- $f(-x)= f(x)$
- $f(0)= 0$
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 3

3.

Количество баллов: 4

Свойства изоморфизма:

Элементы сортировки

$f(x)$
ЛНЗ
ЛЗ
0

$f(-x)=$

ЛНЗ

$\to^f$

ЛЗ

$\to^f$

$f(0)=$

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Литература:

Примеры

Критерии прямой суммы

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Смотрите также:

Примеры решения задач

Базис и размерность линейного пространства, свойства

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Литература

Примеры решения задач

Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Подсказка

4.

5.

Элементы сортировки

6.

Смотрите также

Изоморфизм линейных пространств, свойства

Свойства изоморфизма:

Критерий изоморфности:

ПРИМЕР

Задача

Решение

Задача

Решение

Источники

Изоморфизм линейных пространств

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки