Теорема 1 (первая теорема о среднем значении). Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $[a,b].$ Причем функция $g$ не меняет знак на $[a,b].$ Пусть $m=\displaystyle\inf_{x \in [a,b]}f(x), M = \displaystyle\sup _{x \in [a,b]}f(x).$ Тогда найдется такое число $\mu \in [m, M]$, что $$\int^b_a f(x)g(x)dx= \mu \int^b_a g(x)dx.$$

Следствие. Если в условиях теоремы 1 функция $f$ непрерывна на $[a,b],$ то найдется такая точка $\xi \in [a,b],$ что $$\int^b_a f(x)g(x)dx = f( \xi )\int^b_a g(x)dx.$$ Действительно, в этом случае, по теореме Больцано — Коши о промежуточном значении, число $\mu$ является значением функции $f$ в некоторой точке $\xi \in [a,b].$

Лемма. Пусть функция $g$ интегрируема на отрезке $[a,b].$ Тогда функция $G(x)\equiv \int^x_a g(t)dt (a \le x \le b)$ равномерно непрерывна на $[a,b].$

Пусть $x^{\prime}, x^{\prime\prime} \in [a,b], x^{\prime} < x^{\prime\prime}.$ Тогда $$G(x^{\prime\prime}) — G(x^{\prime}) = \int^{x^{\prime\prime}}_a g(t)dt — \int^{x^{\prime}}_a g(t)dt =$$ $$= \int^{x^{\prime}}_a g(t)dt + \int^{x^{\prime\prime}}_{x^{\prime}} g(t)dt — \int^{x^{\prime}}_a g(t)dt = \int^{x^{\prime\prime}}_{x^{\prime}} g(t)dt.$$ Поскольку $g$ интегрируема, то она ограничена, т. е. существует такое $M$, что $|g(t)| \le M$ для всех $t \in [a,b]$. Поэтому получаем $$|G(x^{\prime\prime}) — G(x^{\prime})| \le \int^{x^{\prime\prime}}_{x^{\prime}} |g(t)|dt \le M(x^{\prime\prime} — x^{\prime}).$$ Отсюда следует, что функция $G$ равномерно непрерывна на $[a,b].$

Теорема 2 (вторая теорeма о среднем значении). Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $[a,b],$ причем функция $f$ монотонна на $[a,b].$ Тогда существует точка $\xi \in [a,b],$ такая, что $$\int^b_a f(x)g(x)dx = f(a) \int^{\xi}_a g(x)dx + f(b) \int^b_{\xi} g(x)dx. \qquad \qquad (7.3)$$

Замечание.

Примеры применения теорем о среднем

1.Найти $$\lim_{n \to \infty} \int^{1}_{0} \frac{x^n}{1+x} dx.$$

Оценим $$0 \le \int^{1}_{0} \frac{x^n}{1+x}dx \le \int^{1}_{0} x^n dx = \frac{1}{n+1}.$$ Отсюда получаем $$\lim_{n \to \infty} \int^{1}_{0} \frac{x^n}{1+x} dx = 0.$$

2.Найти $$\lim_{n \to \infty} \int ^{\frac{\Pi}{2}}_{0} \sin^n xdx.$$

Зафиксируем $\xi > 0.$ Тогда получим $$\int^{\frac{\Pi}{2}}_{0} \sin^n xdx = \int^{\frac{\Pi}{2} — \frac{\xi}{2}}_{0} \sin^n xdx + \int^{\frac{\Pi}{2}}_{\frac{\Pi}{2} — \frac{\xi}{2}} \sin^n xdx \le$$ $$\le \left( \sin \left(\frac{\Pi}{2} — \frac{\xi}{2} \right) \right)^n \frac{\Pi}{2} + \frac{\xi}{2}.$$ Поскольку $\sin \left( \frac{\Pi}{2} — \frac{\xi}{2} \right) < 1 ,$ то первое слагаемое справа стермится к нулю при $n \to \infty .$ Поэтому найдется такое $N,$ что для всех $n \ge N$ справедливо неравенство $$\left( \sin \left( \frac{\Pi}{2} — \frac{\xi}{2} \right) \right)^n \frac{\Pi}{2} < \frac{\xi}{2}.$$ Итак, для заданного $\xi > 0$ мы нашли номер $N,$ начиная с которого $$\int^{\frac{\Pi}{2}_{0}} \sin^n xdx < \xi .$$ Это означает, что $$\lim_{n \to \infty} \int^{\frac{\Pi}{2}}_{0} \sin^n xdx = 0.$$

3. Оценить сверху $$I \equiv \int^{1}_{0} \frac{\sin x }{1 + x^2} dx.$$

Первый способ. Применяя первую теорему о среднем, получаем $$I = \frac{1}{1 + \xi^2} \int^{1}_{0} \sin x dx = \frac{1}{1 + \xi^2}(-\cos x) |^1_0 =$$ $$=\frac{1}{1 + \xi^2}(1 — \cos 1) \le 1 -\cos 1.$$

Второй способ. В силу первой теоремы о среднем имеем $$I = \sin \eta \int^1_0 \frac{dx}{1 + x^2} = \sin \eta \quad \text{arctg} x |^1_0 = \frac{\Pi}{4} \sin \eta \le \frac{\Pi}{4} \sin 1.$$

4. Оценить интеграл $$I \equiv \int^B_A \frac{\sin x}{x}dx, \quad 0 < A < B < +\infty .$$

Первый способ. Применим вторую теорему о среднем. Для этого обозначим $f(x) = \frac{1}{x}$ и $g(x) = \sin x.$ Функция $f$ монотонна на $[A,B],$ так что во второй формуле Бонне получаем $$I = \frac{1}{A} \int^{\xi}_{A} \sin xdx = \frac{1}{A} (-\cos x) \bigg|^{\xi}_{A} = \frac{1}{A}(\cos A — \cos \xi ).$$ Отсюда следует, что $|I| \le \frac{2}{A}$.

Второй способ. Применяя первую теорему о среднем, получим $$I = \sin \xi \int^B_A \frac{dx}{x} = \sin \xi ln \frac{B}{A}.$$ Отсюда следует, что $|I| \le ln \frac{B}{A}$.

5. Показать, что если $f \in R[a,b],$ где $R$ — класс интегрируемых на отрезке, $m = \displaystyle\inf_{[a,b]} f(x),$ $M = \displaystyle\sup_{[a,b]} f(x),$ то при условии непрерывности $f$ на $[a,b]$ найдется точка $\xi \in [a,b],$ такая что $\int^b_a f(x)dx = f(\xi )(b-a).$

6. Найти среднее значение функции $y = x^2 -5x + 7$ на отрезке $[2,13].$

• В. И. Коляда, А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу»
• Б. П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» 13-е издание, 1997г.

Смотрите также

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1970

Теоремы о среднем

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Пройдите этот тест чтобы проверить свои знания по теме «теоремы о среднем».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Найти среднее значение функции $y=2x+3$, заданной на отрезке [2,5].
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Выберите правильные формулировки теорем о среднем.

   • Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на интервале $(a, b)$, причем $f(a)=f(b)$. Тогда существует точка $\xi \in [a, b]$ такая, что $f'(c)=0$.
   • Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $[a,b]$ . Причем функция $g$ не меняет знак на $[a,b]$. Пусть $m=\displaystyle\inf_{x \in [a,b]}f(x), M = \displaystyle\sup_{x \in [a,b]}f(x)$. Тогда найдется такое число $\mu \in [m, M]$, что $\int^a_b f(x)g(x)dx= \mu \int^b_a g(x)dx.$
   • Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на [a,b], причем функция $f$ монотонна на $[a,b]$. Тогда существует точка $\xi \in [a,b]$, такая, что $\int^b_a f(x)g(x)dx = f(a) \int^{\xi}_a g(x)dx + f(b) \int^b_{\xi} g(x)dx.$
   • Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a, b)$ и сохраняет непрерывность на концах этого интервала, тогда существует такая точка $\xi \in (a, b)$, что $f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Составьте верное утверждение.

   • Если
   • в условиях теоремы 1
   • функция $f$ непрерывна на $[a,b]$
   • то
   • найдется такая точка $\xi \in [a,b]$,
   • что
   • $\int^a_b f(x)g(x)dx = f( \xi )\int^b_a g(x)dx.$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Найти среднее значение функции $f(x)=e^x$, на отрезке $[0,5]$.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Определение. Пусть функция $f$ определена на интервале $(a, b)$ и точка $x_0 \in (a, b)$. Говорят, что функция $f$ непрерывна в точке $x_0$, если $$\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0).$$

Замечание. В отличие от определения предела функции $f$ в точке $x_0$, здесь мы требуем, чтобы функция $f$ была определена не только в проколотой окрестности точки $x_0$, а в целой окрестности точки $x_0$. Кроме того, $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ не просто существует, а равен определенному значению, а именно, $f(x_0)$.

Используя определение предела функции в смысле Коши, определение непрерывности функции $f$ в точке $x_0$ в кванторах можно записать следующим образом: $$\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \forall x \in (a, b): |x — x_0| < \delta \Rightarrow \Big|f(x) — f(x_0)\Big| < \varepsilon.$$

В этом определении можно не требовать выполнения условия $|x — x_0| > 0$, т. к. при $|x − x_0| = 0$ неравенство $\Big|f(x) − f(x_0)\Big| < \varepsilon$, очевидно, выполнено.

Так как величина $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ зависит лишь от тех значений, которые функция $f$ принимает в сколь угодно малой окрестности точки $x_0$, то непрерывность – это локальное свойство функции.

В терминах окрестностей определение непрерывности выглядит следующим образом.

Определение. Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любой окрестности $V$ точки $f(x_0)$ найдется такая окрестность $U$ точки $x_0$, что для всех $x \in U$ значение $f(x) \in V$, т. е. $f\Big(U \cap (a, b)\Big) \subset V$.

Применяя определение предела функции в смысле Гейне, определение непрерывности можно сформулировать так.

Определение. Функция $f$, определенная на интервале $(a, b)$, называется непрерывной в точке $x_0 \in (a, b)$, если любая последовательность аргументов $\{x_n\}$ $\Big(x_n \in (a, b), x_n \to x_0\Big)$ порождает последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$, стремящуюся к $f(x_0)$.

Применяя понятие, одностороннего предела (т. е. предела слева и справа) в точке $x_0$, можно дать определения непрерывности слева (справа) в точке $x_0$. Именно, функция $f$ называется непрерывной слева (справа) в точке $x_0$, если $\lim\limits_{x \to x_0-0}f(x) = f(x_0)$ $\Big(\lim\limits_{x \to x_0+0}f(x) = f(x_0)\Big).$ При этом в определении непрерывности слева достаточно считать, что функция $f$ определена лишь в левой полуокрестности точки $x_0$, т. е. на $(a, x_0]$, а для
непрерывности справа – на $[x_0, b)$.

Легко видеть, что справедливо следующее

Определение. Функция $f$, определенная на интервале $(a, b)$, называется разрывной в точке $x_0 \in (a, b)$, если $f$ не является непрерывной в этой точке.

Итак, функция $f$ является разрывной в точке $x_0$, если выполнено одно из двух следующих условий.

1. Либо не существует $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$.
2. Либо предел $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ существует, но он не равен $f(x_0)$.

Пример 1. $f(x) ≡ C = Const$. Эта функция непрерывна в каждой точке $x_0 \in \mathbb{R}$, т. к. для любого $x \in \mathbb{R}$ $\Big|f(x) − f(x_0)\Big| = 0$.

Пример 2. $f(x) = x^2$, $-\infty \lt x \lt +\infty$, $x_0 \in \mathbb{R}$. Зададим $\varepsilon > 0$. Тогда из неравенства $$|x^2 — {x_0}^2| \leqslant \Big(|x| + |x_0|\Big)|x − x_0|$$ следует, что при $|x − x_0| < \delta = \min\Big(1, \frac{\varepsilon}{2|x_0| + 1}\Big)$ справедливо неравенство $|x^2 — {x_0}^2| < \varepsilon$, т. е. $\lim\limits_{x \to x_0}x^2 = {x_0}^2$, а значит, функция $f(x) = x^2$ непрерывна в любой точке $x_0 \in \mathbb{R}$.

Пример 3. $f(x) = \sqrt{x}$, $0 \leqslant x \leqslant +\infty$ Если $x_0 \in (0, +\infty)$, то $$\Big|\sqrt{x} — \sqrt{x_0}\Big| = \frac{|x — x_0|}{\sqrt{x} + \sqrt{x-0}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{x_0}}|x — x_0| \lt \varepsilon$$ если только $|x − x_0| \lt \delta \equiv \sqrt{x_0} \cdot \varepsilon$. Таким образом, функция $f(x) = \sqrt{x}$ непрерывна в каждой точке $x_0 \gt 0$. В точке $x_0 = 0$ можно ставить вопрос о непрерывности справа. Имеем $\Big|\sqrt{x} — \sqrt{0}\Big| = \sqrt{x} \lt \varepsilon$, если только $0 \leqslant x \lt \delta \equiv \varepsilon^2$. Итак, $\lim\limits_{x \to 0+}\sqrt{x} = 0 = \sqrt{0}$, т. е. функция $f(x) = \sqrt{x}$ непрерывна справа в точке $0$.

Пример 4. $f(x) = \sin x$, $-\infty \lt x \lt +\infty$. Пусть $x_0 \in \mathbb{R}$. Тогда $$|\sin x − \sin x_0| = \bigg|2\cos{\frac{x + x_0}{2}}\sin{\frac{x — x_0}{2}}\bigg| \leqslant 2\bigg|\sin{\frac{x — x_0}{2}}\bigg| \leqslant |x — x_0|,$$ где последнее неравенство в этой цепочке следует из доказанного выше неравенства $|\sin t| \leqslant |t|$ ($0 \lt |t| \lt \frac{\pi}{2}$). Можем считать, что $|x − x_0| \lt \pi$. Тогда при $|x − x_0| \lt \delta \equiv \min(\pi, \varepsilon)$ справедливо $|\sin{x} − \sin{x_0}| \lt \varepsilon$, т. е. функция $f(x) = \sin{x}$ непрерывна в каждой точке $x_0 \in \mathbb{R}$. Аналогично доказываем, что функция $f(x) = \cos{x}$ непрерывна в каждой точке $x_0 \in \mathbb{R}$.

Пример 5. $f(x) = x \cdot \sin{\frac{1}{x}}$ при $x \neq 0$ и $f(0) = 0$. Покажем, что функция $f$ непрерывна в точке $x_0 = 0$. Имеем $f(0) = 0$ и $$\lim\limits_{x \to 0}f(x) = \lim\limits_{x \to 0}x\sin{\frac{1}{x}} = 0$$ (т. к. $\Big|f(x) − 0\Big| = \Big|x\sin{\frac{1}{x}}\Big| \leqslant |x| \lt \varepsilon$, если только $|x − 0| = |x| \lt \delta \equiv \varepsilon$). Итак, $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(0)$, так что $f$ непрерывна в точке $0$.

Пример 6. $f(x) = \text{sign}\;x$, $x \in \mathbb{R}$. Если $x_0 \neq 0$, то функция $f$ постоянна в некоторой окрестности точки $x_0$ и, следовательно, непрерывна в этой точке. Если же $x_0 = 0$, то не существует предела функции $f$ при $x \to 0$. Значит, функция $f$ разрывна в точке $0$. Более того,$\lim\limits_{x \to 0+}\text{sign}\; x = 1$, $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)\text{sign}\;x = −1$, $\text{sign}\;0 = 0$, так что функция $\text{sign}\; x$ разрывна в точке $0$ как слева, так и справа.

Пример 7. Рассмотрим функцию Дирихле $$\mathcal{D}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если $x \in \mathbb{Q}$;} \\ 0, & \text{если $x \in {\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}}$.} \end{cases}$$ Пусть $x_0 \in \mathbb{R}$. Покажем, что не существует предела функции $\mathcal{D}$ при $x \to x_0$. Для этого выберем последовательность $\{x^\prime\}$ отличных от $x_0$ рациональных чисел, стремящуюся к $x_0$. Тогда $\mathcal{D}(x^\prime_n) = 1$ и, значит, $\lim\limits_{n \to +\infty}\mathcal{D}(x^\prime_n) = 1$. Если же взять последовательность ${x^{\prime\prime}_n}$ отличных от $x_0$ иррациональных чисел, стремящуюся к $x_0$, то получим, что $\mathcal{D}(x^{\prime\prime}_n) = 0$ и $\lim\limits_{n \to +\infty}\mathcal{D}(x^{\prime\prime}_n) = 0$. В силу определения предела функции по Гейне получаем, что функция $\mathcal{D}$ не имеет предела в точке $x_0$. Так как $x_0 \in \mathbb{R}$ – произвольная точка, то это означает, что функция Дирихле разрывна в каждой точке.

Пример 8. $f(x) = x \cdot \mathcal{D}(x)$, $x \in \mathbb{R}$. Функция $f$ разрывна в каждой точке $x_0 \neq 0$. В самом деле, если $\{x^\prime_n\}$ и $\{x^{\prime\prime}_n\}$ соответственно последовательности рациональных и иррациональных отличных от $x_0$ чисел, стремящиеся к $x_0$, то $\lim\limits_{n \to \infty}f(x^{\prime}_n) = x_0$ и $\lim\limits_{n \to \infty}f(x^{\prime\prime}_n) = 0$, так что, в силу определения предела функции по Гейне, функция $f$ не имеет предела в точке $x_0$. Если же $x_0 = 0$, то $\lim\limits_{n \to 0}f(x) = 0 = f(0)$. Действительно, $|f(x)| = |x \cdot \mathcal{D}(x)| \leqslant |x| \lt \varepsilon$, если только $|x − 0| = |x| \lt \delta \equiv \varepsilon$. Это означает, что данная функция непрерывна в единственной точке $x_0 = 0$.

Пример 9. Дана функция $$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{если $x \neq 0$;} \\ 1, & \text{если $x = 0$.} \end{cases}$$ Проверить на непрерывность в точке $x_0 = 0$.

Пример 10. Покажите, что функция $f(x) = \frac{x + 3}{x — 2}$ разрывна в точке $x_0 = 2.$

Литература

• З. М. Лысенко, Конспект по математическому анализу, Курс 1, Семестр 1
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский, Курс лекций по математическому анализу, Часть 1, 2010г. стр. 71 — 74
• Л.Д. Кудрявцев, Курс математического анализа, Том 1, 1988-1989г. стр. 172-177
• Г. М. Фихтенгольц, Курс диффренециального и интегрального исчисления, Том 1, 2001г. стр.146 — 148

Непрерывные функции. Определение и примеры

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме: «Непрерывные функции. Определение и примеры.»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Выберите правильное определение непрерывности функции $f$ в точке $x_0$ в кванторах.

   • $\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \forall x \in (a, b): |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| \lt \varepsilon$
   • $\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \forall x \in (a, b): |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| \gt \varepsilon$
   • $\exists \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \forall x \in (a, b): |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| \lt \varepsilon$
   • $\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0: \forall x \in (a, b): |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x_0) - f(x)| \gt \varepsilon$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Выберите такие функции $f(x)$, что $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$.

   • $f(x) = \cos{x}$, $x_0 = \pi$
   • $f(x) = \frac{1}{x}$, $x_0 = 0$
   • $f(x) = e^x$, $x_0 = 0$
   • $f(x) = x^3 + 4x^2 + 6$, $x_0 = 0$
   • $f(x) = \frac{1}{e^{x - 2}}$, $x_0 = 2$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Дополните предложение.

   • Функция, определенная на некотором интервале, называется (разрывной, не непрерывной, разрывная, не неприрывной, не непрерывная, расрывной, разрывнной) в точке, если данная точка принадлежит заданному интервалу, а сама функция не является непрерывной в этой точке.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Выберите достаточные условия того, что функция $f$ является разрывной в точке $x_0$.

   • Не существует $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$
   • Предел $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ существует, но он не равен $f(x_0)$
   • Предел $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ существует, и он равен $f(x_0)$
   • $\lim\limits_{x \to x_0 - 0}f(x)$ и $\lim\limits_{x \to x_0 + 0}f(x)$ не совпадают
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Как называется функция $f$, определенная на интервале $(a, b)$, если любая последовательность аргументов $\{x_n\}$ ($x_n \in (a, b)$, $x_n \to x_0$) порождает последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$, стремящуюся к $f(x_0)$.
   Правильно
   

   Неправильно