Понятие отображения или функции играет центральную роль в математике. При заданных множествах $X$ и $Y$ отображение $f$ с областью определения $X$ и областью значений $Y$ сопоставляет каждому элементу $x\in X$ элемент $f(x)\in Y$, обозначаемый также $fx$ или $f_x$. В случае $Y = X$ говорят ещё о преобразовании $f$ множества $X$ в себя. Символически отображение записывается в виде:
$f:X \to Y$ или $X\xrightarrow{f}Y$.
Образом при отображении $f$ называется множество всех элементов вида
$ $Im$ f = \left\{f(x) \mid x \in X\right\}$ = $f(X)\subset Y$.
Отображение $f:$ $X \to Y$ называется сюръективным или отображением на, когда $Im f $= $Y$. Oно называется инъективным, когда из $x$ $\ne$ $x’$ следует $f(x) \ne f(x’)$ Наконец, $f: X \to Y$ — биективное или взаимно однозначное отображение, когда оно одновременно сюръективно и инъективно. Равенство $f$ = $g$ двух отображений означает по определению, что их соответствующие области совпадают: $X\xrightarrow{f}Y$, $X\xrightarrow{g}Y$, причём $\forall x \in X f(x) = g(x)$. Сопоставление «аргументу» $x$, т.е. элементу $x \in X$.
Тождественное отображение множества $X$ в себя условимся обозначать через $\varepsilon _X$; таким образом,
$\alpha\varepsilon_X= \alpha$ для всех $\alpha \in X$.
Тождественное отображение играет при умножении роль единицы, так как для любых отображений $\varphi: X\rightarrow Y$ и $\psi:U\rightarrow X$
Пусть $(G,\cdot )$ — группа. Если в группе $G$ $\exists g_{0}\in G$, такое, что $\forall g\in G\;\exists n\in \mathbb{Z}\;g=g_{0}^{n}$, то группа называется циклической. $G=<g_{0}>$, где $g_{0}$ — образующий элемент группы.
Группа целых чисел по сложению $(\mathbb{Z},+)$ циклическая. Её образующими элементами являются числа $\pm 1$.
Лемма
Каждая подгруппа циклической группы сама циклическая.
Доказательство
Пусть $G=<g_{0}>,\;H\subset G,\;G\neq \left \{1 \right \},\;g_{0}^{n}\in H,\;n\in\mathbb{N}$, n — наименьшее. Любой элемент $g\in H$ можно выразить как $g=g_{0}^{m}$. Представим число $m$ в виде $m=nq+r$, где $0\leq r<n$.
Поэтому $g_{0}^{m}=g_{0}^{nq+r}=q_{0}^{nq}\cdot g_{0}^{r}=(g_{0}^{n})^{q}\cdot q_{0}^{r}\Rightarrow g_{0}^{r}=$$=((g_{0}^{n})^{q})^{-1}\cdot g_{0}^{m}\Rightarrow r=0\Rightarrow m\;\vdots\; n$. Следовательно, $g_{0}^{m}=(g_{0}^{n})^{r}\Rightarrow H=<g_{0}^{n}>$, т.е. подгруппа $H$ — циклическая с образующим элементом $g_{0}^{n}$.
Литература
Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
Пусть на множестве $latex A$ задана ассоциативная БАО$latex «*»$. Тогда в «звездном произведении» $latex a_1*a_2*…*a_k$, где $latex k\geq 3$ результат не зависит от способа расстановки скобок.
Доказательство
Индукция по k:
База: Докажем выполнение теоремы при $latex k=3$. Если $latex k=3$, то $latex (a_1*a_2)*a_3=a_1*(a_2*a_3)$.
Предположение: Предположим, что в выражении $latex a_1*a_2*…*a_k$ при $latex k \leq n$ порядок элементов и способ расстановки скобок не влияет на результат вычислений.
Шаг: Докажем для $latex k=n+1$:
$latex 1\leq l \leq n$
Пусть на множестве $latex A$ задана ассоциативная и коммутативная БАО $latex «*»$, тогда в $latex a_1*a_2*…*a_n$, где $latex n \geq2$, результат не зависит от расстановки скобок и порядка элементов.
Доказательство
Зафиксируем порядок элементов и рассмотрим выражение: $latex a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}}$.
Согласно Общему ассоциативному закону, результат вычисления данного выражения не зависит от способа расстановки скобок. Положим $latex a_{i_j}=a_n$. Исходя из коммутативности операции $latex «*»$,
$latex a_{i_1} * \ldots * a_{i_{j-1}} *(a_n*a_{i_{j+1}})*a_{i_{j+2}}* \ldots *a_{i_n}=$ $latex a_{i_1} * \ldots * a_{i_{j-1}} *(a_{i_{j+1}}*a_n)*a_{i_{j+2}}* \ldots *a_{i_n}$.
Следовательно, не изменяя результата выражения $latex a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}},$ без ограничения общности рассуждения будем считать, что $latex a_{i_n}=a_n.$ Следовательно, продолжая упорядочивание элементов, показываем, что результат вычисления любого выражения вида $latex a_{i_{1}} * a_{i_2} * \ldots *a_{i_{n}}$ равен выражению $latex a_1*a_2*…*a_n$. $latex \blacksquare$
Таблица лучших: Общие ассоциативный и коммутативный законы
максимум из 11 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
Общие ассоциативный и коммутативный законы
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 3 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
Информация
Тест на знание Общего ассоциативного и Общего коммутативного законов.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
максимум из 11 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 3
Введите название закона:
Пусть на множестве $А$ задана ассоциативная и коммутативная БАО $latex *$, тогда в $latex a_1*a_2*…*a_n$, где $latex n \geq2$, результат не зависит от расстановки скобок и порядка элементов.
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 4
Зависит ли от порядка следования сомножителей результат произведения двух элементов на множестве:
Элементы сортировки
зависит
не зависит
не зависит
матриц размерности $ m \times n $
действительных чисел
коммутирующих матриц порядка $n$
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 4
Указать случаи, в которых выполняется Общий ассоциативный закон.
Правильно
Неправильно
Источники:
Г. С. Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре.
Пусть дана группа [latex](G, \cdot)[/latex]. Если [latex]\exists g_{0}\in G [/latex] такое, что [latex]\forall g\in G[/latex], [latex]\exists n\in \mathbb Z[/latex]: [latex]g=g_{0}^n[/latex], то [latex](G, \cdot)[/latex] называется циклической группой и пишут [latex]G=<g_{0}>_{n}[/latex], где [latex]g_{0}[/latex] образующая и количество элементов, порядок группы, [latex]|G|=n[/latex]. Циклическая группа [latex]G[/latex] называется конечной, если она имеет конечное число элементов, в противном случае группа называется бесконечной.
Теорема Пусть дана циклическая группа [latex](G, \cdot)[/latex] и [latex]G=<g_{0}>_{n}[/latex], тогда эта группа имеет следующий вид: [latex]G=\{ g_{0}^0=1, g_{0}, g_{0}^2, g_{0}^3, \dots, g_{0}^{n-1}\}[/latex].
Доказательство Для доказательства покажем что все элементы нашей группы различные, иначе количество элементов в группе будет меньше её порядка.
Пусть [latex]\exists i<j[/latex] такие, что [latex] 0\leq i<j \leq{n-1}[/latex] и [latex] g_{0}^{i} = g_{0}^{j}\Rightarrow[/latex] [latex]g_{0}^{j-i} = 1[/latex], тогда [latex]\exists m\in \mathbb Z : m=j-i[/latex], следовательно [latex]1\leq m\leq{n-1}[/latex] и [latex]g_{0}^m=1.[/latex] Отсюда [latex]\forall g\in G, g=g_{0}^t, t\in \mathbb Z[/latex] и [latex]t=mq+r, 0\leq r<m,[/latex] тогда [latex]g_{0}^t=g_{0}^{mq+r}=[/latex][latex](g_{0}^m)^q\cdot g_{0}^r\Rightarrow[/latex] [latex]g_{0}^t =1\cdot g_{0}^r=g_{0}^r[/latex], это значит что все элементы группы будут равны [latex]g_{0}^r[/latex], где [latex]\forall t\in \mathbb Z[/latex] существует свой [latex]r[/latex],но [latex]0\leq r<m[/latex], а [latex]1\leq m\leq{n-1}[/latex] мы получаем противоречие, поскольку мы не получим всю группу.
Таким образом [latex]G=\{ g_{0}^0=1, g_{0}, g_{0}^2, g_{0}^3, \dots, g_{0}^{n-1}\}[/latex].
Примеры циклическихгрупп [latex]A=\{1, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6\}[/latex] — Конечная иклическая группа, поскольку каждый элемент является значением [latex]2^k, 0\leq k\leq 6[/latex], отсюда образующей этой группы является [latex]2[/latex] и [latex]A=<2>_{7}[/latex].
[latex]A=\{1,\frac{1}{2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \frac{1}{2^4}, \frac{1}{2^5}, \frac{1}{2^6} \}[/latex] — Конечная циклическая группа, каждый элемент является значением [latex](\frac{1}{2})^k, 0\leq k\leq 6[/latex], образующей является [latex]\frac12[/latex] и [latex]A=<\frac12>_{7}[/latex].
Метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных, он состоит в приведении данной системы, применяя элементарные преобразования, к ступенчатому виду.
Удобнее всего это делать путем приведения (с помощью элементарных преобразований строк) расширенной матрицы $B$ данной системы к ступенчатой
матрице $B_1$.
Конечная система будет равносильна исходной, так как между элементарными преобразованиями системы и элементарными преобразованиями строк ее расширенной матрицы имеет место быть взаимно однозначное соответствие, а при элементарных преобразованиях системы она переходит в равносильную.
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем эту матрицу к ступенчатому виду, а затем далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Первым делом поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_{11}$ равнялся $1$ (это делается для упрощения вычислений):
Затем получаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей — три первых:
$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 2 & 2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 6 \\ 8
\end{matrix}\right)\right.\ $
Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $1/2$):
Затем получаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений меняем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся $1$:
Выполним теперь обратный ход метода Гаусса, то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Обнуляем элемент $a_{23}$, для этого от второй строки отнимем третью:
