множество точек сходимости

Структуру множества точек сходимости степенного ряда устанавливает

Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n \tag {17.1}$ сходится в некоторой точке $x_1 \ne 0.$ Тогда ряд $(17.1)$ абсолютно сходится в каждой точке $x,$ такой, что $|x| \lt |x_1|.$

Из сходимости числового ряда $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_nx_1^n$ следует, что его слагаемые стремятся к нулю и, следовательно, ограничены, т. е. существует такое $M,$ что для всех $n = 0,1,…$ справедливо неравенство $|a_nx_1^n| \le M.$ Поэтому для $|x| \lt |x_1|$ имеем $|a_nx^n| = |a_nx_1^n| \cdot \left| \frac {x}{x_1}\right|^{n} \le M \cdot \left| \frac {x}{x_1}\right|^{n}.$ Поскольку $q = \left| \frac {x}{x_1}\right| \lt 1,$ то ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}q^n$ сходится. Значит, по признаку сравнения сходится и ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} |a_nx^n|,$ а это означает, что ряд $(17.1)$ сходится и притом абсолютно.

Если степенной ряд $(17.1)$ сходится при $x = x_1,$ то нельзя гарантировать, что он сходится и при $x = -x_1.$ Например, ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac {x^n}{n}$ сходится при $x = x_1 = -1$ и расходится при $x = -x_1 = 1.$

Если степенной ряд $(17.1)$ расходится в некоторой точке $x_1,$ то для всех $x,$ таких, что $|x| \gt |x_1|$ ряд $(17.1)$ расходится.

Если бы в некоторой точке $x_2,$ такой, что $|x_2| \gt |x_1|,$ ряд $(17.1)$ оказался сходящимся, то, в силу первой теоремы Абеля, он должен был быть сходящимся в точке $x_1.$ Но в точке $x_1$ ряд $(17.1)$ расходится по условию, и следствие доказано.

Множество точек сходимости степенного ряда $(17.1)$ представляет собой непустой промежуток с центром в точке $x_0 = 0.$ Это может быть одноточечное множество $\{ 0 \},$ интервал (быть может, и бесконечный), отрезок или полуинтервал.

Ясно, что в точке $x_0 = 0$ ряд $(17.1)$ с любыми коэффициентами $\{ a_n \}$ сходится. Если других точек сходимости у ряда $(17.1)$ нет, то множеством точек сходимости ряда $(17.1)$ является множество $\{ 0 \}.$ Предположим, что существуют отличные от нуля точки сходимости ряда $(17.1).$ Обозначим через $E$ множество всех таких точек, $R = \sup_{x \in E}|x|.$ Пусть $|x| \lt R.$ Тогда найдется такое $x_1 \in E,$ что $|x_1| \gt |x|.$ По первой теореме Абеля, ряд $(17.1)$ сходится абсолютно в точке $x.$ Если $R \lt +\infty$ и $|x| \gt R,$ то ясно, что $x \notin E$ и, следовательно, в этой точке ряд $(17.1)$ расходится. При $x = \pm R$ ряд $(17.1)$ может быть сходящимся или расходящимся.

Радиусом сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n \tag {17.2}$ называется неотрицательное число $R$ (конечное или равное $+\infty$ ), обладающее тем свойством, что при $|x − x_0| \lt R$ ряд $(17.2)$ сходится, а при $|x − x_0| \gt R$ ряд $(17.2)$ расходится. Существование такого числа $R$ установлено в предыдущей теореме. Интервал $(x_0 − R, x_0 + R)$ называется интервалом сходимости степенного ряда $(17.2).$

Иллюстрация

Иллюстрация комплексного случая.

Иллюстрация вещественного случая.

Из доказанной теоремы следует, что степенной ряд $(17.2)$ сходится в точке $x = x_0.$ Если множество точек сходимости ряда $(17.2)$ состоит более чем из одной точки $x_0,$ то ряд $(17.2)$ сходится в интервале $(x_0 − R, x_0 + R)$ и расходится вне отрезка $[x_0 − R, x_0 + R],$ причем во всех точках интервала $(x_0 − R, x_0 + R)$ ряд $(17.2)$ сходится абсолютно.

Ряд $\sum_{n=0}^{\infty} n!x^n \tag {17.3}$ сходится лишь в одной точке $x = 0.$ Действительно, если $x \ne 0,$ то, в силу известного равенства $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n!x^n = \infty,$ ряд $(17.3)$ расходится, т. к. для него не выполнено необходимое условие сходимости. Итак, здесь $R = 0$ и множество точек сходимости состоит из единственной точки $\{ 0 \}.$

Ряд $\sum_{n=0}^{\infty} x^n \tag {17.4}$ сходится при $|x| \lt 1$ и расходится при $|x| \ge 1.$ Здесь $R = 1,$ интервал сходимости $(−1, 1),$ на концах интервала сходимости ряд $(17.4)$ расходится, так что множество точек сходимости ряда $(17.4)$ – интервал $(−1, 1).$

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {x^n}{n} \tag {17.5}$ сходится при $|x| \lt 1$ по признаку сравнения, т. к. $\left| \frac {x^n}{n} \right| \le |x^n|$ (сравниваем с геометрической прогрессией). Если $|x| \gt 1,$ то слагаемые ряда $(17.5)$ стремятся к $\infty$ и, следовательно, ряд $(17.5)$ расходится. Итак, радиус сходимости ряда $(17.5)$ $R = 1,$ интервал сходимости $(−1, 1).$ При $x = −1$ ряд $(17.5)$ принимает вид $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^n}{n}.$ Это – ряд лейбницевского типа и, следовательно, сходящийся. При $x = 1$ получаем ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{n}$ – гармонический, а значит, расходящийся. Итак, на левом конце интервала сходимости ряд $(17.5)$ сходится (условно), а на правом конце – расходится. Множество точек сходимости ряда $(17.5)$ – полуинтервал $[−1, 1).$

Для ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {x^n}{n^2} \tag {17.6}$ при $|x| \le 1$ имеем $\left| \frac {x^n}{n^2} \right| \le \frac {1}{n^2},$ т. е. ряд $(17.6),$ в силу признака сравнения, сходится на множестве $[−1, 1].$ Если же $|x| \gt 1,$ то ряд $(17.6)$ расходится, т. к. не выполнено необходимое условие сходимости $(\frac {x^n}{n^2} \to \infty \space (n \to \infty)).$ Итак, радиус сходимости ряда $(17.6)$ $R = 1,$ интервал сходимости $(−1, 1),$ множество точек сходимости $[−1, 1].$

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {x^n}{n!} \tag {17.7}$ сходится при каждом $x \in \mathbb R.$ В самом деле, поскольку $\frac {|x|^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac {n!}{|x|^n} = \frac {|x|}{n+1} \to 0 \qquad (n \to \infty),$ то, в силу признака Даламбера, получаем, что ряд $(17.7)$ сходится. Имеем $R = +\infty,$ интервал сходимости $(−\infty, +\infty).$

Примеры решения задач

Определить радиус сходимости ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n, \qquad \text{где} \qquad \begin{equation*} a_n =\begin{cases} \frac {1}{n}, \text { если $n = 1, 3, 5, …,$} \\ 0, \text { если $n = 0, 2, 4, …,$} \end{cases} \end{equation*}$

Решение

Признак Даламбера неприменим для определения сходимости этого ряда, так как отношение $\displaystyle\frac {a_{n+1}}{a_n}$ не имеет смысла для четных номеров $n.$ Не дает ответа здесь и признак Коши, поскольку нетрудно проверить, что здесь предел $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|a_n|}$ не существует. Однако, если положить $b_k = \frac{1}{2k+1},\space k = 0, 1, 2, …,$ и записать данный ряд в виде $\sum_{k=0}^{\infty}b_kz^{2k+1} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac {z^{2k+1}}{2k+1},$ то, исследовав абсолютную сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера, получим $\lim_{k \to \infty} \frac {|b_{k+1}z^{2k+3}|}{|b_kz^{2k+1}|} = |z|^2 \lim_{k\to \infty} \frac {2k+1}{2k+3} = |z|^2.$ Отсюда следует, что рассматриваемый ряд абсолютно сходится, когда $|z^2| \lt 1,$ т. е. когда $|z| \lt 1$ и абсолютно расходится, когда $|z| \gt 1.$ Таким образом, радиус сходимости этого степенного ряда равен $1.$
Определить интервал сходимости ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac {z}{n} \right) ^n$

Решение

В силу признака Даламбера и признака сравнения получаем, что ряд сходится для любого $x \in \mathbb R$ $\frac {|z|^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac {n^n}{|z|^n} = \frac {|z| \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} \le \frac {|z| \cdot n^n}{n^{n+1}} = \frac {|z|}{n} \to 0 \qquad (n \to \infty),$ Таким образом, $R = +\infty,$ а искомый интервал сходимости $(-\infty;+\infty).$
Определить радиус сходимости ряда $\sum_{n=0}^{\infty} 2^nz^n$

Решение

Сделаем замену $t = 2z^2.$ Отсюда получим, ряд $\sum_{n=0}^{\infty} t^n \text { — сумма геометрической прогрессии.}$ При $|t| \lt 1$ ряд сходится, при $|t| \ge 1$ расходится. Теперь подставим $2z^2$ вместо $t$ в неравенство $|t| \lt 1.$ Получим $|2z^2| \lt 1,$ откуда $|z| \lt \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = R.$
Определить множество точек сходимости ряда $\sum_{n=0}^{\infty} n^2z^n$

Решение

В силу признака Коши получаем, что $\sqrt[n]{|n^2z|} = |z|\sqrt[n]{n^2}.$ Выражение будет стремиться к нулю, при $n \to \infty,$ когда $|z| \lt 1.$ Отсюда радиус сходимости равен $1,$ а интервал сходимости $(-1; 1).$ При $z = 1$ имеем ряд вида $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n^2,$ который расходится, т. к. не выполняется необходимое условие сходимости. При $z = -1$ имеем ряд вида $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n^2(-1)^n.$ Исследуем по признаку Лейбница. $a_n = n^2$ монотонно возрастает при достаточно больших $n,$ а $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}a_n = \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}n^2 = \infty.$ Следовательно, так как ни одно из условий признака Лейбница не выполняется, то ряд в точке $z = -1$ расходится. Следовательно, множество точек сходимости $(-1; 1).$
Определить множество точек сходимости ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^3}$

Решение

При $|z| \le 1$ имеем $\left| \frac{z^n}{n^3} \right| \le \left| \frac{1}{n^3} \right|,$ т. е. ряд сходится на $[-1;1].$ Если $|z| \gt 1,$ то ряд расходится т. к. не выполнено необходимое условие сходимости $\left( \displaystyle{ \lim_{n \to \infty}}\frac{z^n}{n^3} \to \infty \right ).$ Итак, радиус сходимости равен $1,$ а множество точек сходимости — интервал $[-1;1].$

Литература

Структура множества точек сходимости степенного ряда

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: множество точек сходимости

17.1 Структура множества точек сходимости степенного ряда

Примеры решения задач

Литература

Структура множества точек сходимости степенного ряда

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

6.

7.

8.

Средний результат
Ваш результат