Евклидово пространство

Пусть дано вещественное линейное пространство $E$ . Оно называется евклидовым, если на нем задано отображение из каждой пары векторов в соответствующее ей вещественное число. Назовем это отображение скалярным произведением. Отображение должно удолетворять следующим аксиомам:

$\left(x, y \right) = \left(y, x \right),$
$\left(\lambda x, y \right) = \lambda \left(x, y \right),$
$\left(x + y, z \right) = \left(x, z\right) + \left(y, z\right),$
$\left(x, x \right) > 0 \quad при \quad x \not= 0; (x, x) = 0 \quad при \quad x = 0; \forall x, y, z \in E, \forall \lambda \in R.$

Отсюда можно получить ряд следствий:

$\left(x, \lambda y\right) = \lambda \left(x, y \right)$ ,
$\left(x, y + z \right) = \left(x, y \right) + \left(x, z \right)$ ,
$\left(x {-} z, y \right) = \left(x, y \right){-}\left(z, y \right)$ ,
$\left(x, y {-} z \right) = \left(x, y \right){-}\left(x, z \right)$ ,
$\forall a = \sum\limits_{j = 1}^m \alpha_j x_j$ , $b = \sum\limits_{i = 1}^n \beta_i y_i: \\ \left(x, y\right) = \left(\sum\limits_{j = 1}^m \alpha_j x_j, b = \sum\limits_{i = 1}^n \beta_i y_i\right) = \sum\limits_{j = 1}^m \sum\limits_{i = 1}^n \alpha_j \beta_i \left(x_j, y_i \right)$

Любое n-мерное линейное пространство можно превратить в евклидово(с помощью определения в нем скалярного произведения). В n-мерном линейном пространстве скалярное произведение можно задать различными способами.

Например, возьмем в произвольном вещественном пространстве $G$ его некоторый базис $g = {e_1, e_2, \cdots, e_n}$ и два любых вектора $x$ , $y$ . Допустим, $x = \sum\limits_{i = 1}^n \alpha_i e_i \quad y = \sum\limits_{i = 1}^n \beta_i e_i$

Теперь можно ввести скалярное произведение: $\left(x, y\right) = \sum\limits_{i = 1}^n \alpha_i \beta_i.$

Любое подпространство из $E$ может быть Евклидовым, если в нем сохраняется скалярное произведение, определенное в $E$ .

Пусть дан вектор $x$ , принадлежащий евклидову пространству. Если $(x, x) = 1$ , то этот вектор называется нормированным. Ненулевой вектор можно нормировать, если умножить его на произвольное число $\lambda$ : $\left(\lambda x, \lambda x \right) = \lambda^2 \left(x, x\right) = 1.$

Значит, нормирующий множитель $\left(\lambda \right) = \left( x, x \right)^{{-}\frac{1}2}$

Пусть вектор $x$ принадлежит евклидову пространству $E$ . Длиной вектора $x$ назовем число $\mid x \mid = + \sqrt{\left(x, x\right)}$ , где $x \in R.$ Данное определение имеет свойства длины:

$\mid 0 \mid = 0.$
$\mid x \mid > 0, если x \not= 0.$
$\mid \lambda \cdot x \mid = {\mid \lambda \mid}{\mid x \mid}$ — свойство абсолютной однородности.

Пусть даны векторы $x, y$ , принадлежащие евклидову пространствую. Тогда $\displaystyle \cos \left(x, y \right) = \frac{ \left(x, x \right)}{{ \mid x \mid}{ \cdot}{ \mid y \mid}}, 0 \leqslant \left(x, y \right) \leqslant \pi$ — косинус угла между этими векторами

Рассмотрим применимость школьной геометрии к геометрии евклидова пространства. Пусть заданы два вектора $x, y \in E; x \not= 0, y \not= 0$ — две стороны треугольника. Тогда разность $y-x$ — третья сторона. С помощью формулы для угла можно вычислить квадрат третьей стороны: ${\mid y-x\mid}^2 = \left(y-x, y-x \right) = {\mid y \mid}^2+{\mid x \mid}^2 {-} 2 \left(y, x\right) = {\mid y \mid}^2+{\mid x \mid}^2 {-} \mid y \mid \mid x \mid \cos \left(b, a\right)$

Получили теорему косинусов. Разумеется, если $y \bot x$ , то треугольник является прямоугольным. Также, из последней формулы можно получить теорему Пифагора: ${\mid y-x\mid}^2 = {\mid y \mid}^2+{\mid x \mid}^2.$ Из той же формулы получаем отношение длин сторон треугольника, если оценивать множитель $cos(b^a)$ сверху: ${\mid y-x\mid}^2 \leqslant {\mid y \mid}^2+{\mid x \mid}^2 {+} 2{\mid y \mid}{\mid x \mid} = \left({\mid y \mid}+{\mid x \mid}\right)^2 \Rightarrow \mid y-x \mid \leqslant {\mid y \mid}+{\mid x \mid}.$

И снизу: ${\mid y-x\mid}^2 \leqslant {\mid y \mid}^2+{\mid x \mid}^2 {-} 2{\mid y \mid}{\mid x \mid} = \left({\mid y \mid}-{\mid x \mid}\right)^2 \Rightarrow \mid y-x \mid \leqslant {\mid y \mid}-{\mid x \mid}.$

Литература

Электронный конспект по линейной алгебре Белозерова Г.С.
Воеводин В.В. Линейная алгебра.Стр. 88-90
Курош А.Г. Курс высшей алгебры.Стр. 211-212

М1343. Пересечение трёх хорд окружности

Задача из журнала «Квант» (1992 год, 11 выпуск)

Условие

Три хорды окружности $\gamma$ попарно пересекаются в точках $A$ , $B$ , $C$ . Построим еще три окружности: одна касается сторон угла $CAB$ и окружности $\gamma$ (изнутри) в точке $A_{1}$ , вторая — сторон угла $ABC$ и окружности $\gamma$ (изнутри) в точке $B_{1}$ , третья — сторон угла $ACB$ и окружности $\gamma$ (изнутри) в точке $C_{1}$ . Докажите, что три отрезка $AA_{1}$ , $BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке (рис. 1)

Решение

Пусть $\gamma_{0}$ — окружность, вписанная в треугольник $ABC$ , $I$ — ее центр, $K$ — центр окружности $\gamma$ , $L$ — центр гомотетии $H$ , переводящей окружность $\gamma$ в $\gamma_{0}$ (точка $K$ лежит на продолжении отрезка $К_{1}$ за точку $I$ , причем отношение $LI/KI$ равно отношению радиусов окружностей $\gamma$ в $\gamma_{0}$ ).

Докажем, что отрезок $AA_{1}$ , (рис. 2) проходит через точку $L$ (точно так же мы можем рассуждать и об отрезках $ВВ_{1}$ и $СС_{1}$ ).Гомотетию $H$ можно рассматривать как композицию двух гомотетий: первая из них $H_{1}$ с центром $A_{1}$ переводит у в окружность $\gamma_{A}$ , касающуюся окружности $\gamma$ в точке $A_{1}$ , вторая $H_{2}$ с центром $А$ переводит $\gamma_{A}$ в $\gamma_{0}$ при этом, конечно, $H = H_{2} \circ H_{1}$ .Тот факт, что точка $L$ лежит на прямой (даже на отрезке) $AA_{1}$ , вытекает из так называемой «теоремы о трех центрах подобия»: если $H_{1}$ , и $H_{2}$ — две гомотетии с коэффициентами $k_{1}$ и $k_{2}$ , $k_{1} k_{2} \neq 1$ , то их композиция $H = H_{2} \circ H_{1}$ , — тоже гомотетия с коэффициентом $k_{1} k_{2}$ , причем центры всех трех гомотетий лежат на одной прямой.

Докажем это в интересующем нас случае, когда $0<k_{1}<1$ и $0<k_{2}<1$ (при этом центр гомотетии $H$ будет лежать на отрезке, соединяющем центры гомотетий $H_{1}$ и $H_{2}$ ).Возьмем три точки $P$ , $Q$ и $X$ , не лежащие на одной прямой (рис. 3). Пусть $P_{1}=H(P)$ , $Q_{1}=H(Q)$ , $X_{1}=H(X)$ .Треугольник $P_{1}Q_{1}X_{1}$ , подобен треугольнику $PQX$ , причем их сходственные стороны либо параллельны, либо лежат на одной прямой. Отсюда следует, что найдутся две стороны (пусть для определенности это будут $PQ$ и $P_{1}Q_{1}$ ), лежащие на несовпадающих параллельных прямых.Прямые $PP_{1}$ и $QQ_{1}$ пересекаются в некоторой точке $O$ (поскольку $P_{1}Q_{1} = kPQ < PQ$ ), лежащей по ту же сторону от прямой $PQ$ , что и точки $P_{1}$ и $Q_{1}$ .

Теперь ясно, что точки $X$ и $X_{1}$ лежат на одной прямой, причем $OX_{1}/OX = k$ , т. е. $H$ — гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k=k_{1}k_{2}$ . Если $O_{1}$ — центр гомотетии $H_{1}$ , а $O_{2}$ — центр гомотетии $H_{2}$ , то $H(O)=H_{2}(O_{1})$ лежит на отрезке $O_{1}O_{2}(k_{2} < 1$ ); это значит, что прямая $O_{1}O_{2}$ проходит через точку $O$ , причем точки $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат по разные стороны от точки $O$ на прямой $O_{1}O_{2}$ ( $0<k_{1}<1$ и $0<k_{2}<1$ ). Отсюда следует, что точка $О$ лежит на отрезке $O_{1}O_{2}$ . Утверждение задачи тем самым доказано — все три отрезка $AA_{1}$ , $BB_{1}$ и $CC_{1}$ проходят через точку $L$ .

Н.Васильев

Векторное произведение векторов, свойства, координатное представление

Векторное произведение векторов

Если наблюдатель, идя против часовой стрелке сначала встречает вектор $\vec {c},$ затем встречает вектор $\vec {a},$ затем вектор $\vec {b},$ то тройка векторов $\left\{\vec {a}, \vec {b}, \vec {c}\right\}$ называется правой (рис. 1), если же наблюдатель шел по часовой стрелке и встретил вектора в той же последовательности, то тогда тройка векторов $\left\{\vec {a}, \vec {b}, \vec {c}\right\}$ называется левой.

Если обозначить указательный палец как $\vec {a},$ средний палец как $\vec {b},$ а большой палец как их произведение, т.е. $\vec {c},$ то расположение пальцев на правой руке является правой тройкой векторов, а на левой руке левой тройкой векторов.

На рисунке 1 показано как будет выглядеть правая тройка векторов.

рис. 1

Векторным произведением неколлинеарных векторов $\vec {a}$ и $\vec {b}$ называется вектор $\vec {c},$ такой, что

$\left|\vec {c}\right| = \left|\vec {a}\right| \cdot \left|\vec {b}\right| \cdot \sin \varphi,$ где $\varphi$ — угол между векторами $\vec {a}$ и $\vec {b};$
Вектор $\vec {c}$ ортогонален вектору $\vec {a}$ и вектору $\vec {b};$
Тройка векторов $\left\{\vec {a}, \vec {b}, \vec {c}\right\}$ правая.

Векторное произведение $\vec {a}$ и $\vec {b}$ обозначается как $\left[\vec {a}, \vec{b}\right].$

Свойства векторного произведения

$\left[\vec{a}, \vec{b}\right] = -\left[\vec{b}, \vec{a}\right]$ (антикоммутативность).

Смотря на определение видно, что произведения $\vec {a} \times \vec {b}$ и $\vec {b} \times \vec {a}$ имеют одинаковую длину. Так же они имеют противоположное направление из-за того, что $\sin \varphi$ нечетен.
$\,\left[\lambda \vec{a}, \vec{b}\right] = \lambda\left[\vec{a}, \vec{b}\right]$ (ассоциативность).

Докажем данное св-во для случая $\lambda > 0,$ а для $\lambda < 0,$ доказательство проводится аналогично. Легко заметить, что при $\lambda > 0$ вектор $\lambda \left(\vec {a} \times \vec {b}\right)$ имеет то же направление, что и $\vec {a} \times \vec {b}$ (обратное при $\lambda < 0$ ). Теперь нам надо доказать равенство длин этих произведений. $\left|\left(\vec{a} \times \vec{b}\right)\right| = \left|\lambda\right| \cdot \left|\vec{a} \times \vec{b}\right| = \lambda \cdot \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right| \cdot \sin \left(\vec{a}; \vec{b}\right),$ $\left|\left(\lambda \vec{a}\right) \times \vec{b}\right| = \left|\lambda \vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right| \cdot \sin \left(\vec{a}; \vec{b}\right) = \lambda \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right| \cdot \sin \left(\vec{a}; \vec{b}\right).$
$\,\vec{a} \times \left(\vec{b} + \vec{c}\right) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ (дистрибутивность).
Условие коллинеарности векторов.
Для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору. $\vec{a} \| \vec{b}, \quad \left| \vec{a}\right| \neq 0, \quad \left|\vec{b}\right| \neq 0 \Longleftrightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}.$

Очевидно, что если вектора $\vec {a}$ и $\vec {b}$ коллинеарны, то синус угла между ними равен нулю, отсюда видим, что по определению, векторное произведение равно нулю.
Теперь докажем в обратную сторону: если $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0},$ то $\left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right| \cdot \sin \left(\vec{a}; \vec{b}\right) = 0 \Rightarrow$ один из сомножителей равен нулю. Так как ни один из векторов не равен нулю, то $\sin \left(\vec{a}; \vec{b}\right) = 0,$ т.е. либо $\widehat {\left(\vec{a}; \vec{b}\right)} = 0,$ либо $\widehat {\left(\vec{a}; \vec{b}\right)} = \pi$ и значит $\vec{a} \| \vec{b}.$

Следствие: векторный квадрат равен нулевому вектору.
Геометрический смысл векторного произведения.
Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на перемножаемых векторах (рис. 2).

Если посмотреть векторного произведения $\left|\vec{a} \times \vec{b}\right| = \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right| \cdot \sin \left(\vec{a}; \vec{b}\right),$ то мы видим общеизвестную формулу площади параллелограмма со сторонами, длины которых равны $\left|\vec {a}\right|$ и $\left|\vec {b}\right|.$
рис. 2

Координатное представление векторного произведения

Для того, чтобы выразить результат векторного произведения векторов $\vec {a} = \left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right)$ и $\vec {b} = \left(b_{x}, b_{y}, b_{z}\right)$ в координатах надо сначала найти все парные векторные произведения единичных векторов $\vec {i}, \vec {j}, \vec {k}.$ $\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = 0,$ $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}, \quad \vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}, \quad \vec{k} \times \vec{i} = \vec{j},$ $\vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}, \quad \vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i}, \quad \vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j}.$ $\vec {a} \times \vec {b} = \left(a_{x} \cdot \vec {i} + a_{y} \cdot \vec {j} + a_{z} \cdot \vec {k} \right) \times \left(b_{x} \cdot \vec {i} + b_{y} \cdot \vec {j} + b_{z} \cdot \vec {k} \right) =$ $= \, a_{x} b_{y} \cdot \vec {i} \times \vec {j} + a_{x} b_{z} \cdot \vec {i} \times \vec {k} + a_{y} b_{x} \cdot \vec {j} \times \vec {i} + a_{y} b_{z} \cdot \vec {j} \times \vec {k} + a_{z} b_{x} \cdot \vec {k} \times \vec {i} + \,$ $+ \, a_{z} b_{y} \cdot \vec {k} \times \vec {j} = a_{x} b_{y} \cdot \vec {k} — a_{x} b_{z} \cdot \vec {j} — a_{y} b_{x} \cdot \vec {k} + a_{y} b_{z} \cdot \vec {i} + a_{z} b_{x} \cdot \vec {j} — \,$ $- \, a_{z} b_{v} \cdot \vec {i} = \left(a_{y} b_{z} — a_{z} b_{y}\right) \vec{i} — \left(a_{x} b_{z} — a_{z} b_{x}\right) \vec{j} + \left(a_{x} b_{y} — a_{y} b_{x}\right) \vec{k}.$
Легко заметить, что разности, стоящие в скобочках, равны определителям второго порядка. $\vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin {matrix} a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \end {matrix} \right| \cdot \vec{i} \, — \, \left| \begin {matrix} a_{x} & a_{z} \\ b_{x} & b_{z} \end{matrix} \right| \cdot \vec{j} + \left| \begin{matrix} a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \end{matrix} \right| \cdot \vec{k}.$ Итак, видим, что справа от знака равно записано разложение определителя третьего порядка по первой строке. $\vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} \right|.$ То есть $\vec {c} = \left(\left| \begin {matrix} a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \end {matrix} \right|, — \left| \begin {matrix} a_{x} & a_{z} \\ b_{x} & b_{z} \end{matrix} \right|, \left| \begin {matrix} a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \end{matrix} \right|\right).$

Примеры решения задач

Найти модуль векторного произведения векторов $\vec {a} = \left(0, 3, 4\right)$ и $\vec {b} = \left(5, 12, 0\right), \, \varphi = \frac{\pi}{3}.$

Решение

Для того, чтобы использовать формулу вычисления модуля векторного произведения $|\vec {c}| = |\vec {a}| |\vec {b}| \sin \varphi$ надо знать длины наших векторов, для этого воспользуемся формулой $|\vec {f}| = \sqrt{\left(f_{x}\right)^2 + \left(f_{y}\right)^2 + \left(f_{z}\right)^2}.$ Тогда $|\vec {a}| = \sqrt{0 + 9 + 16} = 5$ и $|\vec {b}| = \sqrt{25 + 144 + 0} = 13.$ Тогда $\left|\vec {c}\right| = 5 \cdot 13 \cdot \sin \left(\frac {\pi}{3}\right) = 80 \cdot \frac {\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt {3}.$
Ответ: $40\sqrt {3}.$

[свернуть]
Найти координаты вектора $\vec {c},$ который является результатом векторного произведения векторов $\vec {a} = \left(1, -2, 3\right)$ и $\vec {b} = \left(3, 4, 6\right).$

Решение

Разложим определитель трехмерной матрицы, в которой первая строка это $i, j, k,$ вторая строка это координаты вектора $\vec {a},$ а третья строка — координаты вектора $\vec {b}$ по первой строчке. То есть $\left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{matrix} \right| = \vec {i} \cdot \left| \begin {matrix} -2 & 3 \\ 4 & 6 \end {matrix} \right| — \vec {j} \cdot \left| \begin {matrix} 1 & 3 \\ 3 & 6 \end {matrix} \right| + \vec {k} \cdot \left| \begin {matrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end {matrix} \right| =$ $= \, (-24) \cdot \vec {i} \, — (-3) \cdot \vec{j} + 10 \cdot \vec {k} = (-24) \cdot \vec {i} +3 \cdot \vec{j} + 10 \cdot \vec {k}.$ Отсюда видим, что $\vec {c} = (-24, 3, 10).$

[свернуть]
Найти длины и координаты всех векторов получившихся в результате векторного умножения векторов $\vec {a} = (2, 3, 4), \vec {b} = (-1, 3, -7), \vec {c} = (0, 0, 3)$ зная, что $\sin \left(\vec {a}, \vec {b}\right) = \frac {1}{2}, \sin \left(\vec {a}, \vec {c}\right) = \frac {1}{3}, \sin \left(\vec {b}, \vec {c}\right) = \frac {5}{6}.$

Решение

Для начала найдем модули всех заданных векторов, для этого воспользуемся формулой нахождения модуля вектора из примера 1 $|\vec {a}| = \sqrt {4 + 9 + 16} = \sqrt {29}, \left|\vec {b}\right| = \sqrt {1 + 9 + 49} = \sqrt {59}, \left|\vec {c}\right| = \sqrt {0 + 0 + 9} = 3.$ Теперь будем решать задачу для пары векторов $\vec {a}$ и $\vec {b}.$ $\vec {a} \times \vec {b} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ -1 & 3 & -7 \end{matrix} \right| = \vec {i} \cdot \left| \begin {matrix} 3 & 4 \\ 3 & -7 \end {matrix} \right| — \vec {j} \cdot \left| \begin {matrix} 2 & 4 \\ -1 & -7 \end {matrix} \right| +$ $+ \, \vec {k} \cdot \left| \begin {matrix} 2 & 3 \\ -1 & 3 \end {matrix} \right| = (-40) \cdot \vec {i} \, — (-10) \cdot \vec {j} + 9 \cdot \vec {k} = (-40) \cdot \vec {i} + 10 \cdot \vec {j} + 9 \cdot \vec {k},$ т.е. координаты результата равны $(-40, 10, 9),$ теперь найдем модуль данного произведения $\left|\vec {a} \times \vec {b}\right| = \sqrt {29} \cdot \sqrt {59} \cdot \frac {1}{2} =$ $= \, \frac {\sqrt {1711}}{2}.$ Теперь проделаем тоже самое для пары $\vec {a}$ и $\vec {c}.$ $\vec {a} \times \vec {c} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right| = \vec {i} \cdot \left| \begin {matrix} 3 & 4 \\ 0 & 3 \end {matrix} \right| — \vec {j} \cdot \left| \begin {matrix} 2 & 4 \\ 0 & 3 \end {matrix} \right| +$ $+ \, \vec {k} \cdot \left| \begin {matrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end {matrix} \right| = 9 \cdot \vec {i} \, — \, 6 \cdot \vec {j} + 0 \cdot \vec {k} = 9 \cdot \vec {i} \, — \, 6 \cdot \vec {j},$ координаты равны $(9, -6, 0)$ теперь найдем модуль данного произведения $\left|\vec {a} \times \vec {c}\right| = \sqrt {29} \cdot 3 \cdot \frac {1}{3} =$ $= \, \frac {3 \sqrt {29}}{3} = \sqrt {29}.$ И наконец, пара $\vec {b}$ и $\vec {c}.$ $\vec {b} \times \vec {c} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right| = \vec {i} \cdot \left| \begin {matrix} 3 & 7 \\ 0 & 3 \end {matrix} \right| — \vec {j} \cdot \left| \begin {matrix} -1 & 7 \\ 0 & 3 \end {matrix} \right| +$ $+ \, \vec {k} \cdot \left| \begin {matrix} -1 & 3 \\ 0 & 0 \end {matrix} \right| = 9 \cdot \vec {i} \, — \, (-3) \cdot \vec {j} + 0 \cdot \vec {k} = 9 \cdot \vec {i} + 3 \cdot \vec {j},$ координаты равны $(9, 3, 0)$ теперь найдем модуль данного произведения $\left|\vec {b} \times \vec {c}\right| = \sqrt {59} \cdot 3 \cdot \frac {5}{6} =$ $= \, \frac {3 \cdot 5 \sqrt {59}}{6} = \frac {5 \sqrt {59}}{2}.$ Итак, задача решена.

[свернуть]
Найти площадь треугольника, у которого заданы координаты его вершин. $A = (1, 2, 3), B = (5, 11 -2), C = (3, -6, 4).$

Решение

Чтобы решить эту задачу достаточно найти площадь параллелограмма, построенного на каких-то двух сторонах треугольника. Пусть этими сторонами будут $AB$ и $AC.$ Для начала надо найти координаты этих векторов $\vec {AB} = (5 — 1, 11 — 2, -2 — 3) = (4, 9, 5), \vec {AC} = (3 — 1, -6 — 2,4 — 3) =$ $= \, (2, -8, -1).$ Найдем координаты вектора, полученного в результате векторного умножения сторон треугольника $\vec {a} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 9 & 5 \\ 2 & -8 & -1 \end{matrix} \right| = \vec {i} \cdot \left| \begin {matrix} 9 & 5 \\ -8 & -1 \end {matrix} \right| — \vec {j} \cdot \left| \begin {matrix} 4 & 5 \\ 2 & -1 \end {matrix} \right| +$ $+ \, \vec {k} \cdot \left| \begin {matrix} 4 & 9 \\ -8 & -1 \end {matrix} \right| = 31 \cdot \vec {i} \, — \, (-14) \cdot \vec {j} + 68 \cdot \vec {k} = 31 \cdot \vec {i} + 14 \cdot \vec {j} + 68 \cdot \vec {k}.$ Как мы уже знаем, координатами вектора $\vec {a}$ будет $(31, 14, 68).$ Осталось найти модуль полученного вектора по уже известной формуле $\left|\vec {a}\right| = \sqrt {961 + 196 + 4624} = \sqrt {5781}$ и поделить его на $2, S = \frac {\sqrt {5781}}{2}.$

[свернуть]
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec {a} = (1, -3, 4), \vec {AB},$ если $A = (3, 8 ,6), B = (2, 4, -7)$ и угол между ними равен $\varphi = \frac {\pi}{6}.$

Решение

Для начала надо найти вектор $\vec {AB} = (2 — 3, 4 — 8, -7 — 6) =$ $= \, (-1, -4, -13)$ и его модуль $\left|\vec {AB} \right| = \sqrt {1 + 16 + 169} = \sqrt {186}.$ Так же надо найти модуль вектора $\left|\vec {a}\right| = \sqrt {1 + 9 + 16} = \sqrt {26}.$ Теперь воспользуемся определением $\vec {a} \times \vec {AB} = \sqrt {186} \cdot \sqrt {26} \cdot \sin \frac {\pi}{6} = \sqrt {4836} \cdot \frac {1}{2}.$ На данном этапе можем внести $\frac {1}{2}$ под корень и тогда ответом будет $\sqrt {1209}.$

[свернуть]

Список литературы

Ефимов Н.В.: Краткий курс аналитической геометрии, стр. 154-163
Постников М.М. Аналитическая геометрия, стр 133-134
Личный конспект на основе лекций Белозерова Г.С.

Векторное произведение векторов

Тест для проверки знаний по теме «Векторное произведение векторов»

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 3
Отметьте правильные утверждения относительно вектора $\vec {c},$ полученного в результате умножения $\vec {a}$ и $\vec {b}.$
- Тройка векторов $\left\{\vec {a}, \vec {b}, \vec {c}\right\}$ правая.
- Тройка векторов $\left\{\vec {a}, \vec {b}, \vec {c}\right\}$ левая.
- Вектор $\vec {c}$ коллинеарен вектору $\vec {a}$ и вектору $\vec {b}.$
- Вектор $\vec {c}$ ортогонален вектору $\vec {a}$ и вектору $\vec {b}.$
- $|\vec {c}| = \left|\vec {a}\right| \left|\vec {b}\right| \sin \varphi,$ где $\varphi$ - угол между векторами $\vec {a}$ и $\vec {b}.$
- $|\vec {c}| = \left|\vec {a}\right| \left|\vec {b}\right| \cos \varphi,$ где $\varphi$ - угол между векторами $\vec {a}$ и $\vec {b}.$
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 1
Что получается в результате векторного умножения?
- Число
- Вектор
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 3
Найдите модули всех векторов, полученных в результате попарного векторного перемножения векторов $\vec {a}, \vec {b}, \vec {c},$ у которых $\left|\vec {a}\right| = 10, \left|\vec {b}\right| = 13, \left|\vec {c}\right| = 4$ и $\sin \left(\vec {a}, \vec {b} \right) = \frac {5}{6}, \sin \left(\vec {a}, \vec {c} \right) = \frac {10}{13}, \sin \left(\vec {b}, \vec {c} \right) = \frac {1}{2}$ и расставьте их в порядке убывания.
- $\vec {a} \times \vec {b}$
- $\vec {a} \times \vec {c}$
- $\vec {b} \times \vec {c}$

Задание 4 из 5

4.

Количество баллов: 4

Найдите модуль вектора $\vec {c},$ если $\vec {c} = \vec {a} \times \vec {b}.$

Элементы сортировки

$\left|\vec {a}\right| = 13, \left|\vec {b}\right| = 1, \sin \left(\vec {a}, \vec {b} \right) = \frac {4}{5}$
$\left|\vec {a}\right| = 50, \left|\vec {b}\right| = 67, \sin \left(\vec {a}, \vec {b} \right) = \frac {1}{2}$
$\left|\vec {a}\right| = 39, \left|\vec {b}\right| = 47, \sin \left(\vec {a}, \vec {b} \right) = \frac {4}{9}$
$\left|\vec {a}\right| = 4, \left|\vec {b}\right| = 9, \sin \left(\vec {a}, \vec {b} \right) = \frac {7}{13}$

$\frac {52}{5}$

$1675$

$468$

$\frac {252}{13}$

Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1
Тройка некомпланарных векторов, называется ______, если идя против часовой стрелки, начиная с $\vec{c}$ , наблюдатель сначала видит $\vec {b}$ , затем $\vec {a}.$

Скалярное произведение векторов, свойства, координатное представление

Пусть заданы два ненулевых вектора $a$ и $b$ , число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, назовем их . $\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)$ В случае, если хотя бы один из векторов нулевой, будем считать их скалярное произведение равным нулю.

Также существуют другие определения скалярного произведения векторов.

Пусть заданы два ненулевых вектора, число, равное произведению длины первого и величины проекции второго вектора на первый, назовем их . $\left( a,b \right) = \left|a\right|\left\{pr_{a}b\right\}$

Определение 3. Пусть два произвольных вектора заданы своими координатами, число, равное сумме произведений соответствующих координат, назовем скалярным произведением этих векторов.

Докажем эквивалентность первого и второго определений, эквивалентность третьему будет доказана позднее.

Первое и второе определения эквивалентны, т.е. $\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right) = \left|a\right|\left\{pr_{a}b\right\}.$

Воспользуемся определением проекции вектора на ось (другой вектор), откуда получим, что $\left\{pr_{a}b\right\} = \left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)$ . Домножив обе части полученного равенства на $\left|a\right|$ получим искомое равенство.

Алгебраические свойства

$\left( a,b \right) = \left( b,a \right)$ (коммутативность).

Если хотя бы один вектор нулевой, то равенство достигается по определению. Рассмотрим случай ненулевых векторов: $\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right).$ Умножение коммутативно, следовательно $\left|a\right|\left|b\right| = \left|b\right|\left|a\right|$ . Также $\cos\angle\left(a,b\right) = \cos\angle\left(b,a\right)$ . Тогда, по определению: $\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right) = \left|b\right|\left|a\right|\cos\angle\left(b,a\right) = \left( b,a \right).$

$\left( a,b \right) = \left|a\right|\left\{pr_{a}b\right\} = \left|b\right|\left\{pr_{b}a\right\}$ .
$\left(\lambda a,b \right) = \lambda\left( a,b \right)$ , $\forall\lambda\in\mathbb{R}$ .

Если один из векторов нулевой или $\lambda = 0$ , то доказательство очевидно. Рассмотрим общий случай: $\left(\lambda a,b \right) = \left|\lambda a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(\lambda a,b\right),$ если $\lambda > 0$ , то $\left|\lambda a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(\lambda a,b\right) = \lambda\left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left( a,b\right) = \lambda\left(a,b\right),$ если $\lambda < 0$ , то $\left|\lambda a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(\lambda a,b\right) = -\lambda\left|a\right|\left|b\right|\left(-\cos\angle\left( a,b\right)\right) = \lambda\left(a,b\right).$

$\left(a,\lambda b\right) = \left(\lambda b, a\right) = \lambda\left(b, a\right)$ .
$\left(a+c,b\right) = \left(a,b\right)+\left(c,b\right)$ .

Воспользуемся вторым определением и свойствами величины проекции вектора. $\left(a+c,b\right) = \left|b\right|\left\{pr_{b}\left(a+c\right)\right\} = \left|b\right|\left(\left\{pr_{b}a\right\}+\left\{pr_{b}c\right\}\right) =$ $= \left|b\right|\left\{pr_{b}a\right\} + \left|b\right|\left\{pr_{b}c\right\} = \left(b,a\right) + \left(b,c\right) = \left(a,b\right) +\left(c,b\right).$
$\left(a,a\right)\geqslant 0$ , если $\left(a,a\right)=0 \Leftrightarrow a = 0$

Если $a=0$ доказательство очевидно. Пусть $a\neq0$ , тогда $\cos\angle\left(a,a\right) = 1$ , следовательно: $\left(a,a\right) = \left|a\right|\left|a\right|\cos\angle\left(a,a\right) = \left|a\right|\left|a\right| = \left|a\right|^{2}\geqslant 0.$

$\left|a\right|=\sqrt{\left(a,a\right)}$ .

Сначала рассмотрим случай равенства: $\left|\left(a,b\right)\right| = \left|a\right|\left|b\right|,$ $\left|\left(a,b\right)\right| — \left|a\right|\left|b\right| = 0,$ $\left|a\right|\left|b\right|\left(\cos\angle\left(a,b\right) — 1\right) = 0,$ $\left[ \begin{array}{1 1} \left|a\right| = 0, \\\left|b\right| = 0, \\\left|\cos\angle\left(a,b\right)\right| = 1 \Rightarrow a\|b.\end{array}\right.$ Таким образом равенство достигается в случае коллинеарных или нулевых векторов. Теперь рассмотрим общий случай. Пусть даны два ненулевых вектора $a$ и $b$ , тогда $\left|\cos\angle\left(a,b\right)\right|\leqslant 1,$ домножим обе части на длины векторов $\left|a\right|\left|b\right|\left|\cos\angle\left(a,b\right)\right|\leqslant \left|a\right|\left|b\right|,$ $\left|\left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)\right|\leqslant \left|a\right|\left|b\right|,$ $\left|\left(a,b\right)\right|\leqslant \left|a\right|\left|b\right|.$

Геометрические свойства

Рассмотрим геометрические свойства скалярного произведения двух ненулевых векторов, тогда $\left|a\right|\neq 0$ и $\left|b\right|\neq 0$ .

$\left(a,b\right)>0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — острый.

$\left(a,b\right)>0 \Leftrightarrow \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)>0 \Leftrightarrow \cos\angle\left(a,b\right)>0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — острый
$\left(a,b\right)<0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — тупой.

$\left(a,b\right)<0 \Leftrightarrow \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)<0 \Leftrightarrow \cos\angle\left(a,b\right)<0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — тупой
$\left(a,b\right)=0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — прямой, $a\perp b$ .

$\left(a,b\right)=0 \Leftrightarrow \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)=0 \Leftrightarrow \cos\angle\left(a,b\right)=0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — прямой, $a \perp b$ .

Также из определения вытекает формула для нахождения косинуса угла между векторами: $\cos\angle\left(a,b\right) = \frac{\left(a,b\right)}{\left|a\right|\left|b\right|}$

Скалярное произведение в координатах

Пусть два вектора заданы своими координатами, тогда их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат: $a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right),$ $\left(a,b\right) = x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.$

Рассмотрим два способа доказательства:

I способ

Пусть $a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$ , отложим векторы $\overline{\rm OA} = a$ и $\overline{\rm OB} = b$ от начала координат — точки $O\left(0,0,0\right)$ . Тогда: $\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right) = \left|\overline{\rm OA}\right|\left|\overline{\rm OB}\right|\cos\angle\left(\overline{\rm OA},\overline{\rm OB}\right).$

По построению: $A\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), \left|a\right|=\left|\overline{\rm OA}\right| = \sqrt{x_{1}^2+y_{1}^2+z_{1}^2},$ $B\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right), \left|a\right|=\left|\overline{\rm OB}\right| = \sqrt{x_{2}^2+y_{2}^2+z_{2}^2}.$ Теперь необходимо найти $\cos\angle\left(a,b\right) = \cos\angle\left(\overline{\rm OA},\overline{\rm OB}\right)$ , для этого воспользуемся теоремой косинусов для $\angle\left(\overline{\rm OA},\overline{\rm OB}\right) = \angle AOB$ : $\cos\angle AOB = \frac{\left|\overline{\rm OA}\right|^2 + \left|\overline{\rm OB}\right|^2 — \left|\overline{\rm AB}\right|^2}{2\left|\overline{\rm OA}\right|\left|\overline{\rm OB}\right|},$ где $\left|\overline{\rm AB}\right|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^2+\left(y_{1}-y_{2}\right)^2+\left(z_{1}-z_{2}\right)^2}$ .

Теперь найдем скалярное произведение: $\left( a,b \right)=\left|\overline{\rm OA}\right|\left|\overline{\rm OB}\right|\cos\angle AOB=\left|\overline{\rm OA}\right|\left|\overline{\rm OB}\right|\frac{\left|\overline{\rm OA}\right|^2+\left|\overline{\rm OB}\right|^2-\left|\overline{\rm AB}\right|^2}{2\left|\overline{\rm OA}\right|\left|\overline{\rm OB}\right|} =$ $= \frac{\left|\overline{\rm OA}\right|^2+\left|\overline{\rm OB}\right|^2-\left|\overline{\rm AB}\right|^2}{2}=$ $=\frac{x_{1}^2+y_{1}^2+z_{1}^2+x_{2}^2+y_{2}^2+z_{2}^2-\left(x_{1}-x_{2}\right)^2-\left(y_{1}-y_{2}\right)^2-\left(z_{1}-z_{2}\right)^2}{2} =$ $=\frac{x_{1}^2+y_{1}^2+z_{1}^2+x_{2}^2+y_{2}^2+z_{2}^2-x_{1}^2+2x_{1}x_{2}-x_{2}^2-y_{1}^2+2y_{1}y_{2}-y_{2}^2-z_{1}^2+2z_{1}z_{2}-z_{2}^2}{2}=$ $=\frac{2x_{1}x_{2}+2y_{1}y_{2}+2z_{1}z_{2}}{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.$

Это доказательство можно провести и в обратную сторону, таким образом доказана эквивалентность первого и третьего определений.

II способ

Пусть система координат задана единичными взаимно перпендикулярными векторами $i,j,k$ (базисные векторы), тогда $\left|i\right|=\left|j\right|=\left|k\right|=1,$ $\left(i,j\right)=\left(i,k\right)=\left(j,k\right)=0,$ $\left(i,i\right)=\left(j,j\right)=\left(k,k\right)=1.$ А векторы $a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right),$ можно представить в виде сумм: $a = x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k,$ $b = x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k.$

Теперь воспользуемся алгебраическими свойствами скалярного произведения: $\left(a,b\right)=\left(x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k,x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k\right)=$ $= x_{1}\left(i,x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k\right) + y_{1}\left(j,x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k\right) + z_{1}\left(k,x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k\right)=$ $= x_{1}x_{2}\left(i,i\right)+x_{1}y_{2}\left(i,j\right)+x_{1}z_{2}\left(i,k\right)+y_{1}x_{2}\left(j,i\right)+y_{1}y_{2}\left(j,j\right)+y_{1}z_{2}\left(j,k\right)+$ $+ z_{1}x_{2}\left(k,i\right)+z_{1}y_{2}\left(k,j\right)+z_{1}z_{2}\left(k,k\right)=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.$

Для ненулевых векторов $a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$ $\cos\angle\left(a,b\right) = \frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{\sqrt{x_{1}^2+y_{1}^2+z_{1}^2}\sqrt{x_{2}^2+y_{2}^2+z_{2}^2}}.$

Пусть $a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$ , $a \perp b \Leftrightarrow x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2} = 0$

Примеры решения задач

Даны векторы $a=\left(2,5,-1\right)$ и $b=\left(3,2,15\right)$ . Найти скалярное произведение $\left(a,b\right)$ .

Решение

Воспользуемся определением через координаты, тогда: $\left(a,b\right)=2\cdot3+5\cdot2-1\cdot15=1$
Даны векторы $a=\left(7,11,x\right)$ , $b=\left(10,-5,3\right)$ , $a\perp b$ . Найти $x$ .

Решение

Воспользуемся следствием для перпендикулярных векторов: $a\perp b \Leftrightarrow \left(a,b\right)=0$ $7\cdot10-11\cdot5+3x=0$ $3x=-15$ $x=-5$
Даны векторы $a$ и $b$ , $\displaystyle\left|a\right|=15, \left|b\right|=\frac{1}{3}, \angle\left(a,b\right)=\frac{2\pi}{3}$ . Найти их скалярное произведение.

Решение

Воспользуемся стандартным определением: $\left(a,b\right)=\left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)=$ $=15\cdot\frac{1}{3}\cdot\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=$ $=15\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-2.5$
Найти угол между векторами $a$ и $b$ , если они заданы своими координатами: $a=\left(6,3,0\right)$ , $b=\left(-2,-1,\sqrt{5}\right)$ .

Решение

Воспользуемся следствием для нахождения косинуса: $\cos\angle\left(a,b\right)=\frac{-6\cdot2-3\cdot1+0\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{6^2+3^2+0^2}\sqrt{\left(-2\right)^2}\left(-1\right)^2+\left(\sqrt{5}\right)^2} = \frac{-15}{15\sqrt{2}}=-\frac{1}{2},$ $\cos\angle\left(a,b\right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow \angle\left(a,b\right)=\frac{3\pi}{4}$
Найти скалярное произведение векторов $p$ и $q$ , если $p=2a-b$ , $q=3b+4a$ , где $\left|a\right|=4$ , $\left|b\right|=3$ , $\displaystyle\angle\left(a,b\right)=\frac{\pi}{3}$ .

Решение

Воспользуемся стандартным определением и алгебраическими свойствами: $\left(a,b\right)=\left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)=3\cdot4\cdot\frac{1}{2}=6,$ $\left(a,a\right)=\left|a\right|^2=16, \left(b,b\right)=\left|b\right|^2=9,$ $\left(p,q\right)=\left(2a-b,3b+4a\right)=3\left(2a-b,b\right)+4\left(2a-b,a\right)=$ $=6\left(a,b\right)-3\left(b,b\right)+8\left(a,a\right)-4\left(b,a\right)=2\cdot6+8\cdot16-3\cdot9=113$
Дан вектор $a=\left(6,-11,2\sqrt{3}\right)$ и вектор $b=\left(\sqrt{3},13,-3\right)$ . Найдите $\left\{pr_{a}b\right\}$ .

Решение

Воспользуемся определением через проекции и определением через координаты: $\left( a,b \right) = \left|a\right|\left\{pr_{a}b\right\}$ $\left\{pr_{a}b\right\}=\frac{\left( a,b \right)}{\left|a\right|}=\frac{6\cdot\sqrt{3}-11\cdot13-3\cdot2\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{\left(6\right)^2+\left(-11\right)^2+\left(2\sqrt{3}\right)^2}}=$ $=\frac{-11\cdot13}{13}=-11$

Скалярное произведение векторов

Тест на знание темы «Скалярное произведение векторов, свойства, координатное представление»

Смотрите также

Воеводин В.В. Линейная алгебра М.: Наука, 1980 (стр. 85-88)
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учеб. Для вузов. — 7-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224с. — (Курс высшей математики и математической физики.) (стр. 59-63)
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. — 13-еизд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 240с. (стр. 148-153)
Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.

Смешанное произведение векторов, свойства, координатное представление

Смешанное произведение векторов

Векторы $a, b,$ и $c,$ сведенные к общему началу, образуют тройку векторов.

Тройка некомпланарных векторов $\langle a, b, c \rangle$ называется правой, если направление вектора $a$ совмещается с направлением вектора $b$ кратчайшим путём при повороте против часовой стрелки вокруг вектора $c$ (рисунок 1).

Тройка некомпланарных векторов $\langle a, b, c \rangle$ называется левой, если направление вектора $a$ совмещается с направлением вектора $b$ кратчайшем путём при повороте по часовой стрелки вокруг вектора $c$ (рисунок 2).

Рисунок 1

Рисунок 2

Любая некомпланарная тройка векторов задаёт параллелепипед, ребрами которого выступают эти векторы. Если же векторы компланарны или два из них коллинеарны, то параллелепипед вырождается в параллелограмм.

Читать далее «Смешанное произведение векторов, свойства, координатное представление»

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Литература

Условие

Решение

Векторное произведение векторов

Свойства векторного произведения

Координатное представление векторного произведения

Примеры решения задач

Список литературы

Векторное произведение векторов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

Алгебраические свойства

Геометрические свойства

Скалярное произведение в координатах

Примеры решения задач

Скалярное произведение векторов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Подсказка

4.

5.

Элементы сортировки

6.

Смотрите также

Смешанное произведение векторов