Рубрика: Алгебра

Учебные материалы по уневерситетскому курсу алгебры

Композиция биективных отображений

Определение 1

Отображение $\large f:X \to Y$ называется биекцией и обозначается $\large f:X \leftrightarrow Y$, если оно:

  1.  Переводит элементы множества $X$ в разные элементы множества $Y$ (т.е. выполняется взаимно однозначное отображение — инъекция):
    • $\forall x_{1} \in X$, $\forall x_{2} \in X$, $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$.
  2. Любой элемент из $Y$ имеет свой прообраз (т.е. выполняется сюръекция):
    • $\forall y \in Y$, $ \exists $ $x \in X$, $f(x)=y$.

Пример:

  • Изобразим биективное отображение $\large f$, где $f:A \to B$:

    Graphic2
  • Для композиции $g \circ f $, где $f:A \to B,\quad g:B \to C$, рисунок будет выглядеть так:

    Graphic3

Определение 2

Единичным отображением $e_{X}:X \to X$ называется отображение, переводящие каждый элемент $x \in X$ в себя.

Теорема

Пусть $f: X \to Y$, $h: Y \to Z$ — биективные отображения. Тогда биективна и их композиция $ h \circ f$, причем:

$$ (h \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ h^{-1}$$
Доказательство:
Биективность $f$ влечёт существование и биективность $f^{-1}$.
Из условия существования обратного отображения для биективных отображений следует:
$$ \left.\begin{aligned} f\circ f^{-1}=e_{Y} \\ f^{-1}\circ f=e_{X}\end{aligned}\right\}
\Rightarrow {(f^{-1})}^{-1}=f$$
Далее существуют отображения:
$f^{-1}: Y\to X \quad h^{-1}: Z \to Y $
$f^{-1}\circ h^{-1}:Z\to X$
Из равенств
$(h\circ f)(f^{-1}\circ h^{-1})=\big( (h\circ f)\circ f^{-1}\big)\circ h^{-1}=\big(h \circ (f\circ f^{-1})\big) \circ h^{-1}=$
$$=h \circ h^{-1}=e_{Z}$$
$(f^{-1} \circ h^{-1})\circ(h \circ f)= f^{-1}\circ \big(h^{-1} \circ (h \circ f) \big)=f^{-1}\circ \big((h^{-1}\circ h) \circ f\big)=$
$$=f^{-1} \circ f=e_{X}$$
вытекает, что $f^{-1}\circ h^{-1}$ — обратное отображение к $h \circ f$.

$\blacksquare$

Список литературы:

  1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. стр. 37-38 стр.
  2. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Том 1 — М.: «Мир», 1977. — 40 стр.
  3. Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 стр.

Тест на тему: «Композиция биективных отображений»

Композиция отображений, свойство ассоциативности

Определение 1
Композицией отображений $f:U \to V$ и $g:V \to W$ называется такое отображение $ h:U \to W $ $ h = g \circ f $, что $ \forall u \in U $ $ h(u)=(g \circ f)(u)=g(f(u))=w $.
$\circ$ — символ композиции.

Определение 2
Бинарная операция «$*$» на $A$(непустом множестве) обладает свойством ассоциативности, если $\forall a,b,c \in A$ верно равенство $(a*b)*c=a*(b*c)$.

Лемма
Композиция отображений обладает свойством ассоциативности. То-есть $\forall f,g,h (f \circ g)\circ h= f\circ (g\circ h)$, где $f:W\to Q$, $g:V\to W$, $h:U\to V$, если левая и правая части существуют.

Доказательство
Нужно доказать, что $\forall f,g,h $ $ (f \circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$, где $f:W\to Q$, $g:V\to W$, $h:U\to V$.
$\forall u \in U $ $ [(f\circ g)\circ h](u)=(f\circ g)(h(u))=f(g(h(u)))$ и $\forall u \in U $ $ [f\circ (g\circ h)](u)=f ((g\circ h)(u))=f(g(h(u)))$, получаем что левая и правая части равны, что и доказывает теорему.

Пример 1
Пусть $f:\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^+$, $g:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ и $f(u)=u^2$, $h(u)=\log{v}$, где $u\in \mathbb{R}^*$, $v\in \mathbb{R}^+$, тогда $h(u)=(g\circ f)(u)=\log{u^2}$, где $h:\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$.

Пример 2
Пусть $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^*$, $h:\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^+$ и $f(u)=2u, g(v)=v^2, h(w)=2^w$, где $u,v \in \mathbb{R}$, $w \in \mathbb{R}^*$, тогда $t_1(u)=(h\circ g)(u)=2^{u^2}, t_2(u)=((h \circ g)\circ f)(u)=2^{(2u)^2}$, где $t_2:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ и $t_3(u)=(g \circ h)(u)=(2u)^2$, $t_4(u)=(h\circ (g\circ f))(u)=2^{(2u)^2}$, где $t_4:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$. Как видим области определений, области значений и законы отображений совпадают, поэтому они равны, то-есть $t_2=t_4$, $ (h \circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$.

Литература

Композиция отображений, свойство ассоциативности.

Тест на тему: «Композиция отображений, свойство ассоциативности.»


Таблица лучших: Композиция отображений, свойство ассоциативности.

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Понятие абстрактного линейного пространства

Материал лекций по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Задача №1

Рассмотрим задачу, в которой множество над числовым полем является абстрактным линейным пространством.

Условие задачи

Дано множество симметричных матриц [latex]S=\{A \in M_{2}\left(\mathbb R \right) \mid [/latex]\(\ \)[latex]A^{t}=A \}[/latex]. Проверить, является ли данное множество абстрактным линейным пространством над полем [latex]\mathbb R[/latex]?

Спойлер

Чтобы решить данную задачу нужно проверить выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве [latex]S[/latex].

  1. По теореме об аддитивной группе матриц [latex]\left(S,+ \right)[/latex] — абелева группа. Таким образом, первая группа аксиом выполняется.
  2. Проверим выполнение свойств для данного отображения [latex]\bullet:\mathbb R \times S \rightarrow S[/latex]
    • [latex]E \cdot A=A,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A \in S[/latex]
      [latex]\begin{Vmatrix} 1& 0\\ 0& 1\end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}[/latex]
    • [latex]\alpha \left(\beta A \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha \beta \right)A,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A \in S, [/latex]\(\ \)[latex]\forall \alpha,\beta \in \mathbb R[/latex]
      [latex]\alpha\left(\beta \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\ \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha \beta a_{1}& \alpha \beta a_{2}\\ \alpha \beta a_{2}& \alpha \beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}[/latex]

    Таким образом, вторая группа аксиом выполняется.

  3. Проверим выполнение третьей группы аксиом:
    • [latex]\alpha \left(A + B \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha A + \alpha B,[/latex]\(\ \)[latex] \forall \alpha \in \mathbb R,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A, B \in S[/latex]
      [latex]\alpha \left(\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\ b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}\right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}+b_{1}& a_{2}+b_{2}\\ a_{2}+b_{2}& a_{1}+b_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)& \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)\\ \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)& \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\alpha b_{1}& \alpha a_{2}+\alpha b_{2}\\ \alpha a_{2}+\alpha b_{2}& \alpha a_{1}+\alpha b_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\ \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \alpha b_{1}& \alpha b_{2}\\ \alpha b_{2}& \alpha b_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \alpha \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\ b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}[/latex]
    • [latex]\left(\alpha + \beta \right)A=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha A + \beta A, [/latex]\(\ \)[latex]\forall \alpha,\beta \in \mathbb R,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A \in S[/latex]
      [latex]\left(\alpha + \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \left(\alpha + \beta \right) a_{1}& \left(\alpha + \beta \right) a_{2}\\ \left(\alpha + \beta \right) a_{2}& \left(\alpha + \beta \right) a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\beta a_{1}& \alpha a_{2}+\beta a_{2}\\ \alpha a_{2}+\beta a_{2}& \alpha a_{1}+\beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\ \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\ \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \beta \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}[/latex]

    Таким образом, третья группа аксиом выполняется.

[latex]\Rightarrow[/latex] множество симметричных матриц является абстрактным линейным пространством над полем [latex]\mathbb R.[/latex]

[свернуть]

Теперь рассмотрим задачи, в которых множество над числовым полем не является абстрактным линейным пространством.

Задача №2

Условие задачи

Дано множество [latex]F=\{f\left(x\right) \in \mathbb R\left[x\right]\mid [/latex]\(\ \)[latex] \deg f\left(x\right)=n\}[/latex]. Проверить, является ли данное множество над полем [latex]\mathbb R[/latex] абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве [latex]F[/latex].

Здесь очевидно, что данное множество относительно операции «+» не является группой, так как операция «+» не является БАО на множестве [latex]F[/latex] (не выполняется условие замкнутости, так как сумма многочленов степени n в результате может оказаться многочленом меньшей степени). [latex]\Rightarrow[/latex] множество [latex]F[/latex] над полем [latex]\mathbb R[/latex] не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом можно не проверять.

[свернуть]

Задача №3

Условие задачи

Дано множество [latex]T=\{f\left(x\right)\in \mathbb R\left[x\right]\mid [/latex]\(\ \)[latex] \deg f\left(x\right)\leqslant n \wedge [/latex]\(\ \)[latex] a_{i}>0, i=\overline{1,n}\}[/latex], где [latex]a_{i}[/latex] — коэффициенты при переменных. Проверить, является ли данное множество над полем [latex]\mathbb R[/latex] абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве [latex]T[/latex].

В данном случае это множество также не является группой относительно операции «+», так как коэффициенты многочленов являются положительными, а значит, что обратного, а отсюда и нейтрального элементов у данного множества нет. [latex]\Rightarrow[/latex] множество [latex]T[/latex] над полем [latex]\mathbb R[/latex] не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом также можно не проверять.

[свернуть]

Литература:

  1. Лекции Г.С. Белозерова
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 18
  3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука, 1978, стр. 166-174

Абстрактные линейные пространства

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Абстрактные линейные пространства

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Понятие абстрактного линейного пространства. Простейшие следствия из аксиом

Определение

Пусть [latex]X\neq \varnothing[/latex], [latex]\mathbb P[/latex] — поле. [latex]\left(X,\mathbb P \right)[/latex] называется абстрактным линейным пространством, если выполняются следующие три группы аксиом:

  1. На [latex]X[/latex] задана БАО (бинарная алгебраическая операция) «+», относительно которой [latex]\left(X,+ \right)[/latex] — абелева группа.
  2. Задано отображение: [latex]\bullet:\mathbb P \times X \rightarrow X[/latex] такое, что:
    • [latex]1 \cdot x=[/latex]\(\ \)[latex]x, \forall x\in X,[/latex]
    • [latex]\alpha \left(\beta x \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha\beta \right)x,[/latex]\(\ \)[latex] \forall x\in X,[/latex]\(\ \)[latex] \forall \alpha, \beta \in \mathbb P.[/latex]
    • [latex]\alpha\left(x_{1}+x_{2} \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x_{1} + \alpha x_{2}, [/latex]\(\ \)[latex]\forall \alpha \in \mathbb P,[/latex]\(\ \)[latex] \forall x_{1}, x_{2} \in X,[/latex]
    • [latex]\left(\alpha + \beta \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x + \beta x,[/latex]\(\ \)[latex] \mathcal{8} \alpha , \beta \in \mathbb P, [/latex]\(\ \)[latex]\mathcal{8} x \in X.[/latex]

Элементы поля [latex]\mathbb P[/latex] называются скалярными, а множество [latex]X[/latex] называется носителем векторов.

Следствия из аксиом

  1. [latex]\alpha \cdot 0=0, \forall \alpha \in \mathbb P[/latex]
    Спойлер

    [latex]\alpha \cdot 0=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \left(0 + 0 \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \mid + \left(-\alpha \cdot 0 \right)[/latex]
    [latex]\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \right) + \left(-\alpha \cdot 0 \right)[/latex]
    [latex]0=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot 0 + \left(\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)\right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot 0[/latex]

    [свернуть]
  2. [latex]0 \cdot x=0, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 1.

    [свернуть]
  3. [latex]\left(-\alpha \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]-\left(\alpha x \right), \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\left(-\alpha \right)x + \alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\left(-\alpha \right) + \alpha\right)x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \cdot x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow \left(-\alpha \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]-\left(\alpha x \right)[/latex]

    [свернуть]
  4. [latex]\left(-1 \right)x=-x, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 3.

    [свернуть]
  5. [latex]\left(\alpha — \beta \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x — \beta x, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\left(\alpha + \left( -\beta\right)\right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x + \left(-\beta x\right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x + \left(-\beta \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x — \beta x[/latex]

    [свернуть]
  6. [latex]\alpha \left(x — y \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x — \alpha y, \forall x,y \in X, \forall \alpha \in \mathbb P[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 5.

    [свернуть]
  7. [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Leftrightarrow \alpha =[/latex]\(\ \)[latex]0 \vee x=[/latex]\(\ \)[latex]0, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow[/latex] Пусть [latex]\alpha \neq 0[/latex]
    [latex]x=[/latex]\(\ \)[latex]1 \cdot x=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\frac{1}{\alpha}\alpha \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\frac{1}{\alpha}\left(\alpha x \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\frac{1}{\alpha}\cdot 0=[/latex]\(\ \)[latex]0[/latex]

    [свернуть]
  8. [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha y \wedge \alpha \neq 0 \Rightarrow x=[/latex]\(\ \)[latex]y, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x,y \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha y \Rightarrow \alpha x — \alpha y=0 \Rightarrow \alpha \left(x — y \right)=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow x — y=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow x=y[/latex]

    [свернуть]
  9. [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\beta y \wedge x \neq y \Rightarrow \alpha =[/latex]\(\ \)[latex] \beta, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x,y \in X[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 8.

    [свернуть]

Примеры:

  1. Пространства направленных отрезков, в частности, [latex]V_{1}, V_{2}, V_{3}[/latex]
  2. [latex]\left(X, \mathbb P \right), X = M_{m\times n}\left(\mathbb P \right)[/latex]
  3. [latex]\left(X, \mathbb P \right),X = \mathbb P \left[x \right][/latex]
  4. [latex]\left(X, \mathbb R \right), X = C_{\left[-1;1 \right]}[/latex]
  5. [latex]\left(\mathbb C, \mathbb R \right), X=\mathbb C, \mathbb P=\mathbb R[/latex]
  6. [latex]\left(\mathbb P, \mathbb P \right), X=\mathbb P, \mathbb P=\mathbb P[/latex]

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 11-13
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 301

Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных