Делители нуля

Пусть $latex R$ — кольцо, $latex a, b\in R, a,b\ne 0, a\cdot b = 0$. Числа $latex a,b$  называются делителями нуля кольца $latex R$, причем $latex a$ — левый делитель нуля, $latex b$ — правый делитель нуля.

Пример 1:

$latex (C_{[-1;1]},+,\cdot)$ — кольцо непрерывных функций на промежутке $latex [-1,1]$.

$latex f(x)=\begin{cases} x, 0\le x\le 1;\\ 0, -1\le x\le 0.\end{cases}$

$latex g(x)=\begin{cases} -x, -1\le x\le 0;\\ 0, 0\le x\le 1.\end{cases}$

$latex f(x)\cdot g(x)=0$

Пример 2:

Пусть дано $latex P=(M_{2}(R),+,\cdot)$

$latex \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&2\end{pmatrix}$$latex \begin{pmatrix} -1&1\\ 1&-1\end{pmatrix}$=$latex \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&2\end{pmatrix}$$latex \begin{pmatrix} 1&-1\\ -1&1\end{pmatrix}$

Из равенства видно, что в  кольце $latex P$  присутствуют делители нуля. Как следствие этого, мы можем наблюдать невозможность сокращения обоих частей равенства, так как это приведет нас к неверному равенству, то есть в кольце $latex P$ не действует закон сокращения. Если же в кольце $latex P$ нет делителей нуля, то

$latex a\cdot b=a\cdot c, a\ne 0 \Rightarrow b=c$ — закон сокращения.

Литература:

• Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
• Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994 стр.28

Делители нуля

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Составьте определение делителей нуля

   • Пусть $R$ -кольцо
   • $a, b\in R, a,b\ne 0, a\cdot b = 0$
   • числа $a,b$  называются делителями нуля кольца $R$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 2

   Вставьте в предложения слова, так чтобы они были правильными.

   • В кольце вещественных матриц порядка 2 (присутствуют) делители нуля. В кольце вещественных чисел (отсутствуют) делители нуля.
   Правильно 2 / 2Баллы

   Неправильно / 2 Баллы

   Подсказка

   Присутствуют или отсутствуют.
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

   Пусть дано кольцо $latex R$, $latex a, b, c$- делители нуля. Можно ли в выражении $latex a\cdot b=a\cdot c$ сократить обе части на $latex a$

   • Да
   • Нет
   Правильно
   

   Неправильно
   

Теоретический материал

Задача

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

$x_{1}=(1,2,3)$

$x_{2}=(3,6,7)$

Решение:

Построим линейную комбинацию из векторов системы.

$\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}=0$

$\alpha_{1}(1,2,3)+\alpha_{2}(3,6,7)=0$

$(\alpha_{1},2\alpha_{1},3\alpha_{1})+(3\alpha_{2},6\alpha_{2},7\alpha_{2})=0$

$(\alpha_{1}+3\alpha_{2},2\alpha_{1}+6\alpha_{2},3\alpha_{1}+7\alpha_{2})=0$

Далее, необходимо решить однородную систему линейных уравнений.

$\left\{\begin{matrix} \alpha_{1} &+3\alpha_{2} &=0 \\ 2\alpha_{1}&+6\alpha_{2} &=0 \\ 3\alpha_{1}&+7\alpha_{2} &=0 \end{matrix}\right.$

Как видим, первое и второе уравнения линейно зависимы, т.е. ранг системы равен 2. Так как ранг системы совпадает с числом неизвестных, то система имеет только нулевое решение.

$\alpha_{1}=\alpha_{2}=0$

Система линейно независима по критерию ЛНЗ.

 Задача

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

$x_{1}=(5,4,3)$

$x_{2}=(3,3,2)$

$x_{3}=(8,1,3)$

Решение:

Построим линейную комбинацию из векторов системы.

$\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\alpha_{3}x_{3}=0$

$\alpha_{1}(5,4,3)+\alpha_{2}(3,3,2)+\alpha_{3}(8,1,3)=0$

$(5\alpha_{1},4\alpha_{2},3\alpha_{3})+(3\alpha_{1},3\alpha_{2},2\alpha_{3})+(8\alpha_{1},\alpha_{2},3\alpha_{3})=0$

Составим систему линейных уравнений.

$\left\{\begin{matrix} 5\alpha_{1}&+4\alpha_{2} &+,3\alpha_{3} &=0 \\ 3\alpha_{1}&+3\alpha_{2} &+2\alpha_{3} &=0 \\ 8\alpha_{1}&+\alpha_{2} &+3\alpha_{3} &=0 \end{matrix}\right.$

Решим систему уравнений методом Гаусса.

$\begin{pmatrix} 5 &4 &3 \\ 3&3 &2 \\ 8&1 &3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -1&-2 &-1 \\ 0&-3 &-1 \\ 0&-15 &-5 \end{pmatrix} \sim$ $\begin{pmatrix} -1 &-2 &-1 \\ 0&-3 &-1 \end{pmatrix}$

$\left\{\begin{matrix} -\alpha_{1}&-2\alpha_{2} &-\alpha_{3} &=0 \\ &-3\alpha_{2} &-\alpha_{3} &=0 \end{matrix}\right.$

Общее решение системы будет иметь следующий вид:

$\alpha_{3}=-3\alpha_{2}$

$\alpha_{1}=\alpha_{2}$

Т.е. система линейно зависима по первому критерию ЛЗ.

Литература

• Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984 с.90-99

Перестановка, содержащая четное количество инверсий, называется четной, в противном случае — нечетной.

Лемма. Если в перестановке длинны больше $latex n, n\ge2$, поменять местами $latex 2$ элемента , то четность поменяется на противоположную.
Доказательство:
Докажем, что всякая транспозиция меняет четность перестановки. Для чисел, стоящих рядом, это утверждение очевидно. Их взаимное расположение относительно других чисел осталось прежним, а перестановка самих чисел меняет общее число инверсий на единицу.
Пусть теперь между переставляемыми числами $latex i$ и $latex j$ находятся $latex s$ других чисел $latex l_1, l_2, \cdots, l_s$, т. е. перестановка имеет вид $latex \cdots, i, l_1, l_2, \cdots, l_s, j, \cdots$.
Будем менять местами число $latex i$ последовательно с рядом стоящими числами $latex l_1, l_2, \cdots, l_s, j$. Затем число $latex j$, стоящее уже перед $latex i$ , переместим влево при помощи $latex s$ транспозиций с числами $latex l_s, l_{s-1}, \cdots, l_1$. Таким образом, всего мы выполним $latex 2s+1$ транспозиций рядом стоящих чисел. Следовательно, четность перестановки изменится.
Лемма доказана.

Пример четной перестановки

Данная перестановка является четной, так как содержит 2 инверсии, числа 3 и 2, 6 и 5 образуют инверсии.
Пример нечетной перестановки

Данная перестановка является нечетной, так как содержит 3 инверсии, числа 2 и 1, 5 и 4, 7 и 6 образуют инверсии.

Транспозиция меняет четность.
Лемма. Все $latex n!$-перестановок длины $latex n$ можно расположить одну за другой таким образом, что каждая последующая получается из предыдущей одной транспозицией. Причем можно начинать такое упорядочивание с любой перестановки.

Следствие. При $latex n\ge2$ число четных перестановок из $latex n$ символов равно числу нечетных, т.е. $latex \frac{n!}{2}$.

Литература

1. Белозёров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры 431 стр. М.: Наука, 1968, Стр. 28-30
3. Воеводин В.В. Линейная алгебра 400 стр. М.: Наука, 1980, Стр. 122-124

Четность перестановки

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Четность перестановки

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Вставьте пропущенное слово:

   • Перестановка, содержащая нечетное количество (инверсий), называется нечетной.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 1

   Какие из данных перестановок четные?

   • $(5, 4, 3, 8, 2, 6, 9, 1, 7)$
   • $(7, 2, 1, 5, 6, 9, 3, 4, 8)$
   • $(5, 4, 3, 8, 2, 6, 9, 1, 7)$
   • $(3, 7, 5, 6, 2, 1, 9, 8, 4)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Сопоставьте:

   Элементы сортировки

   • $(3, 2, 6, 4, 5, 1)$
   • $(6, 5, 2, 3, 1, 4)$

   • Четная

   • Нечетная

   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Перестановка $(8,5,3,1,2,4,7,6)$ является:

   • четной
   • нечетной
   Правильно
   

   Неправильно