Замечание 1. При доказательстве существенно было использовано условие $a_n \geqslant 0,\ b_n \geqslant 0 \ ( n = 1 ,\ 2,\ldots).$ Без этого условия теорема теряет силу. Например, если $a_n =−1, b_n =0 \ (n =1 ,\ 2,\ldots),$ то $a_n \leqslant b_n,$ ряд $\left( 15.5 \right) $ сходится, а ряд $\left( 15.4 \right) $ расходится.

Замечание 2. В доказанной теореме из расходимости ряда $\left( 15.5 \right) $ не следует расходимость ряда $\left( 15.4 \right) $, а из сходимости ряда $\left( 15.4 \right) $ не следует сходимость ряда $\left( 15.5 \right) $. Например, $a_n =0,b_n = 1 \ (n = 1,\ 2,\ldots).$

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^n \sin \frac{1}{3^n}.$$ Из неравенства $ \sin x < x $, где $x$ положителен, следует, что $2^n \sin \frac{1}{3^n} \leqslant \left( \frac{2}{3} \right) ^n \ (n = 1,\ 2,\ldots).$ Так как ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3} \right) ^n$ сходится (это – геометрическая прогрессия со знаменателем $\frac{2}{3}$), то исходный ряд также сходится в силу признака сравнения.

Пример 2. Ранее мы уже установили с помощью критерия Коши, что гармонический ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ расходится. Докажем его расходимость с использованием признака сравнения. Сравним его с рядом $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right).$ Вычислим частичные суммы $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \ln \left( k+1 \right) — \ln k \right] =$$ $$\left( \ln 2 — \ln 1 \right) + \left( \ln 3 — \ln 2 \right)+\ldots + \left( \ln \left( n+1 \right) — \ln n \right) = \ln \left( n + 1 \right) \rightarrow + \infty .$$ Значит, ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right).$ расходится. Кроме того, из известного равенства $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln \left( 1 + x \right) }{x} = 1$ следует, что $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) }{ \frac{1}{n}} = \lambda = 1.$ Отсюда, всилу признака сравнения в предельной форме, вытекает, что ряды $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ и $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right)$ сходятся или расходятся одновременно. Поскольку, как уже установлено, ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right)$ расходится, то расходится и исходный гармонический ряд.

Пример 3. Рассмотрим ряд$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 — \cos \frac{x}{n} \right),$ где $x \in \mathbb{R}$ – параметр. Ясно, что этот ряд сходится при $x =0.$ Пусть $x \neq 0$. В силу известного соотношения $1 − \cos \alpha \sim \frac{\alpha ^ 2}{2} \ (\alpha \rightarrow 0),$ имеем $1 − \cos \frac{x}{n} \sim \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{n^2} \ (n \rightarrow \infty).$ Поэтому в качестве ряда для сравнения целесообразно выбрать ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2},$ для которого $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1 — \cos \frac{x}{n}}{\frac{1}{n^2}} = \frac{x^2}{2}.$ Из признака сравнения в предельной форме следует, что ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно (при $x \neq 0$). Выше было показано, что ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ сходится (это – обобщенный гармонический ряд при $s =2> 1$). Поэтому сходится и исходный ряд при любом $x$.

Пример 4. Исследуйте на сходимость ряд $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^2}.$$

Пример 5. Исследуйте на сходимость ряд $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^2+1}.$$

Пример 6. Исследуйте на сходимость ряд $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{9n + 7}{2n^3 + 5n^2 -3}.$$

Литература

• В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. стр.8-10.
• Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1, 1988-1989г. стр.16-18.
• Примеры 4, 5, 6 — Конспект Лисенко З. М.
• Числовые ряды в вопросах и задачах Д.А. Грачев стр.12-22.

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Признак сравнения

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест на проверку знаний о числовых рядах и признака сравнения числовых рядов.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 4 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   С помощью признака сравнения исследовать ряд на сходимость: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}2^{n} \sin\frac{1}{3^{n}}$

   • Ряд сходится
   • Ряд расходится
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 1

   Пусть дан ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \ (1)$ и ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \ (2)$
   И $\exists N,$ такое что как только $n>N,$ то $0 \leq a_n \leq b_n$
   Выберите правильные утверждения

   • Из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2)
   • Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1)
   • Из расходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1)
   • Из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2)
   • Из сходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2)
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Пусть дан ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \ (1)$ и ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \ (2)$
   И $\exists N,$ такое что как только $n>N,$ то $0 \leq a_n \leq b_n$
   Если сходится ряд (1) то можно ли утверждать что сходится ряд (2) ?
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Отсортируйте ряды по убыванию.
   Пусть дан ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \ (1)$ и ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \ (2)$
   Тогда ряд (1) меньше ряда (2) если
   $\exists N,$ такое что как только $n>N,$ то $0 \leq a_n \leq b_n$

   • $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
   • $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 - 1000}$
   • $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^5 + n^3 + 12n +244}{n^8 + n^7 +n^4 +n^2 - n + 15}$
   Правильно
   

   Неправильно