Для того чтобы приступить к работе над этим пунктом, необходимо иметь понимание о том, что написано в 3 предыдущих пунктах этой темы, а так-же соответствующий теоретический материал.

Здесь представлены некоторые примеры задач в которых нужно преобразовать комплексное число из одной формы в другую для их решения.

Пример 1
Представим число $z=\sqrt{3}+i$ в геометрической и тригонометрической форме.

Вспомним если $a+ib$ и $r(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$ два представления одного и того-же комплексного числа, то $r=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos{\alpha}=\frac{a}{r}$ и $\sin{\alpha}=\frac{b}{r}$.

Получаем $r=\sqrt{3+1}=2$ и $\alpha = \frac{\pi}{6}$, то-есть $z_1=2(\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}})$ — тригонометрическая форма комплексного числа.

Зная, что в представлении $z=a+ib$, $Re(z)=a$, $Im(z)=b$, получаем что в комплексной плоскости точка представляющая комплексное число имеет координаты $(a,b)$.

Получаем $Z_2(\sqrt{3},1)$ — геометрическая форма комплексного числа.

Пример 2
Найдем г.м.т. точек $z$, если $z=4(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$ и $0\leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$.

Имеем $|z|=r=4$, $a=4\cos{\alpha}=Re(z)$, $b=4\sin{\alpha}=Im(z)$, отсюда и из условия получаем $0\leq a \leq 4$, $0\leq b \leq 4, a^2+b^2=16$. Получаем четверть круга радиуса $4$, расположенная в первой четверти декартовых координат. Так-же решение очевидно, если использовать полярную систему координат.

Пример 3
Найдем комплексное число $z=\frac{(1-i\sqrt{3})(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})}{(1-i)(\cos{\alpha}-i\sin{\alpha})}$.

Для на чала преобразуем комплексные числа $z_1=1-i\sqrt{3},z_2=1-i$ в тригонометрическую форму. Получим $z_1=2(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}})$ и $x_2=\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})$.

Подставив найденное в исходное выражение, получим что оно состоит только из комплексных чисел в тригонометрической форме. Решим полученное.
$$\frac{2(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}})(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})}{\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})(\cos{\alpha}-i\sin{\alpha})}=$$
$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\cos{(\alpha+\frac{5\pi}{3})}+i\sin{(\alpha+\frac{5\pi}{3})}}{\cos{(-\alpha+\frac{7\pi}{4})}+i\sin{(-\alpha+\frac{7\pi}{4})}}=$$
$$=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot(\cos {( — \frac{\pi}{12}+2\alpha )}+i\sin {( — \frac{\pi}{12}+2\alpha )})=z$$

В этой задаче удобно привести комплексное число к тригонометрической форме, так как операции с ними выполняются проще.

Литература

• Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре $—$ М.:Наука, 1972.(c.18-22)
• Фаддеев Д.К Лекции по алгебре $—$ М.:Наука, 1984.(c.26-39)

Смешанные задачи на комплексные числа.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на тему «Смешанные задачи на комплексные числа».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Сократить (дать ответ в тригонометрической форме) $z=(1+i\sqrt{3})(1+i)(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$.

   • $z=2\sqrt{2}(\cos{(\alpha + \frac{7\pi}{12})}+i\sin{(\alpha + \frac{7\pi}{12})})$
   • $z=\cos{(\alpha + \frac{7\pi}{12})}+i\sin{(\alpha + \frac{7\pi}{12})}$
   • $z=2\sqrt{2}(\cos{(\alpha + \frac{\pi}{12})}+i\sin{(\alpha + \frac{\pi}{12})})$
   • $z=\cos{\alpha}+i\sin{\alpha}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Упорядочить по возрастанию модуля числа:

   • $1+i\sqrt{3}$
   • $\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{4}$
   • $4(\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}})$
   • $\frac{\lg^4{100}}{3}(\cos{\frac{4\pi}{7}}+i\sin{\frac{4\pi}{7}})$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Выбрать два представления отвечающие одному и тому же комплексному числу.

   • $\sqrt{2}-i\sqrt{2}$
   • $2(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})$
   • $4-i4$
   • $\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})$
   • $4(\cos{\frac{\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi}{4}})$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Поставить в соответствие комплексным числам в алгебраической форме их тригонометрическое представление.

   Элементы сортировки

   • $4(\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}})$
   • $4(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}})$
   • $2(\cos{\frac{11\pi}{6}}+i\sin{\frac{11\pi}{6}})$
   • $8\sqrt{2}(\cos{\frac{5\pi}{6}}+i\sin{\frac{5\pi}{6}})$

   • $2\sqrt{3}+i2$

   • $2-i2\sqrt{3}$

   • $\sqrt{3}-i$

   • $-4\sqrt{3}+i4$

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Указать число с полярными координатами $(2,\frac{11\pi}{6})$.

   • $\sqrt{3}-i$
   • $-1+i\sqrt{3}$
   • $2+i2$
   • $1-i2$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Определение
Упорядоченный набор $n$ элементов множества назовём перестановкой $n$ элементов этого множества.
$(i_1,i_2,\ldots,i_n),$ $i_j \in \{1,2,\ldots,k\},$ $j=\overline{1,n}$. Перестановка $(1,2,\ldots,n)$ называется нормальной. Также перестановки бывают четными и нечетными.
$A=\{ a_1,a_2,\ldots,a_n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$ — естественный порядок.

Примеры:

Два числа $i$ и $j$ образуют инверсию, если $i>j$, но $i$ стоит в перестановке раньше $j$.

Пример:

В каждой перестановке можно определить число инверсий в ней, которое можно подсчитать следующим образом: для каждого числа определяют количество стоящих справа чисел, меньших данного числа, и полученные результаты суммируются.

Пример:

Перестановки

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на знание темы «Перестановки»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Сколькими способами могут разместиться за круглым столом 5 человек?
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   У каких перестановок число инверсий совпадает?

   • $(7, 2, 1, 5, 6, 9, 3, 4, 8)$
   • $(3, 7, 5, 6, 2, 1, 9, 8, 4)$
   • $(9, 7, 8, 3, 5, 4, 2, 1, 6)$
   • $(5, 4, 3, 8, 2, 6, 9, 1, 7)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Поставьте перестановки в порядке убывания числа инверсий:

   • $(9, 7, 8, 3, 5, 4, 2, 1, 6)$
   • $(6, 7, 8, 9, 3, 4, 2, 1, 5)$
   • $(3, 8, 7, 6, 5, 9, 1, 4, 2)$
   • $(5, 4, 3, 8, 2, 6, 9, 7, 1)$
   • $(3, 7, 5, 6, 2, 1, 9, 8, 4)$
   • $(7, 2, 1, 5, 6, 9, 3, 4, 8)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Для каждой перестановки определите число инверсий:

   Элементы сортировки

   • $7$
   • $3$
   • $9$
   • $10$

   • $(5, 3, 1, 4, 2, 6)$

   • $(2, 3, 4, 1, 5, 6)$

   • $(3, 6, 1, 5, 4, 2)$

   • $(6, 2, 5, 3, 1, 4)$

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Вставьте пропущенное слово:

   • (Упорядоченный) набор n элементов множества назовём перестановкой n элементов этого множества.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Пусть $A$ и $B$ два конечных множества. Декартовым произведением множеств $A$ и $B$ называют множество $A\times B,$состоящее из всех упорядоченных пар, где $ a\in A, b\in B. $

Бинарным отношением между элементами множества $A$ и $B$ называется любое подмножество $R$ множества $A\times B$, то есть $ R\subset A\times B.$

По определению, бинарным отношением называется множество пар. Если R — бинарное отношение (т.е. множество пар), то говорят, что параметры $x$ и $y$ связаны бинарным отношением $R$, если пара $\langle x,y \rangle $ является элементом R, т.е. $\langle x,y \rangle\in R. $

Высказывание: «предметы $x$ и $y$ связаны бинарным отношением $R$» записывают в виде $xRy.$Таким образом, $ xRy\leftrightarrow\langle x,y\rangle\in R.$

Если $R\subset A\times A $, то говорят, что бинарное отношение определено на множестве $A$.

Примеры бинарных отношений:

• на множестве целых чисел $Z$ отношения «делится», «делит», «равно», «больше», «меньше», «взаимно просты»;
• на множестве прямых пространства отношения «параллельны», «взаимно перпендикулярны», «скрещиваются», «пересекаются», «совпадают»;
• на множестве окружностей плоскости «пересекаются», «касаются», «концентричны».

Областью определения бинарного отношения $R$ называется множество, состоящее из таких $x$, для которых $\langle x,y \rangle\in R $ хотя бы для одного $y$.
Область определения бинарного отношения будем обозначать $ \Re R$.
$\Re R=\{ x|\exists y(\langle x,y\rangle\in R)\}$
Областью значений бинарного отношения $R$ называется множество, состоящее из таких $y$, для которых $\langle x,y \rangle\in R $ хотя бы для одного $x$.
Область значений бинарного отношения будем обозначать $\Im R$
$\Im R=\{ y|\exists x(\langle x,y\rangle\in R)\}$

Инверсия (обратное отношение) $R$ — это множество $\{\langle x,y\rangle |\langle y,x\rangle\in R\}$ и обозначается, как ${R}^{-1}.$

Композиция (суперпозиция) бинарных отношений $R$ и $S$ — это множество $\{\langle x,y\rangle |\exists z\langle xSz\wedge zRy\rangle\}$ и обозначается, как $R\circ S$.

Свойства бинарных отношений

Бинарное отношение $R$ на некотором множестве $M$ может обладать различными свойствами, например:

• Рефлексивность: $\forall x\in M(xRx)$
• Антирефлексивность (иррефлексивность): $\forall x\in M\neg (xRx)$
• Корефлексивность: $\forall x,y\in M(xRy\Rightarrow x=y)$
• Симметричность: $\forall x,y\in M(xRy\Rightarrow yRx)$
• Антисимметричность: $\forall x,y\in M(xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y)$
• Асимметричность: $\forall x,y\in M(xRy\Rightarrow\neg (yRx))$. Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения.
• Транзитивность: $\forall x,y,z\in M(xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz)$
• Связность: $\forall x,y\in M(x\neq y\Rightarrow xRy\lor yRx)$

Виды отношений

• Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка
• Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности
• Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка
• Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка
• Полное антисимметричное (для любых $x, y$ выполняется $xRy$ или $yRx$) транзитивное отношение называется отношением линейного порядка

Операции над отношениями

Над бинарными отношениями можно производить некоторые операции, точно так же, как и над множествами. Не ограничивая общности, будем считать, что следующие операции выполняются на множестве $M$.

• Пересечение. Пересечением двух бинарных отношений ($A$и $B$) является отношение, которое определяется пересечением соответствующих подмножеств. Очевидно, что отношение $A\cap B$ выполнимо только в том случае, когда некоторые $x$ и $y$ связаны как первым, так и вторым отношением ($xAy$ и $xBy$).

  Например, пересечением отношения «не меньше» и «не равно» является отношение «больше».
  $ xAy\Leftrightarrow x\geq y, xBy\Leftrightarrow x\neq y$, тогда $A\cap B\Leftrightarrow x>y $

• Объединение. Объединением двух бинарных отношений ($A$ и $B$) является отношение, которое определяется объединением соответствующих подмножеств. Отношение $A\cup B$ выполнимо только в том случае, когда некоторые $x$ и $y$ связаны хотя бы одним из двух отношений хотя бы одно из отношений ($xAy$ или $xBy$).

  Например, объединением отношения «больше» и отношения «равно» является отношение «больше, либо равно».

• Включение. Обозначается $A\subseteq B$. Первое отношение включено во второе, если все те пары, для которых выполняется первое отношение, являются подмножеством пар, для которых выполняется второе отношение. Если $A\subseteq B$, то $A\neq B$. Если $A\subseteq B$, то, когда любые два элемента из множества, на котором выполняется отношение $A$, связаны этим отношением, они связаны отношением $B$.

Очевидно, для любого отношения $A \varnothing\subseteq A\subseteq U$, где $\varnothing$ — пустое, а $U$- полное отношение.

Графическое представление бинарных отношений

Приведём в пример два графических представления бинарных отношений на множстве $X = \{a, b, c, d, e\}.$
Первый способ тесно связан с аналитической геометрией. Пусть дана пара взаимно перпендикулярных осей ($Ox$ и $Oy$). На каждой оси нужно отметить точки которые являются элементами множества $X$.
Будем считать, что $a, b, c, d, e$ — координаты точек на горизонтальной и вертикальной осях. Теперь отметим на плоскости точки с координатами $(x, y)$. На рисунке изображена совокупность точек, соответствующих следующему отношению: $R=\{(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e,b), (e, e)\}.$


Следующий способ, который мы рассмотрим, заключается в использовании ориентированных графов. Элементы множества $X$ становятся вершинами графа, а элементы $\langle x,y\rangle $ отношения $R$ ребрами, которые соединяют первый член $x$ отношения со вторым членом $y$. Граф, соответствующий бинарному отношению $R$, изображен на рисунке.


Задача

Бинарное отношение $R$ задано на множестве $A=\{1,2,3,4\}$, определить его свойства.
$R=\{(1,1),(1,2),(2,3),(2,2),(2,4)\}$


Спойлер
Проверим все свойства отношения:
• Рефлексивность
  $(\forall x\in A)\langle x,x\rangle\in R$ – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример: $x=3$, пара $\langle 3,3\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является рефлексивным.
• Антирефлексивность
  $(\forall x\in A)\langle x,x\rangle\notin R$ – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример: $x=1$, пара $\langle 1,1\rangle$ принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является антирефлексивным.
• Корефлексивность
  $(\forall x,y\in A)\langle x,y\rangle\notin R$ – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример: $x=1,y=2$, пара $\langle 1,2\rangle$ принадлежит множеству $R$, но $x\neq y$. Бинарное отношение не является антирефлексивным.
• Симметричность
  $ \forall x,y\in A (\langle x,y\rangle\in R): \langle y,x\rangle\in R$ – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример, $x=1,y=2$ пара $\langle 1,2\rangle$ принадлежит множеству $R$, а пара $\langle 2,1\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является симметричным.
• Антисимметричность
  $\forall x,y\in A(xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y)$ – это истинное высказывание
  Контрпример подобрать невозможно. Бинарное отношение является антисимметричным.
• Асимметричность
  Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения и отношение не является антирефлексивным, отношение не является асимметричным.
• Транзитивность
  $\forall x,y,z\in A(xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz)$– это ложное высказывание.
  Можно привести контр пример, $x=1,y=2,z=3$ пара $\langle 1,2\rangle$ принадлежит множеству R и пара $\langle 2,3\rangle$ принадлежит множеству $R$, а пара $\langle 1,3\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является транзитивным.
• Связность
  $\forall x,y\in A(x\neq y\Rightarrow xRy\lor yRx)$ – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример, $x=3,y=4$, $3\neq 4$ пара $\langle 3,4\rangle$ не принадлежит множеству $R$ и пара $\langle 4,3\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является связанным.
Вывод: заданное бинарное отношение обладает только одним свойством антисимметричности.
[свернуть]

Источники:

• Галушкина, Марьямов, «Задачи и упражнения по дискретной математике», 2007 г., стр.51
• С.В.Федоровский.Конспект лекций по математической логике
• Кострикин А.В. , «Введение в алгебру», 1977, стр.134
• А.И. Мальцев, «Алгебраические системы», 1970, стр.16-19

Бинарные отношения

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Вопросы для закрепления пройденного материала

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Пусть [latex]A={1}[/latex].Запишите хотя бы один элемент декартового произведения [latex]A\times A[/latex] как пару чисел, разделённых запятой. Например: [latex]8,9.[/latex]
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Бинарное отношение [latex]xRy\leftrightarrow x^2=y^2[/latex] определено на множестве действительных чисел [latex]R[/latex]. Какими свойствами из приведенных ниже оно обладает?

   • Рефлексивность
   • Антирефлексивность
   • Симметричность
   • Антисимметричность
   • Связность
   • Транзитивность
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Для бинарного отношения [latex]R[/latex] множество, состоящее из таких [latex]x[/latex], для которых [latex]\langle x,y\rangle\in R[/latex] хотя бы для одного [latex]y[/latex] называется

   • (областью определения)
   Правильно
   

   Неправильно
   

Таблица лучших: Бинарные отношения

максимум из 15 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Операции на множествах

1. Объединение

Объединение двух множеств:

Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B ,$ тогда их объединением называется множество $latex A\cup{} B, $ содержащее в себе все элементы
исходных множеств:

$latex A\cup B= \left\{ x\,|\,x \in A \vee x \in B \right\} $

Объединение более чем двух множеств:

Пусть дано семейство множеств $latex \left\{\,M_\alpha\,\right\},\,\alpha \in A, $ тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

$latex \bigcup_{\alpha\in A}^{}{} M_\alpha $ $latex = \left\{\,x\,|\,\exists \alpha\in A\, x\in M_\alpha \right\} $

Пересечение

Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B $, тогда их пересечением называется множество $latex A\cap{} B $, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат двум множествам:

$latex A\cap{} B = \left\{ x\,|\,x \in A \wedge x \in B \right\} $

3.Разность

Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B $, тогда их разностью называется множество $latex A \setminus B $, содержащее в себе элементы $latex A $, но не  $latex B $ :

$latex A \setminus B = \left\{\,x\, \in A\,|\,x\,\not\in B \right\} $

4.Симметрическая разность

Пусть даны два множества $latex A $ и $latex B, $ тогда их симметрической разностью называется множество $latex A \Delta B $, куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

$latex A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) $

5.Дополнение

Пусть дано множество $latex A, $ его  дополнением называется семейство элементов, не принадлежащие данному множеству:
$latex \overline A = \left\{\,x\,|\,x \not\in A \right\} $

 Свойства операций

Пусть $latex A, $ $latex B, $ $latex C $ — произвольные множества, тогда:

1. Операция объединение множеств коммутативна:

$latex A \cup B = B \cup A $

2. Операция объединение множеств ассоциативна:

$latex (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $

3. Операция пересечение множеств коммутативна:

$latex A \cap B = B \cap A $

4. Операция пересечения множеств ассоциативна:

$latex (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $

5. $latex (A \cup B) \cap C = (A \cap B) \cup (B \cap C) $

6. $latex (A \cap B) \cup C = (A \cup B) \cap (B \cup C) $

7. $latex C \setminus ( A \cap B) = ( C \setminus A) \cup ( C \setminus B) $

8.  $latex C \setminus ( A \cup B) = ( C \setminus A) \cap ( C \setminus B) $

9. $latex C \setminus B \setminus C = (A \cap B) \cup ( C \setminus B) $

10. $latex A \Delta B = ( A \cup B) \setminus ( A \cap B) $

11. Симметрическая разность коммутативна:

$latex A \Delta B = B \Delta A $

12. Симметрическая разность ассоциативна:

$latex ( A \Delta B) \Delta C = A \Delta ( B \Delta C) $

Примеры

1. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}, $ $latex B = \left\{ 4, 5, 6, 7 \right\}, $тогда

$latex A \cup B = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \right\}.$

2. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\} $, $latex B = \left\{ 3, 4, 5, 6 \right\}, $ тогда

$latex A \cap B = \left\{ 3, 4 \right\}. $

3. Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}, $ $latex B = \left\{ 4, 5, 6, 7 \right\}, $ тогда

$latex A \setminus B = \left\{ 1, 2, 3 \right\}, $ $latex B \setminus A = \left\{ 5, 6, 7 \right\}. $

4.  Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\}, $ $latex B = \left\{ 3, 4, 5, 6, 7 \right\}, $ тогда

$latex A \Delta B = \left\{ 1, 2, 6, 7 \right\}. $

Литература:

• Белозеров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
• В.В.Воеводин Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, (Стр. 34-37)
• Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, (Стр. 39-42)

Операции на множествах. Свойства операций.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 7 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

Информация

Тестовые вопросы по выше изложенному материалу

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 7

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 7 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 7

   1.

   Поставьте в соответствие:

   Элементы сортировки

   • $$ \left\{ x\,|\,x \in A \vee x \in B \right\} $$
   • $$ \left\{ x\,|\,x \in A \wedge x \in B \right\} $$
   • $$ \left\{\,x\, \in A\,|\,x\,\not\in B \right\} $$
   • $$ (A \setminus B) \cup (B \setminus A) $$

   • Объединение

   • Пересечение

   • Разность

   • Симметрическая разность
2. Задание 2 из 7

   2.

   Укажите ошибочную формулировку:

   • Ассоциативный закон: в каком бы порядке не пересекались множества A, B и C, результат не меняется
   • Коммутативный закон: объединение множеств A и B равно объединению множеств B и A
   • Коммутативный закон: пересечение множеств А и В равно объединению множеств В и А
   • Ассоциативный закон: от изменения порядка объединения множеств А, В и С результат не меняется
3. Задание 3 из 7

   3.

   Пусть $latex A= \left\{1, 2, 3, 6\right\} $, $latex B= \left\{3, 6, 7, 8\right\}$, $latex C= \left\{1, 2, 7, 8\right\} $. Расположить в порядке возрастания по количеству элементов в получившемся множестве:

   • $$ A\Delta B \Delta C $$
   • $$ A\setminus B $$
   • $$ A\cup B $$
4. Задание 4 из 7

   4.

   Вставьте пропущенные слова:

   • Операции объединения, пересечения, а также симметрическая разность являются (коммутативными, ассоциативными) и  (коммутативными, ассоциативными).
5. Задание 5 из 7

   5.

   Пусть $latex A = \left\{ 1, 3, 6, 8, 9 \right\} $, $latex B = \left\{ 3, 4, 8, 9, 12, 13 \right\} $,

   $latex C = \left\{ 1, 2, 3, 5, 6, 8 \right\} $, тогда $latex C\setminus ( A \cup B) $ =

   • $$ \left\{ 1, 3, 6, 8, 12 \right\} $$
   • $$ \left\{ 2, 4, 5, 9 \right\} $$
   • $$ \left\{ 1, 2, 3, 5, 6, 8 \right\} $$
   • $$ \left\{ 1, 2, 5, 6, \right\} $$
6. Задание 6 из 7

   6.

   Пусть $latex A = \left\{ 1, 2, 3, 7, 8, 9 \right\} $,  $latex B = \left\{ 2, 3, 4, 5, 7 \right\} $,

   $latex C = \left\{ 2, 3, 5, 6, 8, 9 \right\} $, тогда $latex ( A\setminus B) \Delta C = $

   • $$ \left\{ 1, 2, 3, 5, 6 \right\} $$
   • $$ \left\{ 3, 4, 5, 8 \right\} $$
   • $$ \left\{ 5, 6, 8, 9 \right\} $$
   • $$ \left\{ 1, 2, 4, 7 \right\} $$
7. Задание 7 из 7

   7.

   Пусть дано множество $latex A $, семейство элементов, не принадлежащему данному множеству, называется его