Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности

Единственность предела последовательности.

Теорема: ( о единственности предела последовательности )

Числовая последовательность может иметь только один предел.

Доказтельство: 

Предположим, что последовательность  X_{n} имеет два различных предела b и  a, причем      b < a.

2 Выберем   \varepsilon > 0 таким, чтобы \varepsilon-oкрестности точек b и a не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например, \varepsilon = \frac{(a-b)}{3}. Так как число b — предел последовательности   X_{n} , то по заданному  \varepsilon > 0 можно найти номер N такой, что  X_{n}\in U_{\varepsilon }(b) для всех  n\geq N. Поэтому вне интервала   U_{\varepsilon }(b) может оказаться лишь конечное число членов  последовательности. В частности, интервал    U_{\varepsilon }(a) может cодержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что a — предел последовательности (любая окрестность точки a должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противоречие показывает, что последовательность не может иметь два различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Ограниченность сходящейся последовательности

Последовательность  X_{n} называется ограниченной снизу, если существует такое число C_{1}, что все члены последовательности удовлетворяют условию  X_{n} \geq C_{1}, т. е.:

\exists C_{1}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\geq C_{1}

Последовательность  X_{n} называется ограниченной сверху, если:

\exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow X_{n}\leq C_{2}

Последовательность, ограниченную как снизу, так и сверху, называют ограниченной, т. е. последовательность  X_{n} называется ограниченной, если:

\exists C_{1}, \exists C_{2}:\forall n\in N\rightarrow C_{1}\leq X_{n}\leq C_{2}

это можно записать и так:

\exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C

Таким образом, последовательность называют ограниченной, если множество ее значений ограничено.

Примеры.

Теорема: ( об ограниченности сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказтельство: 

Пусть последовательность X_{n} имеет предел, равный а. По определению предела для  \varepsilon = 1 найдем номер N такой, что при всех  n\geq N имеет место неравенство  \left | X_{n}-a \right | <1 . Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то:

\left | X_{n} \right | = \left | X_{n}-a+a \right |\leq \left | X_{n} -a\right |+\left | a \right |.

Поэтому при всех  n\geq N выполняется неравенство:

\left | X_{n} \right | < 1+\left | a \right |.

Положим  c= max\left ( 1+\left | a \right |, \left | X_{1} \right | , ... , \left | X_{N-1} \right |\right ), тогда \left | X_{n} \right | \leq C при всех  n\in \mathbb{N}, т. е. последовательность   X_{n} ограничена.

Замечание: В силу предыдущей теоремы всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Обратное неверно: не всякая ограниченная последовательность является сходящейся! Например, последовательность \left \{ \left ( -1 \right )^{n} \right \} ограничена, но не является сходящейся.

Замечание: Если условие  \exists C> 0 :\forall n\in N\rightarrow \left |X_{n} \right |\leq C не выполняется, т. е.

\forall C> 0:\exists n_{C} \in \mathbb{N}: \left | X_{n_{C}} \right | > C,

то говорят, что последовательность  X_{n} не ограничена.

Пример:  Доказать, что последовательность  \left \{\frac{1}{y_{n}} \right \} является  ограниченной, если  \lim\limits_{n\rightarrow \infty } y_{n} = bb\not \neq 0 и  y_{n}\not\neq0, для всех  n\in \mathbb{N}.

Решение

Так как b\not \neq 0, то \left | b \right |> 0. По заданному числу  \varepsilon = \frac{\left |b \right |}{2}  в силу определения предела последовательности найдется номер N_{0} такой, что:

\forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}.

Используя неравенство для модуля разности

\left | b \right |-\left | y_{n} \right |\leq \left | y_{n}-b \right |

и неравенство  \forall n\geq N_{0}\rightarrow \left | y_{n}-b \right |< \frac{\left | b \right |}{2}, получаем \left | b \right |-\left | y_{n} \right |< \frac{\left | b \right |}{2},  откуда  \left | y_{n} \right |> \frac{\left | b \right |}{2}. И поэтому для всех  n\geq N_{0} справедливо неравенство  \left | \frac{1}{y_{n}} \right |<\frac{2}{\left | b \right |}.

Пусть C = max  \left (\left | \frac{1}{y_{1}} \right |,...,\left |\frac{1}{y_{N_{0-1}}} \right |,\frac{2}{\left | b \right |} \right ), для всех  n\in \mathbb{N} выполняется неравенство  \left | \frac{1}{y_{n}} \right | \leq C, т. е.  \left \{ \frac{1}{y_{n}} \right \} — ограниченная последовательность.

Литература:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  2. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, физмат-лит, 2001, стр.40-42

Единственность предела

Таблица лучших: Единственность предела

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности: 6 комментариев

  1. Формулы в тестах не должны быть картинками. ВСЕ формулы не должны быть картинками. Что касается «шуточек» в ответах, я их расцениваю, как несерьезное отношение к работе. Минус в карму пошел…

    1. Вы абсолютно правы, Автор этой статьи допустил ошибку при воспроизведении иллюстрации из учебника. Следующее «поколение» первокурсников с 1 марта 2014 начнет исправлять ошибки в статьях предшественников и исправление Ваших замечаний будет для них первым заданием.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *