Признак Даламбера

Признак Даламбера сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...
a_{n}>0

Если начиная с какого-то номера n_{0}\epsilon \mathbb{N} \forall n>n_{0} выполняется неравенство \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q<1 q\epsilon \mathbb{R}, то ряд сходится.
Если же \exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1, то ряд расходится.

Доказательство

Рассмотрим неравенство \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q для n=1 и n=2.

n=1:\frac{a_{2}}{a_{1}}\leq q\Leftrightarrow a_{2}\leq q*a_{1}
n=2:\frac{a_{3}}{a_{2}}\leq q\Leftrightarrow a_{3}\leq q*a_{2}\leq q^{2}*a_{1}

Таким образом \forall n будет справедливо неравенство a_{n}\leq q^{n-1}*a_{1}. При этом ряд \sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1}*a_{1} является сходящимся, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} тоже сходится.

Если \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1, то справедливо неравенство a_{n+1}\geq a_{n}>0, что противоречит необходимому условию сходимости ряда (\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0). Значит ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие(признак Даламбера сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...
a_{n}>0

Если существует предел:

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K

Тогда:

  1. Если K<1, то ряд сходится.
  2. Если K>1, то ряд расходится.
  3. Если K=1, то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть \lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K. Из определения предела запишем: \forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<K+\varepsilon. Если K<1, то положим \varepsilon =\frac{1-K}{2}, тогда q=K+\varepsilon<1 и тогда по признаку Даламбера в форме неравенств ряд сходится. Если же K>1, то положим \varepsilon =\frac{K-1}{2}, тогда q=K-\varepsilon>1, а значит ряд расходится. Для случая K=1 приведем пример сходящегося и расходящегося рядов. Ряд вида \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} расходится и при этом \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{n+1}}=1. В то же время ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} сходится и при этом \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}}=1.

Пример

Дан ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}. Определить характер сходимости ряда.

Воспользуемся  признаком Даламбера в предельной форме.

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^{n}}{n!}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a}{n+1}}=0<1.

Значит исходный ряд сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *