Определение 1
Пусть на некоторой прямой либо некоторой плоскости, либо в пространстве заданы две точки $A$ и $B$, которые определяют отрезок $AB$. Отрезок $AB$ назовем направленным отрезком, если для него указано, какая из концевых точек начальная, какая конечная.
$\overline{AB}=a$
Определение 2
Если в предыдущем определении точка $A$ совпадает с точкой $B$, то получаем нулевой вектор $\overline{AB}=0.$
Любое взаимно однозначное отображение $latex A$ множества первых $latex n$ натуральных чисел на себя называется подстановкой $latex n$-й степени. Всякая подстановка $latex A$ может быть записана при помощи двух перестановок, подписанных одна под другой:
$latex
\begin{pmatrix}
i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n}\\
a_{i_{1}} & a_{i_{2}} & \ldots & a_{i_{n}}
\end{pmatrix} $
через $latex a_{i}$ здесь обозначается то число, в которое при подстановке $latex A$ переходит число $latex i$, $latex i = 1,2,$ $latex \ldots , n$.
Замечание:
От одной записи подстановки $latex A$ к другой можно перейти при помощи транспозиций столбиков. Любая подстановка $latex n$-й степени может быть записана в виде:
$latex \begin{pmatrix}
1 & 2 & \ldots & n\\
a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n}
\end{pmatrix} $
Т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке. При такой записи различные подстановки различаются друг от друга перестановками, стоящими в нижней строке, и поэтому число перестановок из $latex n$ чисел равно $latex n!$ .
Переход к любой другой записи подстановки $latex A$ можно осуществить, как мы знаем, путём последовательного выполнения нескольких транспозиций в верхней строке и соответствующих им транспозиций в нижней строке. Мы одновременно меняем чётность и поэтому сохраняем совпадение или противоположность этих чётностей.
Отсюда следует, что либо при всех записях подстановки $latex A$ чётности верхней и нижней строк совпадают, либо же при всех записях они противоположны. В первом случае подстановка $latex A$ называется чётной, а во втором — нечётной. В частности тождественная подстановка($latex E$) будет чётной:
$latex E =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \ldots & n\\
1 & 2 & \ldots & n
\end{pmatrix} $Число чётных подстановок равно числу нечётных, равно $latex {\frac12 n!}$
Основными свойствами бинарных алгебраических операций являются:
Коммутативность (переместительность)
Свойство бинарной алгебраической операции $ \circ ,$ при котором выполняется условие: $ \forall \ x,y \in \mathbb{P}: $ $ (x\circ y)=(y\circ x) ,$ где $ \mathbb{P} $ — некоторое рассматриваемое множество.
Ассоциативность (сочетательность)
Свойство бинарной алгебраической операции $ \circ ,$ при котором выполняется условие: $ \forall \ x,y,z \in \mathbb{P}: $ $ (x\circ y)\circ z=y\circ (x\circ z) ,$ где $ \mathbb{P} $ — некоторое рассматриваемое множество.
Дистрибутивность (распределительный закон)
Свойство согласованности некоторых двух рассматриваемых алгебраических операций $ \oplus $ и $ \otimes $ на одном и том же некотором рассматриваемом множестве $ \mathbb{P} ,$ при котором выполняется условие левой: $ \forall \ x,y,z \in \mathbb{P}: $ $ x\otimes (y\oplus z) $ $ =(x\otimes y)\oplus(x\otimes z) $; и/или правой: $ (y\oplus z) \otimes x $ $ =(y\otimes x)\oplus(z\otimes x) $ дистрибутивности.
Примеры
Проверить коммутативность умножения матриц над полем вещественных чисел.
Спойлер
Пусть $ \small A \in \mathbb{M} _{m \times p} ,B \in \mathbb{M} _{p \times n}: $ $ \small C=A\times B;\ C \in \mathbb{M} _{m\times n} \Rightarrow $ $ \small c_{ij}= \underset{k=1} {\overset{p} {\sum}}a_{ik}b_{kj} .$ Очевидно, что для выполнения операции умножения, количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй, следовательно, мы доказали, что коммутативность не выполняется для всех матриц, однако всё ещё может выполнятся для квадратных матриц. Проверим это: выполнение коммутативности для матриц будет выглядеть, как $ \small\forall \ A,B \in \mathbb{M}_{n} \ A\times B \overset{?}{=} B\times A,$ если рассматривать результирующую матрицу поэлементно, то это можно интерпретировать, как $ \small \underset{k=1} {\overset{m} {\sum }}a_{ik}b_{kj}\overset {?}{=} \underset{k=1}{ \overset{m}{\sum}}b_{ik}a_{kj},$ то есть в первой сумме мы перемножаем строку первой матрицы на столбец второй, а во второй строку второй матрицы на столбец первой. Ясно, что результаты таких действий будут равны тогда и только тогда, когда обе матрицы будут симметрическими (то есть будут совпадать с собой транспонированными $ \small A^{T}=A$). Следовательно, коммутативность не выполняется даже для квадратных матриц.
[свернуть]
Доказать, что если ассоциативность выполняется для трёх элементов множества, то способ расстановки скобок не влияет на результат при любом количестве операндов, то есть если:
$ \forall x,y,z \in \mathbb{P}: $ $ (x\circ y)\circ z=y\circ (x\circ z) ,$ то в выражении $ a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{n-1} \circ a _{n}, \,a_{i} \in \mathbb{P} i=\overline{1,n} $ результат не зависит от того, как мы расставим скобки.
Спойлер
Докажем это утверждение математической индукцией по количеству операндов. База индукции:
Минимальное количество переменных равно трём, следовательно, из условия имеем: $ \small \forall \,a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{P}: $ $ \small ( a_{1}\circ a_{2})\circ a_{3}= a_{2}\circ (a_{1}\circ a_{3}) .$ База индукции доказана. Предположение индукции:
$ \small \forall \,n \in \mathbb{N}: $результат выражения $ \small a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{n-1} \circ a _{n} \,$ не зависит от порядка расстановки скобок. Шаг индукции:
Пусть предположение индукции справедливо для $ \small \forall \, n \in \mathbb{N} ,$ докажем, что тогда оно справедливо и для $ \small n+1 .$
Пусть $ \small 1\leq p\leq m< n+1 .$ То есть можно задать справедливое разбиение: $ \small a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{n-1} \circ a _{n} = $ $ \small (a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{p-1} \circ a _{p}) \circ $ $ \small (a _{p+1} \circ … \circ a _{m-1} \circ a _{m})\circ $ $ \small (a _{m+1} \circ … \circ a _{n-1} \circ a _{n} \circ a _{n+1}) .$ Произведём замену:
$ \small (a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{p-1} \circ a _{p}) = a $
$ \small (a _{p+1} \circ … \circ a _{m-1} \circ a _{m}) = b $
$ \small (a _{m+1} \circ … \circ a _{n} \circ a _{n+1}) = c $
По базе индукции имеем $ \small (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c ),$ то есть $ \small [ (a _{1} \circ a _{2} \circ … $ $ \circ a _{p-1} \circ a _{p}) \circ $ $ \small (a _{p+1} \circ … $ $ \circ a _{m-1} \circ a _{m}) ] \circ $ $ \small (a _{m+1} \circ … $ $ \circ a _{n-1} \circ a _{n} \circ a _{n+1})=$ $ \small (a _{1} \circ a _{2} \circ … $ $ \circ a _{p-1} \circ a _{p}) \circ $ $ \small [ (a _{p+1} \circ … $ $ \circ a _{m-1} \circ a _{m}) \circ $ $ \small (a _{m+1} \circ … $ $ \circ a _{n-1} \circ a _{n} \circ a _{n+1}) ].$
В силу свободы выбора $ \small p, m,$ и свободы количества замен такого рода теорема доказана.
[свернуть]
Проверить дистрибутивность сложения матриц над полем вещественных чисел относительно умножения.
Основные свойства бинарных алгебраических операций.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Алгебра0%
максимум из 30 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
4
5
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
1.
Количество баллов: 10
Как ещё называют коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы? Разместите ответы в соответствующем порядке, не подходящий ни к чему разместите в конце.
Переместительный
Сочетательный
Распределительный
Исключительный
Задание 2 из 5
2.
Количество баллов: 5
Какой закон устанавливает связь сразу между двумя операциями?
Задание 3 из 5
3.
Количество баллов: 5
Ассоциативно ли умножение матриц над полем вещественных чисел?
Задание 4 из 5
4.
Количество баллов: 5
Дистрибутивно ли умножение относительно сложения матриц над полем комплексных чисел?
Задание 5 из 5
5.
Количество баллов: 5
Как ещё называется теорема, приведённая в примере 2?
Подсказка
Таблица лучших: Основные свойства бинарных алгебраических операций.
Транзитивность: [latex]a \sim b[/latex] и [latex]b \sim c[/latex], то [latex]a \sim c[/latex], [latex]\forall a,b,c \in A[/latex].
Если [latex]a[/latex] связан с [latex]b[/latex], будем писать [latex]a \sim b[/latex] и говорить, что [latex]a[/latex] эквивалентен [latex]b[/latex].
Определение
Пусть [latex]\rho[/latex] — отношение эквивалентности, тогда подмножество [latex]\overline{X}=\{y\in A\vert y\sim_{\rho}x\}[/latex] называется классом эквивалентности.
Теорема
Любое отношения эквивалентности на множестве [latex]A[/latex] образует разбиение множества [latex]A[/latex] на классы эквивалентности. Обратно, любое разбиение множества [latex]A[/latex] задает на нем отношение эквивалентности.
Доказательство
Действительно, пусть [latex]K_a[/latex] — группа элементов из [latex]A[/latex] эквивалентных фиксированному элементу [latex]a[/latex]. В силу рефлексивности [latex]a \in K_a[/latex].
Покажем, что для любых [latex]K_a[/latex] и [latex]K_b[/latex]: [latex]K_a = K_b[/latex] или не имеют общих элементов.
Докажем методом «от противного».
Пусть [latex]\exists c: c\in K_a[/latex] и [latex]c\in K_b[/latex], т.е. [latex]c \sim a[/latex] и [latex]c \sim b[/latex], а в силу транзитивности [latex]a \sim b[/latex], и [latex]b \sim a[/latex]. Тогда [latex]\forall x \in K_a[/latex], то [latex]x \sim a[/latex][latex]\Rightarrow[/latex][latex]x \sim b[/latex], т.е. [latex]x \in K_b[/latex]. Таким образом, две группы, имеющие хотя бы [latex]1[/latex] общий элемент, полностью совпадают.
Мы получили разбиение на классы.
Докажем обратное.
Теперь пусть [latex](B_i)_{i\in I}[/latex] — некоторое разбиение множества [latex]A[/latex]. Рассмотрим отношение [latex]\rho[/latex], такое, что [latex]x \sim_{\rho} y[/latex] имеет место тогда и только тогда, когда [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] принадлежат одному и тому же элементу [latex]B_i[/latex] данного разбиения:
[latex]x \sim_{\rho} y \Leftrightarrow (\exists i \in I)(x \in B_i) \land (y \in B_i).[/latex]
Очевидно, что введенное отношение рефлексивно и симметрично. Если для любых [latex]x[/latex],[latex]y[/latex] и [latex]z[/latex] имеет место [latex]x \sim_{\rho} y[/latex] и [latex]y \sim_{\rho} z[/latex], то [latex]x[/latex], [latex]y[/latex] и [latex]z[/latex] в силу определения отношения [latex]\rho[/latex] принадлежат одному и тому же элементу [latex]B_i[/latex] разбиения. Следовательно, [latex]x \sim_{\rho} z[/latex] и отношение [latex]\rho[/latex] транзитивно. Таким образом, [latex]\rho[/latex] — эквивалентность на [latex]A[/latex].
Пример
Отношение равенства [latex] =_\rho [/latex] на множестве действительных чисел является отношением эквивалентности.
[latex]\forall a \in R[/latex]: [latex]a=a[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex] =_\rho [/latex] рефлексивно на множестве [latex]R[/latex];
[latex]\forall a,b \in A[/latex]: [latex]a=b[/latex] и [latex]b=a[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex] =_\rho [/latex] симметрично на множестве [latex]R[/latex];
[latex]\forall a,b,c \in A[/latex]: [latex]a=b[/latex] и [latex]b=c[/latex], то [latex]a=c[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex] =_\rho [/latex] транзитивно на множестве [latex]R[/latex].
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
5
Информация
Тест поможет определить как хорошо вы усвоили материал.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
Алгебра0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
4
5
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
1.
Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если отвечает условиям:
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 5
2.
Можно ли разбить все страны на классы, помещая в один класс странны тогда и только тогда, когда они имеют общую границу?
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 5
3.
Является ли, отношение «!=»(не равно) отношением эквивалентности?
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 5
4.
Любое отношения эквивалентности на множестве [latex]A[/latex] образует _________ множества [latex]A[/latex] на классы эквивалентности.
Правильно
Неправильно
Задание 5 из 5
5.
Напишите пропущенное слово:
Любое отношение эквивалентности на некотором множестве задает (разбиение) на этом множестве.
Множество $G$ с бинарной алгебраической операцией $\ast$ называется группой, если выполняются следующие условия:
Операция $\ast$ в $G$ ассоциативна: $a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c \forall a,b,c\in G$;
В $G$ существует нейтральный элемент $\theta :a\ast\theta=\theta\ast a=a \forall a\in G;$
Для каждого элемента $a\in G$ существует обратный ему элемент $a^{-1}\in G: a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=\theta $.
Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.
Задача
Доказать, что множество рациональных чисел R является абелевой группой относительно операции сложения.
Спойлер
Ассоциативность очевидна
$\forall a,b,c\in R a+(b+c)=(a+b)+c$
Нейтральным элементом является число 0.
$ 0+a=a+0=a \forall a\in r$
Для каждого элемента множества R существует обратные ему элемент, также принадлежащий множеству $R$ .
$ a^{-1}=-a$
$\forall a\in R a+(-a)=(-a)+a=\theta=0$
$\Rightarrow R$ является группой относительно операции сложения.
Проверим коммутативность:
$ \forall a,b\in R a+b=b+a$ — верно.
$\Rightarrow$Группа абелева. Что и требовалось доказать
[свернуть]
Кольцо
Множество $K$ , на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение $\cdot$, называется кольцом, если выполняются следующие условия:
Относительно операции сложения множество $K$ — коммутативная группа, т.е:
Операция сложения коммутативна: $a+b=b+a \forall a,b\in K;$
Операция сложения ассоциативна:$ a+(b+c)=(a+b)+c \forall a,b,c\in K;$
Существует нулевой элемент $\theta: a+\theta =\theta +a=a \forall a\in K;$
для каждого элемента существует противоположный ему элемент $(-a)\in K: a+(-a)=(-a)+a=\theta;$
Операция умножения в множестве $K$ ассоциативна:
$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$$ \forall a,b,c\in K$
Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b \forall a,b,c\in K$
Если операция умножения коммутативна:$a\cdot b=b\cdot a$, то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент $e: a\cdot e=e\cdot a=a$, то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.
Задача
Проверить яляется ли кольцом множество комплексных чисел.
Дистрибутивность сложения и умножения
$ \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C
((a+bi)+(c+di))\cdot (e+fi)=((a+c)+(b+d)i)\cdot (e+fi)=((a+c)e-(b+d)f)+((a+c)f+(b+d)e)i)=(ae+ce-bf-df)+(af+cf+be+de)i=(ae-bf)+(be+af)i+(ce-df)+(cf+de)i=(a+bi)\cdot (e+fi)+(c+di)\cdot (e+fi)$
Множество комплексных чисел является кольцом
[свернуть]
Поле
Полем называется кольцо $P$, обладающее следующими свойствами: 1. Обратимость умножения. $\forall a,b\in P$, где $a\neq 0$, уравнение $ax = b$ имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что $aq = b$.
2. $P$ содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.
Г.С.Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре
Структуры и подструктуры
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 3 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
Информация
Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.