Пусть число $\usepackage{amsfonts} x \in \mathbb {R}$. Тогда обозначим через $q_1$ наибольшее целое число, меньшее $x$. Если $x$ не целое число, то мы получим равенство вида $\displaystyle x = q_1 + \frac{1}{x_1}$, так как дробь $\displaystyle \frac{1}{x_1} < 1$, то $ x_1>1 $, и тогда аналогично для $x_1$ находим такое целое $q_2 < x_1$, получаем $\displaystyle x_1 = q_2 + \frac{1}{x_2}$, возвращаясь к первому равенству $\displaystyle x = q_1 + \frac{1}{\displaystyle q_2 + \frac{1}{x_2}}$. Продолжая этот процесс будем получать представления последующих $\displaystyle x_k:$ $$x_2 = q_3 + \frac{1}{x_3}, $$ $$x_3 = q_4 + \frac{1}{x_4},$$ $$\ldots$$ $$x_i = q_{i+1} + \frac{1}{x_{i+1}},$$ $$\ldots$$

В итоге и получим непрерывную дробь: $$\usepackage{amsmath} \begin{multline*} \displaystyle x = q_1 + \frac{1}{\displaystyle q_2+ \frac{1}{q_3+\cdots}} \\ \ddots \\ \cdots + \frac{1}{\displaystyle q_{n-1} + \frac{1}{\displaystyle q_{n}+\frac{1}{x_n}}}.
\end{multline*}$$

Далее, нам стоит рассмотреть два случая: первый — $\usepackage{amsfonts} x \in \mathbb {Q}$, т. е. $x$ — рациональное число и второй — $\usepackage{amsfonts} x \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$, т. е. $x$ — иррациональное число. Почему важны именно эти случаи?

По определению, рациональное число представимо в виде несократимой дроби $\displaystyle \frac{m}{n}$, где $\usepackage{amsfonts} m \in \mathbb {Z}, \; n \in \mathbb {N}$, а, значит, и разложение, представленное сверху, должно быть конечным и, более того, может быть получено благодаря алгоритму Евклида.

С иррациональным числом получим ситуацию обратную — процесс можно будет продолжать неограниченно долго т. к. на каждом этапе $x_i$ будет иррационально.

Как было упомянуто ранее, если $\usepackage{amsfonts} x \in \mathbb {Q}$, то его разложение в непрерывную дробь можно получить с помощью алгоритма Евклида.

Перед описанием алгоритма стоит ввести понятие неполного частного — это целые числа вида $q_i, \; i = \overline{1,n}$.

Опишем сам алгоритм:

Суть алгоритма заключается в том, что на каждом шаге мы будем непосредственно получать одно из неполных частных — $q_i$, а также отношение $\displaystyle \frac{r_{i}}{r_{i-1}}$ (начиная со второго шага).

Пусть нам задано рациональное число, тогда его можно записать в виде несократимой дроби $\displaystyle \frac{m}{n}$, где $\usepackage{amsfonts} m \in \mathbb {Z}, \; n \in \mathbb {N}$. Тогда, первый шаг: $$m=nq_1 + r_1 \Rightarrow \displaystyle \frac{m}{n} = q_1 + \frac{1}{\displaystyle \frac{m}{r_1}},$$ узнали значение $q_1$, а так же получили возможность вычислить значение $r_1$. Второй шаг: $$n = r_1q_2+r_2 \Rightarrow \displaystyle \frac{n}{r_1} = q_2 + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_1}{r_2}},$$ узнали значение $q_2$, а так же получили возможность вычислить значение $r_2$. Продолжая алгоритм далее: $$r_1 = r_2q_3+r_3 \Rightarrow \displaystyle \frac{r_1}{r_2} = q_3 + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_2}{r_3}}, \\ r_2 = r_3q_4+r_4 \Rightarrow \frac{r_2}{r_3} = q_4 + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_3}{r_4}},\\ \cdots \\r_{n-2} = r_{n-1}q_n+r_n \Rightarrow \frac{r_{n-2}}{r_{n-1}} = q_n + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_{n-1}}{r_n}}, \\ r_{n-1} = r_nq_{n+1}, \frac{r_{n-1}}{r_n} = q_{n+1}.$$ Заканчиваем алгоритм тогда, когда получим, что очередная дробь $\displaystyle \frac{r_{i-1}}{r_{i}}$ будет целым числом и, соответственно, $q_{i+1}$ будет полным частным.

Так как найдены все неполные частные, то дробь $\displaystyle \frac{m}{n}$ можно представить в виде: $$\usepackage{amsmath} \begin{multline*} \displaystyle x = q_1 + \frac{1}{\displaystyle q_2+ \frac{1}{q_3+\cdots}} \\ \ddots \\ \cdots + \frac{1}{\displaystyle q_{n-1} + \frac{1}{\displaystyle q_{n}+\frac{1}{q_{n+1}}}}.
\end{multline*}$$

С помощью алгоритма Евклида есть возможность найти разложение в непрерывную дробь, однако, иногда промежуточные результаты важнее конечного, а именно: $$\displaystyle \delta_1 = q_1, \; \delta_2 = q_1 + \frac{1}{q_2}, \; \delta_3 = q1 + \frac{1}{q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3}}, \; \ldots$$ $\delta_i$ называются подходящими дробями. Несложно заметить зависимость $\delta_{i+1}$ от $\delta_i$ — если в записи $\delta_i $ число $ q_i$ заменить на сумму $\displaystyle q_i + \frac{1}{q_{i+1}}$, то мы получим $\delta_{i+1}.$

Подходящие дроби будут нас интересовать тем, что они образуют последовательность, которая приближается к изначальному числу. Понятно, что зная все неполные частные (после применения алгоритма Евклида) можно вычислить значения всех подходящих дробей, однако, это не очень удобно и долго.

Введем специальные обозначения для нахождения значений подходящих дробей: $\displaystyle \delta_i = \frac{P_i}{Q_i}$. При этом положим, что $P_0=1, \; P_1 = q_1$ и $Q_0=0, \; Q_1 = 1$. Так же стоит отметить, что в силу того, что для рационального числа $\displaystyle x = \frac{m}{n} $ непрерывная дробь конечна, то и количество подходящих дробей будет конечно, а это означает что существует равенство $\displaystyle \frac{m}{n} = \frac{P_i}{Q-i}$. А так как подходящие дроби так же являются несократимыми, то равенство можно упростить до $m = P_i$ и $n = Q_i$. Тогда получим, что: $$\displaystyle \delta_1 = \frac{q_1}{1} = \frac{P_1}{Q_1}, $$ $$ \delta_2 = q_1 + \frac{1}{q_2} = \frac{q_2 q_1+1}{q_2 \cdot 1 + 0} = \frac{q_2 P_1+P_0}{q_2 Q_1 + Q_0} = \frac{P_2}{Q_2}, $$ $$ \delta_3 = q1 + \frac{1}{q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3}} = \frac{q_1 \left( q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3} \right) +1}{q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3}} = \frac{q_1 \left( q_2 q_3 + 1\right)+q_3}{q_2 q_3 +1} = $$ $$ = \frac{q_1 q_2 q_3 + q_1 +q_3}{q_2 q_3} = \frac{q_3 \left( q_1 q_2 + 1 \right) + q_1}{q_3 q_2 + 1} = \frac {q_3 P_2 + P_1}{q_3 Q_2 + Q_1}.$$

Несложно заметить рекуррентное выражение для $\displaystyle \frac{P_i}{Q_i}$: $$P_i = q_i P_{i-1} + P_{i-2} \\ Q_i = q_i Q_{i-1} + Q_{i-2}. $$ Докажем это с помощью математической индукции.

Имеет место следующее свойство подходящих дробей:

Рассмотрим критерии прямой суммы подпространств некоторого линейного пространства.

Теперь рассмотрим следствия из критериев прямой суммы, а также приведём их доказательства, хоть они и небольшие.

Определение. Пусть задана матрица $A.$ Тогда замена строк на столбцы, а столбцов — на строки называется транспонированием по отношению к $A.$ Так, если $$A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix},$$ то транспонированная матрица будет выглядеть: $$A^{T} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}.$$

Свойства транспонирования матриц

1. $\left ( A^{T} \right )^{T} = A $

Пусть задана матрица $$A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}.$$
Проведём транспонирование матрицы $A:$
$$A^{T} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}.$$
Проведём повторное транспонирование матрицы $A^{T}$ и получаем: $$\left ( A^{T} \right )^{T} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}. $$
Следовательно, $ \left ( A^{T} \right )^{T} = A,$ что и требовалось доказать.

2. $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T}$

Пусть задана матрица $$A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}.$$
Проведём транспонирование матрицы $A:$
$$A^{T} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}.$$
Докажем, что $ \left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T}.$ Найдём $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T}$ $$ \lambda \cdot \begin{pmatrix}
a_{11}\cdot & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a_{11}\cdot \lambda & a_{12}\cdot \lambda & \cdots & a_{1n}\cdot \lambda\\
a_{21}\cdot \lambda & a_{22}\cdot \lambda & \cdots & a_{2n}\cdot \lambda\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{m1}\cdot \lambda & a_{m2}\cdot \lambda & \cdots & a_{mn}\cdot \lambda
\end{pmatrix}.$$
Проведём транспонирование и получаем: $$\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \begin{pmatrix}
a_{11}\cdot \lambda & a_{21}\cdot \lambda & \cdots & a_{m1}\cdot \lambda\\
a_{12}\cdot \lambda & a_{22}\cdot \lambda & \cdots & a_{m2}\cdot \lambda\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{1n}\cdot \lambda & a_{2n}\cdot \lambda & \cdots & a_{mn}\cdot \lambda
\end{pmatrix}. $$
Найдём $\lambda \cdot A^{T}:$ $$ \lambda \cdot A^{T} = \begin{pmatrix}
a_{11}\cdot \lambda & a_{21}\cdot \lambda & \cdots & a_{m1}\cdot \lambda\\
a_{12}\cdot \lambda & a_{22}\cdot \lambda & \cdots & a_{m2}\cdot \lambda\\
\ldots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{1n}\cdot \lambda & a_{2n}\cdot \lambda & \cdots & a_{mn}\cdot \lambda
\end{pmatrix}.$$
Следовательно, $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T},$ что и требовалось доказать.

3. $\left ( A + B \right )^{T} = A^{T} + B^{T}$

Пусть $$ A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}, \; B = \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{mn}
\end{pmatrix}.$$
Проведём транспонирование матриц: $$ A^{T}= \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}, \; B^{T}= \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{21} & \cdots & b_{m1}\\
b_{12} & b_{22} & \cdots & b_{m2}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
b_{1n} & b_{2n} & \cdots & b_{mn}
\end{pmatrix}.$$
Найдём $\left ( A + B \right )^{T}$ и $A^{T} + B^{T}:$
$$A + B= \begin{pmatrix}
a_{11} + b_{11} &a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n}\\
a_{21} + b_{21} &a_{21} + b_{21} & \cdots & a_{2n} + b_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{m1} + b_{m1} &a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}
\end{pmatrix}. $$
$$\left ( A + B \right )^{T}= \begin{pmatrix}
a_{11} + b_{11} &a_{21} + b_{21} & \cdots & a_{1n} + b_{1n}\\
a_{12} + b_{12} &a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{1n} + b_{1n} &a_{2n} + b_{2n} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}
\end{pmatrix}.$$
$$A^{T} + B^{T} = \begin{pmatrix}
a_{11} + b_{11} &a_{21} + b_{21} & \cdots & a_{1n} + b_{1n}\\
a_{12} + b_{12} &a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{1n} + b_{1n} &a_{2n} + b_{2n} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}
\end{pmatrix}.$$
Получаем, что $\left ( A + B \right )^{T} = A^{T} + B^{T},$ что и требовалось доказать.

4. $\left ( A \cdot B \right )^{T} = A^{T} \cdot B^{T}$

Пусть $$ A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}, \; B = \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}
\end{pmatrix}.$$
Проведём транспонирование матриц: $$ A^{T} = C = \begin{pmatrix}
c_{11} & c_{21} & \cdots & c_{m1}\\
c_{12} & c_{22} & \cdots & c_{m2}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
c_{1n} & c_{2n} & \cdots & c_{mn}
\end{pmatrix}, \; B^{T} = D = \begin{pmatrix}
d_{11} & d_{21} & \cdots & d_{m1}\\
d_{12} & d_{22} & \cdots & d_{m2}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
d_{1n} & d_{2n} & \cdots & d_{mn}
\end{pmatrix}.$$
так, что $ с_{ji} = a_{ij},$ $ d_{\beta \alpha} = b_{\alpha \beta} $
$$AB = F = \begin{pmatrix}
f_{11} & f_{12} & \cdots & f_{1n}\\
f_{21} & f_{22} & \cdots & f_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
f_{m1} & f_{m2} & \cdots & f_{mn}
\end{pmatrix}. $$
$$A^{T}B^{T} = G = \begin{pmatrix}
g_{11} & g_{21} & \cdots & g_{m1}\\
g_{12} & g_{22} & \cdots & g_{m2}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
g_{1n} & g_{2n} & \cdots & g_{mn}
\end{pmatrix}. $$
Тогда, $$f_{ij} = \sum_{\alpha = 1}^{k} a_{i\alpha} b_{\alpha j},$$
$$g_{ji} = \sum_{\alpha = 1}^{k}d_{j\alpha} c_{\alpha i} = \sum_{\alpha = 1}^{k} b_{\alpha j} a_{i \alpha} = \sum_{\alpha = 1}^{k} = a_{i\alpha} b_{\alpha j} = f_{ij}.$$
Итак, $g_{ji} = f_{ij}$ при всех $i = 1, 2, …, m$ и $j = 1, 2, …, n, $ следовательно, $G = F^{T},$ т. е. $A^{T} B^{T}= \left ( A B \right )^{T} $.

Примеры решения задач

Пример 1

Дана матрица $ A = \begin{pmatrix}
5 & 2 & 6 \\
1 & 4 & 9 \\
8 & 3 & 10
\end{pmatrix}.$ Составить матрицу $A^{T}.$

Решение
$A^{T} = \begin{pmatrix}
5 & 2 & 6 \\
1 & 4 & 9 \\
8 & 3 & 10
\end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix}
5 & 1 & 8 \\
2 & 4 & 3 \\
6 & 9 & 10
\end{pmatrix}. $
[свернуть]

Пример 2

Дана матрица $ A = \begin{pmatrix}
11 & 0 & 9 \\
7 & 23 & 0 \\
1 & 11 & 4
\end{pmatrix}.$ Найти $ \left ( 2 \cdot A \right )^{T}. $

Решение
Воспользуемся вторым свойством транспонирования матриц, где $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T},$ получим: $$ 2 \cdot A^{T} =2 \begin{pmatrix}
11 & 7 & 1 \\
0 & 23 & 11 \\
9 & 0 & 4
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
22 & 14 & 2 \\
0 & 46 & 2 \\
18 & 0 & 8
\end{pmatrix}.$$
[свернуть]

Пример 3

Даны две матрицы $ A = \begin{pmatrix}
5 & 1 & 8 \\
2 & 4 & 3 \\
6 & 9 & 10
\end{pmatrix} $ и $ B = \begin{pmatrix}
11 & 7 & 1 \\
0 & 23 & 11 \\
9 & 0 & 4
\end{pmatrix}.$
Найти $ \left ( A + 3 \cdot B \right )^{T}.$



Решение
Найдём сумму матриц $A$ и $B:$
$$A + 3 \cdot B = \begin{pmatrix}
5 & 1 & 8 \\
2 & 4 & 3 \\
6 & 9 & 10
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
33 & 21 & 3 \\
0 & 69 & 33 \\
27 & 0 & 12
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
28 & 22 & 11 \\
2 & 73 & 36 \\
33 & 9 & 22
\end{pmatrix}.$$
Проведём транспонирование суммы матриц: $$\left ( A + 3 \cdot B \right )^{T} = \begin{pmatrix}
28 & 22 & 11 \\
2 & 73 & 36 \\
33 & 9 & 22
\end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix}
28 & 2 & 11 \\
22 & 73 & 99 \\
11 & 36 & 22
\end{pmatrix}.$$
[свернуть]

Пример 4

Даны две матрицы $ A = \begin{pmatrix}
5 & 11 & 16 & 12 & 56 \\
4 & 3 & 45 & 10 & 22\\
5 & 1 & 9 & 56 & 14 \\
33 & 23 & 34 & 45 & 89
\end{pmatrix} $ и
$$ B = \begin{pmatrix}
12 & 10 & 15 & 11\\
3 & 2 & 20 & 22\\
1 & 4 & 8 & 2\\
5 & 11 & 3 & 4\\
16 & 4 & 11 & 12
\end{pmatrix}.$$
Найти $ \left ( A \cdot B \right )^{T}.$



Решение
Решим задачу двумя способами, используя 4 свойство.
• Метод №1. Найдём преобразование матриц $A$ и $B:$ $$A \cdot B = \begin{pmatrix}
  5 & 11 & 16 & 12 \\
  4 & 3 & 45 & 10 \\
  5 & 1 & 9 & 56 \\
  33 & 23 & 34 & 45 \\
  56 & 22 & 14 & 89 \\
  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
  12 & 10 & 15 & 11 & 16\\
  3 & 2 & 20 & 22 & 0\\
  1 & 4 & 8 & 2 & 11\\
  5 & 11 & 0 & 4 & 12\\
  \end{pmatrix} =$$
  $$= \begin{pmatrix}
  538 & 430 & 1151 & 1579 & 2081 \\
  849 & 565 & 1066 & 2166 & 2450 \\
  127 & 77 & 336 & 590 & 434 \\
  216 & 183 & 738 & 518 & 920 \\
  547 & 475 & 943 & 1388 & 2206 \\
  \end{pmatrix}. $$

  Проведём транспонирование матрицы:
  $$ \left ( A \cdot B \right )^{T} = \begin{pmatrix}
  538 & 849 & 127 & 216 & 547 \\
  430 & 565 & 77 & 183 & 475 \\
  1151 & 1066 & 336 & 738 & 943 \\
  1579 & 2166 & 590 & 518 & 1388 \\
  2081 & 2450 & 434 & 920 & 2206
  \end{pmatrix}. $$

• Метод №2. Проведём транспонирование матриц $A$ и $B:$
  $$ A^{T} = \begin{pmatrix}
  5 & 4 & 5 & 33\\
  11 & 3 & 1 & 23\\
  16 & 45 & 9 & 34\\
  12 & 10 & 56 & 45\\
  56 & 22 & 14 & 89
  \end{pmatrix}.$$
  $$ B^{T} = \begin{pmatrix}
  12 & 3 & 1 & 5 & 16\\
  10 & 2 & 4 & 11 & 4\\
  15 & 20 & 8 & 3 & 11\\
  11 & 22 & 2 & 4 & 12
  \end{pmatrix}.$$

  Найдём произведение $A^{T}$ и $B^{T}:$
  $$A^{T} \cdot B^{T} = \begin{pmatrix}
  538 & 849 & 127 & 216 & 547 \\
  430 & 565 & 77 & 183 & 475 \\
  1151 & 1066 & 336 & 738 & 943 \\
  1579 & 2166 & 590 & 518 & 1388 \\
  2081 & 2450 & 434 & 920 & 2206
  \end{pmatrix}.
  $$

Оба метода показали одинаковый ответ, что также подтверждает свойство №4.
[свернуть]

Пример 5

Дана транспонированная матрица $ A^{T} = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 22 & 21 \\
2 & 11 & 1 & 12\\
0 & 4 & 20 & 31\\
6 & 15 & 50 & 9
\end{pmatrix}.$ Найти первоначальную матрицу $A.$

Решение
Воспользуемся первым свойством транспонирования матриц, где $\left ( A^{T} \right )^{T} = A, $ получим:
$$ \left ( A^{T} \right )^{T} = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 22 & 21 \\
2 & 11 & 1 & 12\\
0 & 4 & 20 & 31\\
6 & 15 & 50 & 9
\end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 9 & 6 \\
3 & 11 & 4 & 15\\
22 & 1 & 20 & 40\\
21 & 12 & 31 & 9
\end{pmatrix}. $$
[свернуть]

Смотрите также

• Конспект лекций по линейной алгебре, Белозёров Г.С. «Матрицы и определители»
• И.А. Мальцев Линейная Алгебра: Учебное пособие. 2010, Глава 3, §3.1 «Матрицы, линейные операторы», стр. 81
• Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. 1984, Глава 4, §1 «Матрицы и действия над ними», стр. 34

Операция транспонирования матриц и ее свойства

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Данный тест предназначен для проверки ваших знаний на тему «Операция транспонирования матриц и ее свойства». Удачи !

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 2
   Рубрика: Алгебра

   Транспонирование матрицы это

   • замена диагональных элементов нулями;
   • замена строк на столбцы, а столбцов — на строки;
   • замена знаков столбцов на противоположные;
   • перестановка местами двух строк.
   Правильно
   

   Это правильный ответ!

   Неправильно
   

   Увы, но это не правильный ответ!
   Транспонирование матрицы это замена строк на столбцы, а столбцов — на строки.
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 4
   Рубрика: Алгебра

   Выберите все свойства транспонирования матриц.

   • $\left ( A^{T} \right )^{T} = A $
   • $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T}$
   • $\left ( A + B \right )^{T} = A^{T} + B^{T}$
   • $\left ( A \cdot B \right )^{T} = A^{T} \cdot B^{T}$
   • $A^{T} = \left ( A^{T} \right )^{T}$
   • $A^{T} + B^{T} = A + B$
   Правильно
   

   Так держать!

   Неправильно
   

   Ты был близко!

   Свойства транспонирования матриц:

   1. $\left ( A^{T} \right )^{T} = A$
   2. $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T}$
   3. $\left ( A + B \right )^{T} = A^{T} + B^{T}$
   4. $\left ( A \cdot B \right )^{T} = A^{T} \cdot B^{T}$
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Дана матрица $A$. Составить матрицу $A^{T}.$

   Элементы сортировки

   • $$A^{T} = \begin{pmatrix} 11& 3 \\ 5 & 10 \\ 0 & 9 \\ \end{pmatrix} $$
   • $$ A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 4 \\ 2 & 11 & 4 \\ 5 & 9 & 0 \end{pmatrix} $$
   • $$ A^{T} = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 0 \\ 12 & 20 & 33 \\ 0 & 17 & 1 \end{pmatrix} $$
   • $$ A^{T} = \begin{pmatrix} 11& 23 \\ 122 & 50 \\ 44 & 9 \\ \end{pmatrix} $$

   • $ A = \begin{pmatrix} 11 & 5 & 0 \\ 3 & 10 & 9 \\ \end{pmatrix} $

   • $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 6 & 11 & 9 \\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix} $

   • $ A = \begin{pmatrix} 5 & 12 & 10 \\ 4 & 20 & 17 \\ 0 & 33 & 1 \end{pmatrix} $

   • $ 4. A = \begin{pmatrix} 11 & 122 & 44 \\ 23 & 50 & 9 \\ \end{pmatrix} $

   Правильно
   

   Так держать!

   Неправильно
   

   Ты был близко!
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Дана транспонированная матрица $ A^{T} =\begin{pmatrix}
   5 & 11 & 10 \\
   3 & 28 & 17 \\
   1 & 3 & 6
   \end{pmatrix}.$ Найти первоначальную матрицу $A.$

   • $ A =\begin{pmatrix} 5 & 10 & 11 \\ 3 & 17 & 28 \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix}$
   • $ A =\begin{pmatrix} 5 & 11 & 10 \\ 3 & 28 & 17 \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix}$
   • $ A =\begin{pmatrix} 5 & 10 & 11 \\ 28 & 3 & 17 \\ 3 & 1 & 6 \end{pmatrix}$
   • $ A =\begin{pmatrix} 5 & 3 & 1\\ 11 & 28 & 3 \\ 10 & 17 & 6 \end{pmatrix}$
   Правильно
   

   Молодец!

   Неправильно
   

   Что-то пошло не так!
   $$A^{T} =\begin{pmatrix}
   5 & 11 & 10 \\
   3 & 28 & 17 \\
   1 & 3 & 6
   \end{pmatrix}.$$
   $$A =\begin{pmatrix}
   5 & 3 & 1\\
   11 & 28 & 3 \\
   10 & 17 & 6
   \end{pmatrix}.$$

Определение. Векторы $a$ и $b$ называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.$$\left(a, b\right)=0.$$

Определение. Системы $S_{1} = \langle a_{1},a_{2},…,a_{n}\rangle,$ и $S_{2} = \langle b_{1},b_{2},…,b_{n}\rangle,$ называются эквивалентными, когда векторы каждой из систем, линейно выражаются через векторы, другой системы.

Теорема. Допустим, у нас есть линейно независимая система $S = \langle a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\rangle.$ Тогда всегда найдется такая система $S_{орт} = \langle b_{1},b_{2},…,b_{n}\rangle,$ которая будет эквивалентной и ортогональной к $S,$ которая получается следующим методом:

1. $b_{1} = a_{1},$
2. $b_{j} = a_{j} + \sum\limits_{i=1}^{j-1}\lambda_{ji}b_{i},\: 2\leqslant j\leqslant k,$ при $\lambda_{ji}=-\dfrac{\left(a_{j}, b_{i}\right)}{\left(b_{i}, b_{i}\right)}.$

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых может использоваться процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Постарайтесь решить данные примеры самостоятельно, а затем сверить свое решение с приведенным.

1. Применяя процесс ортогонализации по Грамму-Шмидту построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$
   $$a_{1} = (1, 2, 2, -1), a_{2} = (1, 1, -5, 3), a_{3} = (3, 2, 8, -7).$$
   Решение

   Первым делом, найдем $b_{1}$. В первом пункте пишется, что $b_{1} = a_{1}.$

   Дальше найдем $b_{2}.$ Из формулы пункта 2), мы видим, что: $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21} \cdot b_{1}, \lambda_{21} = \dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},$$ все необходимое для решения мы нашли, осталось только решить. Итак:$$\lambda_{21} = -\dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)} = -\dfrac{\left(1\cdot1 + 2\cdot1 + 2\cdot\left(-5\right) + 3\cdot\left(-1\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 2\cdot2 + 2\cdot2 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right)\right)} = -\left(\dfrac{-10}{10}\right) = 1,$$ лямбду мы нашли, $b_{1}$ у нас есть, теперь мы можем найти $b_{2}:$ $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21}\cdot b_{1} = (1, 1, -5, 3) + (1, 2, 2, -1) = (2, 3, -3, 2).$$

   Выпишем же формулу для $b_{3}:$ $$b_{3} = a_{3} + \lambda_{31} \cdot b_{1} + \lambda_{32} \cdot b_{2},$$ при $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},\quad \lambda_{32} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{2}\right)}{\left(b_{2}, b_{2}\right)},$$ найдем все необходимое: $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(3\cdot1 + 2\cdot2 + 8\cdot2 + (-7)\cdot\left(-1\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 2\cdot2 + 2\cdot2 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right)\right)} = -3,$$ $$\lambda_{32} = -\dfrac{\left(3\cdot2 + 2\cdot3 + 8\cdot\left(-3\right) + (-7)\cdot2\right)}{\left(2\cdot2 + 3\cdot3 + \left(-3\cdot\left(-3\right)\right) + 2\cdot2\right)} = 1.$$ Теперь вычислим $b_{3}:$ $$b_{3} = (3, 2, 8, -7)-3(1, 2, 2, -1) + 1(2, 3, -3, 2) = (2, -1, -1, 2).$$
   Получили ортогональный базис $S_{Орт} = \langle b_{1}, b_{2}, b_{3}\rangle$ — систему, эквивалентную данной, $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$ $$S_{Орт} = \langle (1, 2, 2, -1), (2, 3, -3, 2), (2, -1, -1, 2)\rangle.$$
   

2. Применяя процесс ортогонализации по Грамму-Шмидту построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$
   $$a_{1} = (1, 1, -1, -2), a_{2} = (5, 8, -2, -3), a_{3} = (3, 9, 3, 8).$$
   Решение

   Первым делом, найдем $b_{1}$, $b_{1} = a_{1}.$

   Дальше найдем $b_{2}.$ Из формулы пункта 2) мы видим, что: $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21} \cdot b_{1}, \lambda_{21} = \dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},$$ все необходимое для решения мы нашли, осталось только решить. Итак:$$\lambda_{21} = -\dfrac{\left(5\cdot1 + 8\cdot1 + \left(-2\cdot\left(-1\right)\right) + \left(-3\cdot\left(-2\right)\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 1\cdot1 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right) + \left(-2\cdot\left(-2\right)\right)\right)} = -\left(\dfrac{21}{7}\right) = 3,$$ лямбду мы нашли, $b_{1}$ у нас есть, теперь мы можем найти $b_{2}:$ $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21}\cdot b_{1} = (5, 8, -2, -3) + (-3, -3, 3, 6) = (2, 5, 1, 3).$$

   Выпишем же формулу для $b_{3}:$ $$b_{3} = a_{3} + \lambda_{31} \cdot b_{1} + \lambda_{32} \cdot b_{2},$$ при $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},\quad \lambda_{32} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{2}\right)}{\left(b_{2}, b_{2}\right)},$$ найдем все необходимое: $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(3\cdot1 + 9\cdot1 + 3\cdot\left(-1\right) + 8\cdot\left(-2\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 1\cdot1 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right) + \left(-2\cdot\left(-2\right)\right)\right)} = 1,$$ $$\lambda_{32} = -\dfrac{\left(3\cdot2 + 9\cdot5 + 3\cdot1 + 8\cdot3\right)}{\left(2\cdot2 + 5\cdot5 + 1\cdot1 + 3\cdot3\right)} = -2.$$ Теперь вычислим $b_{3}:$ $$b_{3} = (3, 9, 3, 8) + 1(1, 1, -1, -2)-2(2, 5, 1, 3) = (0, 0, 0, 0).$$
   Получили ортогональный базис $S_{Орт} = \langle b_{1}, b_{2}, b_{3}\rangle$ — систему, эквивалентную данной, $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$ $$S_{Орт} = \langle(1, 1, -1, -2), (2, 5, 1, 3)\rangle.$$
   

Смотрите также

1. Конспект лекций по линейной алгебре. Белозёров Г.С. Евклидовы пространства
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 8, §34, «Определение евклидова пространства. Ортонормированные базы», c.213-214
3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, §28, «Ортогональность», стр. 92

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на знание темы «Процесс ортогонализации Грама-Шмидта»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Алгебра 0%

максимум из 95 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 8
   Рубрика: Алгебра

   Любой ЛНЗ системе, методом Грама-Шмидта, можно найти эквивалентную ей ортогональную систему?

   • Да
   • Нет
   Правильно 8 / 8Баллы

   Неправильно / 8 Баллы
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 32
   Рубрика: Алгебра

   Имея систему $S =\langle a_{1}, a_{2}\rangle$, при $a_{1} = (1, 4, 6, 8)$ и $a_{2} = (-2, 1, 3, 4)$, найдите ортогональный базис подпространства, натянутого на эту систему.

   • $b_{1} = (1, 4, 6, 8)$
   • $b_{1} = (8, 6, 4, 1)$
   • $b_{1} = (5, 2, 3, -1)$
   • $b_{2} = (-2, 4, 8, 16)$
   • $b_{2} = (\dfrac{112}{117}, \dfrac{209}{117}, \dfrac{48}{117}, \dfrac{68}{117})$
   • $b_{2} = (-\dfrac{286}{117}, -\dfrac{91}{117}, \dfrac{39}{117}, \dfrac{52}{117})$
   • $b_{2} = (-\dfrac{48}{57}, -\dfrac{79}{57}, -\dfrac{36}{57}, -\dfrac{62}{57})$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 20
   Рубрика: Алгебра

   Определение эквивалентности систем.

   • Две системы называются (эквивалентными), когда (векторы, вектора) каждой из систем, (линейно выражаются) через векторы, другой системы.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 30
   Рубрика: Алгебра

   Применяя процесс ортогонализации по Грамму-Шмидту построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов $S = \langle a_{1},a_{2},a_{3}\rangle,$ при $$a_{1} = (1, -2, 5, 3);$$ $$a_{2} = (2, -1, -2, 3);$$ $$a_{3} = (-1, -3, 3, 2).$$ Расставить векторы в порядке их нахождения. Если получились дроби, то надо поделить и округлить до десятых.

   Элементы сортировки

   • $(1; -2; 5; 3)$
   • $(1{,}9; 0{,}8; -2{,}4; 2{,}8)$
   • $(1; 4{,}6; 5{,}5; 4{,}9)$

   • $b_{1} =$

   • $b_{2} =$

   • $b_{3} =$

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 5
   Рубрика: Алгебра

   Как называются векторы $a$ и $b$, скалярное произведение которых равно нулю?
   Правильно
   

   Неправильно