Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

15.2.1 Признак сравнения рядов с неотрицательными слагаемыми

Теорема (признак сравнения).Пусть даны два рядаn=1an n=1bn где an0, bn0(n=1,2,). Предположим, что ряд (15.5) является мажорантным рядом для ряда (15.4), т. е. начиная с некоторого номера выполнены неравенства anbn. Тогда из сходимости ряда (15.5) следует сходимость ряда (15.4), а из расходимости ряда (15.4) следует расходимость ряда (15.5).

Так как конечное число слагаемых ряда не влияет на его сходимость, то, не ограничивая общности, можем считать, что неравенство anbn выполнено для всех n1. Пусть Sn и Sn – частичные суммы рядов (15.4) и (15.5), соответственно. Тогда ясно, что SnSn(n1). Если ряд (15.5) сходится, то Sn ограничены и, следовательно, ограничены и Sn, а это влечет сходимость ряда (15.4). Обратно, если расходится ряд (15.4), то Sn неограниченно возрастают и, следовательно, неограниченно возрастают и Sn, т. е. ряд (15.5) расходится.

Замечание 1. При доказательстве существенно было использовано условие an0, bn0 (n=1, 2,). Без этого условия теорема теряет силу. Например, если an=1,bn=0 (n=1, 2,), то anbn, ряд (15.5) сходится, а ряд (15.4) расходится.

Замечание 2. В доказанной теореме из расходимости ряда (15.5) не следует расходимость ряда (15.4), а из сходимости ряда (15.4) не следует сходимость ряда (15.5). Например, an=0,bn=1 (n=1, 2,).

Следствие (признак сравнения в предельной форме).Пусть даны ряды (15.4) и (15.5) с положительными слагаемыми. Предположим, что существует (быть может, и бесконечный) limnanbn=λ. Тогда

  1. если λ=0, то из сходимости ряда (15.5) следует сходимость ряда (15.4), а из расходимости ряда (15.4) следует расходимость ряда (15.5);
  2. если λ=+, то из сходимости ряда (15.4) следует сходимость ряда (15.5), а из расходимости ряда (15.5) следует расходимость ряда (15.4);
  3. если 0<λ<+, то ряды (15.4) и (15.5) сходятся или расходятся одновременно.

Докажем c. Пусть 0<λ<+. Тогда, начиная с некоторого номера N, выполнено неравенство λ2anbn2λ (nN), т.е. λ2bnan2λbn. Если расходится ряд (15.4), то, в силу доказанного признака сравнения, из правого неравенства следует расходимость ряда (15.5). Если ряд (15.4) сходится, то, в силу признака сравнения, из левого неравенства следует сходимость ряда (15.5).

Доказательства случаев a. и b. аналогичны и мы их опускаем.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд n=12nsin13n. Из неравенства sinx<x, где x положителен, следует, что 2nsin13n(23)n (n=1, 2,). Так как ряд n=1(23)n сходится (это – геометрическая прогрессия со знаменателем 23), то исходный ряд также сходится в силу признака сравнения.

Пример 2. Ранее мы уже установили с помощью критерия Коши, что гармонический ряд n=11n расходится. Докажем его расходимость с использованием признака сравнения. Сравним его с рядом n=1ln(1+1n). Вычислим частичные суммы k=1ln(1+1k)=k=1[ln(k+1)lnk]= (ln2ln1)+(ln3ln2)++(ln(n+1)lnn)=ln(n+1)+. Значит, ряд n=1ln(1+1n). расходится. Кроме того, из известного равенства limx0ln(1+x)x=1 следует, что limnln(1+1n)1n=λ=1. Отсюда, всилу признака сравнения в предельной форме, вытекает, что ряды n=11n и n=1ln(1+1n) сходятся или расходятся одновременно. Поскольку, как уже установлено, ряд n=1ln(1+1n) расходится, то расходится и исходный гармонический ряд.

Пример 3. Рассмотрим рядn=1(1cosxn), где xR – параметр. Ясно, что этот ряд сходится при x=0. Пусть x0. В силу известного соотношения 1cosαα22 (α0), имеем 1cosxnx221n2 (n). Поэтому в качестве ряда для сравнения целесообразно выбрать ряд n=11n2, для которого limn1cosxn1n2=x22. Из признака сравнения в предельной форме следует, что ряд n=11n2 и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно (при x0). Выше было показано, что ряд n=11n2 сходится (это – обобщенный гармонический ряд при s=2>1). Поэтому сходится и исходный ряд при любом x.

Пример 4. Исследуйте на сходимость ряд n=1n+1n2.

Решение

Пример 5. Исследуйте на сходимость ряд n=1arctannn2+1.

Решение

Пример 6. Исследуйте на сходимость ряд n=19n+72n3+5n23.

Решение

Литература

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Признак сравнения

Тест на проверку знаний о числовых рядах и признака сравнения числовых рядов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *