Признак сравнения

Признак сравнения сходимости рядов в форме неравенств

Формулировка

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...    (A)
\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+...+b_{n}+...    (B)

Если, начиная с какого-то номера N\epsilon \mathbb{N} \forall n>N выполняется неравенство 0\leq a_{n}\leq b_{n}, тогда:

  1. Из сходимости ряда (B) следует сходимость ряда (A).
  2. Из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B).

Доказательство

  1. (A) и (B) — ряды с неотрицательными членами. Частичные суммы рядов (A) и (B) обозначим как S_{n}^{(A)} и S_{n}^{(B)}. Из условия 0\leq a_{n}\leq b_{n} можно сказать, что S_{n}^{(A)}\leq S_{n}^{(B)}. Пусть ряд (B) сходится, тогда, согласно критерию сходимости ряда с неотрицательными членами, его частичные суммы S_{n}^{(A)} ограничены, а значит S_{n}^{(B)} также будут ограничены (S_{n}^{(A)}\leq S_{n}^{(B)}). Тогда по вышеупомянутому критерию ряд (B) тоже будет сходиться.
  2. Пусть ряд (A) расходится. Докажем методом от противного. Предположим что ряд (B) сходится. Тогда согласно утверждению доказанном в пункте 1, ряд (A) тоже должен сходиться, что противоречит условию. Значит ряд (B) расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие (признак сравнения сходимости рядов в предельной форме)

Формулировка

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...    (A)
\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+...+b_{n}+...    (B)

Если существует предел:

\lim\limits_{n\rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=K      0<K< +\infty

Тогда:

  1. Если ряд (B) сходится и K<+\infty, то ряд (A) сходится.
  2. Если ряд (B) расходится и K>0, то ряд  (A) расходится.

Доказательство

  1. Пусть ряд (B) сходится и K< +\infty. Из определения предела запишем: \forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left | \frac{a_{n}}{b_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n}}{b_{n}}<K+\varepsilon. Из неравенства получим: a_{n}<b_{n}(K+\varepsilon ). Ряд \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(K+\varepsilon ) сходится, так как это ряд полученный умножением членов ряда (B) на постоянное число K+\varepsilon. Тогда по признаку сравнения в форме неравенств ряд (A) сходится.
  2. Если ряд (B) расходится и K>0, тогда отношение \frac{b_{n}}{a_{n}} имеет конечный предел \lim_{n\rightarrow \infty } \frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{1}{K}< \infty. Предположим что ряд (A) сходится, тогда согласно утверждению доказанном в пункте 1, ряд (B) тоже сходится, что противоречит условию. Значит (A) расходится.

Пример

Дан ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3+(-1)^{n}*2)(1+sin^{3}n)}{n\tfrac{3}{2}}. Исследовать ряд на сходимость.

Для определения характера сходимости будем использовать признак сравнения. Попробуем оценить данный ряд сверху.

\frac{(3+(-1)^{n}*2)(1+sin^{3}n)}{n\tfrac{3}{2}} \leq \frac{5*2}{n\tfrac{3}{2}}=O(\frac{1}{n\tfrac{3}{2}})

Ряд вида \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha }} сходится при \alpha >1.

\frac{3}{2}>1 значит полученный ряд сходится, а значит сходится и исходный.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *