Метрическое пространство

Будем множество $X$ называть метрическим пространством, если каждой паре элементов $x$ и $y$ этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число $p(x,y)$ , называемое расстоянием между элементами $x$ и $y$, такое, что для любых элементов $x$ , $y$, $z$ множества $X$ выполнены следующие условия:

1. $p(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y;$
2. $p(x,y) = p(y,x);$
3. $p(x,y) \leq p(x,z)+ p(z,y), z \in \mathbb{R}, z = ( z_1, z_2,…, z_n);$ (неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства будем называть точками (векторами), функцию $p(x,y)$ , определенную на множестве пар точек метрического пространства $X$,  $p$ — метрикой, а условия 1)-3) — аксиомами метрики. Например, определяя расстояние между вещественными числами $\alpha$   и $\beta$ при помощи формулы $p(\alpha , \beta)= \left | \beta — \alpha \right |$  , получаем метрическое пространство, которое обозначается через $R$. Рассмотрим множество пар вещественных чисел $x=(x_{1}+x_{2})$. Если $x=(x_{1}+x_{2})$, а $y=(y_{1}+y_{2})$, то полагая $p(x,y)= \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2}$ , получаем метрическое пространство, которое обозначается через $R^{2}$ .  

Метрическое пространство $R_{n}$

Точками пространства $R_{n}$  являются упорядоченные совокупности из $n$ вещественных чисел $x=(x_{1},..,x_{n})$, $y=(y_{1},..,y_{n})$, $z=(z_{1},..,z_{n})$. Расстояние между точками $x$ и $y$ определяется формулой  $p(x,y) = \sqrt{(\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2)}$ . Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника (доказано в разделе «неравенство Коши-Буняковского»). Так же, n-мерные (евклидовы) пространства являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.

Литература:

• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» стр. 222-231.
• У.Рудин «Основы математического анализа» 2-е изд. стр. 39-45.
• Вартанян Г.М. Конспект лекций.

Неравенство, связывающее норму и скалярное произведение векторов векторного пространства. Эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением: $(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^2 \leq \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 \sum_{i=1}^{n}b_{i}^2$. Справедливое для любых вещественных чисел $a_{1} , b_{1} … a_{n} , b_{n}$

Доказательство:

Рассмотрим квадратный трехчлен:$p(\xi)=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+ \xi b_{i})^2 =A + 2B\xi +C\xi^{2}$ , где $A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2$ ,  $B=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$ ,  $C=\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2$. Так как квадратный трехчлен $P(\xi)$ принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно,  $B^2-AC\leq 0$ . Подставляя в неравенство значения коэффициентов $A$, $B$ и $C$, получаем неравенство Коши-Буняковского.

Доказательство «неравенства треугольника» :

Докажем неравенство Минковского: $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2}$.

Используя неравенство Коши, получаем: $\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2 = \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 \leq$ $\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2=$ $(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}})^2$

Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратные корни, получаем неравенство Минковского. Полагая в неравенстве Минковского $a_{i}=x_{i}-z_{i} , b_{i}= z_{i}-y_{i}$ , получаем неравенство $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i})^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(z_{i}-y_{i})^2}$ т. е. неравенство треугольника для расстояния $p(x,y)$.

Литература:

• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» стр. 223-225.

Точки $(x, y)$ удовлетворяющие $x^2 + y^2 = r^2$ окрашены синим. Точки $(x, y)$ удовлетворяющие $x^2 + y^2 < r^2$ окрашены красным. Красные точки образует открытое множество. Объединение красных и синих точек есть замкнутое множество.

Пример 1. Любой открытый шар $B(x_0,r)$ является открытым множеством.
Пусть $x \in B(x_0,r)$. Докажем, что найдется окрестность $x$, которая целиком содержится в $B(x_0,r)$. Предположим, что $\rho = r — \left|x — x_0 \right|$. Тогда $\rho > 0$, так как $\left|x — x_0 \right| < r$. Покажем, что $B(x,\rho) \subset B(x_0,r)$. Пусть $y \in B(x,\rho)$. Тогда $\left|y — x \right| < \rho$. Оценим расстояние между $y$ и $x_0$. По неравенству треугольника имеем

$\left| y — x_0 \right| \leq \left| y — x \right| + \left| x — x_0 \right| < \rho + \left| x — x_0 \right| = r$,

что и требовалось доказать.

В частности, при $n = 1$ открытые шары – это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.
Пример 2. Для двух векторов $a,b \in \mathbb{R}^n$, таких, что $a^i < b^i (i = 1…,n)$, открытым интервалом называется множество всех точек $x$, координаты которых удовлетворяют условиям $a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)$. Такой интервал обозначается через $(a^1,b^1;…;a^n,b^n)$.В частности, в $\mathbb{R}^2$ открытые интервалы – это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в $\mathbb{R}^3$ – параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в $\mathbb{R}^n$ является открытым множеством.

Пусть $J$ – открытый интервал и пусть $x \in J$, т. е. $a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)$. Обозначим через $\delta^i = min(x^i — a^i,b^i — x^i) (i = 1,…,n)$ и $\delta = min(\delta^1,…,\delta^n)$. Покажем, что $B(x,\delta)$ содержится в $J$. Действительно, если $y \in B(x,\delta)$, то $|y-x| < \delta$. Отсюда следует, что $|x^i -y^i| < \delta$ для всех $i = 1,…,n$. Пользуясь определением числа $\delta$, легко показать, что $a^i < y^i < bi$ для всех $i = 1,…,n$, так что $y \in J$.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.232)
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 1 1964 г.(с. 350-351)
• Конспект лекций З.М. Лысенко.