Processing math: 100%

Первая теорема Вейерштрасса про ограниченность непрерывной функции

Формулировка:
Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , то $f$ ограничена на отрезке $[a,b]$ .
Если $f \ \epsilon \ C[a,b] \Rightarrow f$ ограничена на $[a,b]$ , то есть $\exists\ c>0 \ \forall x \ \epsilon \ [a,b]: \left| f\left( x \right) \right| \leq c$

Доказательство

От противного
Пусть $f$ не ограниченна на отрезке $[a,b]$ , тогда :

$\forall c>0 \ \exists x_c \epsilon [a,b] : |f(x_c)|>c$
$c=1\ \exists x_1 \epsilon [a,b] : |f(x_1)|>1$
$c=2\ \exists x_2 \epsilon [a,b] : |f(x_2)|>2$
$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$
$c=n\ \exists x_n \epsilon [a,b] : |f(x_n)|>n$
$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

Получим последовательность $\{x_n\} \subset [a,b]$ , то есть последовательность $\{x_n\}$ ограниченная
Отсюда по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить подпоследовательность, которая сходится к точке $\xi$ , то есть

$lim_{k\to\infty}{{x}_{{n}_{k}}}=\xi$

$\xi \epsilon [a,b]$ по свойству пределов в форме неравенств

Но по условию функция f непрерывна в точке $\xi$ и тогда по определению непрерывности точки по Гейне:
$lim_{k\to\infty}{f({{x}_{{n}_{k}}})}=f(\xi)$
С другой стороны
$|f({{x}_{{n}_{k}}})| > n_k , n_k \geq k \Rightarrow lim_{k\to\infty}{f({{x}_{{n}_{k}}})}=\infty$
А это противоречит единственности предела $\blacksquare$

Замечание: Если в условии отрезок заменить на интервал, то теорема будет не верна!

Литература:

Тест:

Первая теорема Вейерштрасса

Тест по теме первая теорема Вейерштрасса.

Первая теорема Вейерштрасса про ограниченность непрерывной функции: 3 комментария

Igor Mazurok:

01/06/2013 в 18:30

Не нужно использовать индивидуальные стили тегов
Появились тесты… увы, плохого качества

Ответить
Иван:

28/01/2016 в 00:32

Поправьте в самой первой строчке: в начале квантор существования замените на квантор всеобщности, т. к. для ЛЮБОГО положительного числа с найдется Х

Ответить
1. Igor Mazurok:
  
  24/02/2016 в 00:03
  
  Спасибо
  
  Ответить

Добавить комментарий Отменить ответ