Метка: ЛНЗ

Существование ортонормированного базиса

Определение. Ортонормированный базис (ОНБ) — это базисная система векторов, которая ортогональна и нормирована.

Определение. Ортогональная система векторов — это система состоящая либо из только одного ненулевого вектора, либо из нескольких ненулевых векторов, которые попарно ортогональны.

Определение. Любой вектор евклидова пространства, скалярный квадрат которого равен единице, называется нормированным. Причем любой ненулевой вектор можно нормировать. Если вектор $a_{1} = \mu a,$ при $\mu = \left(a, a\right)^{-\frac{1}{2}},$ становится нормированным.

Определение. Система называется нормированной, если каждый вектор этой системы нормирован.

Теорема. (существование ОНБ в евклидовом пространстве) В любом конечномерном евклидовом пространстве можно найти ортонормированный базис.

Допустим, имеется система $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle$ в евклидовом пространстве $\forall e \neq 0.$ Если мы возьмем произвольный вектор $a$ из $E$ и если бы ортонормированная система $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle$ была бы базисом, то вектор $a$ совпадал бы с вектором $b$. Тогда рассмотрим вектор $a-b$ при $$b = \left(a, e_{1}\right)e_{1} + \left(a, e_{2}\right)e_{2} + … + \left(a, e_{n}\right)e_{n}.$$ Тогда вектор $a-b:$ $$\left(a-b, e_{k}\right) = \left(a-\sum\limits_{i = 1}^{n}\left(a, e_{i}\right)e_{i}, e_{k}\right) = \left(a, e_{k}\right)-\sum\limits_{i = 1}^{n}\left(a, e_{i}\right)\left(e_{i}, e_{k}\right) =$$ $$=\left(a, e_{k}\right)-\left(a, e_{k}\right) = 0.$$ То есть вектор $a-b$ ортогонален ко всем векторам системы $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle.$ Причем мы еще и доказали, что $$a-b = 0 \Rightarrow a = b.$$ Значит ЛНЗ система $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle$ образует базис в евклидовом пространстве, т. к. векторы $S$ линейно выражают векторы $E.$ Таким образом, в любом конечномерном евклидовом пространстве мы можем найти ортонормированный базис, причем ортогонализировать его векторы можно процессом ортогонализации Грама-Шмидта, а нормировать по определению выше.

Смотрите также

  1. Личный конспект на основе лекций Белозерова Г.С. Евклидовы пространства
  2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 8, §34, «Определение евклидова пространства. Ортонормированные базы», c.215
  3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, §28, «Ортогональность», стр. 93

Существование ортонормированного базиса

Тест на знание темы «Существование ортонормированного базиса»

Конечномерность

Определение 1. Пусть линейное пространство называется конечномерным, если существует такая константа $M \in \mathbb{N}$, так что любая линейно независимая система (далее ЛНЗ) содержит не более $M$ векторов. В противном случае пространство называется бесконечномерным.

Замечание. Нулевое пространство будем считать конечномерным.

Пример 1. Бесконечномерным пространством является $(R[x], \mathbb{R})$. Рассмотрим систему векторов $\left\langle 1, x, x^{2}, \ldots, x^{n}\right\rangle.$ Это система ЛНЗ, так как из равенства $\alpha_{0} \cdot 1+\alpha_{1}\cdot x+\alpha_{2} \cdot x^{2}+\ldots+\alpha_{k}\cdot x^{k}=0$ следует, что $\alpha_{0}=\alpha_{1}=\alpha_{2}= \ldots =\alpha_{k}=0.$ Так как $k$ произвольно, то не существует ограничения $M$.

Пример 2. Пусть $X$ — конечномерное пространство. Рассмотрим в нем ЛНЗ систему, содержащую максимальное число векторов: $\left\langle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right\rangle.$ Дополняя эту систему произвольным векторм $y$, получаем уже линейно зависимую систему: $\left\langle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}, y\right\rangle.$ Тогда вектор $y$ линейно выражается через исходную систему, а именно: $$y=\alpha_{1} x_{1}+\alpha_{2} x_{2}+\ldots+\alpha_{m} x_{m}.$$

Лемма 1. Каждое подпространство конечномерного пространства в свою очередь конечномерно.

Лемма 2. Каждое подпространство есть линейная оболочка некоторой своей системы.

Конечномерность

Тест для проверки знаний по теме «Конечномерность».

Литература

  1. Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С..
  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра М.: Наука, 1980.-400 с. (стр. 44-47)

Базис и размерность линейного пространства, свойства

Определение 1. Базисом конечномерного пространства называется такая линейно независимая система (далее ЛНЗ) векторов этого пространства, через которую линейно выражается каждый вектор этого пространства.

Базис имеет огромное значение при изучении конечномерных линейных пространств, и часто используется в различных исследованиях. Он позволяет очень легко описать строение любого линейного пространства, заданного над произвольным полем.

Любой вектор $x$ из линейного пространства $X$ может быть представлен в виде линейной комбинации $$x =\alpha_{1} e_{1}+\alpha_{2} e_{2}+\ldots+\alpha_{n} e_{n},$$ где $\alpha_{1},\alpha_{2} \ldots\alpha_{n}$ — некоторые числа из поля, а $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ — базис $X$. Данная линейная комбинация называется разложением вектора $x$ по базису, а сами числа $\alpha_{1},\alpha_{2} \ldots\alpha_{n}$ называются координатами вектора $x$ относительно этого базиса.

Лемма 1. Каждое конечномерное пространство является линейной оболочкой своего базиса.

Определение 2. Любые два базиса конечномерного пространства представляют из себя эквивалентные системы.

Из определения 2 получаем числовую характеристику пространства.

Определение 3. Размерностью ненулевого конечномерного пространства называется число векторов его базиса. Размерность нулевого пространства равна $0$.

Обозначение для размерности пространства $X$: $\operatorname{dim} Х$.

Свойства базиса

  1. Любая линейно независимая система $n$-мерного пространства, содержащая $n$ векторов, является базисом этого пространства.
  2. Любая система $n$-мерного пространства, содержащая более $n$ векторов линейно зависима.
  3. Любой вектор конечномерного пространства однозначно линейно выражается через базис.

Еще одно свойство базиса сформулируем в виде небольшой леммы и докажем ее.

Лемма 2. Каждую линейно независимую систему векторов конечномерного пространства можно пополнить до базиса этого пространства.

Пусть задано линейное пространство $X$ над произвольным полем $\mathbb{P}$. Пусть в этом пространстве задана ЛНЗ система векторов $\left\langle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right\rangle.$ А размерность $\operatorname{dim} Х = n $.

  1. При $k=n$ очевидно, что наша система векторов сама является базисом(свойство $1$).
  2. При $k<n$ рассмотрим множество всех ЛНЗ систем $x$, для которых наша система — подсистема. Выберем систему содержащую максимальное количество векторов: $$\langle x_{1}, \ldots, x_{k}, x_{k+1}, \ldots x_{s}\rangle.$$

    Эта система максимально ЛНЗ в $X$, следовательно она является базисом. Тогда $s=n$ и отсюда следует, что $\langle x_{k+1}, \ldots x_{n} \rangle$ — искомое дополнение.

Лемма 3 (критерий базиса). Система векторов является базисом пространства тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.

Примеры решения задач

Рассмотрим несколько типовых задач нахождения базиса и размерности.

  1. Показать, что следующая система векторов образуют линейное пространство. Найти базис и размерность. Все $n$-мерные векторы вида $(\alpha, \beta, \alpha, \beta, \alpha, \beta, \ldots)$, где $\alpha$ и $\beta$ — любые числа. $$L=\{x=(\alpha, \beta, \alpha, \beta, \ldots) | \alpha, \beta \in \mathbb{R}\}$$
    Решение

    $$\forall x, y \in L: \forall a, b \in \mathbb{R}(a x+b y) \in L ?$$

    Покажем, что система векторов образуют линейное пространство: $$a x+b y=a \cdot(\alpha, \beta, \alpha, \beta \ldots)+b(\varphi, \gamma, \varphi, \gamma \ldots) =$$ $$=(a \alpha, a \beta, a \alpha, a \beta \ldots)+(\varphi b, \gamma b, \varphi b, \gamma b \ldots)=$$ $$=(a \alpha+b \varphi, a \beta+\gamma b, a \alpha+b \varphi, a \beta+\gamma b \ldots) \in L.$$

    Построим стандартный базис: $$e_{1}=(1,0,0,0, \ldots, 0)\rightarrow e_{1}^{\prime}=(1,0,1,0, \ldots)$$ $$e_{2}=(0,1,0,0, \ldots, 0)\rightarrow e_{1}^{\prime}=(0,1,0,1, \ldots)$$ $$e_{3}=(0,0,1,0, \ldots, 0)\rightarrow e_{3}^{\prime}=(1,0,1,0, \ldots)$$ $$e_{4}=(0,0,0,1, \ldots, 0)\rightarrow e_{4}^{\prime}=(0,1,0,1, \ldots)$$

    Следовательно, $\left\langle e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}\right\rangle$ — базис $L$. Размерность равна 2.

  2. Определить является ли $L$ линейным подпространством пространства $X$. Найти базис и размерность. $$X=M_{2}(\mathbb{R})$$ $$L=\left\{\left(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) | a+b+c=d\right\}.$$
    Решение

    $$\forall A, B \in L, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ $$\alpha A+\beta B \in L ?$$

    Покажем сначала принадлежность к $M_{2}(\mathbb{R})$. Пусть $$A=\left(\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ll} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{array}\right),$$ тогда $$\alpha \cdot\left(\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1}\end{array}\right)+\beta \cdot\left(\begin{array}{ll} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{ll} \alpha a_{1} & \alpha b_{1} \\ \alpha c_{1} & \alpha d_{1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} \beta a_{2} & \beta b_{2} \\ \beta c_{2} & \beta d_{2} \end{array}\right)=$$ $$=\left(\begin{array}{ll} \alpha a_{1}+\beta a_{2} & \alpha b_{1}+\beta b_{2} \\ \alpha c_{1}+\beta c_{2} & \alpha d_{1} +\beta d_{2} \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R})$$

    Можем доказать, что $L$ является подпространством $X$. $$\left.\begin{array}{l} d_{1}=a_{1}+b_{1}+c_{1} \\ d_{2}=a_{2}+b_{2}+c_{2} \end{array}\right\} \Rightarrow\begin{array}{l} \alpha d_{1}=\alpha a_{1}+\alpha b_{1}+\alpha c_{1} \\ \alpha d_{2}=\alpha a_{2}+\alpha b_{2}+\alpha c_{2} \end{array} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \alpha d_{1}+\beta d_{2}=(\alpha a_{1}+ \beta a_{2})+(\alpha b_{1} + \beta b_{2})+(\alpha c_{1} + \beta c_{2}) \Rightarrow$$ $$\Rightarrow (\alpha A + \beta B) \in L \Rightarrow L \subset X.$$

    Теперь найдем базис исходя из условий.$$ E_{11}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\rightarrow E_{11}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right)$$ $$ E_{12}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\rightarrow E_{12}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\0 & 1\end{array}\right)$$ $$ E_{21}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\rightarrow E_{21}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\1 & 1\end{array}\right)$$ $$ E_{22}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\rightarrow \nexists$$

    Предполагаемый базис: $E^{\prime}=\left\langle E^{\prime}_{11}, E^{\prime}_{12}, E^{\prime}_{21} \right\rangle$. Проверим ЛНЗ нашего базиса.

    Пусть $$\alpha_{1}E^{\prime}_{11}+ \alpha_{2}E^{\prime}_{12}+ \alpha_{3}E^{\prime}_{21}=0,$$ тогда $$\left(\begin{array}{ll}\alpha_{1} & \alpha_{2} \\\alpha_{3} & \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\0 & 0\end{array}\right) \Rightarrow \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0 \Rightarrow$$ $\Rightarrow$ по критерию ЛНЗ, $E^{\prime}$ — ЛНЗ.

    Покажем, что через нашу ЛНЗ систему выражается каждый вектор этого пространства. Вспомним, что по условию $d = a + b + c.$ Отсюда следует, что $$a \cdot\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+b \cdot\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+c\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=$$ $$=\left(\begin{array}{cc}a & b \\c & a+b+c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right)=A \Rightarrow $$ $\Rightarrow \forall A \in L$ линейно выражается через $E^{\prime}$. А так как мы доказали, что $E^{\prime}$ — ЛНЗ, то $E^{\prime}$ — базис $L$. Размерность равна 3.

  3. Определить является ли $L$ линейным подпространством пространства $X$. Найти базис и размерность. $$X=\mathbb{R}_{4}[x]$$ $$L=\left\{f(x)=\mathbb{R}_{4}[x] | f(x): x^{2}+2\right\}.$$
    Решение

    Пусть $f(x) \in L$ и $f(x): x^{2}+2$, тогда $$f(x)=\left(x^{2}+2\right) \cdot\left(a x^{2}+b x+c\right).$$

    Докажем, что $$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \forall f(x), g(x) \in L ?$$

    $$\alpha(a x^{2}+b x+c)+\beta(a x^{2}+b x+c)=$$ $$(x^{2}+2)(\alpha a x^{2}+\alpha b x+\alpha c+\beta a x^{2}+\beta b x+\beta c)=$$ $$(x^{2}+2)(\alpha a x^{2}+\beta a x^{2}+\alpha b x+\beta b x+\alpha c+\beta c) \in L$$

    Теперь найдем базис: $$f(x)=a x^{4}+b x^{3}+x^{2} c+2 a x^{2}+2 b x+2 c,$$ тогда $$a\left(x^{4}+2 x^{2}\right)+b(x^{3}+2 x)+c(x^{2}+2)$$ и следовательно $$\begin{array}{l}e_{1}=x^{4}+2 x^{2} \\ e_{2}=x^{3}+2 x \\ e_{3}=x^{2}+2 \end{array}$$

    Наш предполагаемый базис: $e=\langle e_{1}, e_{2}, e_{3}\rangle$. Докажем ЛНЗ нашего базиса. $$\alpha_{1} e_{1}+\alpha_{2} e_{2}+\alpha_{3} e_{3}=$$ $$=\alpha_{1} x^{4}+\alpha_{1} 2 x^{2}+\alpha_{2} x^{3}+\alpha_{2} 2 x+\alpha_{3} x^{2}+2 \alpha_{3}=0$$ $$\Rightarrow \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0 \Rightarrow$$ $\Rightarrow$ по критерию ЛНЗ, $e$ — ЛНЗ.

    Покажем, что через нашу ЛНЗ систему выражается каждый вектор этого пространства. $$\forall f(x) \in L : f(x)=a x^{4}+b x^{3}+x^{2} c+2 a x^{2}+2 b x+2 c$$ $$\exists \alpha_{1}=a, \alpha_{2}=b, \alpha_{3}=c.$$

    Тогда $$\alpha_{1} e_{1}+\alpha_{2} e_{2}+\alpha_{3} e_{3}=$$ $$= a(x^{4}+2 x^{2})+b(x^{3}+2 x)+c(x^{2}+2)$$ $$a x^{4}+2 a x^{2}+b x^{3}+2 b x+c x^{2}+2 c=$$ $$=a x^{4}+b x^{3}+x^{2} c+2 a x^{2}+2 b x+2 c = f(x) \Rightarrow$$ $\Rightarrow \forall f(x)$ линейно выражается через любой вектор $e=\langle e_{1}, e_{2}, e_{3}\rangle$. Тогда $e$ — базис. Размерность равна 3.

Базис и размерность линейного пространства, свойства

Тест для проверки знаний по теме «Базис и размерность линейного пространства, свойства».

Литература

  1. Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С..
  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра М.: Наука, 1980.-400 с. (стр. 50-54)
  3. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.-416 с. (стр. 301-305)
  4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.-384 с. (стр. 204-211)

Изоморфизм линейных пространств. Критерий изоморфности. Применение понятия изоморфизма к решению задач.

Спойлер

Изоморфизм линейных пространств, свойства

Дано два конечномерных линейных пространства [latex] (X_1, \mathbb{P})[/latex] и [latex] (X_2, \mathbb{P})[/latex], заданных над одним полем [latex] \mathbb{P}[/latex](любое числовое поле)
[latex] X_1 \simeq X_2[/latex] (изоморфны), если:

  1. [latex] \exists f: X_1 \to X_2[/latex] (т.е.[latex] \forall a\in X_1[/latex] сопоставляется вектор [latex] a`\in X`[/latex], образ вектора[latex] a[/latex], причём различные векторы из [latex] X[/latex] обладают различными образами и всякий вектор из [latex] X`[/latex] служит образом некоторого вектора из [latex] X[/latex]).
  2. [latex] f(\alpha a+\beta b) = \alpha f(a) + \beta f(b)[/latex], [latex] \forall a,b \in X_1[/latex], [latex] \forall \alpha, \beta \in P[/latex].

Свойства изоморфизма:

  1. [latex] f(0)= 0[/latex];
  2. [latex] f(-x)= f(x)[/latex];
  3. [latex] f(\sum\limits_{j=1}^k \alpha_je_j)= \sum\limits_{j=1}^k \alpha_j f(e_j)[/latex];
  4. ЛНЗ [latex] \to^f[/latex] ЛНЗ;
  5. ЛЗ [latex] \to^f[/latex] ЛЗ;
  6. Базис отображается в базис;
  7. dim [latex] X_1[/latex]= dim[latex] X_2[/latex];
  8. Прямая сумма [latex] \to[/latex] прямая сумма.

Критерий изоморфности:

[latex] X_1 \simeq X_2 \Leftrightarrow [/latex] dim [latex] X_1 = [/latex] dim [latex]X_2.[/latex]

[свернуть]

ПРИМЕР

Любой геометрический радиус-вектор плоскости, представим в виде:
[latex] x = ix_1 + jx_2[/latex]
svg111
При этом, если [latex] x = ix_1 + jx_2[/latex], [latex] y = iy_1 + jy_2[/latex], то
[latex] x + y = (x_1 + y_1)i +(x_2 + y_2)j[/latex] и [latex] \alpha x = (\alpha x_1)i + (\alpha x_2)j[/latex].
В результате устанавливаем взаимно однозначное соответствие [latex] x \Leftrightarrow (x_1, x_2)[/latex], соответствие между пространствами геометрических радиусов-векторов плоскости и двумерных арифметических векторов. Очевидно, оно будет изоморфизмом данных пространств, так как
если [latex] x \Leftrightarrow (x_1, x_2)[/latex], [latex] y \Leftrightarrow (y_1, y_2)[/latex], то [latex] x + y \Leftrightarrow (x_1 + y_1, x_2 + y_2)[/latex] и [latex] \alpha x \Leftrightarrow ( \alpha x_1, \alpha x_2 )[/latex].

Задача

Даны пространства [latex] A = \mathbb{R}[/latex] и [latex] B = \mathbb{R}[/latex]. Установить между ними соответствие, которое:

  1. будет являться изоморфизмом;
  2. не будет являться изоморфизмом.

Решение

  1. Первое, что мы делаем, это каждому числу [latex] a \in \mathbb{R}[/latex] ставим в соответсвие число [latex] b \in \mathbb{R}[/latex], придерживаясь правила: [latex] b= 2a[/latex]. Каждое [latex] b \in \mathbb{R}[/latex] будет отвечать единственному числу [latex] a= \frac{1}{2}b[/latex]. Отсюда следует, что утверждение [latex] b= 2a[/latex] устанавливает взаимно однозначное соответствие [latex] \mathbb{R} \Leftrightarrow \mathbb{R}[/latex]. Если [latex] a_1 \Leftrightarrow b_1[/latex] и [latex] a_2 \Leftrightarrow b_2[/latex], т.е. [latex] b_1 = 2a_1[/latex] и [latex] b_2= 2a_2[/latex] то [latex] (a_1+a_2) \Leftrightarrow (b_1+b_2)[/latex], так как [latex] b_1+b_2= 2a_1+2a_2 = 2(a_1+a_2)[/latex]. Если [latex] a \Leftrightarrow b[/latex], т.е. [latex] b= 2a[/latex], то [latex] \lambda a \Leftrightarrow \lambda b[/latex] для каждого действительного числа [latex] \lambda [/latex], так как [latex] \lambda b= \lambda 2a= 2 \lambda a[/latex]. Как результат, в данном соответствии [latex] b= 2a[/latex] сохраняются линейные операции, и оно является изоморфизмом.
  2. Следующее взаимно однозначное соответствие, которое будем рассматривать [latex] \mathbb{R} \Leftrightarrow \mathbb{R}[/latex], устанавливается формулой [latex] b= a^3[/latex] (число сопоставляемое числу [latex] a= \sqrt[3]{b}[/latex]). Данное соответствие не будет являться изоморфизмом, потому что будет сохранять линейные операции. Как пример, если [latex] a \Leftrightarrow b[/latex], т.е. [latex] b= a^3[/latex], то [latex]{(2a)}^3= 8a^3= 8b[/latex]. Значит, [latex] 2a \Leftrightarrow 8b[/latex], возникает противоречие условию [latex] \lambda a \Leftrightarrow \lambda b[/latex] для [latex] \lambda = 2[/latex] .

Задача

Проверить, являются ли изоморфными пространства:
[latex] X_1= \{ f(x) \in R[x] | f(x) \quad\vdots\quad (x^2+1) \}[/latex] и [latex] X_2[/latex], натянутое на систему векторов [latex] <a_1, a_2, a_3>. a_1=(0,0,1,0,1)[/latex], [latex] a_2=(0,1,0,1,0)[/latex] и [latex] a_3=(1,0,1,0,0)[/latex].

Решение

Найдем базис [latex] X_1[/latex]
[latex] \forall f(x) \in X_1 \Leftrightarrow f(x)= [/latex] [latex](x^2+1)(ax^2+bx+c)=[/latex] [latex]ax^4+bx^3+ax^2+cx^2+bx+c=[/latex] [latex]a(x^4+x^2)+b(x^3+x)+c(x^2+1)[/latex], таким образом [latex]<x^4+x^2,x^3+x,x^2+1>[/latex] — базис.
Очевидно, что система [latex] <a_1,a_2,a_3>[/latex], на которую натянуто [latex] X_2[/latex] ЛНЗ (линейно независимая система), dim [latex] X_1 =[/latex] dim [latex] X_2= 3[/latex]. Следовательно по критерию изоморфности [latex] X_1 \simeq X_2[/latex].

Источники

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Издание пятое, 1974.Стр. 170

Изоморфизм линейных пространств

Тест по теме: «Изоморфизм линейных пространств. Критерий изоморфности»

База и ранг системы векторов. Нахождение базы и вычисление ранга (приведением системы к трапециевидной форме)

Спойлер


Определение:
Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей линейно независимая подсистема. Нулевая система базы не имеет.

Свойство 1:
База линейной независимой системы совпадает с ней самой.

Пример:
[latex] e_{1}=<1, 0, 0>[/latex]
[latex]e_{2}=<0, 1, 0>[/latex]
[latex]e_{3}=<0, 0, 1>[/latex]
[latex]<e_{1}, e_{2}, e_{3}> — [/latex] Система линейно независимых векторов поскольку ни один из векторов не может быть линейно вырожен через остальные.

Свойство 2:(Критерий Базы)
Линейно независимая подсистема данной системы является её базой тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.

Доказательство:
Дана система [latex]S=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}>[/latex]
Необходимость
Пусть [latex]S_{1}=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}>[/latex] база [latex]S[/latex].
Тогда по определению [latex]S_{1}\sim S[/latex] и, если [latex]S_{2}=<a_{1},a_{2},\ldots,a_{k},a_{j}>[/latex], где [latex]k+1\leq j\leq n[/latex], система линейно зависима, так как [latex]a_{j}[/latex] линейно вырожается через [latex]S_{1}[/latex], следовательно [latex]S_{1}[/latex] максимально линейно независима.
Достаточность
Пусть [latex]S_{1} — [/latex]максимально линейно независимая подсистема, тогда [latex]\forall a_{j}[/latex]  где [latex]k+1\leq j\leq n[/latex].
[latex]S_{2}=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}, a_{j}> — [/latex] линейно зависима [latex]\Rightarrow S_{2}[/latex] линейно вырожается через [latex]S_{1}\Rightarrow [/latex] [latex]S_{1}\sim S[/latex] следовательно [latex]S_{1}[/latex] база системы [latex]S[/latex].

Свойство 3:(Основное свойство базы)
Каждый вектор системы [latex]S[/latex] вырожается через базу единственным образом.

Доказательство
Пусть вектор [latex]a[/latex] вырожается через базу двумя способами,  тогда:
[latex]a=\alpha_{1}e_{1}+\ldots+\alpha_{k}e_{k}[/latex]
[latex]a=\beta_{1}e_{1}+\ldots+\beta_{k}e_{k}[/latex], тогда
[latex]\alpha_{1}e_{1}+\ldots+\alpha_{k}e_{k}=\beta_{1}e_{1}+\ldots+\beta_{k}e_{k}[/latex]
[latex](\alpha_{1}-\beta_{1})e_{1}+\ldots+(\alpha_{k}-\beta_{k})e_{k}=0[/latex]
[latex]\alpha_{1}-\beta_{1}=\ldots=\alpha_{k}-\beta_{k}=0\Rightarrow [/latex]    [latex]\alpha_{1}=\beta_{2}, \ldots, \alpha_{k}=\beta_{k}[/latex]

Определение:
Рангом ненулевой системы векторов линейного пространства называется число векторов её базы. Ранг нулевой системы по определению равен нулю.

Свойства ранга:
1) Ранг линейно независимой системы совпадает с числом её векторов.
2) Ранг линейно зависимой системы меньше числа её векторов.
3) Ранги эквивалентных систем совпадают — [latex]S_{1}\sim S_{2}\Rightarrow [/latex] rank [latex]S_{1}=[/latex] rank [latex]S_{2}[/latex].
4) Ранг под системы меньше либо равен рангу системы.
5) Если [latex]S_{1}\subset S_{2}[/latex] и rank [latex]S_{1}=[/latex] rank [latex]S_{2}[/latex], тогда [latex]S_{1}[/latex] и [latex]S_{2}[/latex] имеют общую базу.
6) Ранг системы не изменить, если в неё добавить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов системы.
7) Ранг системы не изменить, если из неё удалить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов.

[свернуть]

Для нахождения ранга системы векторов, нужно использовать метод Гаусса и привести систему к треугольной или трапециевидной форме.

Пример:
[latex]a_{1}=(1, 1, 1, 1)[/latex]
[latex]a_{1}=(1, -1, 0, 2)[/latex]
[latex]a_{1}=(2, 2, 1, -1)[/latex]
[latex]a_{1}=(0, 1, 3, 0)[/latex]

Преобразуем данные вектора в матрицу для нахождения базы.
Получим:
[latex] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 2\\ 2 & 2 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} [/latex]

Теперь при помощи метода Гаусса будем преобразоывавать матрицу к трапецеидальному виду:

1) В нашей основной матрице, будем анулировать весь первый столбец кроме первой строки  от второй отнимим первую умноженную на [latex]-1[/latex], от третьей отнимим первую умноженную на [latex]-2[/latex], а от четвётой мы ничего не будем отнимать так как первый элемент четвёртой строки, то есть пересечение первого столбца и четвёртой строки, равен нулю. Получим матрицу [latex]S_{2}[/latex] :
[latex] S_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} [/latex]
2) Теперь в матрице [latex]S_{2}[/latex], поменяем местами строки 2, 3 и 4 для простоты решения, что бы на месте элемента [latex]a_{22}[/latex] была еденица. Четвёртую строку поменяем поставим вместо второй, вторую вместо третьей и третью на место четвёртой. Получим матрицу [latex]S_{3}[/latex] :
[latex] S_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
3)В матрице [latex]S_{3}[/latex] анулируем все элементы под элементом [latex]a_{22}[/latex].
Поскольку вновь элемент [latex]a_{42}[/latex] нашей матреци равен нулю, мы ничего не отнимаем от четвёртой строки, а к третьей добавим вторую умноженную на [latex]2[/latex]. Получим матрицу [latex]S_{4}[/latex] :
[latex] S_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
4)Вновь поменяем в матрице [latex]S_{4}[/latex] строки 3 и 4 местами. Получим матрицу [latex]S_{5}[/latex] :
[latex] S_{5} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 5 & 1 \end{pmatrix} [/latex]
5)В матрице [latex]S_{5}[/latex] прибавим к червётрой строке третью, умноженную на 5. Получим матрицу [latex]S_{6}[/latex], которая будет иметь треугольный вид:
[latex] S_{6} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & -14 \end{pmatrix}[/latex]

Системы [latex]S_{1}\sim S_{6}[/latex], их ранги совпадают в силу свойств ранга и их ранг равен rank [latex]S_{1} =[/latex] rank [latex]S_{6} =4[/latex]

Замечания:
1) В отличие от традиционного метода Гаусса, если в строке матрицы все элементы делятся на определённое число, мы не имеем право сокращать строку матрицы в силу действия свойств матрицы. Если мы захотим сократить строку на определённое число, придётся сокращать всю матрицу на это число.
2) В случае, если мы получим линейно зависящую строку, мы можем её убрать из нашей матрицы и заменить на нулевую строку.
Пример:
[latex] A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
Сразу видно что вторая строка выражается через первую, если домножить первую на 2.
В тиаком случае можем заменить всю вторую строку на нулевую. Получим:
[latex] A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
В итоге, приведя матрицу, либо к треугольному, либо к трапецеидальному виду, где у неё нету линейно зависящих векторов, все не нулевые векторы матрицы и будут базой матрицы, а их количество рангом.

Вот так же пример системы векторов в виде графика:
Дана система [latex]S=<e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}>[/latex] где [latex]e_{1}=(1, 0)[/latex], [latex]e_{2}=(0, 1)[/latex], [latex]e_{3}=(2, 1)[/latex] и [latex]e_{4}=(1.5, 3)[/latex]. Базой данной системы очевидно буду вектора [latex]e_{1}[/latex] и [latex]e_{2}[/latex], поскольку через них выражаются векторы [latex]e_{3}, e_{4}[/latex].
Данная система в графическом виде будет иметь вид:
svg1

Литература:

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 с. 52-55.
  2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984 с. 90-99.
  3. Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.

База и ранг системы векторов. Нахождение базы и вычисление ранга (приведением системы к трапециевидной форме)

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: База и ранг системы векторов. Нахождение базы и вычисление ранга (приведением системы к трапециевидной форме)

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных