Рубрика: Алгебра

Учебные материалы по уневерситетскому курсу алгебры

Определители n-го порядка и их свойства

Вычисление определителей приведением к треугольному виду, разложением по строке, применением общей теоремы Лапласа.

Cвойства определителя

Пример 1

Используя свойства определителя, доказать следующее тождество:
$$\begin{vmatrix}am+bp & an+bq \\ cm+dp & cn+dq \end{vmatrix} = \left(mq-np\right)\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}$$

Спойлер

Используя аддитивное свойство, представим определитель в виде суммы 4 определителей:
$$\begin{vmatrix}am+bp & an+bq \\ cm+dp & cn+dq \end{vmatrix} =$$ $$\begin{vmatrix}am & an \\ cm & cn \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}am & bq \\ cm & dq \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}bp & an \\ dp & cn \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}bp & bq \\ dp & dq \end{vmatrix}$$
Как видим, столбцы полученных определителей содержат общие множители, которые можно вынести за знак определителя. Получили, что 1 и 4 определители равны нулю, так как имеют равные столбцы:
$$mn\begin{vmatrix}a & a \\ c & c \end{vmatrix} + mq\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix} +np\begin{vmatrix}b & a \\ d & c \end{vmatrix} +pq\begin{vmatrix}b & b \\ d & d \end{vmatrix} =$$
$$= 0 + mq\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix} +np\begin{vmatrix}b & a \\ d & c \end{vmatrix}+0$$
Во втором определителе поменяем столбцы местами, знак перед этим определителем изменится на противоположный. Далее вынесем общий множитель и получим:
$$mq\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix} +np\begin{vmatrix}b & a \\ d & c \end{vmatrix} = mq\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix} — np\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix}=$$
$$=\left(mq-np\right)\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix}$$
Тождество доказано.$\blacksquare$

[свернуть]

Вычисление определителя приведением матрицы к треугольному виду.

Пример 2

Вычислить определитель:

$\Delta =\left|\begin{array}{rrrr}-3 & 9 & 3& 6\\ -5 & 8 & 2 & 7\\ 4 & -5 & -3 & -2\\ 7 & -8 & -4 & -5 \end{array}\right|$

Спойлер

Дальнейшие преобразования будут проще, если элемент $a_{11}$ равен 1 или -1. Для этого из первой строки вынесем 3 за знак определителя:

$\Delta =\left|\begin{array}{rrrr}-3 & 9 & 3& 6\\ -5 & 8 & 2 & 7\\ 4 & -5 & -3 & -2\\ 7 & -8 & -4 & -5 \end{array}\right|=3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1& 2\\ -5 & 8 & 2 & 7\\ 4 & -5 & -3 & -2\\ 7 & -8 & -4 & -5 \end{array}\right|$

Далее нам нужно получить нули в первом столбце. Домножим первую строку на -5 и прибавим ко второй, на 4 и прибавим к третей, на 7 и прибавим к четвертой:

$\Delta =3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -7 & -3 & -3\\ 0 & 7 & 1 & 6\\ 0 & 13 & 3 & 9 \end{array}\right|$

Аналогично, дальнейшие вычисления будут проще, если элемент $a_{22}$ равен 1 или -1. Для этого вторую строку умножим на 2 и прибавим к четвертой строке. Далее поменяем вторую и последнюю строку местами. Перед определителем появится знак «-«.

$\Delta =3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -7 & -3 & -3\\ 0 & 7 & 1 & 6\\ 0 & -1 & -3 & 3 \end{array}\right|=-3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -3 & 3\\ 0 & 7 & 1 & 6\\ 0 & -7 & -3 & -3 \end{array}\right|$

Далее нам нужно получить нули во втором столбце под элементом $a_{22}$. Для этого умножим вторую строку на 7 и прибавим к третей, на -7 и прибавим к четвертой.

$\Delta =-3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -3 & 3\\ 0 & 0 & -20 & 27\\ 0 & 0 & 18 & -24 \end{array}\right|$

Прибавим последнюю строку к третьей, потом умножим третью строку на 9 и прибавим к четвертой:

$\Delta =-3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -3 & 3\\ 0 & 0 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 18 & -24 \end{array}\right|=-3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -3 & 3\\ 0 & 0 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right|$

Привели определитель к треугольному виду. Его значение равно произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

$\Delta=-3\cdot\left(\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-2\right)\cdot\left(3\right)\right)=18$

[свернуть]

Разложение по строке или столбцу

Пример 3

Разлагая по 2-му столбцу, вычислить определитель:

$\Delta =\left|\begin{array}{rrrr}5 & \:\:a & \:\:2 & -1 \\ 4 & b & 4 & -3\\ 3 & c & 3 & -2\\ 4 & d & 5 & -4 \end{array}\right|$

Спойлер

Разложим по второму столбцу:

$\Delta =a\cdot(-1)^{3}\cdot\left|\begin{array}{rrr}4 & \:\:4 & -3 \\ 2 & 3 & -2 \\ 4 & 5 & -4 \end{array}\right|+b\cdot(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{rrr}5 & \:\:2 & -1 \\ 2 & 3 & -2 \\ 4 & 5 & -4 \end{array}\right|+$

$+\,c\cdot(-1)^{5}\cdot\left|\begin{array}{rrr}5 & \:\:2 & -1 \\ 4 & 4 & -3 \\ 4 & 5 & -4 \end{array}\right|+d\cdot(-1)^{6}\cdot\left|\begin{array}{rrr}5 & \:\:2 & -1 \\ 4 & 4 & -3 \\ 2 & 3 & -2 \end{array}\right|$

Вычислим получившиеся определители по правилу треугольника:

$\Delta =-a\cdot \left(-48-30-32+36+32+40\right)+$

$+b\cdot\left(-60-16-10+12+16+50\right)-$

$-c\cdot \left(-80-24-20+16+32+75\right)+$

$+d\cdot \left(40-12-12+8+45+16\right)=$

$=2a-8b+c+5d$

[свернуть]

Применение общей теоремы Лапласа

Пример 4

Вычислить определитель:

$\Delta =\left|\begin{array}{rrrrr}2 & -1 & 3 & 4 & -5 \\ 4 & -2 & 7 & 8 & -7\\ -6 & 4 & -9 & -2 & 3\\ 3 & -2 & 4 & 1 & -2\\ -2 & 6 & 5 & 4 & -3 \end{array}\right|$

Спойлер

Чтобы облегчить дальнейшие преобразования, из второй строки вычтем удвоенную первую, к третьей строке прибавим удвоенную четвертую:

$\Delta =\left|\begin{array}{rrrrr}2 & -1 & 3 & \: \:\:\: 4 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1\\ 3 & -2 & 4 & 1 & -2\\ -2 & 6 & 5 & 4 & -3 \end{array}\right|$

Выберем в определителе вторую и третью строку и получим:

$\Delta = (-1)^{2+3+3+5}\cdot\left|\begin{array}{rr} 1 & 3 \\ -1 & -1\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{rrr}2 & -1 & \:\:\: 4 \\ 3 & -2 & 1\\ -2 & 6 & 4 \end{array}\right|=$

$\left(-1+3\right)\cdot\left|\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 4 \\ -2 & 3 & 1\\ 6 & -2 & \:\:\: 4 \end{array}\right|$

Умножим первый столбец на 2 и прибавим ко второму, на 4 и прибавим к третьему. Разложим по первой строке и получим:

$\Delta =2\cdot\left|\begin{array}{rrrr} -1 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & -7 \\ 6 & 10 & 28 \end{array}\right|=2\cdot(-1)\cdot\left|\begin{array}{rr} -1 & -7 \\ 10 & 28 \end{array}\right|=$

$=-2\cdot\left(-28+70\right)=-84$

[свернуть]

Литература:

  1. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М., Физико-математическая литература, 1978 г., стр. 25, 28, 58

Тест


Таблица лучших: Определители n-го порядка и их свойства. Вычисление определителей.

максимум из 17 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Нахождение ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства

Теоретическая справка

Определение:
Пусть [latex]A \subset E, A\ne 0[/latex]. Тогда ортогональным дополнением к множеству [latex]A[/latex] называется множество:
[latex]A^\perp = \{x\in {E} | \forall a\in A: (x,a) = 0\}.[/latex]
Britkariu_Praktika
Свойства ортогонального дополнения:

  1. [latex]\{0\}^\perp = {E};[/latex]
  2. [latex]{E}^\perp = \{0\};[/latex]
  3. [latex]({L}^\perp)^\perp = {L}, \forall{L}\subseteq{E};[/latex]
  4. [latex]({L}_1 + {L}_2)^\perp = {L}_{1}^{\perp}\cap{L}_{2}^{\perp}, \forall{L}_{1},{L}_{2}\subseteq{E}[/latex];
  5. [latex]({L}_1\cap{L}_2)^\perp = {L}_{1}^{\perp} + {L}_{2}^{\perp}[/latex].

Пример

Найти базис ортогонального дополнения [latex]{L}^{\perp}[/latex] подпространства [latex]{L}[/latex], натянутого на векторы [latex]a_{1}, a_{2}, a_{3}[/latex].
[latex]a_1 = (1,0,2,1)[/latex]
[latex]a_2 = (2,1,2,3)[/latex]
[latex]a_3 = (0,1,-2,1)[/latex]
Найдем ранг матрицы [latex]L[/latex]:
[latex]L = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}[/latex]
Домножим первую строчку матрицы на [latex]-2[/latex] и прибавим ко второй. Получим:
[latex]L = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}[/latex]
Вторая и третья строки матрицы совпадают, а значит одну можно исключить. Получим, что ранг системы [latex]L[/latex] равен [latex]2[/latex]. Следовательно, системы [latex]L[/latex]- линейно зависимая.
[latex]L[/latex] (система состоит из двух векторов).
[latex]{L}^{\perp} = \{b_1,b_2\}[/latex]
[latex](a_1,x) = 0, (a_2,x) = 0[/latex]
Составим матрицу из векторов [latex]a_1, a_2[/latex].
[latex]\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\2 & 1 & 2 & 3 \\\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}[/latex]
(домножим первую строчку матрицы на -2 и прибавим ко второй)
[latex]\left\{\begin{matrix} x_1 + 2x_3 + x_4& = &0 \\ x_2 — 2x_3 + x_4& = &0 \end{matrix}\right.[/latex]
Найдем общее решение системы:
[latex]\left\{\begin{matrix} x_1& = &-2x_3 — x_4 \\ x_3& = &\frac{x_2 + x_4}{2} \end{matrix}\right.[/latex]
[latex]x = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} — 2x_3 — x_4 \\ x_2 \\ \frac{x_2 + x_4}{2}\\ x_4 \\\end{pmatrix}[/latex]
Найдем ФСР (фундаментальную систему решений) по формуле:
ФСР [latex] = n — r [/latex], где [latex]n[/latex]- число неизвестных переменных, [latex]r[/latex]- ранг матрицы.
ФСР: [latex]4 — 2 = 2.[/latex]
Получили два линейно независимых решения системы. Придадим переменным [latex]x_3, x_4 [/latex] произвольные значения:

ФСР [latex]x_1[/latex] [latex]x_2[/latex] [latex]x_3[/latex] [latex]x_4[/latex]
[latex]b_1[/latex] [latex]2[/latex] [latex]-2[/latex] [latex]-1[/latex] [latex]0[/latex]
[latex]b_2[/latex] [latex]1[/latex] [latex]1[/latex] [latex]0[/latex] [latex]-1[/latex]

Получили ортогональное дополнение [latex]{L}^{\perp} = <b_1, b_2> = <(2,-2,-1,0), (1,1,0,-1)>[/latex].

Нахождение ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства

Тест составлен для проверки знаний по теме «Нахождение ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства»

Литература:

Извлечение корней. Первообразные корни из единицы



Допустим число $\alpha$  задано в тригонометрической форме,то при целом положительном $n$ из формулы $\alpha = r\left ( \cos\varphi + i \sin\varphi \right )$ следует формула
$\left [ r\left ( \cos\varphi + i\sin n\varphi \right ) \right ]^n = r^n\left ( \cos n\varphi + i \sin n\varphi \right ) $, то есть при возведении комплексного числа в степень модуль тоже возводится в эту степень , а аргумент умножается на показатель степени.

Намного больше трудностей представляет собой извлечение корня из комплексного числа. Начнём с извлечения квадратного корня из числа $\alpha = a + bi$. Можем записать, что $\sqrt{a + bi} = u + vi$. Из этих двух равенств мы получаем:

$ u^2 = \frac{1}{2}\left ( a + \sqrt{a^2 +b^2} \right )$, $v^2 = \frac{1}{2}\left ( -a + \sqrt{a^2 +b^2} \right )$.

Пример

Спойлер

Пусть $\alpha = 7 — 24i $. Тогда $\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{49+576}=25$. Поэтому $u^2 = \frac{1}{2}(7+25)=16$,  $v^2 = \frac{1}{2}(-7+25)=9$, откуда  $u =\pm 4$,  $v = \pm 2 $. Знаки $u$ и $v$  должны быть различными ввиду отрицательности $b$, поэтому $\sqrt{7 — 24i}=\pm(4-3i)$.

[свернуть]

Попытки извлечения из комплексных чисел, заданных в виде $a+bi$ ,корней более высокой степени, чем вторая, более трудоёмкие.

Теперь нужно извлечь корень $n$ -й степени из числа $\alpha = r (\cos\varphi + i\sin\varphi )$. Предположим, что это можно сделать. А в результате получим число $p(\cos\sigma + i\sin\sigma)$, то есть
$ \left [ p\left ( \cos\sigma + i \sin\sigma \right ) \right ]^n = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) .$
Используя формулу Муавра, $p =\sqrt[n]{r}$ и $\sigma = \frac{\varphi + 2k \pi }{n} $.

$\sqrt[n]{r(\cos\varphi + i\sin\varphi )} = \sqrt[n]{r}(\cos\frac{\varphi + 2k\pi }{n} + i \sin\frac{\varphi + 2k\pi }{n}).$

Извлечение корня $n$ степени из комплексного числа $\alpha$ всегда возможно и дает $n$ различных значений. Все значения корня $n$ степени разложены на окружности радиуса $\sqrt[n]{\left | \alpha \right |}$ с центром в нуле и деля эту окружность на $n$ равных частей.

Пример

Спойлер

Дано комплексное число $\beta = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i $,

найти кубический корень из этого числа.

Надо найти корни уравнения $z = \sqrt[3]{-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i}$.

Так как $n$ равно трём, то у нас будет 3 корня :
$z_{0}, z_{1}, z_{2}$.
$z_{k} = \sqrt[3]{\left |\beta \right |}
\left (\cos\frac{\varphi +2\pi k}{3} + \sin\frac{\varphi +2\pi k}{3} \right ), k = {0,1,2};$
Найдём модуль и аргумент комплексного числа $\beta = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i $
$\left | \beta \right | = \sqrt{\left ( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2 +\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
$ \sin\varphi > 0, \cos\varphi < 0 $ $ \Rightarrow $ число $\beta$ находится во 2 четверти.Поэтому,
$\varphi = \pi + \mathop{\rm arctg}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \pi + \mathop{\rm arctg}(-1) = \pi — \mathop{\rm arctg}(1) = \pi — \frac{\pi }{4} = \frac{3\pi }{4}$.
$ z_{k}= \sqrt[3]{\sqrt{\frac{3}{2}}} \left(\cos\left ( \frac{\frac{3\pi }{4} + 2 \pi k}{3} \right ) + i\sin \left ( \frac{\frac{3\pi }{4} + 2 \pi k}{3} \right ) \right) , k = {0,1,2}$.
Найдём первый корень при $k$= 0,
$z_{0}= \sqrt[6]{\frac{3}{2}}\left(\cos\left ( \frac{\frac{3\pi }{4} + 2\pi\cdot0 }{3} \right ) + i\sin \left ( \frac{\frac{3\pi }{4} + 2\pi\cdot0}{3} \right ) \right) =\sqrt[6]{\frac{3}{2}} \left ( \cos\frac{\pi }{4} + i\sin\frac{\pi }{4}) \right)$;

При $k$= 1,
$z_{1}=\sqrt[6]{\frac{3}{2}}\left(\cos\left ( \frac{\frac{3\pi }{4} + 2\pi\cdot1 }{3} \right ) + i\sin \left ( \frac{\frac{3\pi }{4} + 2\pi\cdot1}{3} \right ) \right) =\sqrt[6]{\frac{3}{2}} \left ( \cos\frac{11\pi }{12} + i\sin\frac{11\pi }{12}) \right)$;

При $k$= 2,
$z_{2}=\sqrt[6]{\frac{3}{2}}\left(\cos\left ( \frac{\frac{3\pi }{4} +2\pi\cdot2 }{3} \right )+ i\sin \left ( \frac{\frac{3\pi }{4} + 2\pi\cdot2}{3} \right ) \right)=\sqrt[6]{\frac{3}{2}} \left ( \cos\frac{19\pi }{12} + i\sin\frac{19\pi }{12}) \right )$.

[свернуть]

Изобразим наше решение примера графически:

Спойлер

[свернуть]

Корни из единицы
Важен случай извлечения корня $n$-й степени из числа 1. Все корни $n$-й степени даются формулой:

$\sqrt[n]{1} = \cos\frac{2k\pi }{n}+ i\sin\frac{2k\pi }{n}; k = 0,1…,n-1.$

Умножением одного из значений корня на все корни $n$-й степени из единицы можно получить все значения корня $n$-й степени из комплексного числа $\alpha$.
Корень $n$-й степени из единицы $ \varepsilon $ будет первообразным $\Leftrightarrow$ если его степени $\varepsilon^{k}, k = 0,1,…,n-1,$ различны ,то есть если ими исчерпываются все корни $n$-й степени из единицы.
Если $ \varepsilon $ есть первообразный корень $n$-й степени из единицы, то число $\varepsilon^{k}$ будет первообразным корнем $n$-й степени $\Leftrightarrow$, когда ${k}$ взаимно просто с ${n}$. Числа называются взаимно простыми если они не имеют никаких общих делителей кроме 1 и -1.
Пример

Спойлер

Найти первообразные корни :

$\sqrt[4]{1} = \cos\frac{2\pi k}{4} + i\sin\frac{2\pi k}{4}, k = 0, 1, 2, 3;$

$\varepsilon _{0} = \cos0 + i\sin0 = 1;$

$\varepsilon _{1} = \cos\frac{\pi }{2} + i\sin\frac{\pi }{2} = i;$

$\varepsilon _{2} = \cos\pi + i\sin\pi = -1;$

$\varepsilon _{3} = \cos\frac{3\pi }{2} + i\sin\frac{3\pi }{2}= -i.$
Пары   (1, 4)   и  (4, 3)  взаимно простые. С этого следует, что $\varepsilon _{1} $ и  $\varepsilon _{3}$  —  первообразные корни 4-той степени из единицы.

[свернуть]

Литература

извлечение корней

извлечение корней


Таблица лучших: извлечение корней

максимум из 22 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

Действия над матрицами

Примеры:

1. Выполнить сложение матриц:
$latex \begin{pmatrix}
1 &0 \\
2& 1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3 &1 \\
4& 5
\end{pmatrix} $.
Для сложения матриц нам необходимо каждый элемент первой матрицы сложить с соответствующим элементом из второй:
$latex \begin{pmatrix}
1 &0 \\
2& 1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3 &1 \\
4& 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 &1 \\
6& 6
\end{pmatrix}$.

Следует также отметить, что операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна. Например, пусть даны матрицы $latex A=\begin{pmatrix}
1 &2 \\
1&0
\end{pmatrix}$, $latex B=\begin{pmatrix}
0 &1 \\
1&1
\end{pmatrix}$ и $latex C=\begin{pmatrix}
5 &0\\
0&1
\end{pmatrix}$. Тогда:

$latex A+B=$ $latex \begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=$ $latex B+A=$ $latex \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}$.

Покажем выполнение ассоциативности сложения матриц:

$latex A+B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}$;
$latex (A+B)+C= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}$.
$latex B+C= \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 &1 \\ 1&2 \end{pmatrix}$;
$latex A+(B+C)= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}$.

Как видим, $latex A+(B+C)=(A+B)+C$.

2. Выполнить умножение матрицы на число:
$latex \begin{pmatrix}
a &b \\
c&d
\end{pmatrix} \cdot e$.
Для умножения матрицы на число мы умножаем каждый элемент матрицы на данное число:
$latex \begin{pmatrix}
a &b \\
c&d
\end{pmatrix} \cdot e = \begin{pmatrix}
ae &be \\
ce& de
\end{pmatrix}$.

Операция умножения матрицы на число ассоциативна, то есть $latex \alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A$, $latex \forall \alpha, \beta \in \mathbb{P}$. Покажем это на конкретном примере:
Пусть дана матрица $latex A=\begin{pmatrix}
1 &1 \\
1 &1
\end{pmatrix}$ и $latex \alpha = 3, \beta =2$.
Тогда $latex \beta A= \begin{pmatrix} 2 &2 \\ 2 &2 \end{pmatrix}$;
$latex \alpha ( \beta A)= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}$.
$latex \alpha \beta =6$;
$latex ( \alpha \beta) A= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}$.
Как видим, $latex \alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A$.

3. Вычислить произведение матриц:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix}$.
Для удобства будем называть первую матрицу $latex A$ а вторую матрицу $latex B$. Для начала убедимся, что произведение данных матриц возможно. Даны матрицы размерностей $latex 3 \times 3$ и $latex 3 \times 2$, следовательно умножение возможно, так как количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Для вычисления первого элемента результирующей матрицы умножим каждый элемент первой строки матрицы $latex A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $latex B$. Полученные значения сложим. Данную последовательность действий можно проиллюстрировать следующим образом:
Mult
Получим следующее:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &? \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}$.
Далее вычисляем первый элемент второго столбца результирующей матрицы. Умножаем все элементы первой строки матрицы $latex A$ на соответствующие им элементы из второго столбца матрицы $latex B$ и складываем полученные значения:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &27 \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}$.
Для вычисления первого элемента второй строки результирующей матрицы мы будем аналогично умножать элементы второй строки матрицы $latex A$ на элементы первого столбца матрицы $latex B$, складывая результаты:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&? \\ ?&? \end{pmatrix}$.
Оставшиеся элементы вычисляются аналогично:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&16 \\ 34&50 \end{pmatrix}$.
Отметим, что произведение матриц в общем случае некоммутативно и покажем это на примере.
Пусть даны матрицы $latex A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}$.
Тогда $latex A \cdot B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&3 \\ 0&1 \end{pmatrix}$.
$latex B \cdot A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 2&2 \end{pmatrix}$.
Как видим, $latex A \cdot B \ne B \cdot A$.

4. Возвести матрицу в степень:
$latex \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}$.
Для возведения в степень необходимо данную матрицу умножить саму на себя. Заметим, что возводить в степень можно только квадратные матрицы.
$latex \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}=$ $latex \begin{pmatrix} 3 & 0 &4 \\ 6&1 &6 \\ 2& 0 &3 \end{pmatrix}$.

5. Транспонировать матрицу:
$latex \begin{pmatrix} 1 &2 &0 &1 \\ 0&1 &0 &2 \end{pmatrix}$.
Для транспонирования матрицы достаточно записать строки столбцами, а столбцы строками:
$latex \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2&1 \\ 0&0 \\ 1&2 \end{pmatrix}$.

Таблица лучших: Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

Тест на тему «Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц».


Источники:

  1. Г. С. Белозеров. Конспект лекций.
  2. В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 194-197.
  3. А. Г. Курош  «Курс высшей алгебры» (Издание девятое, 1968 г.), стр. 99-102.
  4. И. В. Проскуряков.   «Сборник задач по линейной алгебре» (1984 г.), стр. 112-115.

Построение общего решения СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ

Задача

Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

$$
\left\{
\begin{array}{l l}
2x_1&-3x_2&+5x_3&+7x_4&=1 \\
4x_1&-6x_2&+2x_3&+3x_4&=2 \\
2x_1&-3x_2&-11x_3&-15x_4&=1
\end{array}
\right.
$$

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.$$
\left(\left.\begin{matrix}
2 & -3 & 5 & 7 \\
4 & -6 & 2 & 3 \\
2 & -3 & -11 & -15
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
1 \\ 2 \\ 1
\end{matrix}\right)
\sim
\left(\left.\begin{matrix}
2 & -3 & 5 & 7 \\
0 & 0 & -8 & -11 \\
0 & 0 & -16 & -22
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
\sim$$
$$\sim
\left(\left.\begin{matrix}
2 & -3 & 5 & 7 \\
0 & 0 & -8 & -11 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
$$Последняя матрица равносильна следующей системе:$$
\left\{
\begin{array}{l l}
2x_1&-3x_2&+5x_3&+7x_4&=1 \\
& &-8x_3&-11x_4&=0
\end{array}
\right.
$$Главными переменными назовем те, минор из коэффициентов при которых не равен нулю, например $x_1$ и $x_3$, и выразим через них остальные (свободные) переменные:$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&=\frac{1 + 3x_2-5x_3-7x_4}{2} \\
x_3&=-\frac{11}{8}x_4
\end{array}
\right.$$ $$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&=\frac{1 + 3x_2-\frac{1}{8}x_4}{2} \\
x_3&=-\frac{11}{8}x_4
\end{array}
\right.
$$Последняя система является общим решением исходной СЛАУ. Выберем произвольные значения свободных переменных, например $x_2=1$ и $x_4=0$, тогда $x_1=2$, $x_2=1$, $x_3=x_4=0$ является частным решением исходной СЛАУ. Напомним, что общее и частное решения определены неоднозначно в силу неоднозначности выбора главных переменных и значений свободных переменных.

Задача

Найти общее решение и фундаментальную систему решений (ФСР) для следующей системы уравнений:

$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&+2x_2&+4x_3&-3x_4&=0 \\
3x_1&+5x_2&+6x_3&-4x_4&=0 \\
4x_1&+5x_2&-2x_3&+3x_4&=0 \\
3x_1&+8x_2&+24x_3&-19x_4&=0
\end{array}
\right. $$

Решение:

Аналогично предыдущему решению, найдем общее решение системы.$$A = \left(\left.\begin{matrix}
1 & 2 & 4 & -3 \\
3 & 5 & 6 & -4 \\
4 & 5 & -2 & 3 \\
3 & 8 & 24 &-19
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
\sim
\left(\left.\begin{matrix}
1&2&4&-3\\
0&-1&-6&5\\
0&-3&-18&15\\
0&2&12&-10
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
\sim$$ $$\sim
\left(\left.\begin{matrix}
1&2&4&-3\\
0&-1&-6&5\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)$$Заметим, что $\mathrm{rang}A=2$.$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&+2x_2&+4x_3&-3x_4&=0 \\
&-x_2&-6x_3&-15x_4&=0
\end{array}
\right.
$$Общее решение исходной СЛАУ:$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1 & = &+8x_3 &-7x_4\\
x_2 & = &-6x_3 &+5x_4
\end{array}
\right.
$$ФСР состоит из $k=(n-\mathrm{rang}A)$ векторов, где $n$ — количество переменных. В нашем случае $k=2$, значит ФСР будет состоять из двух векторов $c_1$ и $c_2$. Возьмем произвольные значения свободных переменных:$$\begin{array}{c|c|c|c|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
\hline
c_1 & & & 1 & 0\\
\hline
c_2 & & & 0 & 1
\end{array}$$Подставив эти значения в общее решение СЛАУ, найдем значения главных переменных:
$$\begin{array}{c|c|c|c|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
\hline
c_1 & 8 & -6 & 1 & 0\\
\hline
c_2 & -7 & 5 & 0 & 1
\end{array}$$Таким образом, ФСР исходной СЛАУ — это система $<(8, -6, 1, 0), (-7, 5, 0, 1)>$.

Литература

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.77-88.

Тест

Тест служит проверкой навыков нахождения решений СЛАУ.

Таблица лучших: СЛАУ

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных