8.2 Площадь в полярных координатах

$\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}\DeclareMathOperator{\tg}{tg} \DeclareMathOperator{\arctg}{arctg} \newcommand{\rndBrcts}[1]{\left ( #1 \right )} \newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}$

В полярных координатах положение точки на плоскости характеризуется $r$ – расстоянием от точки до начала координат и углом $φ$ , образованным радиус-вектором точки и положительным направлением оси $Ox$ . Будем считать, что $−\pi< φ \leqslant \pi$ . Рассмотрим на плоскости множество, ограниченное кривой, заданной уравнением $r=r(\varphi)$ $(\alpha \leqslant \varphi \leqslant \beta)$ , и отрезками лучей $\varphi=\alpha$ и $\varphi=\beta$ . Предположим, что функция $r(\varphi)$ непрерывна и положительна на $[\alpha ,\beta]$ . Можно показать, что это множество квадрируемо. Разобьем отрезок $[\alpha, \beta]$ на части точками $\alpha =\varphi_{0} < \varphi_{1}< \dots < \varphi_{n}= \beta$ . Тогда рассматриваемое множество разобьется на криволинейные секторы. Если исходное разбиение отрезка $[\alpha, \beta]$ достаточно мелкое, то, в силу непрерывности функции $r(\varphi),i$ -й сектор можно приближенно считать сектором круга. Точнее, если обозначим $\mu_{i} =\inf_{\varphi_{i} \leqslant \varphi_{i} \leqslant \varphi_{i+1}}r(φ) \;\;\;и\;\;\;Mi=\sup_{\varphi_{i} \leqslant \varphi \leq \varphi_{i+1}}r(φ),$ то рассматриваемый криволинейный сектор содержит в себе круговой сектор радиуса $\mu_{i}$ и содержится в круговом секторе радиуса $M_{i}$ . Площадь внутреннего сектора радиуса $\mu_{i}$ равна $\displaystyle \frac{1}{2}\mu_{i}^{2} \Delta \varphi_{i}$ , а площадь внешнего – $\displaystyle \frac{1}{2}M_{i}^2 \Delta \varphi_{i}$ , где $\Delta \varphi_{i}$ – угол при вершине. Складывая эти площади, получим $\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1}\mu_{i}^2 \Delta \varphi_{i}\equiv \underline S,$ $\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1}M{i}^2 \Delta \varphi_{i}\equiv \overline S.$

Как мы уже отметили, рассматриваемое множество квадрируемо, так что его площадь $S$ удовлетворяет неравенству $\underline S\leqslant S\leqslant \overline S.$ Но $\underline S$ и $\overline S$ представляют собой соответственно нижнюю и верхнюю суммы Дарбу для функции $\displaystyle \frac{1}{2}r^2(\varphi),$ соответствующие данному разбиению отрезка $[\alpha,\beta].$ Поэтому, учитывая, что функция $\displaystyle \frac{1}{2}r^2(\varphi)$ интегрируема по Риману на отрезке $[\alpha; \beta ],$ получаем, что при стремлении к нулю диаметра разбиения верхняя и нижняя суммы Дарбу обе стремятся к $\displaystyle \frac{1}{2} \int_\limits{ \alpha}^{ \beta}r^2( \varphi)d \varphi .$ Таким образом, мы доказали равенство
$S=\frac{1}{2} \int_\limits{ \alpha}^{ \beta}r^2( \varphi)d \varphi .$

Примеры решения задач

Данные примеры читателю рекомендуется решить самому в качестве тренировки.

Спираль Архимеда задается уравнением $r=a \varphi$ $(0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi),$ где параметр $a>0.$ Найдите площадь множества точек плоскости, ограниченной спиралью Архимеда.

Решение

Площадь множества точек плоскости, ограниченной спиралью Архимеда равна $S=\frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2 \pi}r^2(\varphi)d \varphi = \frac{1}{2} a^2 \int_\limits{0}^{2 \pi} \varphi^2 d \varphi = \frac{4 \pi^3 a^2}{3}$

Ответ: $\displaystyle S=\frac{4 \pi^3 a^2}{3}.$
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой $r=1+ \cos \varphi$ $(0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi)$

Решение

$S=\frac{1}{2} \int_\limits{0}^{2 \pi}(1+ \cos \varphi)^2 d \varphi =$
$=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{2\pi}\left ( 1+2\cos\varphi+\cos^2\varphi \right )d\varphi=$
$=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{2\pi}\left ( 1+2\cos\varphi+\frac{1+\cos 2 \varphi}{2} \right )d \varphi=$
$=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{2\pi}\left ( \frac{3}{2} + 2\cos\varphi+\frac{\cos2\varphi}{2} \right )d\varphi=$
$=\frac{1}{2}\left ( \frac{3}{2}\varphi + 2\sin\varphi+\frac{\sin2\varphi}{4}\right )\bigg|_{0}^{2\pi}=\frac{3\pi}{2}$

Ответ: $\displaystyle S=\frac{3 \pi}{2}.$
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией $r(\varphi)=2 \cos ^2 \varphi$

Решение

Так как, $r(\varphi)=2 \cos ^2 \varphi \geq 0$ $\forall \varphi ,$ значит угол принимает все значения от $\alpha = 0$ до $\beta = 2 \pi .$ По рабочей формуле:
$S=\frac{1}{2} \int_\limits{\alpha}^{\beta}r^2(\varphi)d \varphi=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{2\pi}(2 \cos^2 \varphi)^2 d \varphi=$
$=\frac{1}{2}\cdot 4 \int_\limits{0}^{2\pi}(\cos^2 \varphi)^2 d \varphi =2\int_\limits{0}^{2\pi}\left ( \frac{1+\cos 2\varphi}{2} \right )^2 d \varphi=$
$=2\cdot \frac{1}{4}\int\limits_{0}^{2\pi} (1+\cos 2\varphi)^2 d \varphi= \frac{1}{2}\int_\limits{0}^{2\pi}(1+2\cos 2\varphi+\cos^22\varphi)d \varphi=$
$=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{2\pi} \left ( 1+2\cos2\varphi+\frac{1+\cos4\varphi}{2} \right )d \varphi=$
$=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{2\pi}\left ( \frac{3}{2} + 2\cos2\varphi +\frac{\cos4\varphi}{2} \right )d \varphi=$
$=\frac{1}{2}\left ( \frac{3}{2} \varphi+\sin2\varphi+ \frac{\sin4\varphi}{8} \right )\bigg|_{0}^{2\pi}=$
$=\frac{1}{2}\left ( \frac{3}{2}\cdot 2\pi+\sin4\pi+\frac{\sin8\pi}{8}-\left ( \frac{3}{2}\cdot 0 +\sin 0 + \frac{\sin0}{8} \right ) \right )=$
$=\frac{3\pi}{2}$

Ответ: $\displaystyle S=\frac{3\pi}{2}.$
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах r=√3cosφ, r=sinφ (0⩽φ⩽π2).
Решение

Фигура, ограниченная окружностями $r=\sqrt{3} \cos \varphi,$ $r=\sin \varphi ,$ не определена однозначно и поэтому в условии наложено дополнительное ограничение на угол $\displaystyle \left ( 0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2} \right ),$ из которого следует, что необходимо вычислить заштрихованную площадь:

Сначала найдем луч $\displaystyle \varphi=\frac{\pi}{3},$ по которому пересекаются окружности. Приравниваем функции и решаем уравнение:
$\sin \varphi=\sqrt{3} \cos \varphi$
$\frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} = \sqrt{3}$
$\tg \varphi = \sqrt{3}$

Таким образом: $\displaystyle \varphi=\arctg\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$

Из чертежа следует, что площадь фигуры нужно искать как сумму площадей:
- На промежутке $\displaystyle \left [0;\frac{\pi}{3}\right ]$ фигура ограничена отрезком луча $\displaystyle \varphi=\frac{\pi}{3}$ и дугой окружности $r=\sin\varphi .$
  $S_{1}=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{\frac{\pi}{3}}(\sin\varphi)^2d \varphi=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{\frac{\pi}{3}}\sin^2 \varphi d \varphi=$
  $=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int_\limits{0}^{\frac{\pi}{3}}(1-\cos2\varphi)d \varphi=\frac{1}{4}\left ( \varphi-\frac{1}{2}\sin2\varphi \right )\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{3}}=$
  $=\frac{1}{4}\left ( \frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3} \right )=\frac{1}{4}\left ( \frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right )=\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{16}$
- На промежутке $\displaystyle \left [ -\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right ]$ фигура ограничена тем же отрезком луча $\displaystyle \varphi=\frac{\pi}{3}$ и дугой окружности $r=\sqrt{3}\cos\varphi .$
  $S_{2}=\frac{1}{2}\int_\limits{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(\sqrt{3}\cos\varphi)^2d \varphi = \frac{3}{2} \int_\limits{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\varphi d \varphi=$
  $=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\int_\limits{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos2\varphi)d \varphi= \frac{3}{4}\left ( \varphi + \frac{1}{2} \sin 2\varphi \right )\bigg|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}=$
  $=\frac{3}{4}\left ( \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin\pi-\left ( \frac{\pi}{3}+\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3} \right ) \right )=$
  $=\frac{3}{4}\left ( \frac{\pi}{2}+0-\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \right )=\frac{3}{4}\left ( \frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right )=\frac{3\pi}{24}-\frac{3\sqrt{3}}{16}$
- Пользуемся аддитивностью площади:
  $S=S_{1}+S_{2}=\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{16}+\frac{3\pi}{24}-\frac{3\sqrt{3}}{16}=$
  $=\frac{5\pi}{24}-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{5\pi-6\sqrt{3}}{24}$
Ответ: $\displaystyle S=\frac{5\pi-6\sqrt{3}}{24}.$

Площадь в полярных координатах

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Площадь в полярных координатах».

Коляда В. И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу. — Одесса: Астропринт, 2009, ч.1, с. 220-221

См. также:

7.5 Свойства интеграла

$\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}$ Если функции $f$ и $g$ интегрируемы на отрезке $\lbrack a, b\rbrack$ , а числа $\alpha, \beta \in \mathbb {R}$ , то
$\int\limits_a^b \lbrack\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\rbrack\,dx = \alpha\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx + \beta\int\limits_a^b g\left(x\right)\,dx.$

Это свойство получено нами ранее при доказательстве интегрируемости линейной комбинации.

Пусть числа $b < a$ . Зададим точки $a = x_{0} > x_{1} > \ldots > x_{n} = b,$ выберем точки $\xi_{i} \in \lbrack x_{i+1}, x_{i}\rbrack$ и составим сумму $\displaystyle\sigma = \sum\limits_{i=0}^{n-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}.$ Заметим, что в этой сумме все $\Delta x_{i} < 0.$ Ясно, что эту сумму можно получить как интегральную сумму на $\lbrack b, a\rbrack,$ только с противоположным знаком. Это приводит к следующему определению.

Пусть $b < a$ и функция $f$ интегрируема на $\lbrack b, a\rbrack.$ Тогда по определению полагаем

Далее, для каждой функции $f$ , определенной в точке $a$ , полагаем по определению

$\int\limits_a^a f\left(x\right)\,dx = 0.$

Пусть $a, b, c$ — произвольные точки на действительной прямой. Если функция $f$ интегрируема на наибольшем из отрезков с концами в двух из этих точек, то она интегрируема также и на двух других отрезках, и справедливо равенство
$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_a^c f\left(x\right)\,dx + \int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx.$

Пусть, например, $a < c < b$ и функция $f$ интегрируема на $\lbrack a, b\rbrack.$ Тогда, по доказанному ранее свойству 4, она интегрируема на отрезках $\lbrack a, c\rbrack$ и $\lbrack c, b\rbrack.$ Возьмем произвольное разбиение $a = x_{0} < x_{1} < \ldots < x_{n} = b$ , такое, что $c$ является одной из точек деления. Выберем промежуточные точки $\xi_{i}$ и рассмотрим интегральную сумму $\displaystyle\sigma = \sum\limits_{i=0}^{n-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}$ . Если $c = x_{j}$ , то эту сумму разобьем на две: $\displaystyle\sigma = \sum\limits_{i=0}^{j-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i} + \sum\limits_{i=j}^{n-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}$ . При $d(\Pi) \to 0$ первая сумма справа стремится к $\displaystyle\int\limits_a^c f\left(x\right)\,dx$ , вторая — к $\displaystyle\int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx$ , а сумма $\sigma$ стремится к $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx$ . Переходя к пределу при $d(\Pi) \to 0$ , получим требуемое равенство.
Пусть теперь $c < a < b$ . Тогда, по уже доказанному,
$\int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_c^a f\left(x\right)\,dx + \int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx.$
Отсюда следует
$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx-\int\limits_c^a f\left(x\right)\,dx = \int\limits_a^c f\left(x\right)\,dx + \int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx$
и теорема доказана полностью.

Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$ . Тогда
$\left|\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx\right| \leqslant \int\limits_a^b \left|f\left(x\right)\right| \,dx.$

Действительно, интегрируемость модуля интегрируемой функции доказана ранее. Докажем неравенство. Для этого выберем произвольное разбиение отрезка $\lbrack a, b\rbrack.$ Тогда для интегральных сумм будем иметь следующее неравенство:
$\left|\sum\limits_{i=0}^{n-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}\right| \leqslant \sum\limits_{i=0}^{n-1} \left|f\left(\xi_{i}\right)\right|\Delta x_{i}.$
При стремлении к нулю диаметра разбиения интегральная сумма под знаком модуля в левой части стремится к к $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx$ , а сумма справа стремится к $\displaystyle\int\limits_a^b \left|f\left(x\right)\right|\,dx$ . Переходя к пределу при $d(\Pi) \to 0$ , получаем требуемое неравенство для интегралов.

Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$ и $f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)$ для всех $x \in \lbrack a, b\rbrack.$ Тогда
$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \leqslant \int\limits_a^b g\left(x\right)\,dx.$

Действительно, возьмем произвольное разбиение отрезка $\lbrack a, b\rbrack$ и выберем промежуточные точки $\xi_{i}$ . Тогда $f\left(\xi_{i}\right)\leqslant g\left(\xi_{i}\right) \left(i = 0, 1, \ldots, n-1\right)$ . Умножая эти неравенства на $\Delta x_{i} > 0$ и складывая, получим
$\sum\limits_{i=0}^{n-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}\leqslant\sum\limits_{i=0}^{n-1} g\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}.$
Отсюда, устремляя к нулю диаметр разбиения, получаем требуемое неравенство.

Пусть $f$ — неотрицательная интегрируемая функция на $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$ . Тогда
$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \geqslant 0.$

Если интегрируемая функция $f$ строго положительна на $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$ , то и $\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx > 0.$

Действительно, в силу критерия Лебега , найдется точка $x_{0}\in\lbrack a, b\rbrack$ , в которой функция непрерывна . Поскольку $f\left(x_0\right) > 0$ , то найдется такое $\delta > 0$ , что $\displaystyle f\left(x\right) > \frac{1}{2}f\left(x_0\right)$ для всех $x \in \left(x_0-\delta, x_0 + \delta\right) \cap \lbrack a, b\rbrack.$ Выберем отрезок $\lbrack\alpha, \beta\rbrack \subset \left(x_0-\delta, x_0 + \delta\right) \cap \lbrack a, b\rbrack, a\leqslant\alpha < \beta\leqslant b$ .Тогда, в силу свойства аддитивности интеграла, получим $\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_a^\alpha f\left(x\right)\,dx + \int\limits_\alpha^\beta f\left(x\right)\,dx + \int\limits_\beta^b f\left(x\right)\,dx.$ Первый и третий интегралы справа неотрицательны в силу следствия, а для второго интеграла, учитывая неравенство $\displaystyle f\left(x\right) \geqslant \frac{1}{2} f\left(x_0\right)$ , из свойства монотонности интеграла получим $\int\limits_\alpha^\beta f\left(x\right)\,dx \geqslant \int\limits_\alpha^\beta \frac{1}{2}f\left(x_0\right)\,dx = \frac{1}{2}f\left(x_0\right)\left(\beta-\alpha\right) > 0.$
Таким образом, $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx > 0$ .

Пусть функция $f$ интегрируема на $\lbrack a, b\rbrack$ и $m \leqslant f\left(x\right) \leqslant M$ для всех $x \in \lbrack a, b\rbrack$ . Тогда
$\begin{equation}\label{prop_of_int_first}m\left(b-a\right) \leqslant \int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \leqslant M\left(b-a\right)\end{equation}.$

Это следствие сразу вытекает из свойства монотонности интеграла.

В условиях следствия 3 найдется такое число $\mu \in \lbrack m, M\rbrack$ , что
$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \mu\left(b-a\right).$

Действительно, положим $\displaystyle\mu = \frac{1}{\left(b-a\right)}\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx$ . Тогда, по следствию 3, $m \leqslant \mu \leqslant M$ .

Отметим, что при $a > b$ в такой формулировке это замечание остается в силе, в то время как знаки неравенств в $\eqref{prop_of_int_first}$ меняются на противоположные.

Если функция $f$ непрерывна на $\lbrack a, b\rbrack$ , то найдется такая точка $\xi \in \lbrack a, b\rbrack$ , что
$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = f\left(\xi\right)\left(b-a\right).$

Действительно, пусть $m$ и $M$ соответственно нижняя и верхняя грани функции $f$ на отрезке $\lbrack a, b\rbrack$ , они достигаются в силу первой теоремы Вейерштрасса. По уже доказанному, найдется точка $\mu \in \lbrack m, M\rbrack$ , такая, что $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \mu \left(b-a\right)$ . По теореме Больцано-Коши о промежуточном значении, найдется такая точка $\xi \in \lbrack a, b\rbrack$ , что $f\left(\xi\right) = \mu.$

Замечание. Следствие 4 иногда называют теоремой о среднем значении. Оно тесно связано с теоремой Лагранжа, которую также называют теоремой о среднем значении в дифференциальном исчислении.

Примеры решения задач

Данные примеры читателю рекомендуется решить самому в качестве тренировки.

Оценить интеграл $\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{\,dx}{\sqrt{5 + 2\sin{x}}}$ .

Решение

Оценим подынтегральную функцию:
$-1 \leqslant \sin{x} \leqslant 1 \Rightarrow$
$3 \leqslant 5 + 2\sin{x} \leqslant 7 \Rightarrow$
$\sqrt{3} \leqslant \sqrt{5 + 2\sin{x}} \leqslant \sqrt{7} \Rightarrow$
$\frac{1}{\sqrt{7}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{5 + 2\sin{x}}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{3}}.$
Отсюда и из монотонности интеграла следует, что
$\int\limits_0^{2\pi} \frac{\,dx}{\sqrt{7}} \leqslant \int\limits_0^{2\pi}\frac{\,dx}{\sqrt{5 + 2\sin{x}}}\leqslant\int\limits_0^{2\pi} \frac{\,dx}{\sqrt{3}}.$
Таким образом,
$\frac{2\pi}{\sqrt{7}} \leqslant \int\limits_0^{2\pi}\frac{\,dx}{\sqrt{5 + 2\sin{x}}}\leqslant\frac{2\pi}{\sqrt{3}}.$
Найти определенный интеграл $\displaystyle\int\limits_0^2 \left|1-x\right|\,dx$ .

Решение

Из аддитивности интеграла
$\int\limits_0^2 \left|1-x\right|\,dx = \int\limits_0^1 \left|1-x\right|\,dx + \int\limits_1^2 \left|1-x\right|\,dx =$ $= \int\limits_0^1 \left(1-x\right)\,dx + \int\limits_1^2 \left(x-1\right)\,dx = \int\limits_0^1 \,dx-\int\limits_0^1 x \,dx + \int\limits_1^2 x \,dx-\int\limits_1^2 \,dx =$ $= 1-0-\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1 + \left.\frac{x^2}{2}\right|_1^2-(2-1) = 1-\frac{1}{2} + 0 + \frac{2^2}{2}-\frac{1}{2}-1 = 1.$
Найти определенный интеграл $\displaystyle\int\limits_0^3 \frac{x^4}{x^2 + 1}\,dx$

Решение

$\int\limits_0^3 \frac{x^4}{x^2 + 1}\,dx = \int\limits_0^3 \frac{\left(x^4 -1\right) + 1}{x^2 + 1}\,dx =$ $= \int\limits_0^3 \frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2 + 1\right) + 1}{x^2 + 1}\,dx = \int\limits_0^3 \left(x^2-1 + \frac{1}{x^2 + 1}\right)\,dx.$
Воспользовавшись свойством линейности интеграла, получим
$\int\limits_0^3 \left(x^2-1 + \frac{1}{x^2 + 1}\right)\,dx = \int\limits_0^3 x^2 \,dx-\int\limits_0^3 \,dx + \int\limits_0^3 \frac{\,dx}{x^2 + 1} =$ $= \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3-(3-0) + \left.\arctg{x}\right|_0^3 = 9-0-3+ \arctg{3}-\arctg{0} =$ $=6 + \arctg{3}.$
Не вычисляя интегралов, определить какой из них больше: $\displaystyle\int\limits_2^3 e^{-x}\sin{x}\,dx$ или $\displaystyle\int\limits_2^3 e^{-x^2}\sin{x}\,dx$ .

Решение

Сравним подынтегральные функции. Пусть $f\left(x\right) = e^{-x}\sin{x}$ , $g\left(x\right) = e^{-x^2}\sin{x}$ .
$f\left(x\right)-g\left(x\right) = e^{-x}\sin{x}-e^{-x^2}\sin{x} = \sin{x}\left(e^{-x}-e^{-x^2}\right) =$ $= e^{-x}\sin{x}\left(1-e^{-x^2 + x}\right).$
На промежутке $\lbrack 2, 3\rbrack$ функции $\sin{x}$ и $e^{-x}$ принимают положительные значения (поскольку синус на $\lbrack 0, \pi\rbrack$ положительный). Значит нам достаточно сравнить с нулем выражение $1-e^{-x^2 + x}$ . Поскольку на $\lbrack 2, 3\rbrack$ $x^2 > x$ , то $-x^2 + x < 0$ , а значит $e^{-x^2 + x} < 1$ . $1-e^{-x^2 + x} > 0$ , из чего следует, что $f\left(x\right) > g\left(x\right)$ .
Ответ:
$\int\limits_2^3 e^{-x}\sin{x}\,dx > \int\limits_2^3 e^{-x^2}\sin{x}\,dx.$
Найти среднее значение функции на данном отрезке: $\sin{x}$ , $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$ .

Решение

Воспользуемся четвертым следствием из свойства монотонности интеграла. Средним значением функции $f\left(x\right)$ на отрезке $\lbrack a, b\rbrack$ называется число $\displaystyle\mu = \frac{1}{\left(b-a\right)}\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx.$
Из этого следует:
$\mu = \frac{1}{\left(\frac{\pi}{2}-0\right)} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}\,dx = \left.-\frac{2}{\pi}\cos{x}\right|_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}(0-1) = \frac{2}{\pi}.$
Ответ: $\displaystyle\frac{2}{\pi}.$

Смотрите также

Свойства интеграла

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Свойства интеграла»

Задание 1 из 6

1.
Количество баллов: 1
Сравните с нулем значение интеграла, не вычисляя его $\displaystyle\int\limits_2^3 \frac{4^{-x}\sin{x}}{\left(1-x\right)\ln{\left(x+6\right)}}\,dx$
- Данный интеграл больше нуля.
- Данный интеграл равен нулю.
- Данный интеграл меньше нуля.
- Затрудняюсь ответить.
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 6

2.
Количество баллов: 2
Выберите верные утверждения.
- Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$ . Интеграл от $a$ до $b$ модуля функции меньше либо равен модулю её интеграла от $a$ до $b$
- Пусть функция $f$ интегрируема на $\lbrack a, b\rbrack$ и $m \leqslant f\left(x\right) \leqslant M$ для всех $x \in \lbrack a, b\rbrack$ . Тогда $m\left(b-a\right) \leqslant \int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \leqslant M\left(b-a\right).$
- Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на отрезке $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$ и $f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)$ для всех $x \in \lbrack a, b\rbrack.$ Тогда $\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \leqslant \int\limits_a^b g\left(x\right)\,dx.$
- При перестановке местами пределов интегрирования интеграл не меняет свой знак на противоположный
Правильно 2 / 2Баллы

Неправильно / 2 Баллы
Задание 3 из 6

3.
Количество баллов: 1
Закончите предложение
Если интегрируемая функция $f$ на $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$ строго отрицательна, то $\displaystyle\int\limits_b^a f\left(x\right)\,dx$ …
Правильно

Неправильно

Задание 4 из 6

4.

Количество баллов: 4

О чем гласит каждое свойство интеграла?

Элементы сортировки

Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на отрезке $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$ и $f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)$ для всех $x \in \lbrack a, b\rbrack$ . Тогда $\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \leqslant \int\limits_a^b g\left(x\right)\,dx.$
Пусть $a, b, c$ - произвольные точки на действительной прямой. Если функция $f$ интегрируема на наибольшем из отрезков с концами в двух из этих точек, то она интегрируема также и на двух других отрезках, и справедливо равенство $\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_a^c f\left(x\right)dx + \int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx.$
Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$ . Тогда $\left|\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx\right| \leqslant \int\limits_a^b \left|f\left(x\right)\right| \,dx.$
Если функции $f$ и $g$ интегрируемы на отрезке $\lbrack a, b\rbrack$ , а числа $\alpha, \beta \in \mathbb {R}$ , то $\int\limits_a^b \lbrack\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\rbrack \,dx =$ $= \alpha\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx + \beta\int\limits_a^b g\left(x\right)\,dx.$

Монотонность интеграла

Аддитивность интеграла

Интеграл от модуля

Линейность интеграла

Задание 5 из 6

5.
Количество баллов: 1
Составьте верное утверждение.
- Если
- функция $f$ непрерывна на $\lbrack a, b\rbrack$
- то
- найдется такая точка $\xi \in \lbrack a, b\rbrack$
- что
- $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = f\left(\xi\right)\left(b - a\right)$
Правильно

Неправильно
Задание 6 из 6

6.
Количество баллов: 1
Найдите определенный интеграл $\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos{\left(3x\right)} + 3\cos{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cos^2{x}}\,dx.$ (В ответ введите число)
Правильно

Неправильно

Вычисления площадей плоских областей, ограниченных кривыми, заданными параметрически и в полярных координатах

Параметрическое задание

Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые [latex]x=a, x=b[/latex], ось абсцисс и параметрически заданная кривая

[latex] \left\{ $\begin{matrix} y=\varphi (t); \\ x=\psi (t); \end{matrix}$ \right. [/latex]

Причем: функции [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] непрерывны на интервале [latex][a,b][/latex], [latex]a<b[/latex]; [latex]x=\varphi (t)[/latex] монотонно возрастает на этом интервале и [latex]\varphi (\alpha )=a, \psi (\beta )=b[/latex].

Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле [latex] S(G)=\int\limits_\alpha ^\beta \psi (t)*\varphi ‘(t)dt [/latex]

Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции $latex S(G)=\int\limits_\alpha ^\beta \psi (t)*\varphi ‘(t)dt$ подстановкой: $latex S(G)=\int\limits_\alpha^\beta \psi (t)*\varphi ‘(t)dt$

Если функция является монотонно убывающей на интервале [latex][\beta ,\alpha], \beta < \alpha[/latex], то формула примет следующий вид: [latex] S(G)=-\int\limits_{\beta }^{\alpha }\psi (t)*\varphi ‘(t)dt [/latex]

Что делать, если нам дана не криволинейная трапеция? Свести данную фигуру к ней. Поделить её на части (прямыми, параллельными абсциссе и ординате), площадь которых уже можно будет посчитать описанным выше способом.

Примеры:

Спойлер

Дан эллипс [latex]\left\{ $\begin{matrix} x=2\cos t\\y=3\sin t \end{matrix}$ \right.[/latex]. Посчитать его площадь.

Делим эллипс абсциссой и ординатой на 4 симметричные части.

Очевидно, их площади равны — а площадь эллипса получается равной площади верхней правой четверти, умноженной на 4.

Считаем её. Она равна
[latex]-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}3\sin t*(2\cos )’ dt=[/latex][latex]6\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{2}t dt=[/latex][latex]3\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos 2t)dt=[/latex][latex]\frac{3\pi }{2}[/latex]

Умножаем площадь одной четверти на 4, и:

Ответ — [latex]6\pi [/latex]

[свернуть]

Спойлер

Полярное задание

А что, если функции, ограничивающие нашу область, заданы полярно?
Есть простая формула: $S=\frac{1}{2} \int\limits_{\alpha }^{\beta }r^{2}d\varphi$ Здесь [latex]\alpha [/latex] и [latex]\beta [/latex] — значения углов, ограничивающих фигуру, [latex]r[/latex] — расстояние от начала координат до точки, [latex]\varphi [/latex] — угол. Уравнение функции в полярных координатах — [latex]r=f(\varphi )[/latex]

Помните: в полярных координатах тоже стоит делить область на простые части.

Пример:

Спойлер

Найдём площадь круга. Задан уравнением [latex]r=a[/latex].

Площадь круга в первом квадранте — $S=\frac{1}{2} \int\limits_{0 }^{\frac{\pi }{2} }a^{2}d\varphi$

Преобразуем этот интеграл:

[latex]S=\frac{1}{2}*\frac{\pi }{2}*a^{2}=\frac{\pi a^{2}}{4}[/latex].

Площадь всего круга — учетверённая площадь одной четверти, которую мы и подсчитали выше.

[latex]S= \pi a^{2}[/latex]

[свернуть]

Источники:

Тест

Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

В этом тесте предоставлены упражнения по пройденной теме. Если внимательно изучили материал, следовали всем данным ссылкам и рекомендациям,то вам не составит труда выполнить эти задания.

Задание 1 из 3

1.
По какой формуле находится площадь криволинейной трапеции?
- $S(G)=-\int\limits_{\alpha }^{\beta }\psi (t)*\varphi '(t)dt$
- $S(G)=\int\limits_{\beta }^{\alpha }\psi (t)*\varphi '(t)dt$
- $S(G)=\int\limits_{\alpha }^{\beta }\psi (t)*\varphi '(t)dt$
- ни один из вариантов не является правильным
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
При решении задач на вычисление площади плоской области, заданной параметрически, удобно придерживаться следующего порядка:
- - построить в декартовых координатах фигуру, площадь которой требуется найти;
- - найти точки пересечения кривых, образующих границу области для определения пределов интегрирования;
- - записать формулу для вычисления и найти площадь.
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Вычислить площадь фигуры ограниченной эллипсом [latex]\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1[/latex]
- $\pi ab$
- $ab$
- $\frac{1}{2}\pi ab$
- ни один из вариантов не является правильным
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

максимум из 14 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана

Задача 1. (О вычислении пути)

Условие. Предположим, что $latex f(x)$ — скорость движения материальной точки по оси $latex OY$ и $latex f(x)>0$ . Необходимо вычислить путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от $latex x=a$ до $latex x=b$ .

Решение. Разобьём рассматриваемый промежуток времени от $latex a$ до $latex b$ на малые промежутки (рис.3) $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b$ На указанном промежутке скорость приближенно можно считать равной и постоянной, например, $latex f(x_{k})$ . Получаем, что путь, пройденный материальной точкой за время $latex \triangle x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$ приближенно равен $latex f(x_{k})\triangle x_{k}$ . Следовательно, путь пройденный от $latex a$ до $latex b$ приближенно равен:

$latex {S\approx f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$ . (1)

При уменьшении всех промежутков времени мы будем получать более точное значение пути. И так, чтобы получить точное значение пути, перейдём к пределу в формуле (1) :

$latex {S\approx \lim\limits_{\triangle x_{k}\to 0 }f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$ . (2)

Задача 2. (О вычислении площади криволинейной трапеции)

В предыдущей задаче мы вычислили путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от $latex x=a$ до $latex x=b$ , перейдя к пределу. В математике предел вида (2) называется определённым интегралом(или интегралом Римана) от функции $latex f(x)$ в пределах от $latex a$ до $latex b$ и обозначается: $\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$

Рассмотрим рис.1 Сумма вида (1) равна сумме площадей прямоугольников с основаниями $latex \triangle x_{k}$ и высотами $latex f( x_{k})$ . Т.е., данная сумма равна площади изображенной на рис.1 ступенчатой фигуры, обозначенной светло- и тёмно-зеленым цветом. При стремлении к нулю длин всех отрезков $latex \triangle x_{k}$ площадь указанной ступенчатой фигуры будет стремиться к площади отмеченной на рисунке ступенчатой фигуры, лежащей под графиком функции $latex y=f(x)$ на отрезке $latex [a;b]$ .

Эту криволинейную фигуру часто называют криволинейной трапецией . Аналогично задачи 1, перейдём к пределу:

$latex {S=\lim\limits_{\lambda \to 0 }f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$ , где $latex \lambda = \max \triangle x_{k}$

и $latex S$ -площадь, отмеченной на рисунке (1) фигуры (криволинейной трапеции).

Вывод: площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле:

[latex] S=\lim\limits_{\lambda \to 0 } \sum\limits_{n=1}^{k}f(x_{n})\triangle x_{n}[/latex] [latex]=\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex] (3)

Рассмотрим пример:

Условие. Вычислить площадь $latex S$ , заключенную между графиком функции $latex y=\sin x$ на отрезке от $latex 0$ до $latex \pi$ и осью $latex OX$ (рис. 2)

Решение. По формуле (3) предыдущей задачи получаем: ${S=\underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\sin x\ dx}$

Так как одной из первообразных функции $latex f(x)=\sin x$ является функция $latex \Phi (x)=-\cos x$ , то по формуле Ньютона -Лейбница получим: $S={{\underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\sin x\ dx}=(-\cos \pi)-(-\cos 0) }=2$

Задача 3. (О вычислении массы линейного стержня по известной плотности)

Пусть задан прямолинейный стержень, который меняется вдоль оси (рис.3).
$latex \rho =\rho\ (x)$
Если бы плотность во всех участках стержня была бы одинаковой (однородный стержень), то масса m стержня :
$latex m=\rho (b-a)$ , $latex \rho =const$
Но, так как плотность не является постоянной, то разобьем [a,b] на однородные участки (участки с одинаковой плотностью) :
$latex a=x_{o}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b$
$latex \forall \ \xi _{i}\in \triangle x_{i}$ , где $latex \triangle x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ $latex i=\overline{1,n}$
Масса каждого отрезка : $latex m\approx \rho (\xi _{i})\cdot \triangle x_{i}$ $latex \Rightarrow$ масса всего стержня равна пределу суммы $latex {m=\lim\limits_{x \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\rho (\xi _{i})\triangle x_{i}}$

Замечание

В просмотренной задаче речь идёт о рассмотрении пределов сумм вида $latex {\sum\limits_{i=1}^{n}\rho (\xi _{i})\triangle x_{i}}$ , которые называются интегральными суммами

Список литературы:

А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1) стр. 243-258
Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Задача о вычислении массы линейного стержня по известной плотности.
Задача о вычислении пути, пройденного материальной точкой.

Таблица лучших: Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

максимум из 8 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Примеры решения задач

Площадь в полярных координатах

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

См. также:

Примеры решения задач

Смотрите также

Свойства интеграла

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

6.

Параметрическое задание

Примеры:

Полярное задание

Пример:

Источники:

Тест

Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

Задача 1. (О вычислении пути)

Задача 2. (О вычислении площади криволинейной трапеции)

Задача 3. (О вычислении массы линейного стержня по известной плотности)

Замечание

Список литературы:

Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица лучших: Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)