Метка: множества

Замкнутые множества

ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Назовем точку [latex]x_0[/latex] предельной точкой множества [latex]E[/latex], если в произвольной окрестности точки [latex]x_0[/latex] существует хотя бы одна точка из [latex]E[/latex], отличная от [latex]x_0[/latex].
Предложение. Если [latex]x_0[/latex] – предельная точка множества [latex]E[/latex], то в произвольной ее окрестности содержится бесконечное множество точек из [latex]E[/latex]. Доказательство. Обозначим через [latex]U[/latex] произвольную окрестность [latex]x_0[/latex]. Предположим, что в этой окрестности содержится лишь конечное число точек множества [latex]E[/latex], отличных от [latex]x_0[/latex]. Тогда среди них найдется точка [latex]x_1[/latex], ближайшая к [latex]x_0[/latex]. Но тогда в шаре радиуса [latex]\left| x_1-x_0 \right| > 0[/latex] с центром в [latex]x_0[/latex] нет ни одной точки из [latex]E[/latex], отличной от [latex]x_0[/latex], а это невозможно, поскольку [latex]x_0[/latex] – предельная точка множества [latex]E[/latex].

Пример. Пусть [latex]B_0 = \left \{ x : \left | x \right | < 1 \right \}[/latex] – единичный шар. Очевидно, что любая точка этого шара является для него предельной. Если же [latex]x_1[/latex] находится на сфере, т. е. [latex]\left| x_1 \right| = 1[/latex], то она не принадлежит шару, но является предельной для шара. Действительно, пусть [latex]B(x_1,\rho)[/latex] — произвольная окрестность точки [latex]x_1[/latex]. Тогда все точки вида [latex]y = tx_1 (1-\rho < t < 1)[/latex] принадлежат [latex]B_0[/latex] и содержатся в [latex]B(x_1,\rho)[/latex]. Следовательно, [latex]x_1[/latex] является предельной для шара [latex]B_0[/latex] по определению.

Рассмотрим теперь точку [latex]x_2[/latex], такую, что [latex]\left| x_2 \right| > 1[/latex]. Докажем, что она не будет предельной для [latex]B_0[/latex]. Действительно, предположим, что [latex]\rho = \left| x_2 \right| -1 > 0[/latex]. Тогда в [latex]B(x_2,\rho)[/latex] нет ни одной точки из [latex]B_0[/latex]. Это легко можно показать, используя неравенство треугольника. Поэтому точка [latex]x_2[/latex] не является предельной для множества [latex]B_0[/latex].

Таким образом, можно видеть, что предельные точки множества могут как содержаться, так и не содержаться в нем.

Определение.Множество [latex]E[/latex] называется замкнутым, если все его предельные точки содержатся в нем.

Условимся считать пустое множество [latex]\varnothing[/latex] замкнутым. Пространство [latex]\mathbb{R}^n[/latex], очевидно, является замкнутым по определению.

Литература:

Замкнутые множества

Тест по теме «Замкнутые множества»

Таблица лучших: Замкнутые множества

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Примеры открытых множеств

new

Точки [latex](x, y)[/latex] удовлетворяющие [latex]x^2 + y^2 = r^2[/latex] окрашены синим. Точки [latex](x, y)[/latex] удовлетворяющие [latex]x^2 + y^2 < r^2[/latex] окрашены красным. Красные точки образует открытое множество. Объединение красных и синих точек есть замкнутое множество.

Пример 1. Любой открытый шар [latex]B(x_0,r)[/latex] является открытым множеством.
Пусть [latex]x \in B(x_0,r)[/latex]. Докажем, что найдется окрестность [latex]x[/latex], которая целиком содержится в [latex]B(x_0,r)[/latex]. Предположим, что [latex]\rho = r — \left|x — x_0 \right|[/latex]. Тогда [latex]\rho > 0[/latex], так как [latex]\left|x — x_0 \right| < r[/latex]. Покажем, что [latex]B(x,\rho) \subset B(x_0,r)[/latex]. Пусть [latex]y \in B(x,\rho)[/latex]. Тогда [latex]\left|y — x \right| < \rho[/latex]. Оценим расстояние между [latex]y[/latex] и [latex]x_0[/latex]. По неравенству треугольника имеем

[latex]\left| y — x_0 \right| \leq \left| y — x \right| + \left| x — x_0 \right| < \rho + \left| x — x_0 \right| = r[/latex],

что и требовалось доказать.

В частности, при [latex]n = 1[/latex] открытые шары – это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.
Пример 2. Для двух векторов [latex]a,b \in \mathbb{R}^n[/latex], таких, что [latex]a^i < b^i (i = 1…,n)[/latex], открытым интервалом называется множество всех точек [latex]x[/latex], координаты которых удовлетворяют условиям [latex]a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)[/latex]. Такой интервал обозначается через [latex](a^1,b^1;…;a^n,b^n)[/latex].В частности, в [latex]\mathbb{R}^2[/latex] открытые интервалы – это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в [latex]\mathbb{R}^3[/latex] – параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в [latex]\mathbb{R}^n[/latex] является открытым множеством.

Пусть [latex]J[/latex] – открытый интервал и пусть [latex]x \in J[/latex], т. е. [latex]a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)[/latex]. Обозначим через [latex]\delta^i = min(x^i — a^i,b^i — x^i) (i = 1,…,n)[/latex] и [latex] \delta = min(\delta^1,…,\delta^n)[/latex]. Покажем, что [latex]B(x,\delta)[/latex] содержится в [latex]J[/latex]. Действительно, если [latex]y \in B(x,\delta)[/latex], то [latex]|y-x| < \delta[/latex]. Отсюда следует, что [latex]|x^i -y^i| < \delta[/latex] для всех [latex]i = 1,…,n[/latex]. Пользуясь определением числа [latex]\delta[/latex], легко показать, что [latex]a^i < y^i < bi[/latex] для всех [latex]i = 1,…,n[/latex], так что [latex]y \in J[/latex].

Литература:

Открытые множества и их свойства

ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Множество всех точек [latex]x[/latex]пространства [latex]mathbb{R}^n[/latex], таких, что [latex]| x- x_0| < rho, rho > 0[/latex], называется открытым шаром с центром в точке [latex]x_0[/latex] и радиусом [latex]rho[/latex]. Этот шар также называется [latex]rho[/latex]-окрестностью точки [latex]x_0[/latex] и обозначается [latex]B(x_0,rho)[/latex].

Определение. Зададим подмножество [latex]E[/latex] пространства [latex]mathbb{R}^n[/latex]. Точка [latex]x_0[/latex] множества [latex]E[/latex] называется внутренней точкой множества, если существует [latex]B(x_0,rho)[/latex], содержащийся в [latex]E[/latex]. Иными словами, [latex]x_0[/latex] является внутренней точкой множества [latex]E[/latex], если она входит в [latex]E[/latex] вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество [latex]E subset mathbb{R}^n[/latex] называется открытым, если любая его точка будет внутренней в [latex]E[/latex]. Условимся также считать пустое множество [latex]varnothing[/latex] открытым.

СВОЙСТВА ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ

Обозначим через [latex]A[/latex] множество индексов, и каждому элементу [latex]alpha in A[/latex] поставим в соответствие множество [latex]E_{alpha}[/latex]. Тогда [latex]left{E_{alpha}right}_{alpha in A}[/latex] называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве [latex]mathbb{R}^n[/latex] обладают такими свойствами:

  1. Пустое множество [latex]varnothing[/latex] и всё пространство [latex]mathbb{R}^n[/latex] открыты;
  2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
  3. Объединение всякого семейства [latex]left{G_{alpha}right}_{alpha in A}[/latex] открытых множеств также открыто

Доказательство.

  1. Пустое множество [latex]varnothing[/latex] является открытым по определению, а пространство [latex]mathbb{R}^n[/latex], очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в [latex]mathbb{R}^n[/latex].
  2. Пусть [latex]E_1,…,E_n[/latex] – открытые множества,[latex]E = bigcap_{i=1}^{n}[/latex]. Предположи, что [latex]x in E[/latex]. Тогда [latex]x in E_i[/latex] для любого [latex]i=1,…,n[/latex]. Но все множества [latex]E_i[/latex] являются открытыми, так что для любого [latex]i=1,…,n[/latex] найдется открытый шар [latex]B(x,rho_i) subset E_i[/latex]. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом [latex]B(x,rho)[/latex], где [latex]r=min(rho_1,…,rho_n)[/latex]. Тогда [latex]E(x,rho) subset E_i[/latex] при каждом [latex]i=1,…,n[/latex], а значит, [latex]B(x,rho) subset E[/latex], и тем самым доказано, что множество [latex]E[/latex] открыто.
  3. Пусть [latex]E=bigcup_{alpha in A}E_{alpha}[/latex], где все множества [latex]E_{alpha}[/latex] открыты. Докажем, что множество [latex]E[/latex] также открыто. Предположим, что [latex]x in E[/latex]. Тогда [latex]x[/latex] принадлежит хотя бы одному из множеств [latex]E_{alpha_0}[/latex]. Так как это множество [latex]E_{alpha_0}[/latex] открыто, то найдется окрестность [latex]B(x,rho) subset E_{alpha_0} subset E[/latex]. Таким образом, [latex]E[/latex] – открытое множество.

[latex]square[/latex]

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть [latex]B_k[/latex] – открытый шар с центром в нуле и радиусом [latex]frac{1}{k}(k=1,2,…)[/latex]. Тогда [latex]bigcap_{k=1}^{infty}B_k = left{0right}[/latex]. Но множество [latex]left{0right}[/latex], состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

Открытые множества и их свойства

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»


Таблица лучших: Открытые множества и их свойства

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Открытые множества и их свойства

Открытые множества

Определение. Множество всех точек $x$пространства $\mathbb{R}^n$, таких, что $| x- x_0| < \rho, \rho > 0$, называется открытым шаром с центром в точке $x_0$ и радиусом $\rho$. Этот шар также называется $\rho$-окрестностью точки $x_0$ и обозначается $B(x_0,\rho)$.

Определение. Зададим подмножество $E$ пространства $\mathbb{R}^n$. Точка $x_0$ множества $E$ называется внутренней точкой множества, если существует $B(x_0,\rho)$, содержащийся в $E$. Иными словами, $x_0$ является внутренней точкой множества $E$, если она входит в $E$ вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество $E \subset \mathbb{R}^n$ называется открытым, если любая его точка будет внутренней в $E$. Условимся также считать пустое множество $\varnothing$ открытым.

Свойства открытых множеств

Обозначим через $A$ множество индексов, и каждому элементу $\alpha \in A$ поставим в соответствие множество $E_{\alpha}$. Тогда $\left\{E_{\alpha}\right\}_{\alpha \in A}$ называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве $\mathbb{R}^n$ обладают такими свойствами:

  1. Пустое множество $\varnothing$ и всё пространство $\mathbb{R}^n$ открыты;
  2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
  3. Объединение всякого семейства $\left\{G_{\alpha}\right\}_{\alpha \in A}$ открытых множеств также открыто

Доказательство.

  1. Пустое множество $\varnothing$ является открытым по определению, а пространство $\mathbb{R}^n$, очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в $\mathbb{R}^n$.
  2. Пусть $E_1,…,E_n$ – открытые множества,$E=\bigcap _{ i=1 }^{ n }{E}_{i} $. Предположим, что $x \in E$. Тогда $x \in E_i$ для любого $i=1,…,n$. Но все множества $E_i$ являются открытыми, так что для любого $i=1,…,n$ найдется открытый шар $B(x,\rho_i) \subset E_i$. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом $B(x,\rho)$, где $r=min(\rho_1,…,\rho_n)$. Тогда $E(x,\rho) \subset E_i$ при каждом $i=1,…,n$, а значит, $B(x,\rho) \subset E$, и тем самым доказано, что множество $E$ открыто.
  3. Пусть $E=\bigcup_{\alpha \in A}E_{\alpha}$, где все множества $E_{\alpha}$ открыты. Докажем, что множество $E$ также открыто. Предположим, что $x \in E$. Тогда $x$ принадлежит хотя бы одному из множеств ${E}_{{\alpha}_{0}}$. Так как это множество ${E}_{{\alpha}_{0}}$ открыто, то найдется окрестность $B(x,\rho) \subset {E}_{{\alpha}_{0}} \subset E$. Таким образом, $E$ – открытое множество.$\square$

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть $B_k$ – открытый шар с центром в нуле и радиусом $\frac{1}{k}(k=1,2,…)$. Тогда $\bigcap_{k=1}^{\infty}B_k = \left\{0\right\}$. Но множество $\left\{0\right\}$, состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

Открытые множества и их свойства

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»


Таблица лучших: Открытые множества и их свойства

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Неопределённый интеграл и его свойства

Пусть функция [latex]f[/latex] определена на некотором промежутке. Совокупность всех ее первообразных на этом промежутке называется неопределённым интегралом от функции [latex]f[/latex] и обозначается $$\int f(x)dx.$$
Символ [latex]\int[/latex] называется знаком интеграла, а [latex]f(x)[/latex] —подынтегральной функцией.

Если [latex]F(x)[/latex] — какая-либо первообразная функции [latex]f[/latex] на рассматриваемом промежутке, то пишут

[latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex],

где [latex]C[/latex] — произвольная постоянная.

Нахождение неопределённого интеграла. от заданной функции называют интегрированием.

Следует отметить, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределённые интегралы, есть равенство между множествами.

Под знаком интеграла пишут не саму функцию [latex]f[/latex], а ее произведение на дифференциал. Это делается, например, для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная.

Спойлер

[latex]\int x^2z dx=\frac{x^3z}{3}+C[/latex]

[свернуть]

Спойлер

[latex]\int x^2z dz=\frac{x^2z^2}{2}+C[/latex]

[свернуть]

Спойлер

[latex]\int \frac{3}{2} \sqrt{x} dx=x^\frac{3}{2}+C=x \sqrt{x}+C[/latex], [latex]x\in[0,\infty][/latex]

[свернуть]

см. Таблица основных интегралов

Свойства неопределённого интеграла

Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex].

Спойлер

  Если функция [latex]F[/latex] дифференцируема на некотором промежутке, то 

[latex]\int dF(x)=F(x)+C[/latex] 

 или

[latex]\int F'(x)dx=F(x)+C[/latex]. 

 

Это следует из определения первообразной.

[свернуть]

Спойлер

Если [latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex] и  [latex]\int g(x)dx=G(x)+C[/latex], то  [latex]\int [f(x)+g(x)]dx=F(x)+G(x)+C[/latex], или

[latex]\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx[/latex]


Действительно, при наших предположениях имеет место равенство

[latex](F(x)+G(x))’=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x).[/latex]

[свернуть]

Спойлер

Если [latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex], то для любого действительного числа [latex]\alpha\ne 0[/latex] [latex] \int[\alpha f(x)] dx=\alpha F(x)+C[/latex], или

[latex]\int[\alpha f(x)] dx=\alpha \int f(x) dx[/latex]

Это равенство очевидно следует из определения. Заметим, что при [latex]\alpha=0[/latex] оно не верно по той причине, что в левой части совокупность всех постоянных, а в правой — тождественный нуль.

[свернуть]

Спойлер

Если [latex] \int f(t)dt=F(t)+C[/latex], то для любого [latex] a\ne 0[/latex] и для любого [latex]b[/latex]

[latex] \int f(ax+b)d=\frac{1}{a} F(ax+b)+C.[/latex]

Действительно,

[latex] [\frac{1}{a} F(ax+b)]’=\frac{1}{a} F'(ax+b)a=f(ax+b)[/latex].

 

[свернуть]

Спойлер

Если [latex]f[/latex] и [latex]g[/latex] имеют первообразные на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], а [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] — числа, то функция [latex]\alpha f+\beta g[/latex] также имеет первообразную на [latex]\bigtriangleup[/latex], причём при [latex]\alpha^2+\beta^2>0[/latex] выполняется равенство

[latex]\int(\alpha f(x)+\beta g(x)) dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx[/latex].

 

[свернуть]

Литература.

  1. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
  2. Зарубин В.С., интегральное исчисление функций одного переменного — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 16
  3. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 454-455
  4. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 456-458
  5. В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 158-159)

 Тест.

Неопределённый интеграл и его свойства

Неопределённый интеграл и его свойства

Таблица лучших: Неопределённый интеграл и его свойства

максимум из 15 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных