Пусть даны два ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \tag {15.4}$ $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \tag{15.5}$ где $a_n \geqslant 0,\ b_n \geqslant 0 \left( n=1 ,2,\ldots \right).$ Предположим, что ряд $\left( 15.5 \right)$ является мажорантным рядом для ряда $\left( 15.4 \right)$ , т. е. начиная с некоторого номера выполнены неравенства $a_n \leqslant b_n.$ Тогда из сходимости ряда $\left( 15.5 \right)$ следует сходимость ряда $\left( 15.4 \right)$ , а из расходимости ряда $\left( 15.4 \right)$ следует расходимость ряда $\left( 15.5 \right).$

Так как конечное число слагаемых ряда не влияет на его сходимость, то, не ограничивая общности, можем считать, что неравенство $a_n \leqslant b_n$ выполнено для всех $n \geqslant 1.$ Пусть $S’_n$ и $S_n^{\prime \prime}$ – частичные суммы рядов $\left( 15.4 \right)$ и $\left( 15.5 \right)$ , соответственно. Тогда ясно, что $S’_n \leqslant S_n^{\prime \prime} \left(n \geqslant 1 \right).$ Если ряд $\left( 15.5 \right)$ сходится, то $S_n^{\prime \prime}$ ограничены и, следовательно, ограничены и $S’_n,$ а это влечет сходимость ряда $\left( 15.4 \right)$ . Обратно, если расходится ряд $\left( 15.4 \right)$ , то $S’_n$ неограниченно возрастают и, следовательно, неограниченно возрастают и $S_n^{\prime \prime},$ т. е. ряд $\left( 15.5 \right)$ расходится.

При доказательстве существенно было использовано условие $a_n \geqslant 0,\ b_n \geqslant 0 \ ( n = 1 ,\ 2,\ldots).$ Без этого условия теорема теряет силу. Например, если $a_n =−1, b_n =0 \ (n =1 ,\ 2,\ldots),$ то $a_n \leqslant b_n,$ ряд $\left( 15.5 \right)$ сходится, а ряд $\left( 15.4 \right)$ расходится.

В доказанной теореме из расходимости ряда $\left( 15.5 \right)$ не следует расходимость ряда $\left( 15.4 \right)$ , а из сходимости ряда $\left( 15.4 \right)$ не следует сходимость ряда $\left( 15.5 \right)$ . Например, $a_n =0,b_n = 1 \ (n = 1,\ 2,\ldots).$

Пусть даны ряды $\left( 15.4 \right)$ и $\left( 15.5 \right)$ с положительными слагаемыми. Предположим, что существует (быть может, и бесконечный) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lambda.$ Тогда

если $\lambda =0,$ то из сходимости ряда $\left( 15.5 \right)$ следует сходимость ряда $\left( 15.4 \right)$ , а из расходимости ряда $\left( 15.4 \right)$ следует расходимость ряда $\left( 15.5 \right)$ ;
если $\lambda= + \infty ,$ то из сходимости ряда $\left( 15.4 \right)$ следует сходимость ряда $\left( 15.5 \right)$ , а из расходимости ряда $\left( 15.5 \right)$ следует расходимость ряда $\left( 15.4 \right)$ ;
если $0< \lambda < + \infty,$ то ряды $\left( 15.4 \right)$ и $\left( 15.5 \right)$ сходятся или расходятся одновременно.

Докажем c. Пусть $0 < \lambda < + \infty .$ Тогда, начиная с некоторого номера $N,$ выполнено неравенство $\frac{\lambda}{2} \leqslant \frac{a_n}{b_n} \leqslant 2 \lambda \ (n \geqslant N),$ т.е. $\frac{\lambda}{2}b_n \leqslant a_n \leqslant 2 \lambda \cdot b_n.$ Если расходится ряд $\left( 15.4 \right)$ , то, в силу доказанного признака сравнения, из правого неравенства следует расходимость ряда $\left( 15.5 \right)$ . Если ряд $\left( 15.4 \right)$ сходится, то, в силу признака сравнения, из левого неравенства следует сходимость ряда $\left( 15.5 \right).$

Доказательства случаев a. и b. аналогичны и мы их опускаем.

Исследовать на сходимость ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^n \sin \frac{1}{3^n}.$ Из неравенства $\sin x < x$ , где $x$ положителен, следует, что $2^n \sin \frac{1}{3^n} \leqslant \left( \frac{2}{3} \right) ^n \ (n = 1,\ 2,\ldots).$ Так как ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3} \right) ^n$ сходится (это – геометрическая прогрессия со знаменателем $\frac{2}{3}$ ), то исходный ряд также сходится в силу признака сравнения.

Ранее мы уже установили с помощью критерия Коши, что гармонический ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ расходится. Докажем его расходимость с использованием признака сравнения. Сравним его с рядом $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right).$ Вычислим частичные суммы $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \ln \left( k+1 \right) — \ln k \right] =$ $\left( \ln 2 — \ln 1 \right) + \left( \ln 3 — \ln 2 \right)+\ldots + \left( \ln \left( n+1 \right) — \ln n \right) = \ln \left( n + 1 \right) \rightarrow + \infty .$ Значит, ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right).$ расходится. Кроме того, из известного равенства $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln \left( 1 + x \right) }{x} = 1$ следует, что $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) }{ \frac{1}{n}} = \lambda = 1.$ Отсюда, всилу признака сравнения в предельной форме, вытекает, что ряды $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ и $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right)$ сходятся или расходятся одновременно. Поскольку, как уже установлено, ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right)$ расходится, то расходится и исходный гармонический ряд.

Рассмотрим ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 — \cos \frac{x}{n} \right),$ где $x \in \mathbb{R}$ – параметр. Ясно, что этот ряд сходится при $x =0.$ Пусть $x \neq 0$ . В силу известного соотношения $1 − \cos \alpha \sim \frac{\alpha ^ 2}{2} \ (\alpha \rightarrow 0),$ имеем $1 − \cos \frac{x}{n} \sim \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{n^2} \ (n \rightarrow \infty).$ Поэтому в качестве ряда для сравнения целесообразно выбрать ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2},$ для которого $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1 — \cos \frac{x}{n}}{\frac{1}{n^2}} = \frac{x^2}{2}.$ Из признака сравнения в предельной форме следует, что ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно (при $x \neq 0$ ). Выше было показано, что ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ сходится (это – обобщенный гармонический ряд при $s =2> 1$ ). Поэтому сходится и исходный ряд при любом $x$ .

Исследуйте на сходимость ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^2}.$

Решение

Уменьшив числитель, найдём ряд-миноранта $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^2} > \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ Как уже рассматривали выше, это гармонический ряд у которого степень $s \leqslant 1$ а значит этот ряд расходится, а по признаку сравнения раз расходится ряд-миноранта, то расходится и исходный ряд.

[свернуть]

Исследуйте на сходимость ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^2+1}.$

Решение

Арктангенс ограничен сверху константой $\frac{\pi}{2}$ , значит $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan n}{n^2+1} \leqslant \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2n^2+2}$ Уменьшив знаменатель дробь увеличивается $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2n^2+2} < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2n^2}$ Как уже рассматривали выше, это гармонический ряд у которого степень $s > 1$ а значит этот ряд cходится, а по признаку сравнения раз ряд-мажоранта сходится, то сходится и исходный ряд.

[свернуть]

Исследуйте на сходимость ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{9n + 7}{2n^3 + 5n^2 -3}.$

Решение

Сравним общий член нашего ряда с общим членом ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}.$ Воспользуемся признаком сравнения в предельной форме. $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-3}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 \cdot \left( 9n+7 \right) }{2n^3+5n^2-3}=$ $= \lim_{n \to \infty} \frac{9n^3+ 7n^2}{2n^3 + 5n^2 -3} = \left| \frac{\infty}{\infty} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{9n^3}{n^3} + \frac{7n^2}{n^3}}{\frac{2n^3}{n^3} + \frac{5n^2}{n^3}-\frac{3}{n^3}} =$ $=\lim_{n \to \infty} \frac{9 +\frac{7}{n}}{2 + \frac{5}{n}-\frac{3}{n^3}} = \frac{9}{2}.$ Так как $0 < \frac{9}{2} < \infty,$ то ряды $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{9n + 7}{2n^3 + 5n^2-3}$ и $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ сходится, то сходится и ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{9n + 7}{2n^3 + 5n^2-3}.$

[свернуть]

Литература

В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. стр.8-10.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1, 1988-1989г. стр.16-18.
Примеры 4, 5, 6 — Конспект Лисенко З. М.
Числовые ряды в вопросах и задачах Д.А. Грачев стр.12-22.

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Признак сравнения

Тест на проверку знаний о числовых рядах и признака сравнения числовых рядов.

Задание 1 из 4

1.
Количество баллов: 1
С помощью признака сравнения исследовать ряд на сходимость: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}2^{n} \sin\frac{1}{3^{n}}$
- Ряд сходится
- Ряд расходится
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 1
Пусть дан ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \ (1)$ и ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \ (2)$
И $\exists N,$ такое что как только $n>N,$ то $0 \leq a_n \leq b_n$
Выберите правильные утверждения
- Из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2)
- Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1)
- Из расходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1)
- Из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2)
- Из сходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2)
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 1
Пусть дан ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \ (1)$ и ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \ (2)$
И $\exists N,$ такое что как только $n>N,$ то $0 \leq a_n \leq b_n$
Если сходится ряд (1) то можно ли утверждать что сходится ряд (2) ?
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 1
Отсортируйте ряды по убыванию.
Пусть дан ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \ (1)$ и ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \ (2)$
Тогда ряд (1) меньше ряда (2) если
$\exists N,$ такое что как только $n>N,$ то $0 \leq a_n \leq b_n$
- $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
- $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 - 1000}$
- $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^5 + n^3 + 12n +244}{n^8 + n^7 +n^4 +n^2 - n + 15}$
Правильно

Неправильно

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

15.2.1 Признак сравнения рядов с неотрицательными слагаемыми

Литература

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Признак сравнения

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Добавить комментарий Отменить ответ

Средний результат
Ваш результат