Изоморфизм линейных пространств

Пусть заданы два линейных пространства над полем $\mathbb{P}$ : $A$ и $B$ . Тогда f (обозначается как $A \cong B$ ) называется биекция из $A$ в $B$ , удовлетворяющая следующим условиям:
1) $f(a+b) = f(a) + f(b)$
2) $f(\lambda\cdot a) = \lambda\cdot f(a)$

Изоморфными пространствами называются такие линейные пространства, между которыми можно установить изоморфизм.

Свойства изоморфизма:
1)

$f(0) = 0$
2)

$f(-a) = -f(a)$
3)

$f(\sum_{j=1}^{k}a_j a_j) = \sum_{j=1}^{k}a_j f(a_j)$
4) При изоморфном отображении линейно независимая система не может стать линейно зависимой. Обратное также верно.
5) Базис

$A$ отображается в базис

$B$ .
6) Прямая сумма подпространств в

$A$ отображается в прямую сумму образов этих подпространств в

$B$ .

По сути, изоморфизм является линейным оператором с нулевым дефектом и максимальным рангом.

Теорема. Любые два конечномерные линейные пространства, имеющие одинаковую размерность и заданные над одним и тем же полем, изоморфны.

Зададим два линейных пространства $X$ и $Y$ над полем P, $\textrm{dim} X = \textrm{dim} Y$ . Пусть базис $X$ — $e_1,e_2,\dots ,e_n$ ; Y — $e’_1,e’_2,\dots , e’_n$ . Возьмём в пространстве $X$ векторы

$x_{1} = \alpha_1 e_1+\alpha_2 e_2+\dots+\alpha_n e_n$ и

$x_2 = \beta_1 e_1+\beta e_2+\dots+\beta e_n$ Тогда при изоморфизме

$X \cong Y$

$f(x_1+x_2)=f((\alpha_1 + \beta_1)e_1 + (\alpha_2 + \beta_2)e_2 + \dots + (\alpha_n + \beta_n)e_n) = \\ = (\alpha_1 + \beta_1)e’_1 + (\alpha_2 + \beta_2)e’_2 + \dots + (\alpha_n + \beta_n)e’_n = \\ =(\alpha_1 e’_1 + \alpha_2 e’_2 + \dots + \alpha_n e’_n ) + (\beta_1 e’_1 + \beta_2 e’_2 + \dots + \beta_n e’_n) = f(x_1) + f(x_2).$
(первое условие изоморфизма) и

$f(\lambda x) = f((\lambda \alpha_1)e_1 + (\lambda \alpha_2)e_2 + \dots + (\lambda \alpha_n)e_n) = \\ = (\lambda \alpha_1)e’_1 + (\lambda \alpha_2)e’_2 + \dots + (\lambda \alpha_n)e’_n = \\ = \lambda(\alpha_1 e’_1 + \alpha_2 e’_2 + \dots + \alpha_n e’_n) = \lambda f(x)$
(второе условие).

Следствие. Все линейные пространства над одним и тем же полем

$\mathbb{P}$ одинаковой размерности

$n$ изоморфны

$n$ -мерному арифметическому линейному пространству

$\mathbb{R}^n$ над полем

$\mathbb{P}$ .

Примеры

1. Привести пример отображения из

$\mathbb{R}$ в

$\mathbb{\mathbb{N}_0}$ , которое является изоморфизмом.

Решение

Пусть $x’ = 2x$ . Тогда $f(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = f(a) + f(b)$ и $f(\lambda a) = 2(\lambda a) = \lambda 2a = \lambda \cdot f(a)$ . Значит, это отображение является изоморфизмом.

[свернуть]

2. Доказать первое свойство (

$f(0) = 0$ ).

Решение

$f(a) = f(a + 0) = f(a) + f(0)$ , значит

$f(0) = 0$ .

[свернуть]

Смотрите также

В.В.Воеводин Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. -С.63-65.
А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968. -С.187-188.
Конспект лекций Белозёрова Г.С.

Тест

Изоморфизм линейных пространств

Тест на знание изоморфизма линейных пространств.

Задание 1 из 4

1.
Является ли изоморфизмом отображение $f(x) = x^3$ ?
- Да
- Нет
Правильно

$f(a + b) = (a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^2 \neq f(a) + f(b)$

Неправильно

$f(a + b) = (a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^2 \neq f(a) + f(b)$
Задание 2 из 4

2.
Если $A \cong B$ и $B \cong С$ , следует ли из этого, что $A \cong С$ ?
- Да
- Нет
Правильно

Изоморфизм обладает транзитивностью, что следует из теоремы.

Неправильно

Изоморфизм обладает транзитивностью, что следует из теоремы.
Задание 3 из 4

3.
Изоморфизм является…
- инъекитвным отображением
- сюръективным отображением
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Является ли пространство многочленов $\mathbb{M}_n$ изоморфным пространству векторов $\mathbb{R}^4$ ?
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно

Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Задания

На странице «Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Теория» Вы можете ознакомиться с теоретическим материалом.

Упражнение 1.
Проверка оператора на линейность

Проверить, является ли оператор $A$ линейным в $R^3$
$Ax=\left(x_{2}+ x_{3}, 5x_{2}-x_{1}, x_{1}+8x_{3}\right)$

Решение

Оператор является линейным, если $\forall a,b\in \mathbb{R}^{3}$ , $\forall \alpha\in \mathbb{R}$ выполняются условия:

$A\left(a+b\right)=Aa+Ab$
$A\left(\lambda a\right)=\lambda Aa$

Проверим условие 1:
$A\left(a+b\right)=A\left(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\right)=$
$=\left(a_2+b_2+a_3+b_3,5a_2+5_b2-a_1-b_1,a_1+b_1+8a_3+8b_3\right)=$
$=\left(a_2+a_3,5a_2-a_1,a_1+8a_3\right)+\left(b_2+b_3,5_b2-b_1,b_1+8b_3\right)=$
$=A\left(a_1,a_2,a_3\right)+A\left(b_1,b_2,b_3\right)=Aa+Bb$

Проверим условие 2:
$A\left(\lambda a\right)=A\left(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3}\right)=\left(\lambda a_{2}+\lambda a_{3},5\lambda a_{2}-\lambda a_{1},\lambda a_{1}+8\lambda a_{3}\right)=$
$=\lambda\left(a_{2}+a_{3},5a_{2}-a_{1},a_{1}+8a_{3}\right)=\lambda Aa$

Ответ: оба условия выполняются, значит оператор $A$ — линейный.

[свернуть]

Упражнение 2.
Найти значение выражения $4A+7B$

$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$ , $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3,x_2,x_3-x_1\right)$ , $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2,1\right)$

Решение

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_1-4x_2+4x_3,4x_2,4x_3-4x_1\right)$
$7B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,7x_2,7\right)$
$4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$
Ответ: $4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$

[свернуть]

Упражнение 3.
Найти значение выражения $B\cdot 4A$

$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$ , $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2+\frac{1}{4}x_3,x_3\right)$ , $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1+x_3,x_2,1\right)$

Решение

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,4x_2+x_3,4x_3\right)$
$B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$
Ответ: $B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$

[свернуть]

Упражнение 4.
Найти значение выражения $Ax-3Bx$

$A, B$ — линейные операторы из $\Omega\left(M_2\left(\mathbb{R}\right)\right)$ ,
$A=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$ , $B=\begin{Vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{Vmatrix}$

Решение

$Ax=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=$ $\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$

$3Bx=\begin{Vmatrix}3& 3\\ 6 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

$Ax-3Bx=\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}-$ $\begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}=$

$=\begin{Vmatrix}-x_1-x_3& -x_2-x_4\\ -6x_1 & -6x_2\end{Vmatrix}=-\begin{Vmatrix}x_1+x_3& x_2+x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

Ответ: $Ax-3Bx=-\begin{Vmatrix}x_1+x_3& x_2+x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

[свернуть]

Определение и примеры линейных операторов

Выполните тест и проверьте хорошо ли Вы усвоили материал.

Задание 1 из 3

1.
Является ли оператор $D:P_{n}[x]\rightarrow P_{n-1}[x]$ линейным?
$X=P_n[x]$ , $Y=P_{n-1}[x]$
- Да
- Нет
- Невозможно определить
Задание 2 из 3

2.
Какие из операторов являются линейными?
- $Ax=x_{1}+x_{2}+x_{4}, x_{3}, x_{1}+x_{3}, x_{4}$
- $Ax=x_{1}*x_{2}*x_{4}, x_{3}, x_{1}*x_{3}, x_{4}$
- $\frac{x_{1}}{x_{3}},\frac{x_{2}}{x_{4}},\frac{x_{1}}{x_{3}},\frac{x_{2}}{x_{4}}$
- $x_{4}, x_{3}, x_{2}, x_{1}$
Задание 3 из 3

3.
Найти значение выражения: $Ax+BCx$ , при $A\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, x_{1}-x_{2}\right)$ , $B\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{2},x_{1}\right)$ , $c\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{2}+x_{1},0\right)$ .
$(x_{1}$ запишите в виде x1, аналогично с $x_{2}$ )

Таблица лучших: Определение и примеры линейных операторов

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы:

Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984, стр.187
Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С. Белозерова

Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Теория

Определение

Пусть $\left(X,\mathbb{P}\right)$ , $\left(Y,\mathbb{P}\right)$ — линейные пространства.
Отображение $A:X\rightarrow Y$ называется линейным оператором, если $\forall a,b\in X$ $\forall\alpha,\beta\in \mathbb P$ выполняется равенство:
$A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b$ .

Примеры часто используемых операторов:

$\theta:X\rightarrow Y$ — нулевой оператор $\forall x\in X$ $\theta x=0$ ;
$\varepsilon:X\rightarrow X$ — тождественный (единичный) оператор $\forall x\in X$ $\varepsilon x=x$ ;
$\alpha\varepsilon:X\rightarrow X$ — скалярный оператор $\forall x\in X$ $\left(\alpha\varepsilon\right)x=\alpha x,$ $\alpha\in\mathbb{P}$ ;
$\rho:X\rightarrow L_{1}$ — оператор прямого проектирования, где $X=L_{1}+L_{2}$ ,
$\forall x\in X$ $x=x_{1}+x_{2}$ , $x_{1}\in L_{1}$ , $x_{2}\in L_{2}$ , $\rho x=x_{1}$ .

Операции над линейными операторами

Сумма линейных операторов

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$
$C:X\rightarrow Y$ , $C=A+B$
$Cx=\left(A+B\right)x=Ax+Bx$ $\forall x\in X$ .

Произведение оператора и скаляра

Пусть $A$ — линейный оператор из $\Omega\left(X,Y\right)$ , $\lambda\in\mathbb{P}$ .
Тогда произведением $\lambda A$ называется отображение $C:X\rightarrow Y$
$\forall x\in X$ $Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right)$ .

Произведение линейных операторов

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ и из $\Omega\left(Y,Z\right)$
$X$ , $Y$ , $Z$ — линейные пространства над полем $\mathbb{P}$ .
Оператор $BA:X\rightarrow Z$ , определяемый соотношением $BAx=B\left(Ax\right)$ $\forall x\in X$ ,
называется произведением операторов $A$ и $B$ .

Линейные операторы

Пройдите тест, чтоб узнать насколько хорошо Вы усвоили материал.

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Заполните пропуски в определении:
Пусть $\left(X,P\right)$ , $\left(Y,P\right)$ — линейные пространства.
Если $\forall a,b\in X$ $\forall\alpha,\beta\in P$ $A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b$ , то чем является $A:X\rightarrow Y$ ?
- (линейным оператором)
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 1
Указать в заданном порядке, что называется суммой операторов, их произведением, произведением оператора на скаляр:
- Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ $C:X\rightarrow Y$ , $C=A+B$ $\forall x\in X$ $Cx=\left(A+B\right)x=Ax+Bx$
- Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ и из $\Omega\left(Y,Z\right)$ $X$ , $Y$ , $Z$ — линейные пространства над полем $\mathbb{P}$ $BA=C$ $C:X\rightarrow Z$ $\forall x\in X$ $Cx=\left(BA\right)x=b\left(Ax\right)$ $B\circ A$
- Пусть $A$ — линейный оператор из $\Omega\left(X,Y\right)$ , $\lambda\in\mathbb{P}$ . Тогда произведением $\lambda A$ называется отображение: $C:X\rightarrow Y$ $\forall x\in X$ $Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right)$ .
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 3

3.

Количество баллов: 1

Сопоставить обозначение часто используемого оператора и его название:

Элементы сортировки

Нулевой оператор
Тождественный оператор
Скалярный оператор
Дифференциальный оператор

$\Theta$

$\varepsilon$

$\alpha$

$D$

Таблица лучших: Линейные операторы

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы:

Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. Московского ун-та, 1990, часть 2 «Линейная алгебра и геометрия», §10, стр.214-216.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984, стр.187
Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С. Белозерова

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Примеры

Смотрите также

Тест

Изоморфизм линейных пространств

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Упражнение 1. Проверка оператора на линейность

Упражнение 2. Найти значение выражения 4A+7B4A+7B

Упражнение 3. Найти значение выражения B⋅4AB\cdot 4A

Упражнение 4. Найти значение выражения Ax−3BxAx-3Bx

Определение и примеры линейных операторов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Определение и примеры линейных операторов

Список использованной литературы:

Определение

Примеры часто используемых операторов:

Операции над линейными операторами

Сумма линейных операторов

Произведение оператора и скаляра

Произведение линейных операторов

Линейные операторы

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Линейные операторы

Список использованной литературы:

Упражнение 1.
Проверка оператора на линейность

Упражнение 2.
Найти значение выражения $4A+7B$

Упражнение 3.
Найти значение выражения $B\cdot 4A$

Упражнение 4.
Найти значение выражения $Ax-3Bx$