Рассмотрим критерии прямой суммы подпространств некоторого линейного пространства.
Критерий 1. Пусть дано некоторое линейное пространство $\left(X, {\bf P}\right)$ и подпространства $L_1,L_2,\ldots,L_k \subset X$. Тогда для того, чтобы сумма подпространств $L=L_1+L_2+\cdots+L_k$ являлась прямой, необходимо и достаточно, чтобы объединение базисов слагаемых-подпространств составляло базис суммы $L$.
Необходимость. Пусть сумма $L$ — прямая. Тогда нужно доказать, что объединение базисов подпространств есть базис суммы. Выпишем базисы подпространств $L_i, i=\overline{1, k}$: $E_1=\langle e_{11},e_{12},\ldots,e_{1m_1}\rangle,$ $E_2=\langle e_{21},e_{22},\ldots,e_{2m_2}\rangle,$ $\ldots,$ $E_k=\langle e_{k1},e_{k2},\ldots,e_{km_k}\rangle.$ Теперь построим объединенную систему из данных базисов. В итоге получим: $$E=\langle{e_{11}},e_{12},\ldots,e_{1m_1},e_{21},e_{22},\ldots,e_{2m_2},\ldots,e_{k1},e_{k2},\ldots,e_{km_k}\rangle.$$
Для того, чтобы система $E$ являлась базисом суммы $L$, она должна удовлетворять определению базиса. То есть, любой вектор из $L$ должен выражаться через данную систему, и она должна быль линейно независимой. Первое условие соблюдается. Действительно, по определению прямой суммы: $\forall x\in L:$$$x=x_1+x_2+\cdots+x_k,$$ где $x_i\in L_i, i=\overline{1, k}$, причем такое представление единственно. Каждый вектор $x_i, i=\overline{1, k}$ может быть выражен через базис $L_i$: $$x_i=\alpha_{i1}e_{i1}+\alpha_{i2}e_{i2}+\cdots+\alpha_{im_i}e_{im_i},$$ где $\alpha_{ij}\in {\bf P}, j=\overline{1, m_i}$ — коэффициенты линейной комбинации. Значит, вектор $x$ можно представить в другом виде:$$x=\alpha_{11}e_{11}+\alpha_{12}e_{12}+\cdots+\alpha_{1m_1}e_{1m_1}+\cdots+\alpha_{21}e_{21}+\alpha_{22}e_{22}+\cdots+\\{}+\alpha_{2m_2}e_{2m_2}+\cdots+\alpha_{k1}e_{k1}+\alpha_{k2}e_{k2}+\cdots+\alpha_{km_k}e_{km_k},$$Как видим, вектор выражается через систему $E$.
Остается доказать линейную независимость. Выпишем линейную комбинацию векторов системы $E$ и приравняем ее к нулю:\begin{equation}\begin{gathered}\alpha_{11}e_{11}+\alpha_{12}e_{12}+\cdots+\alpha_{1m_1}e_{1m_1}+\cdots+\alpha_{21}e_{21}+\alpha_{22}e_{22}+\cdots+\\{}+\alpha_{2m_2}e_{2m_2}+\cdots+\alpha_{k1}e_{k1}+\alpha_{k2}e_{k2}+\cdots+\alpha_{km_k}e_{km_k}=0.\end{gathered}\end{equation}По первому критерию линейной независимости система $E$ будет линейно независима при следующих равенствах:$$\alpha_{11}=\alpha_{12}=\cdots=\alpha_{km_k}=0.$$Опять же, данные слагаемые можно представить как линейные комбинации векторов из $L_i, i=\overline{1, k}$, то есть:$$x_i=\alpha_{i1}e_{i1}+\alpha_{i2}e_{i2}+\cdots+\alpha_{im_i}e_{im_i},i=\overline{1,k}.$$Теперь можно переписать уравнение $\left(1\right)$ в следующем виде:$$x_1+x_2+\cdots+x_k=0.$$Получили представление нулевого вектора. По определению прямой суммы такое представление единственно и имеет вид: $0+0+\cdots+0=0$. Отсюда следует: $x_i=0,i=\overline{1,k}$. Так как каждый вектор $x_i$ представляется через соответствующий базис $L_i$, то, следовательно, все коэффициенты линейных комбинаций равны нулю: $\alpha_{i1}=\alpha_{i2}=\cdots=\alpha_{im_i}=0,i=\overline{1,k}$, что и требовалось доказать.
Таким образом, система $E$ линейно независима, и каждый вектор суммы $L$ выражается через данную систему. Необходимость доказана.
Достаточность. Теперь пусть объединение базисов $L_i,i=\overline{1,k}$ (оно же является системой $E$) есть базис суммы $L$. Требуется доказать, что $L$ — прямая сумма. Значит, нужно показать, что представление любого вектора этой суммы единственно. Запишем представление некоторого вектора $x\in L$ в базисе суммы: \begin{equation}\begin{gathered}x=\beta_{11}e_{11}+\beta_{12}e_{12}+\cdots+\beta_{1m_1}e_{1m_1}+\cdots+\\{}+\beta_{k1}e_{k1}+\beta_{k2}e_{k2}+\cdots+\beta_{km_k}e_{km_k}.\end{gathered}\end{equation} По свойству базиса такое представление единственно. Выражения вида $\beta_{i1}e_{i1}+\cdots+\beta_{im_i}e_{im_i}$ являются линейными комбинациями векторов из $L_i,i=\overline{1,k}$. Тогда их можно заменить соответствующими векторами $y_i\in L_i$ и подставить в $\left(2\right)$. Получим: $$x=y_1+y_2+\cdots+y_k.$$Получили представление $x$ в виде вектора суммы. Пусть сумма $L$ не прямая, тогда может существовать другое представление вектора $x$. А это необратимо приводит к изменению представления векторов $y_i$ и, соответственно, значений коэффициентов $\beta_{i1},\beta_{i2},\ldots,\beta_{im_i},i=\overline{1,k}$. Но, как было сказано выше, вектор $x$ имеет единственное представление $\left(2\right)$, то есть иного не существует. Получили противоречие. Следовательно, сумма $L$ является прямой, что и требовалось доказать.
Критерий 2. Пусть дано линейное пространство $\left(X, {\bf P}\right)$ и подпространства $L_1,L_2,\ldots,L_k \subset X$. Сумма данных подпространств $L$ будет прямой тогда и только тогда, когда пересечение любого подпространства с суммой остальных содержит только нулевой вектор.
Необходимость. Требуется доказать, что при $L=L_1\oplus L_2\oplus \cdots\oplus L_k$ пересечение любого подпространства с суммой остальных нулевое. Предположим, что $$\exists L_i: L_i\cap\sum\limits_{j=1\\j\ne i}^k L_j \ne \left\{0\right\}.$$ Тогда существует такой ненулевой вектор $x$, что $x\in L_i$ и $x\in \sum_{j=1\\j\ne i}^k L_j$. Этот вектор можно представить в виде:
- $x=\overbrace{0+0+\cdots+0+x+0+\cdots+0}^{k\mbox{ векторов}}$, так как $x\in L_i$;
- $x=\sum_{j=1\\j\ne i}^k x_j$, так как вектор принадлежит $\sum_{j=1\\j\ne i}^k L_j$ и, следовательно, может быть представлен как вектор суммы $L$: $$x=x_1+x_2+\cdots+x_{i-1}+0+x_{i+1}+\cdots+x_k.$$
Таким образом, вектор прямой суммы $L$ не имеет единственного представления, что противоречит определению прямой суммы. Значит, наше предположение неверно, и $\forall L_i: L_i\cap\sum_{j=1\\j\ne i}^k L_j=\left\{0\right\}.$
Достаточность. Теперь докажем, что если $$\forall L_i: L_i\cap\sum\limits_{j=1\\j\ne i}^k L_j=\left\{0\right\},$$ то сумма $L$ — прямая. Снова пойдём от противного: пусть $L$ — не прямая сумма. Следовательно, по определению существует такой вектор $y$, который имеет, по крайней мере, два различных представления. Запишем их общий вид:$$y=x_1+x_2+\cdots+x_k,$$$$y=z_1+z_2+\cdots+z_k,$$ где $z_i, x_i \in L_i,i=\overline{1,k}$. Вычтем из первого выражения второе. Получим:$$0=\left(x_1-z_1\right)+\left(x_2-z_2\right)+\cdots+\left(x_k-z_k\right).$$Векторы $x_1-z_1, x_2-z_2,\ldots,x_k-z_k$ принадлежат подпространствам $L_1, L_2,\ldots,L_k$ соответственно, что вытекает из критерия подпространства. Значит, нулевой вектор представляется как вектор суммы $L$. Пусть $x_1-z_1\ne 0.$ Перенесем данное слагаемое в левую часть. Тогда можно записать следующее: $$\left(z_1-x_1\right)=\left(x_2-z_2\right)+\left(x_3-z_3\right)+\cdots+\left(x_k-z_k\right).$$ То есть существует некоторый вектор $z_1-x_1\ne 0$, что$$z_1-x_1\in L_1,$$$$z_1-x_1=\left(x_2-z_2\right)+\left(x_3-z_3\right)+\cdots+\left(x_k-z_k\right) \in \sum\limits_{j=2}^k L_j.$$ Значит, пересечение подпространства $L_1$ и суммы $\sum_{j=2}^k L_j$ содержит ненулевые векторы. Получили противоречие. Следовательно, предположение неверно, и $L$ — прямая сумма подпространств. Теорема доказана.
Теперь рассмотрим следствия из критериев прямой суммы, а также приведём их доказательства, хоть они и небольшие.
Сумма двух подпространств будет прямой тогда и только тогда, когда их пересечение содержит только нулевой вектор.
Данное утверждение является частным случаем критерия $2$ прямой суммы при $k=2$.
Размерность прямой суммы двух подпространств есть сумма размерностей данных подпространств.
По формуле Грассмана: $$\dim L=\dim L_1+\dim L_2-\dim{\left(L_1 \cap L_2\right)},$$ то есть размерность суммы подпространств $L_1$ и $L_2$ равна сумме размерностей данных подпространств без размерности их пересечения. Пересечение данных подпространств, как мы уже узнали, содержит только нулевой вектор. Следовательно, размерность пересечения равна $0$. Тогда третье слагаемое в формуле Грассмана также равно $0$, и мы приходим к изначальному утверждению.
Примеры
Теперь рассмотрим несколько примеров применения критериев прямой суммы.
- Пусть дано линейное пространство, заданное в виде линейной оболочки $L=L\langle a_1,a_2,a_3,a_4\rangle$, где $a_1=\left(1,1,0,0\right),$ $a_2=\left(0,5,0,3\right),$ $a_3=\left(0,0,2,0\right),$ $a_4=\left(-1,7,1,0\right).$ Разложить данное пространство в прямую сумму двух подпространств.
Решение
Для начала, проверим, является ли указанная система линейно независимой. Построим систему линейных комбинаций из векторов данной системы:$$\left\{\begin{array}{rcl}x_1+x_2+0x_3+0x_4=0\\0x_1+5x_2+0x_3+3x_4=0\\0x_1+0x_2+2x_3+0x_4=0\\-x_1+7x_2+x_3+0x_4=0\end{array}\right.$$Воспользуемся методом Гаусса:$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\-1 & 7 & 1 & 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 8 & 1 & 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 1 & -\frac{24}{5}\end{pmatrix}\sim$$$$\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & -\frac{24}{5}\end{pmatrix}.$$
Как видим, ни один из векторов не выражается через остальные. Значит, система линейно независима и является базисом пространства $L$. Тогда данное пространство можно разложить в прямую сумму подпространств, разбив его базис, к примеру, на две такие подсистемы: $\langle a_1,a_2\rangle$,$\langle a_3,a_4\rangle$. Тогда разложение будет иметь вид: $L=L_1\oplus L_2$, где $L_1=L\langle a_1,a_2\rangle$,$L_2=L\langle a_3,a_4\rangle$. - Даны подпространства $L_1=L\langle\left(1,1,3\right)\rangle$, $L_2=L\langle\left(0,1,2\right),\left(3,5,9\right)\rangle$. Проверить сумму подпространств $L_1$ и $L_2$ на прямоту.
Решение
И первая, и вторая исходные системы являются линейно независимыми, ведь в них нет векторов, что выражаются через другие векторы этой системы. Значит системы являются базисами подпространств, построенных на соответствующих линейных оболочках. Объединим эти базисы в единую систему векторов:$$E=\langle\left(1,1,3\right),\left(0,1,2\right),\left(3,5,9\right)\rangle.$$ Воспользуемся методом Гаусса:$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 3\\0 & 1 & 2\\3 & 5 & 9\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 3\\0 & 1 & 2\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 3\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & -4\end{pmatrix}.$$Получили, что система $E$ — линейно независима. Значит, объединение базисов исходных подпространств является базисом суммы подпространств $L$: $L=L_1\oplus L_2$.
- Пусть даны подпространства $L_1=L\langle a_1,a_2,a_3\rangle$, $L_2=L\langle b_1,b_2\rangle$, $L_3=L\langle c_1,c_2,c_3\rangle$. Проверить сумму данных подпространств на прямоту, если:$$a_1 = \begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}, a_2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}, a_3 = \begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 0\end{pmatrix};$$$$b_1=\begin{pmatrix}1 & -1\\2 & 0\end{pmatrix},b_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\-1 & 1\end{pmatrix};$$$$c_1=\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 1\end{pmatrix},c_2=\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 1\end{pmatrix},c_3=\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}.$$
Решение
Для удобства системы пронумеруем от $1$ до $3$ в соответствии с номерами подпространств.Указанные системы можно переписать в следующем виде: $\langle\left(0,0,1,1\right),\left(1,1,1,1\right),\left(1,1,0,0\right)\rangle,$$\langle\left(1,-1,2,0\right),\left(0,0,-1,1\right)\rangle,$$\langle\left(0,1,1,1\right),\left(1,1,2,1\right),\left(1,0,1,0\right)\rangle.$ Проверку линейной независимости можно сделать и без применения метода Гаусса. Действительно, в первой системе $a_1+a_3=\left(0,0,1,1\right)+\left(1,1,0,0\right)=\left(1,1,1,1\right)=a_2$, в третьей: $c_1+c_3=\left(0,1,1,1\right)+\left(1,0,1,0\right)=\left(1,1,2,1\right)=c_2$. Значит векторы $a_2$ и $c_2$ линейно выражаются через остальные. Вторая система, как можно видеть, уже является линейно независимой и, следовательно, базисом подпространства $L_3$. Тогда, если откинуть линейно зависимые векторы в системах $1$ и $3$, то получим базисы уже всех трех подпространств:$$L_1=L\langle a_1,a_3\rangle,$$$$L_2=L\langle b_1,b_2\rangle,$$$$L_3=L\langle c_1,c_3\rangle.$$Теперь объединим данные базисы в единую систему векторов: $$E=\langle a_1,a_3,b_1,b_2,c_1,c_3\rangle.$$Теперь только осталось понять, является ли сумма исходных подпространств прямой. Проверим систему $E$ на линейную независимость с помощью метода Гаусса:$$\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0 & 0\\1 & -1 & 2 & 0\\0 & 0 & -1 & 1\\0 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.$$Переставим строки в матрице для более удобных элементарных преобразований:$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\1 & -1 & 2 & 0\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & -2 & 2 & 0\\0 & -1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & -1 & 1\end{pmatrix}.$$Строки $2$ и $3$ пропорциональны, поэтому можно исключить, к примеру, вторую строку. Дальнейшие преобразования не имеют смысла в данной задаче: объединение базисов исходных подпространств не является базисом суммы, потому что объединенная система содержит, по крайней мере, один линейно зависимый вектор. Значит, сумма $L=L_1+L_2+L_3$ не будет прямой в соответствии с первым критерием суммы. Задача решена.
Критерии прямой суммы
Тест на закрепление материала «Критерии прямой суммы».
Смотрите также:
- Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.
- Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: изд. Московского ун-та. — 1990. — 328 с. — С. 200-201.
- Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. — М.: Наука. — 1984. — 416 с. — С. 309-310.
- Шафаревич И.Р., Ремизов А.О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ. — 2009. — 512 с. — С. 95-97.
- А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры. — 3-е изд., испр. и доп : монография. — М. : Наука, 1970. — 400 с. — С. 104-105.