Признак Коши

Признак Коши сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...
a_{n}\geq 0

Если начиная с какого-то номера n_{0}\epsilon \mathbb{N} \forall n>n_{0} выполняется неравенство \sqrt[n]{a_{n}}\leq q<1 q\epsilon \mathbb{R}, то ряд сходится.
Если же \exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0} \sqrt[n]{a_{n}}\geq 1, то ряд расходится.

Доказательство

Пусть \exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\leq q\Leftrightarrow a_{n}\leq q^{n}. Так как 0<q<1, то ряд \sum_{n=1}^{\infty} q^{n} будет сходиться, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} так же является сходящимся.

Если \exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1\Leftrightarrow a_{n}\geq 1, что противоречит необходимому условию сходимости ряда (\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0). Значит ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие (признак Коши сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...
a_{n}\geq 0

Если существует предел:

\lim\limits_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K

Тогда:

  1. Если K<1, то ряд сходится.
  2. Если K>1, то ряд расходится.
  3. Если K=1, то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть \lim_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K. Из определения предела запишем: \forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\sqrt[n]{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\sqrt[n]{a_{n}}<K+\varepsilon. Если K<1, то q=K+\varepsilon<1  и тогда по признаку Коши в форме неравенств
ряд сходится.

Если же  K>1, то q=K-\varepsilon>1, а значит ряд расходится.

Пример

Дан ряд \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n+1}{n+2})^{n^{2}}. Исследовать ряд на сходимость.

Воспользуемся  признаком Коши в предельной форме.

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{(\frac{n+1}{n+2})^{n}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(\frac{n+2}{n+1})^{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(1+\frac{1}{n+1})^{n*\frac{n+1}{n+1}}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{((1+\frac{1}{n+1})^{n+1})^{\frac{n}{n+1}}}}=\frac{1}{e^{1}}=\frac{1}{e}<1.

Значит исходный ряд сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *