Учебные работы студентов специальности прикладная математика Одесского национального университета имени И.И.Мечникова по курсу "Интернет технологии"
Учебные материалы по уневерситетскому курсу алгебры
Определение 1
Пусть на некоторой прямой либо некоторой плоскости, либо в пространстве заданы две точки $A$ и $B$, которые определяют отрезок $AB$. Отрезок $AB$ назовем направленным отрезком, если для него указано, какая из концевых точек начальная, какая конечная.
Определение 2
Если в предыдущем определении точка $A$ совпадает с точкой $B$, то получаем нулевой вектор $\overline{AB}=0.$
Любое взаимно однозначное отображение $latex A$ множества первых $latex n$ натуральных чисел на себя называется подстановкой $latex n$-й степени. Всякая подстановка $latex A$ может быть записана при помощи двух перестановок, подписанных одна под другой:
$latex
\begin{pmatrix}
i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n}\\
a_{i_{1}} & a_{i_{2}} & \ldots & a_{i_{n}}
\end{pmatrix} $
через $latex a_{i}$ здесь обозначается то число, в которое при подстановке $latex A$ переходит число $latex i$, $latex i = 1,2,$ $latex \ldots , n$.
От одной записи подстановки $latex A$ к другой можно перейти при помощи транспозиций столбиков. Любая подстановка $latex n$-й степени может быть записана в виде:
$latex \begin{pmatrix}
1 & 2 & \ldots & n\\
a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n}
\end{pmatrix} $
Т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке. При такой записи различные подстановки различаются друг от друга перестановками, стоящими в нижней строке, и поэтому число перестановок из $latex n$ чисел равно $latex n!$ .
Переход к любой другой записи подстановки $latex A$ можно осуществить, как мы знаем, путём последовательного выполнения нескольких транспозиций в верхней строке и соответствующих им транспозиций в нижней строке. Мы одновременно меняем чётность и поэтому сохраняем совпадение или противоположность этих чётностей.
Отсюда следует, что либо при всех записях подстановки $latex A$ чётности верхней и нижней строк совпадают, либо же при всех записях они противоположны. В первом случае подстановка $latex A$ называется чётной, а во втором — нечётной. В частности тождественная подстановка($latex E$) будет чётной:
$latex E =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \ldots & n\\
1 & 2 & \ldots & n
\end{pmatrix} $Число чётных подстановок равно числу нечётных, равно $latex {\frac12 n!}$
$latex \begin{pmatrix}
4 & 3 & 5 & 2 &1\\
3 & 5 & 2 & 1 &4
\end{pmatrix}$ всегда можно представить в виде $latex \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 &5\\
4 & 1 & 5 & 3 &2
\end{pmatrix}$
Тест по теме «Подстановки степени $latex n$».
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
Пусть $ \small A \in \mathbb{M} _{m \times p} ,B \in \mathbb{M} _{p \times n}: $ $ \small C=A\times B;\ C \in \mathbb{M} _{m\times n} \Rightarrow $ $ \small c_{ij}= \underset{k=1} {\overset{p} {\sum}}a_{ik}b_{kj} .$ Очевидно, что для выполнения операции умножения, количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй, следовательно, мы доказали, что коммутативность не выполняется для всех матриц, однако всё ещё может выполнятся для квадратных матриц. Проверим это: выполнение коммутативности для матриц будет выглядеть, как $ \small\forall \ A,B \in \mathbb{M}_{n} \ A\times B \overset{?}{=} B\times A,$ если рассматривать результирующую матрицу поэлементно, то это можно интерпретировать, как $ \small \underset{k=1} {\overset{m} {\sum }}a_{ik}b_{kj}\overset {?}{=} \underset{k=1}{ \overset{m}{\sum}}b_{ik}a_{kj},$ то есть в первой сумме мы перемножаем строку первой матрицы на столбец второй, а во второй строку второй матрицы на столбец первой. Ясно, что результаты таких действий будут равны тогда и только тогда, когда обе матрицы будут симметрическими (то есть будут совпадать с собой транспонированными $ \small A^{T}=A$). Следовательно, коммутативность не выполняется даже для квадратных матриц.
Докажем это утверждение математической индукцией по количеству операндов.
База индукции:
Минимальное количество переменных равно трём, следовательно, из условия имеем: $ \small \forall \,a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{P}: $ $ \small ( a_{1}\circ a_{2})\circ a_{3}= a_{2}\circ (a_{1}\circ a_{3}) .$ База индукции доказана.
Предположение индукции:
$ \small \forall \,n \in \mathbb{N}: $результат выражения $ \small a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{n-1} \circ a _{n} \,$ не зависит от порядка расстановки скобок.
Шаг индукции:
Пусть предположение индукции справедливо для $ \small \forall \, n \in \mathbb{N} ,$ докажем, что тогда оно справедливо и для $ \small n+1 .$
Пусть $ \small 1\leq p\leq m< n+1 .$ То есть можно задать справедливое разбиение: $ \small a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{n-1} \circ a _{n} = $ $ \small (a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{p-1} \circ a _{p}) \circ $ $ \small (a _{p+1} \circ … \circ a _{m-1} \circ a _{m})\circ $ $ \small (a _{m+1} \circ … \circ a _{n-1} \circ a _{n} \circ a _{n+1}) .$ Произведём замену:
$ \small (a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{p-1} \circ a _{p}) = a $
$ \small (a _{p+1} \circ … \circ a _{m-1} \circ a _{m}) = b $
$ \small (a _{m+1} \circ … \circ a _{n} \circ a _{n+1}) = c $
По базе индукции имеем $ \small (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c ),$ то есть $ \small [ (a _{1} \circ a _{2} \circ … $ $ \circ a _{p-1} \circ a _{p}) \circ $ $ \small (a _{p+1} \circ … $ $ \circ a _{m-1} \circ a _{m}) ] \circ $ $ \small (a _{m+1} \circ … $ $ \circ a _{n-1} \circ a _{n} \circ a _{n+1})=$ $ \small (a _{1} \circ a _{2} \circ … $ $ \circ a _{p-1} \circ a _{p}) \circ $ $ \small [ (a _{p+1} \circ … $ $ \circ a _{m-1} \circ a _{m}) \circ $ $ \small (a _{m+1} \circ … $ $ \circ a _{n-1} \circ a _{n} \circ a _{n+1}) ].$
В силу свободы выбора $ \small p, m,$ и свободы количества замен такого рода теорема доказана.
Пусть $ A \in \mathbb{M} _{m\times n}; B,C \in \mathbb{M} _{n\times m},$ докажем, что $ A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C.$ Заметим, что $ A=\left \| a_{ij} \right \|,$ $ B=\left \| b_{ji} \right \|,$ $ C=\left \| c_{ji} \right \|,$ $ i=\overline{1,m},$ $ j =\overline{1,n}$, тогда $ A\cdot (B+C)=$ $ \ \left \| a_{ij} \right \|\cdot (\left \| b_{ji} \right \| + \left \| c_{ji} \right \|)=$ $ \ \left \| a_{ij} \right \|\cdot (\left \| b_{ji} + c_{ji} \right \|) = $ $ \ \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot (b_{ji} + c_{ji})\right \| = $ $ \ \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot b_{ji} + \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot c_{ji}\right \|=$ $ \ \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot b_{ji} \right \| + \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot c_{ji}\right \| = $ $ \ A\cdot B+A\cdot C.$
Правая дистрибутивность доказывается аналогично.
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если отвечает условиям:
Если [latex]a[/latex] связан с [latex]b[/latex], будем писать [latex]a \sim b[/latex] и говорить, что [latex]a[/latex] эквивалентен [latex]b[/latex].
Пусть [latex]\rho[/latex] — отношение эквивалентности, тогда подмножество [latex]\overline{X}=\{y\in A\vert y\sim_{\rho}x\}[/latex] называется классом эквивалентности.
Любое отношения эквивалентности на множестве [latex]A[/latex] образует разбиение множества [latex]A[/latex] на классы эквивалентности. Обратно, любое разбиение множества [latex]A[/latex] задает на нем отношение эквивалентности.
Действительно, пусть [latex]K_a[/latex] — группа элементов из [latex]A[/latex] эквивалентных фиксированному элементу [latex]a[/latex]. В силу рефлексивности [latex]a \in K_a[/latex].
Покажем, что для любых [latex]K_a[/latex] и [latex]K_b[/latex]: [latex]K_a = K_b[/latex] или не имеют общих элементов.
Докажем методом «от противного».
Пусть [latex]\exists c: c\in K_a[/latex] и [latex]c\in K_b[/latex], т.е. [latex]c \sim a[/latex] и [latex]c \sim b[/latex], а в силу транзитивности [latex]a \sim b[/latex], и [latex]b \sim a[/latex]. Тогда [latex]\forall x \in K_a[/latex], то [latex]x \sim a[/latex][latex]\Rightarrow[/latex][latex]x \sim b[/latex], т.е. [latex]x \in K_b[/latex]. Таким образом, две группы, имеющие хотя бы [latex]1[/latex] общий элемент, полностью совпадают.
Мы получили разбиение на классы.
Докажем обратное.
Теперь пусть [latex](B_i)_{i\in I}[/latex] — некоторое разбиение множества [latex]A[/latex]. Рассмотрим отношение [latex]\rho[/latex], такое, что [latex]x \sim_{\rho} y[/latex] имеет место тогда и только тогда, когда [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] принадлежат одному и тому же элементу [latex]B_i[/latex] данного разбиения:
[latex]x \sim_{\rho} y \Leftrightarrow (\exists i \in I)(x \in B_i) \land (y \in B_i).[/latex]
Очевидно, что введенное отношение рефлексивно и симметрично. Если для любых [latex]x[/latex],[latex]y[/latex] и [latex]z[/latex] имеет место [latex]x \sim_{\rho} y[/latex] и [latex]y \sim_{\rho} z[/latex], то [latex]x[/latex], [latex]y[/latex] и [latex]z[/latex] в силу определения отношения [latex]\rho[/latex] принадлежат одному и тому же элементу [latex]B_i[/latex] разбиения. Следовательно, [latex]x \sim_{\rho} z[/latex] и отношение [latex]\rho[/latex] транзитивно. Таким образом, [latex]\rho[/latex] — эквивалентность на [latex]A[/latex].
Отношение равенства [latex] =_\rho [/latex] на множестве действительных чисел является отношением эквивалентности.
[latex]\forall a \in R[/latex]: [latex]a=a[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex] =_\rho [/latex] рефлексивно на множестве [latex]R[/latex];
[latex]\forall a,b \in A[/latex]: [latex]a=b[/latex] и [latex]b=a[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex] =_\rho [/latex] симметрично на множестве [latex]R[/latex];
[latex]\forall a,b,c \in A[/latex]: [latex]a=b[/latex] и [latex]b=c[/latex], то [latex]a=c[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex] =_\rho [/latex] транзитивно на множестве [latex]R[/latex].
Тест поможет определить как хорошо вы усвоили материал.
Множество $G$ с бинарной алгебраической операцией $\ast$ называется группой, если выполняются следующие условия:
Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.
Доказать, что множество рациональных чисел R является абелевой группой относительно операции сложения.
$\Rightarrow R$ является группой относительно операции сложения.
Проверим коммутативность:
$ \forall a,b\in R a+b=b+a$ — верно.
$\Rightarrow$Группа абелева.
Что и требовалось доказать
Множество $K$ , на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение $\cdot$, называется кольцом, если выполняются следующие условия:
Если операция умножения коммутативна:$a\cdot b=b\cdot a$, то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент $e: a\cdot e=e\cdot a=a$, то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.
Проверить яляется ли кольцом множество комплексных чисел.
Множество комплексных чисел является кольцом
Полем называется кольцо $P$, обладающее следующими свойствами:
1. Обратимость умножения. $\forall a,b\in P$, где $a\neq 0$, уравнение $ax = b$ имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что $aq = b$.
2. $P$ содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.
Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||