Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости

Пусть дана последовательность a_1, a_2,..., a_n,..., где a_i\epsilon \mathbb{R}, i \epsilon \mathbb{N}

Символ вида (*) a_1+a_2+...+a_n+... называется числовым рядом и обозначается\sum_{n=1}^{\infty}a_n , при этом a_n называется общим членом ряда. Ряд (*) называется сходящимся, если существует предел \lim_{n \to \infty }S_n, где S_n это n-ая частичная сумма ряда, S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k.

s

При этом, число S=\lim_{n \to \infty }S_n называется суммой ряда, и пишут S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n .

Если же предел частичных сумм \lim_{n \to \infty }S_n не существует или бесконечен, то говорят, что ряд (*) расходится и никакой суммы ряду не присваивается.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

q+q^{2}+...+q^{n}+...

Запишем n-ю частичную сумму и с упростим выражение с помощью формулы суммы геометрической прогрессии.

S_n=q+q^{2}+...+q^{n}=\frac{q(1-q^{n})}{1-q}, |q|\neq1
\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\frac{q}{1-q}, при |q|<1
\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\infty, при |q|>1 .
\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}n=\infty, при q=1 .
\lim\limits_{n \to \infty}S_n не существует, при q=-1 .

Таким образом, при |q|<1 ряд сходится, а при |q|\geq1 — расходится.

Необходимое условие сходимости числового ряда

Если ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_n сходится, то необходимо \lim_{n \to \infty}a_n=0.

Доказательство.

Если ряд сходится, то \exists \lim_{n \to \infty}S_n=S, следовательно \exists \lim_{n \to \infty}S_{n-1}=S.

Рассмотрим \lim_{n \to \infty}(S_{n-1}-S_n)=S-S=0, где S_{n-1}-S_n=a_n, a_n — общий член ряда, \lim_{n \to \infty}a_n=0. Теорема доказана.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n-1}.

Необходимое условие не выполняется: \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{2n-1}=\frac{1}{2}\neq 0. Следовательно, ряд расходится.

Литература

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Тест на проверку знаний о сходящихся и расходящихся рядах, а также необходимого условия сходимости.

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости: 1 комментарий

  1. — Не правильно записана в laTeX функция логарифма натурального в тесте «Среди следующих рядов выбрать те, что». В этом же тесте проверьте правильно ли Вы проставили верные и ошибочные варианты. Мне кажется там есть ошибки.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *