Формула Муавра

Допустим $z=r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)$ и $n$ принадлежит множеству целых чисел. Тогда можно считать, что $z^{n}=r^{n}\cdot\left(\cos\left(n\phi\right)+i\sin\left(n\phi\right)\right).$

Пусть $n=2,$ где $n\in \mathbb {Z}$ — база индукции. Тогда $z^{2}=r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\cdot r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)=r^{2}(\cos\left(2\phi\right)+i\sin\left(2\phi\right)).$ Допустим, что теорема верна $\forall n\leqslant m, m\leqslant2$ и докажем, что она так же верна и для $n=m+1.$ Тогда $z^{m+1}=z^{m}\cdot z=r^{m}(\cos\left(m\phi\right)+i\sin\left(m\phi\right))\cdot r\cdot(\cos\phi+i\sin\phi)=$ $=r^{m+1}(\cos\left(m+1\right)\phi+i\sin\left(m+1\right)\phi).$ Для $n=1$ формула простая, а если $n=0,$ то $z=1,$ то есть $z^{0}=r^{0}\left(\cos\left(0\phi\right)+i\sin\left(0\phi\right)\right)=1\left(\cos0+i\sin0\right)=1.$ Следовательно, теорема справедлива $\forall n\geqslant0.$ Докажем, что она так же справедлива $\forall n\lt0.$ Тогда $z^{-n}=\dfrac{1}{z^{n}}=\dfrac{1}{\left(r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\right)^{n}}=$ $=\dfrac{1}{r^{n}\left(\cos\left(n\phi\right)+i\sin\left(n\phi\right)\right)}=r^{-n}\dfrac{cos\left(n\phi\right)-i\sin\left(n\phi\right)}{\cos\left(n\phi\right)^{2}+\sin\left(n\phi\right)^{2}}=$ $=r^{-1}\dfrac{\cos\left(-n\phi\right)+i\sin\left(-n\phi\right)}{1}=r^{-n}\left(\cos\left(-n\phi\right)+i\sin\left(-n\phi\right)\right).$ Теорема доказана.

$\left|z^{n} \right|=\left|z \right|^{n} \forall n\in \mathbb {Z},$ $Arg\left(z^{n}\right)=n\cdot Arg\left(z\right)+2\pi k, k\in \mathbb {Z}, \forall n\in \mathbb {Z}.$

Примеры

Рассмотрим несколько примеров с использованием формулы Муавра.

Вычислить $\sqrt[5]{\dfrac{\left(-1+i\right)^{3}\cdot\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}}{i^{1323}}}.$

Решение

Найдём сначала $r$ для $\left(-1+i\right)^{3}$ : $r=\sqrt{\left(-1\right)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.$ Теперь найдём аргумент $z$ для $\left(-1+i\right)^{3}.$ Для этого нужно найти угол $\alpha :$ $\tan\alpha=1, \alpha=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in Z.$ Так как $\sin\alpha \lt0$ и $\cos\alpha \lt0,$ то $\alpha=\dfrac{3\pi}{4}.$
Теперь найдём $r$ и $z$ для $\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}:$ $r=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}=\sqrt{4}=2.$ Найдём $z:$
$\tan\beta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \beta=\dfrac{\pi}{6}+s\pi, s\in Z.$ Так как $\sin\beta\gt0$ и $\cos\beta\gt0,$ то $\beta=\dfrac{\pi}{6}.$ $\left(-1+i\right)^{3}\cdot\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}=\left(\cos\left(\dfrac{9\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{6}\right)\right)+i\sin\left(\dfrac{9\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{6}\right)=$ $=\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12},$ $i^{1323}=-i.$ По формуле $\dfrac{\phi+2\pi k}{n},$ где $n=5,$ $k=\overline{0, 4}$ получаем: $w_{0}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}}{5}\right)\right)=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{60}\right)+\right.$ $\left.+i\sin\left(\dfrac{\pi}{60}\right)\right),$ $w_{1}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+2\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+2\pi}{5}\right)\right)=$ $=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{25\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{25\pi}{60}\right)\right),$ $w_{2}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+4\pi}{5}\right)\right)=$ $=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{49\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{49\pi}{60}\right)\right),$ $w_{3}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+6\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+6\pi}{5}\right)\right)=$ $=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{73\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{73\pi}{60}\right)\right),$ $w_{4}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+8\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+8\pi}{5}\right)\right)=$ $=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{97\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{97\pi}{60}\right)\right).$
Вычислить $\left(\sqrt{3}+i\right)^{2020}.$

Решение

$\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \alpha=\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in Z.$ Так как $\sin\beta\gt0$ и $\cos\beta\gt0,$ то $\beta=\dfrac{\pi}{6}.$ $\left(\sqrt{3}+i\right)^{2020}=\left(2\left(\cos{\dfrac{\pi}{6}}+i\sin{\dfrac{\pi}{6}}\right)\right)^{2020}=$ $=2^{2020}\left(\cos\left({\dfrac{2018+2}{6}}\pi\right)+i\sin\left({\dfrac{2018+2}{6}}\pi\right)\right)=$ $=2^{2020}\left(cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)=2^{2020}\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Смотрите также

А.И. Кострикин Введение в алгебру. Основы алгебры. — Москва: Физматлит, 1994. -320с. (с. 201-202).
Личный конспект, основанный на лекциях Г. С. Белозёрова.

Формула Муавра

Проверим как Вы усвоили материал.

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Верно ли $z^{n}=r^{n}\cdot(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))$ , если $n\in\mathbb {R}?$
- Да.
- Нет.
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Чему будет равно $\left(3 + \sqrt{3}\right)^{1939}?$
- $\left(\sqrt{3}\right)^{1939}\left(\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
- $\left(2\sqrt{3}\right)^{1939}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + i\dfrac{1}{2}\right)$
- $\left(2\right)^{1939}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
- $\left(2\right)^{1939}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + i\dfrac{1}{2}\right)$
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 5

3.

Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра

Подставьте к каждому примеру его решение.

Элементы сортировки

$64$
$4\left(\cos{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}+i\sin{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}\right)$
$8\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$
$4\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\left(1+\sqrt{3}i\right)^{6}$

$\left(\sqrt{3}+i\right)^{2}$

$\left(\sqrt{3}+i\right)^{3}$

$\left(1+\sqrt{3}i\right)^{2}$

Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Впишите правильный ответ к примеру $\left(1+\sqrt{3}i\right)^{3}.$
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Справедлива ли формула Муавра для всех $n \lt 0?$
Правильно

Неправильно

Извлечение корней из комплексных чисел

Корень степени $n$ из комплексного числа

Пусть $z=r\left ( \cos\varphi + i\sin\varphi \right ).$ Тогда называется комплексное число $w$ , для которого верно равенство $w^n=z.$

Легко заметить, что при $z=0 \Rightarrow w=0.$ Поэтому предположим, что $z \neq 0$
Пусть $w=\rho \left ( \cos\psi + i\sin\psi \right ),$ чему тогда равны $\rho,\:\psi?$

Распишем равенство $w^n=z,\:z=r\left ( \cos\varphi + i\sin\varphi \right )$ $\left ( \rho \left ( \cos\psi +i\sin\psi \right ) \right )^n=r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$ Воспользуемся формулой Муавра: $\rho^n \left ( \cos n \psi +i\sin n \psi \right ) =r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$ Из равенства комплексных чисел следует равенство их аргументов и модулей. $\rho = \sqrt[n]{r}$ $\psi =\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n},\:k=0,1,..,n-1$ Тогда: $w_k=\sqrt[n]{r}\left( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )+i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )\right )$ Пришли к зависимости корня от параметра $k$ . Рассмотрим лемму.

$w_k=w_l\Leftrightarrow \left ( k-l \right )\vdots \,n$

$w_k=w_l$ равные комплексные числа, а значит их аргументы равны $\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n}=\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi l}{n}+2\pi t$ $2\pi \left(k-l \right )=2\pi nt\Leftrightarrow k-l=nt\Leftrightarrow \left(k-l \right )\vdots \: n$

$W=\left \{ w_0,\:w_1,…,\:w_{n-1} \right \}$ — множество корней степени $n$ из $z$ . В силу вышеизложенной леммы все корни попарно различны. Значит мы имеем только n различных значений аргумента, при этом модули корней равны $\left | \sqrt[n]{z} \right |=\sqrt[n]{\left | z \right |}$ $\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[n]{z}=\frac{\mathop{\rm Arg}\,z+2\pi k}{n},\,k=\overline{0,\,n-1}$ Общий вид корня степени $n$ $\sqrt[n]{z}= \left \{ \sqrt[n]{r}\left ( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n} \right ) +i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right ) \right) \right \},$ где $k\in \mathbb{N},\,k=\overline{0,\,n-1}$

$\displaystyle\frac{\varphi }{n}$ называется фазой, $\displaystyle\frac{2\pi k}{n}$ называется сдвигом по фазе.

Так как все значения корня имеют одинаковый модуль, то есть одинаковое расстояние от начала координат (равное модулю этих корней), все они вписаны в окружность с центром в начале координат. Множество всех корней степени $n$ из комплексного числа изображается как правильный $n$ -угольник.

Квадратный корень из комплексного числа

Извлечь квадратный корень из комплексного числа можно и без перехода к тригонометрической форме. Рассмотрим теорему

Если $z = a + bi,\:\left(a^2+b^2\neq 0\right),$ то существует ровно 2 корня

$b = 0,\:a > 0 \Rightarrow w = \pm \sqrt{a}$
$b = 0,\: a < 0 \Rightarrow w = \pm i\sqrt{a}$
$b \neq 0 \Rightarrow w = \pm \left(\sqrt{\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+b^2} + a} {2}}+i \, \mathop{\rm sign} \, b \sqrt{\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)$

Пусть $w=x+yi,$ где $x,\:y\in \mathbb{R}$ $w^2=z \Rightarrow (x+yi)^2=a+bi$ $x^2-y^2+2xyi=a+bi$ Получили Если $b=0$ , тогда или $x=0$ , или $y=0$ .

$b=0,\:y=0.$ Тогда получим $x^2=a \Rightarrow \: x\pm \sqrt{a}$
$b=0,\:x=0.$ Тогда получим $-y^2=a \Rightarrow a<0.$ Тогда $y^2=-a \Rightarrow y^2=ai^2\Rightarrow y=\pm\sqrt{a}i$
$b \neq 0,\: x \neq 0.$
Выразим $y$ из равенства $y=\frac{b}{2x}$ Подставим значение $y$ в равенство, получим: Домножим обе части равенства на $4x^2$ $4x^4-4x^2a-b^2=0$

Воспользуемся формулой дискриминанта, тогда $x_{1,2}^{2}=\frac{2a\pm\sqrt{4a^2+4b^2}}{4}=\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2},\: x_{1,2}^{2}\in \mathbb{R}$ $x_{2}^{2}=\frac{a-\sqrt{a^2+b^2}}{2}<0,$ так как $x_{2}^{2}\in \mathbb{R} \Rightarrow$ не имеет решений $x=\pm \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$

Выразим $y^2$ из равенства Тогда $y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}$ Из равенства следует, что $\mathop{\rm sign}\,xy=\mathop{\rm sign}\,b.$ Значит, если $\mathop{\rm sign}\,b>0$ то $\mathop{\rm sign}\,x=\mathop{\rm sign}\,y,$ если же $\mathop{\rm sign}\,b<0$ , то $\mathop{\rm sign}\,x=-\mathop{\rm sign}\,y.$ Откуда следует: $w=\pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\,\mathop{\rm sign}\,b \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)$

Примеры решения задач

Найти общий вид корней третьей степени из $z=-\sqrt{3}+i$

Решение

Запишем $z$ в тригонометрической форме $z=2\left ( \cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6} \right )$ Аргументы и модули корней третьей степени будут иметь вид: $\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[3]{z}=\frac{5 \pi }{18}+\frac{2 \pi k }{3},\:k=0,1,2$ $\left | \sqrt[3]{z} \right |=\sqrt[3]{2}$ Тогда общий вид корней будет таков $w_k=\left \{ \sqrt[3]{2}\left ( \cos\left ( \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \right )+i\sin\left ( \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \right ) \right ) \right \},$ $k=0,1,2$

[свернуть]
Найти значения квадратных корней из $z=3-4i$

Решение

$w_{1,2}=\pm \sqrt[2]{z},\:w=x+iy$ $\left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
Ранее мы получили равенства для $x^2$ и $y^2$ . Воспользуемся этими равенствами $y^2=\frac{1}{2}\left (-3+5 \right )=1$ $x^2=\frac{1}{2}\left ( 3+5 \right )=4$ Откуда $x=\pm 2,\:y=\pm 1$ Значит $w_{1,2}=\pm \left(2-i\right)$

[свернуть]
Решите уравнение $z^2=2i$

Решение

$z=\pm \sqrt{2i}$ Уравнение будет иметь два корня $w_{1,2}$ . Найдем их
$w_{1,2}=\pm z,\:w=x+iy$ $\left | z^2 \right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{4}=2$
Ранее мы получили равенства для $x^2$ и $y^2$ . Воспользуемся этими равенствами $y^2=\frac{1}{2}\left (0+2 \right )=1$ $x^2=\frac{1}{2}\left ( 0+2 \right )=1$ Откуда $x=\pm 1,\:y=\pm 1$ Значит корни уравнения будут равны $w_{1,2}=\pm \left(1+i\right)$

[свернуть]
Будет ли $z_1=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \frac{14\pi}{24}+i\sin\frac{14\pi}{24} \right )$ корнем четвертой степени из $z=\sqrt{3}+i$ ?

Решение

Найдем общий вид корней четвертой степени из $z$ и проверим, принадлежит ли $z_1$ множеству корней. Запишем $z$ в тригонометрической форме $z=2\left ( \cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6} \right )$ Аргументы и модули корней четвертой степени будут иметь вид: $\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[4]{z}=\frac{ \pi }{24}+\frac{ \pi k }{2},\:k=0,1,2,3$ $\left | \sqrt[4]{z} \right |=\sqrt[4]{2}$ Тогда общий вид корней будет таков $w_k= \left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right ) \right ) \right \},$ $k=0,1,2,3$ Корни четвертой степени комплексного числа $z$ равны $w_0=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$ $w_1=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{13\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{13\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$ $w_2=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{25\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{25\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$ $w_3=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{37\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{37\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$ $z_1$ не равен какому-либо корню четвертой степени из $z,$ значит он не является корнем четвертой степени из $z$

[свернуть]

Извлечение корней из комплексных чисел

Тест на знание темы «Извлечение корней из комплексных чисел»

Задание 1 из 6

1.
Количество баллов: 1
Принадлежит ли $z_1=\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{25\pi}{24}+i\sin \frac{25\pi}{24} \right )$ множеству корней четвертой степени из $z=2\left ( \cos\frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6} \right )?$
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 6

2.
Количество баллов: 1
Чему равен модуль комплексного числа $w=\sqrt[2]{z},$ при $z=64 \left( \cos\frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3} \right)$
Правильно

Неправильно

Правильный ответ — 8
Задание 3 из 6

3.
Количество баллов: 2
Выберите все правильные утверждения
- Все корни степени $n$ из $z$ лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом, равным модулю этих корней
- Множество всех корней степени $n$ из комплексного числа геометрически изображаются правильным $2n$ -угольником
- Все корни степени $n$ из комплексного числа попарно различны
- Не из каждого комплексного числа можно извлечь корень
Правильно

Неправильно

Задание 4 из 6

Количество баллов: 4

Установите соответствие между комплексными числами и комплексными числами, принадлежащими к множеству их квадратных корней

Элементы сортировки

$\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{13 \pi}{8}+i\sin\frac{13 \pi}{8} \right )$
$\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{9 \pi}{8}+i\sin\frac{9 \pi}{8} \right )$
$\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{15 \pi}{8}+i\sin\frac{15 \pi}{8} \right )$
$\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{11 \pi}{8}+i\sin\frac{11 \pi}{8} \right )$

$-1-i$

$1+i$

$1-i$

$-1+i$

Задание 5 из 6

5.
Количество баллов: 4
Расставьте в порядке убывания модулей корней третьей степени из нижеприведенных комплексных чисел.
- $-2+3i$
- $2-i$
- $1+i$
- $i$
Правильно

Неправильно
Задание 6 из 6

6.
Количество баллов: 1
Заполните пропуск
- (Модули) корней из комплексного числа равны
Правильно

Неправильно

Смотрите также

Сопряженные числа и их свойства

Пусть дано комплексное число $z = a + bi$ , число имеющее противоположный знак при мнимой части называется с $z$ и обозначается $\overline{z}$ . В общем случае, сопряженным к $z = a + bi$ (где $a,\:b\in \mathbb{R}$ ) является $\overline{z} = a-bi$

Геометрическая интерпретация

На комплексной плоскости сопряженные числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси.

В полярной системе координат сопряженные числа имеют следующий вид — $re^{i\phi }$ и $re^{-i\phi }$ , следует из формулы Эйлера

Корнями квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом является пара сопряженных чисел.

Перейдем к рассмотрению свойств комплексно сопряженных чисел

Свойства

$\overline{\overline{z}}=z$

Пусть $z = a + bi$ . $\overline{z} = \overline{a+bi} = a-bi$ $\overline{\overline{z}} = \overline{a-bi} = a + bi =z$
$\overline{\left(z_{1}+z_{2}\right)} = \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}}$

$z_{1} = a + bi,\:z_{2} = c + di$
$\overline{\left(z_{1}+z_{2}\right)}=\overline{\left(a+c+ \left (b+d\right)i\right)}=a+c-\left( b+d\right)i$ $\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}} = \overline{\left(a+bi\right)}+\overline{\left(c+di\right)} = a-bi+c-di = a+c-\left(b+d\right)i = \overline{\left(z_{1}+z_{2}\right)}$
$\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} =\overline{z_{1}\cdot z_{2}}$

$z_{1} = a + bi,\:z_{2} = c + di$
$\overline{z_{1}}\cdot \overline{z_{2}}=\overline{\left(a+bi\right)}\cdot \overline{\left(c+di\right)}=\left(a-bi\right)\left(c-di\right)=ac-bd-\left(bc+ad\right)i$ $\overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\overline{\left(a+bi\right)\left(c+di\right)}=\overline{\left(ac-bd\right)+\left(bc+ad\right)i}=$ $=ac-bd-\left(bc+ad\right)i=\overline{z_{1}}\cdot \overline{z_{2}}$
$\overline{\left(\displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\displaystyle\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}$

$z_{1} = a + bi,\:z_{2} = c + di$ $\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\overline{\left(\frac{a+bi}{c+di} \right )}=\overline{\left(\frac{\left(a+bi\right)\left(c-di \right)}{c^{2}+d^{2}} \right )}=\overline{\left(\frac{ac+bd+\left(bc-ad\right)i)}{c^{2}+d^{2}} \right )}=$ $=\frac{ac+bd-\left(bc-ad\right)i}{c^{2}+d^{2}}$ $\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}=\frac{\overline{a+bi}}{\overline{c+di}}=\frac{a-bi}{c-di}=\frac{\left(a-bi \right)\left(c+di \right ) }{c^{2}+d^{2}}=\frac{ac+bd-\left(bc-ad\right)i}{c^{2}+d^{2}}=\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}$
$z=\overline{z}\Rightarrow z\in \mathbb{R}$

$z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $z=\overline{z}\Rightarrow z-\overline{z}=0$ $\left(a+bi\right)-\left(a-bi\right)=0$ $2bi=0\Rightarrow b=0\Rightarrow z\in \mathbb{R}$
$z+\overline{z}\in \mathbb{R}$

$z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $z+\overline{z}=\left(a+bi \right )+\left(a-bi \right )=2a$ $2a\in \mathbb{R}$
$z-\overline{z}\in i\mathbb{R}$

$z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $z-\overline{z}=\left(a+bi\right)-\left(a-bi\right)=2bi\in i\mathbb{R}$
$z\cdot \overline{z}\geqslant 0$

$z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $z\cdot \overline{z}=\left(a+bi \right )\left(a-bi \right )=a^{2}+abi-abi-bi^{2}=a^{2}+b^{2}\geqslant 0$
$\displaystyle\overline{\sum_{i=1}^{k}z_{i}}=\sum_{i=1}^{k}\overline{z_{i}}$

Докажем ММИ предполагая, что свойство 2 доказано, оно и будет базой индукции. Предположим, что справедливо для $k\leqslant m,\:m\geqslant 2.$ Докажем, что оно справедливо для $k=m+1$ $\overline{\sum_{i=1}^{m+1}z_{i}}=\overline{\sum_{i=1}^{m}z_{i}+z_{m+1}}=\overline{\sum_{i=1}^{m}z_{i}}+\overline{z_{m+1}}=\sum_{i=1}^{m}\overline{z_{i}}+\overline{z_{m+1}}=\sum_{i=1}^{m+1}\overline{z_{i}}$
$\displaystyle\overline{\prod_{i=1}^{k}z_{i}}=\prod_{i=1}^{k}\overline{z_{i}}$

Докажем ММИ предполагая, что свойство 3 доказано, оно и будет базой индукции. Предположим, что справедливо для $k\leqslant m,\:m\geqslant 2.$ Докажем, что оно справедливо для $k = m + 1$ $\overline{\prod_{i=1}^{m+1}z_{i}} = \overline{\prod_{i=1}^{m}z_{i}+z_{m+1}} = \overline{\prod_{i=1}^{m}z_{i}}+\overline{z_{m+1}} = \prod_{i=1}^{m}\overline{z_{i}} + \overline{z_{m+1}} = \prod_{i=1}^{m+1}\overline{z_{i}}$

Примеры решения задач

Решить квадратное уравнение $2x^{2}-2x+5=0$

Решение

Воспользуемся формулой дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения
$D=b^{2}-4ac,\: x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ $D=\left(-2\right)^{2}-4\cdot 2\cdot 5=-36<0$ $\sqrt{D}=\sqrt{-36}=i\sqrt{36}=6i$ $x_{1,2}=\frac{2\pm 6i}{4}$ $x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm \frac{3}{2}i$

[свернуть]
Вычислить: $\frac{Re^{2}\left(z_{1}+\overline{z_{2}}\right)}{z_{1}z_{2}}_{,}$ при $z_{1} = 2 + i,\:z_{2} = 4 — 2i$

Решение

Надо понимать, что $Re\,z$ — действительная часть комплексного числа
$\overline{z_{2}}=4+2i$ $\frac{Re^{2}\left(z_{1}+\overline{z_{2}}\right)}{z_{1}z_{2}}=\frac{Re^{2}\left(2+i+4+2i\right)}{\left(2+i \right )\left(4-2i \right )}=$ $=\frac{Re^{2}\left(6+3i\right)}{8-2i^{2}+4i-4i}=\frac{36}{10}=3.6$

[свернуть]
Найти число сопряженное данному $z=\left(5+7i\right)\left(7+5i\right)$

Решение

Вычислим $z,$ перемножив скобки $z=35+35i^{2}+49i+25i=35-35+74i=74i$
$\overline{z}=\overline{74i}=-74i$

[свернуть]
К какой координатной четверти принадлежит $\overline{z}$ , если $z=2-3i?$

Решение

$\overline{z}=\overline{\left(2-3i\right)}=2+3i$ Значит координаты $\overline{z}$ на комплексной плоскости $\left(2;3\right).$ Это означает, что $\overline{z}$ принадлежит I координатной четверти

Либо можно рассуждать таким образом: Координаты $z$ на комплексной плоскости $\left(2;-3\right),\: z$ принадлежит IV координатной четверти. Как нам известно, сопряженные числа симметричны относительно действительной оси из этого следует, что $\overline{z}$ принадлежит I координатной четверти.

[свернуть]
Выписать действительную и мнимую части для сопряженного заданному комплексному числу $z_1=5+i$

Решение

$z_1=5+i\Rightarrow \overline{z_1}=\overline{\left ( 5+i \right )}=5-i$ Для комплексного числа $z=a+bi\::\:Re\,z=a,\:Im\,z=b$
Для $\overline{z_1}=5-i$ имеем $Re\,\overline{z_1}=5,\:Im\,\overline{z_1}=-1$

[свернуть]

Сопряженные числа

Тест на знание темы «Сопряженные числа»

Задание 1 из 6

1.
Количество баллов: 1
Чему будет равно произведение мнимой и действительной части числа $z$ , $z=\frac{Re^{3}\left(z_{1}z_{2}\right)}{Im\overline{z_1}}_,$ при $z_{1}=i,\:z_{2}=5+2i$
Правильно

Неправильно

Правильный ответ — 0
Задание 2 из 6

2.
Количество баллов: 1
Заполните пропуск
- Пусть дано комплексное число, число имеющее противоположный знак при мнимой части называется (сопряженным) числом
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 6

3.
Количество баллов: 1
При $z=25-7i$ , чему будет равняться $Re\left(\overline{z}\right)-Im\left(z\right)$ ?
- 18
- 32
- -18
- -32
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 6

4.
Количество баллов: 2
Выберите все правильные утверждения если известно, что $z=5+i$
- $\overline{z}=-5+i$
- $\left | \overline{z} \right |=\sqrt{6}$
- $z\cdot \overline{z}=26$
- $\frac{\overline{z}}{z}=\frac{12}{13}-\frac{5}{13}i$
Правильно

Неправильно

Задание 5 из 6

Количество баллов: 4

Установите соответствие между числами, сопряженными к нижеприведенным и координатными четвертями к которым они принадлежат.

Элементы сортировки

$2-3i$
$-1-5i$
$-2+i$
$1+i$

Задание 6 из 6

6.
Количество баллов: 4
Отсортируйте по убыванию отношение $\frac{Im\overline{z}}{Re\overline{z}}$ , для нижеприведенных чисел
- $z_{3}=1-2i$
- $z_{1}=-2+i$
- $z_{4}=2+i$
- $z_{2}=1+2i$
Правильно

Неправильно

Смотрите также

Построение поля комплексных чисел

Спойлер

Большой вклад в развитие алгебры внес Джероламо Кардано, итальянский математик, который стал первым в Европе использовать отрицательные корни уравнений. В 1545 году Кардано опубликовал трактат, в котором описал алгоритм нахождения таких корней.

Наследователем Кардано стал еще один итальянский математик и инженер-механик Рафаэль Бомбелли, который, вдохновившись научной работы Кардано, окончательно ввел комплексные числа в математику и описал в своей научной работе «Алгебра» (1572) основные действия над такими числами.

В 1637 году вышла переломная в истории математики и науки книга «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках» французского математика и философа Рене Декарта. В этой работе Декарт и ввел название «мнимые числа», а спустя 140 лет (1777 год) Леонард Эйлер — российский, немецкий и швейцарский математики механик — ввел букву « $latex i$ » (первая буква французского слова «imaginaire» — «мнимый») для обозначения таких чисел.

[свернуть]

Спойлер

Множеством комплексных чисел называется множество $latex \mathbb{R}^2$ при условии выполнения следующих требований:

$latex (a,b)=(c,d)$ $latex \Leftrightarrow$ $latex a=c$ и $latex b=d$ ;
$latex (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ ;
$latex (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ .

[свернуть]

Необходимость в комплексных числах появилась, когда стало понятно, что не каждый многочлен имеет вещественные корни. Например, уравнение

$latex x^2+1=0$ не имеет корней среди вещественных чисел, так как еще в школе учили, что извлечь квадратный корень из отрицательного числа невозможно.

Для построения поля комплексных чисел — расширения множества вещественных, в котором уравнение разрешимо, — необходимо доказать следующее:

$latex \mathbb{C}$ — поле;
$latex \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ ;
$latex x^2+1=0$ — разрешимо в $latex \mathbb{C}$ (1);
$latex \mathbb{C}$ минимально по включениям.

Спойлер

$latex \mathbf{I.}$ $latex \mathbf{(\mathbb{C},+)}$ — абелева группа.

Алгебраичность сложения;
Ассоциативность:
$latex [(a,b)+(c,d)]+(e,f)$ $latex =$ $latex (a+c,b+d)+(e,f)$ $latex =$ $latex ((a+c)+e,(b+d)+f)$ $latex =$ $latex (a+(c+e),b+(d+f))$ $latex =$ $latex (a,b)+(c+e,d+f)$ $latex =$ $latex (a,b)+[(c,d)+(e,f)]$ ;
Коммутативность:

$latex (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)$ ;

Нейтральный элемент:

$latex (0,0)+(a,b)=(a,b)$ ;

Обратный элемент:

$latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}$ $latex \exists(-a,-b)~\epsilon~\mathbb{C}$

$latex (a,b)+(-a,-b)=(0,0)$ ;

$latex \mathbf{II.}$ $latex \mathbf{(\mathbb{C}^{*},\cdot)}$ — абелева группа.

Алгебраичность умножения;
Ассоциативность умножения;
Коммутативность умножения;
Единица: $latex e=(1,0)$

$latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}$ , $latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}$

$latex (a,b)(x,y)=(a,b)$ $latex \Rightarrow (ax-by,ay+bx)=(a,b)$

$latex \begin{cases} ax-by=a & \\ ay+bx = b & \end{cases}$

Рассмотрим возможные решения системы:

1) $latex a\neq0,~b\neq0$

$latex \begin{cases} a^2x-bay=a^2 & \\ b^2x+bay=b^2 & \end{cases}$

$latex (a^2+b^2)x=a^2+b^2$ $latex \Rightarrow x=1,~y=0$ .

2) $latex a\neq0,~b=0$

$latex \begin{cases} ax=1 & \\ ay=0 & \end{cases}$

$latex x=1,~y=0$ .

3) $latex a=0,~b\neq0$ $latex \Rightarrow x=1,~y=0$ .

Следовательно, $latex e=(1,0)$ .

Обратный элемент:

$latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C}^{*}$ $latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}^{*}$ :

$latex (a,b)(x,y)=(1,0)$

$latex (ax-by,bx+ay)=(1,0)$

$latex \begin{cases} ax-by=1 & \\ ay+bx = 0 & \end{cases}$

Домножим первое уравнение системы на $latex a$ , а второе — на $latex b$ , $latex a\neq0,~b\neq0$ .

$latex \begin{cases} a^2x-bay=a & \\ b^2x+bay = 0 & \end{cases}$
$latex (a^2+b^2)x = a$ $latex \Rightarrow x=\frac{a}{a^2+b^2}$ .

$latex \frac{a^2}{a^2+b^2}-by=1$ $latex \Rightarrow \frac{a^2}{a^2+b^2}-1=by$ $latex \Rightarrow \frac{a^2-a^2-b^2}{a^2+b^2}=by$ $latex \Rightarrow y=\frac{-b}{a^2+b^2}$ .

$latex (a,b)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2})$ .

$latex \mathbf{III.}$ Дистрибутивность.

Проверим выполнение законов дистрибутивности. В самом деле,
$latex (a,b)[(c,d)+(e,f)]$ $latex =$ $latex (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)$ .

$latex \blacksquare$

[свернуть]

Спойлер

Покажем, что множество комплексных чисел является расширением множества вещественных.

$latex M \subset \mathbb{C}$ , $latex M=\left\{(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}~|~b=0 \right\}$ $latex =$ $latex \left\{(a,0)~|~a~\epsilon~\mathbb{R} \right\}$ .

Рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс (точки вида $latex (a,0)$ ), где $latex x$ является реальной частью комплексного числа, и их свойства:

$latex (a,0)+(b,0) = (a+b,0)$ $latex \epsilon~M$ ;
$latex (a,0)(b,0) = (ab-00,00+0b) = (ab,0)$ $latex \epsilon~M$ ;
$latex (0,0)~\epsilon~M$ , $latex (1,0)~\epsilon~M$ ;
$latex -(a,0) = (-a,0)~\epsilon~M$ ;
$latex (a,0)^{-1},~a\neq0$ , $latex (a,0)^{-1} = (\frac{1}{a},0)~\epsilon~M$ .

Таким образом, $latex f:\mathbb{R}~\rightarrow~ M$

$latex f(a)=(a,0)~\forall a~\epsilon~\mathbb{R}$ .

$latex f$ — биекция;
$latex f(a,b)=(a+b,0)=(a,0)+(b,0)=f(a)+f(b)$ ;
$latex f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ ; $latex f(-a)=-(a,0)$ ;
$latex f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$ .

$latex a \to (a,0)$ . Поле вещественных чисел вкладывается во множество комплексных.

$latex \blacksquare$

[свернуть]

Спойлер

$latex x^2+1=0$ . Обозначим $latex 0 = (0,0)$ , $latex 1 = (1,0)$ и $latex x = (u,v)$ $latex \Rightarrow$

$latex (u,v)^2+(1,0)=(1,0)$

$latex (u^2-v^2,2uv)=(0,0)$

Решим систему уравнений на основе этого выражения:

$latex \begin{cases} u^2-v^2=-1 & \\ 2uv=0 & \end{cases}$

$latex v\neq0,~u=0$ ,

$latex v^2=1 \Rightarrow v=\pm (-1)$ ,

Следовательно, возможные решения уравнения — $latex (0,1),~(0,-1)$ .

$latex i=(0,1),~-i=(0,-1)$ — мнимая единица $latex i$ .

$latex \blacksquare$

[свернуть]

Спойлер

Любое подмножество $latex \mathbb{C’}$ множества $latex \mathbb{C}$ совпадает с $latex \mathbb{C}$ , если для $latex \mathbb{C’}$ выполнимо:

$latex \mathbb{R}\subset\mathbb{C’}$ ;
разрешимо уравнение $latex x^2+1=0$ ;
$latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C’}$ , $latex (a+b)~\epsilon~\mathbb{C’}$ ;
$latex a \cdot b~\epsilon~\mathbb{C’}$ .

$latex \blacksquare$

[свернуть]

Список источников:

А.Г.Курош «Курс высшей алгебры», изд-е.9, «Наука», г.Москва, 1968г., стр.110-113
Г.С.Белозеров, конспект лекций курса алгебры и геометрии

Тест на знание теории о построении поля комплексных чисел.

Задание 1 из 7

1.
Расположить множества по возрастанию числа включений в него:
- множество натуральных чисел
- множество целых чисел
- множество рациональных чисел
- множество вещественных чисел
- множество комплексных чисел
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 7

2.
Выбрать условия, имеющие смысл
- множество комплексных чисел является полем
- расширение множества вещественных чисел является множеством комплексных чисел
- уравнение $x^2+1=0$ разрешимо в множестве комплексных чисел
- модулем комплексного числа называется корень суммы квадратов его действительной и мнимой частей
Правильно

Неправильно

Выбрать те варианты, которые имеют смысл в рамках данной статьи:
Задание 3 из 7

3.
Комплексное число, квадрат которого равен -1
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 7

4.
О расширении какого множества идет речь в плане построении поля комплексных чисел?
- множества действительных чисел
- множества рациональных чисел
- множества целых чисел
- множества натуральных чисел
Правильно

Неправильно

Задание 5 из 7

5.

Сопоставить ученого и его вклад в развитие комплексных чисел:

Элементы сортировки

Ввел комплексные числа для решения кубических уравнений в 1545 г.
В 1572 г. вышла книга этого ученого, в которой были установлены первые правила арифметических операций над комплексными числами, вплоть до извлечения из них кубических корней
В 1637 г. ввел название "мнимые числа"
В 1777 г. предложил использовать первую букву слова "imaginaire" (с фр. - "мнимый") для обозначения мнимой единицы

Джероламо Кардано

Рафаэль Бомбелли

Рене Декарт

Леонард Эйлер

Задание 6 из 7

6.
Дополнить определение:
- Абсцисса точки системы координат является частью комплексного числа, а ордината точки - (мнимой).
Правильно

Неправильно

Задание 7 из 7

7.

Сопоставить условия:

Элементы сортировки

$(0, 0) + (a, b) = (a, b)$
$(a, b) + (-a, -b) = (0, 0)$
$[(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (a, b) + [(c, d) + (e, f)]$
$(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)$

Нейтральный элемент

Обратный элемент

Ассоциативность

Коммутативность

Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме. Сопряженность

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Спойлер

Сложение

Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
Тогда [latex]z=[/latex] [latex]z_1 + z_2[/latex] получается простым приведением подобных:
[latex]z_1 + z_2=[/latex] [latex]z_1 + z_2=[/latex] [latex]a_1+b_1i+a_2+b_2i=[/latex] [latex](a_1+a_2)+(b_1+b_2)i[/latex]

Спойлер

Вычитание

Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
Тогда [latex]z=[/latex] [latex]z_1 — z_2[/latex] получается аналогично со сложением:
[latex]a_1+b_1i — (a_2+b_2i)=[/latex] [latex](a_1-a_2)+(b_1-b_2)i[/latex]

Спойлер

Умножение

Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
Тогда [latex]z=[/latex] [latex]z_1 \times z_2=[/latex] [latex](a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i)[/latex].
Что делать на этом шаге? Все довольно просто, как Вы наверно и подумали, надо всего лишь раскрыть скобки и привести подобные:
[latex](a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i)=[/latex] [latex](a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i[/latex]

Спойлер

Определение комплексно сопряженного числа

Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
[latex]z_1[/latex] называют комплексно сопряженным к [latex]z_2[/latex], если [latex]a_1 = a_2[/latex] и [latex]b_1 = -b_2[/latex], т.е. [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_1-b_1i[/latex].
И при перемножении [latex]z_1 \times z_2=[/latex] [latex]{a_1}^2-{b_1}^2[/latex]
Это потребуется для нашего следующего действия.

Деление

Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
Тогда [latex]z=[/latex] [latex]\frac{z_1}{z_2}=[/latex] [latex]\frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}[/latex]
На этом шаге обычно все и остановилось бы, но мы сможем еще упростить выражение благодаря знанию комплексно сопряженных чисел. Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число к знаменателю, получим:
[latex]\frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)}=[/latex] [latex]\frac{(a_1a_2+b_1b_2)+(a_2b_1-a_1b_2)i}{{a_2}^2+{b_2}^2}[/latex]

Спойлер

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Спойлер

Умножение

Произведением двух комплексных чисел [latex]z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1)[/latex] и [latex]z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2)[/latex] будет комплексное число вида [latex]z=z_1z_2=r_1r_2(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2)[/latex]

Спойлер

Деление

Частным двух комплексных чисел [latex]z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1)[/latex] и [latex]z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2)[/latex] будет комплексное число вида [latex]z=z_1z_2=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1-\phi_2)+i\sin(\phi_1-\phi_2)[/latex]

Возведение в степень

[latex]\forall z \in C[/latex] [latex]z^n=[/latex] [latex]{r(\cos\phi+i\sin\phi)}^n=[/latex] [latex]r^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))[/latex]

Спойлер

Извлечение корня

[latex]\forall z \in C[/latex] [latex]\sqrt[n]{z}=[/latex] [latex]\sqrt[n]{r(\cos\phi+i\sin\phi)}=[/latex] [latex]\sqrt[n]{r}(\cos\frac{\phi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\phi+2\pi k}{n})[/latex], [latex]k=\overline{0,n-1}[/latex]

Спойлер

Тест поможет Вам проверить, как Вы усвоили материал

Литература

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968,cтр 115-123
Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, стр 194-210

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Примеры

Смотрите также

Формула Муавра

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

Корень степени nn из комплексного числа

Квадратный корень из комплексного числа

Примеры решения задач

Извлечение корней из комплексных чисел

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

6.

Смотрите также

Геометрическая интерпретация

Свойства

Примеры решения задач

Сопряженные числа

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

6.

Смотрите также

Список источников:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

6.

7.

Элементы сортировки

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение

Вычитание

Умножение

Определение комплексно сопряженного числа

Деление

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Умножение

Деление

Возведение в степень

Извлечение корня

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

Литература

Корень степени $n$ из комплексного числа