Теорема (признак сравнения).Пусть даны два ряда∞∑n=1an ∞∑n=1bn где an⩾0, bn⩾0(n=1,2,…). Предположим, что ряд (15.5) является мажорантным рядом для ряда (15.4), т. е. начиная с некоторого номера выполнены неравенства an⩽bn. Тогда из сходимости ряда (15.5) следует сходимость ряда (15.4), а из расходимости ряда (15.4) следует расходимость ряда (15.5).
Так как конечное число слагаемых ряда не влияет на его сходимость, то, не ограничивая общности, можем считать, что неравенство an⩽bn выполнено для всех n⩾1. Пусть S′n и S′′n – частичные суммы рядов (15.4) и (15.5), соответственно. Тогда ясно, что S′n⩽S′′n(n⩾1). Если ряд (15.5) сходится, то S′′n ограничены и, следовательно, ограничены и S′n, а это влечет сходимость ряда (15.4). Обратно, если расходится ряд (15.4), то S′n неограниченно возрастают и, следовательно, неограниченно возрастают и S′′n, т. е. ряд (15.5) расходится.
Замечание 1. При доказательстве существенно было использовано условие an⩾0, bn⩾0 (n=1, 2,…). Без этого условия теорема теряет силу. Например, если an=−1,bn=0 (n=1, 2,…), то an⩽bn, ряд (15.5) сходится, а ряд (15.4) расходится.
Замечание 2. В доказанной теореме из расходимости ряда (15.5) не следует расходимость ряда (15.4), а из сходимости ряда (15.4) не следует сходимость ряда (15.5). Например, an=0,bn=1 (n=1, 2,…).
Следствие (признак сравнения в предельной форме).Пусть даны ряды (15.4) и (15.5) с положительными слагаемыми. Предположим, что существует (быть может, и бесконечный) limn→∞anbn=λ. Тогда
- если λ=0, то из сходимости ряда (15.5) следует сходимость ряда (15.4), а из расходимости ряда (15.4) следует расходимость ряда (15.5);
- если λ=+∞, то из сходимости ряда (15.4) следует сходимость ряда (15.5), а из расходимости ряда (15.5) следует расходимость ряда (15.4);
- если 0<λ<+∞, то ряды (15.4) и (15.5) сходятся или расходятся одновременно.
Докажем c. Пусть 0<λ<+∞. Тогда, начиная с некоторого номера N, выполнено неравенство λ2⩽anbn⩽2λ (n⩾N), т.е. λ2bn⩽an⩽2λ⋅bn. Если расходится ряд (15.4), то, в силу доказанного признака сравнения, из правого неравенства следует расходимость ряда (15.5). Если ряд (15.4) сходится, то, в силу признака сравнения, из левого неравенства следует сходимость ряда (15.5).
Доказательства случаев a. и b. аналогичны и мы их опускаем.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд ∞∑n=12nsin13n. Из неравенства sinx<x, где x положителен, следует, что 2nsin13n⩽(23)n (n=1, 2,…). Так как ряд ∞∑n=1(23)n сходится (это – геометрическая прогрессия со знаменателем 23), то исходный ряд также сходится в силу признака сравнения.
Пример 2. Ранее мы уже установили с помощью критерия Коши, что гармонический ряд ∞∑n=11n расходится. Докажем его расходимость с использованием признака сравнения. Сравним его с рядом ∞∑n=1ln(1+1n). Вычислим частичные суммы \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \ln \left( k+1 \right) — \ln k \right] = \left( \ln 2 — \ln 1 \right) + \left( \ln 3 — \ln 2 \right)+\ldots + \left( \ln \left( n+1 \right) — \ln n \right) = \ln \left( n + 1 \right) \rightarrow + \infty . Значит, ряд \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right). расходится. Кроме того, из известного равенства \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln \left( 1 + x \right) }{x} = 1 следует, что \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) }{ \frac{1}{n}} = \lambda = 1. Отсюда, всилу признака сравнения в предельной форме, вытекает, что ряды \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} и \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) сходятся или расходятся одновременно. Поскольку, как уже установлено, ряд \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) расходится, то расходится и исходный гармонический ряд.
Пример 3. Рассмотрим ряд\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 — \cos \frac{x}{n} \right), где x \in \mathbb{R} – параметр. Ясно, что этот ряд сходится при x =0. Пусть x \neq 0. В силу известного соотношения 1 − \cos \alpha \sim \frac{\alpha ^ 2}{2} \ (\alpha \rightarrow 0), имеем 1 − \cos \frac{x}{n} \sim \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{n^2} \ (n \rightarrow \infty). Поэтому в качестве ряда для сравнения целесообразно выбрать ряд \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}, для которого \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1 — \cos \frac{x}{n}}{\frac{1}{n^2}} = \frac{x^2}{2}. Из признака сравнения в предельной форме следует, что ряд \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно (при x \neq 0). Выше было показано, что ряд \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} сходится (это – обобщенный гармонический ряд при s =2> 1). Поэтому сходится и исходный ряд при любом x.
Пример 4. Исследуйте на сходимость ряд \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^2}.
Пример 5. Исследуйте на сходимость ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^2+1}.
Пример 6. Исследуйте на сходимость ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{9n + 7}{2n^3 + 5n^2 -3}.
Литература
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. стр.8-10.
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1, 1988-1989г. стр.16-18.
- Примеры 4, 5, 6 — Конспект Лисенко З. М.
- Числовые ряды в вопросах и задачах Д.А. Грачев стр.12-22.
Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Признак сравнения
Тест на проверку знаний о числовых рядах и признака сравнения числовых рядов.
