Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку $latex x=2\arctan t$    или  $latex \tan \frac{x}{2}=t$ .

Интегралы вида $latex \int R(\sin x, \cos x)dx$   , где R-рациональная функция.

В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

$latex \sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ;       $latex \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ , где    $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ .

Гиперболические функции    определяются следующим образом:

$latex \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ;       $latex \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ .

Приведем еще несколько полезных соотношений :   

• $latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$ ;

• $latex \sinh 2x=2\sinh \cosh$ ;

• $latex \cosh 2x=\cosh ^{2}+\sinh ^{2}$ . 

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки : 

$latex t=e^{x}$ ;           $latex x=\ln t$ ;           $latex dx=\frac{dt} {t}$ .

Рассмотрим несколько примеров:

(Прочитав вышеизложенный материал, попробуйте решить следующие примеры. Если же решить не получиться, жмите «ПОКАЗАТЬ»)

1) Найти интеграл $latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$

Подсказка: используйте подстановку        $latex \tan \frac{x}{2}=t$

2) Найти интеграл $latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}$ .

Подсказка : используйте замену   $latex \cos x=t$   , а также свои знания по теме  «Тригонометрические тождества» 

3) Найти интеграл $latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx$

Подсказка: используйте подстановку    $latex t=2+3\sinh x$ 

4) Найти интеграл $latex \int \sinh ^{3}xdx$
Подсказка:  используйте гиперболиские соотношения 

Литература:

• А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова (издание 6-е часть 1) стр. 234-242
• Конспекты по мат.анализу (преп. Лысенко З.М.)
• Ещё больше примеров можно найти  здесь

Дополнительные материалы :

• Лекции по матанализу т1. стр. 171-173
• Г.М.Фихтенгольц т.2  1964 год стр. 73-78

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Универсальной тригонометрической подстановкой являеться формула
   

    

    

   • $x=2\arcsin t$
   • $t=\tan \frac{x}{2}$
   • $x=2\ arctan\ t$
   • $x=2\arccos\ t$
   Правильно 1 / 1Баллы

   Неправильно / 1 Баллы
2. Задание 2 из 5

   2.

   Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки :
   

   • $t=a^{x}$
   • $t=e^{x}$
   • $x=2\arctan t$
   • $t=\tan \frac{x}{2}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Интеграл $$\int \frac{(\cos ^{3}x+\cos ^{5}x)\ dx}{\sin ^{2}x+\sin ^{4}x}$$    равен $$\sin x-\frac{2}{\sin x}-6\arctan x(\sin x)+C$$
   

    

   • Да, верно.
   • Нет, неверно.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   
   Интеграл   $latex \int x\sinh xdx$   равен

   • $x\sinh ^{2}+C$
   • $x\sinh x-\cosh x+C$
   • $x\cosh x-\sinh x+C$
   • $x\cosh x-\sinh x$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Сопоставте интегралы и их значения:
   

    

    

    

   Элементы сортировки

   • $\frac{e^{2x}}{4}-\frac{x}{2}+C$
   • $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}\arctan (\sqrt{3}e^{x})+C$
   • $\frac{\cosh 5x}{10}-\frac{\cosh x }{2}+C$

   • $\int e^{x}\sinh xdx$

   • $\int \frac{dx}{\sinh x+2\cosh x}$

   • $\int \sinh 2x\cosh 3xdx$

   Правильно
   

   Неправильно
   

1. [latex]\varnothing[/latex] замкнуто (и, в то же время, открыто).
2. Отрезок [latex]\left [a,b \right ] \subset \mathbb{R}[/latex] на вещественной прямой замкнут в стандартной топологии, поскольку его дополнение открыто.
3. Множество [latex]\mathbb{Q} \bigcap \left [0,1 \right ][/latex] будет замкнутым в пространстве рациональных чисел [latex]\mathbb{Q}[/latex], но не будет замкнутым в пространстве вещественных чисел [latex]\mathbb{R}[/latex].
4. Произвольный замкнутый шар [latex]B(x_0,r) = \left\{x : |x — x_0| \leq r \right\}[/latex] будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что какую бы мы ни взяли точку [latex]x[/latex], не принадлежащую [latex]B(x_0,r)[/latex], она не будет являться предельной для этого шара, то есть. найдется такая окрестность [latex]B(x,\rho)[/latex], в которой нет ни одной точки данного шара (Достаточно взять [latex]\rho \leq |x-x_0|-r[/latex]).
5. Произвольный сегмент [latex]I \equiv \left [a_1,b_1;…;a_n,b_n \right ][/latex] будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что окрестность произвольной точки [latex]x[/latex], не принадлежащей [latex]I[/latex], не будет содержать точек из [latex]I[/latex]. Действительно, так как [latex]x \notin I[/latex], то найдется такое [latex]j[/latex], что [latex]x_j \notin \left [a_j,b_j \right ][/latex]. Пусть, к примеру, [latex]x_j < a_j[/latex]. Легко видеть, что шар [latex]B(x,\rho)[/latex], где [latex]0 < \rho \leq a_j — x_j[/latex], не имеет общих точек с [latex]I[/latex]. Следовательно, [latex]I[/latex] – замкнутое множество.
6. Рассмотрим множество [latex]E \equiv \left\{(x,y) : y = sin \frac{1}{x}, x \neq 0\right\}[/latex]. Отрезок [latex] \left [-1,1 \right ][/latex] оси ординат целиком состоит из предельных точек множества [latex]E[/latex], но ни одна из точек этого отрезка не принадлежит [latex]E[/latex]. Поэтому множество [latex]E[/latex] не является замкнутым.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.235)
• Замкнутое множество. Материал из Википедии — свободной энциклопедии.

Точки [latex](x, y)[/latex] удовлетворяющие [latex]x^2 + y^2 = r^2[/latex] окрашены синим. Точки [latex](x, y)[/latex] удовлетворяющие [latex]x^2 + y^2 < r^2[/latex] окрашены красным. Красные точки образует открытое множество. Объединение красных и синих точек есть замкнутое множество.

Пример 1. Любой открытый шар [latex]B(x_0,r)[/latex] является открытым множеством.
Пусть [latex]x \in B(x_0,r)[/latex]. Докажем, что найдется окрестность [latex]x[/latex], которая целиком содержится в [latex]B(x_0,r)[/latex]. Предположим, что [latex]\rho = r — \left|x — x_0 \right|[/latex]. Тогда [latex]\rho > 0[/latex], так как [latex]\left|x — x_0 \right| < r[/latex]. Покажем, что [latex]B(x,\rho) \subset B(x_0,r)[/latex]. Пусть [latex]y \in B(x,\rho)[/latex]. Тогда [latex]\left|y — x \right| < \rho[/latex]. Оценим расстояние между [latex]y[/latex] и [latex]x_0[/latex]. По неравенству треугольника имеем

[latex]\left| y — x_0 \right| \leq \left| y — x \right| + \left| x — x_0 \right| < \rho + \left| x — x_0 \right| = r[/latex],

что и требовалось доказать.

В частности, при [latex]n = 1[/latex] открытые шары – это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.
Пример 2. Для двух векторов [latex]a,b \in \mathbb{R}^n[/latex], таких, что [latex]a^i < b^i (i = 1…,n)[/latex], открытым интервалом называется множество всех точек [latex]x[/latex], координаты которых удовлетворяют условиям [latex]a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)[/latex]. Такой интервал обозначается через [latex](a^1,b^1;…;a^n,b^n)[/latex].В частности, в [latex]\mathbb{R}^2[/latex] открытые интервалы – это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в [latex]\mathbb{R}^3[/latex] – параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в [latex]\mathbb{R}^n[/latex] является открытым множеством.

Пусть [latex]J[/latex] – открытый интервал и пусть [latex]x \in J[/latex], т. е. [latex]a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)[/latex]. Обозначим через [latex]\delta^i = min(x^i — a^i,b^i — x^i) (i = 1,…,n)[/latex] и [latex] \delta = min(\delta^1,…,\delta^n)[/latex]. Покажем, что [latex]B(x,\delta)[/latex] содержится в [latex]J[/latex]. Действительно, если [latex]y \in B(x,\delta)[/latex], то [latex]|y-x| < \delta[/latex]. Отсюда следует, что [latex]|x^i -y^i| < \delta[/latex] для всех [latex]i = 1,…,n[/latex]. Пользуясь определением числа [latex]\delta[/latex], легко показать, что [latex]a^i < y^i < bi[/latex] для всех [latex]i = 1,…,n[/latex], так что [latex]y \in J[/latex].

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.232)
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 1 1964 г.(с. 350-351)
• Конспект лекций З.М. Лысенко.

1. Определение предела по Коши и по Гейне

Определение 1.1. (определение по Коши или на языке [latex]\varepsilon — \delta[/latex]):

[latex]A[/latex] — предел функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] (и пишут $\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A$), если: [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0:\forall x: 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) — A| < \varepsilon[/latex]
В определении допускается, что [latex]x \neq a[/latex], то есть [latex]a[/latex] может не принадлежать области определения функции.

Определение 1.2. (определение по Гейне):

[latex]A[/latex] называется пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex], если [latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}\rightarrow a[/latex], [latex]x_n\ne a[/latex] то есть [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a[/latex], соответствующая последовательность значений [latex]{f(x_{n})} \rightarrow A[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A[/latex].

Замечание 1.1.

Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке два разные предела.

Замечание 1.2.

Понятие предела функции в точке есть локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 1.3.

[latex]\forall x:0<|x-a|<\delta[/latex]

Данную запись в определении можно сформулировать иначе: точка [latex]x[/latex] принадлежит проколотой [latex]\delta[/latex]-окрестности точки [latex]a[/latex]([latex]x\in \dot{U_{\delta }}(a)[/latex])

2. Эквивалентность определений

Пусть число [latex]A[/latex] является пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] по Коши. Выберем произвольную подходящую последовательность [latex]x_{n}[/latex] , [latex]n \in N[/latex], то есть такую, для которой [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a[/latex]. Покажем, что [latex]A[/latex] является пределом по Гейне.

Зададим произвольное [latex]\varepsilon > 0[/latex] и укажем для него такое [latex]\delta > 0[/latex], что для всех [latex]x[/latex] из условия [latex]0 < |x-a| < \delta[/latex] следует неравенство [latex]|f(x)-A | < \varepsilon[/latex]. В силу того, что [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a[/latex], для [latex]\delta > 0[/latex] найдётся такой номер [latex]n_{\delta }\in N[/latex], что [latex]\forall n\geq n_{\delta }[/latex] будет выполняться неравенство [latex]|f(x_{n})-A| < \varepsilon[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A[/latex].

Докажем теперь обратное утверждение: предположим, что [latex]\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A[/latex] по Гейне, и покажем, что число [latex]A[/latex] является пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] по Коши. Предположим, что это неверно, то есть: [latex]\exists \varepsilon_{0} > 0 \forall \delta > 0 :\exists x_{\delta }:0<|x_{\delta }-a|<\delta \Rightarrow |f(x_{\delta })-A|\geq \varepsilon[/latex]. В качестве [latex]\delta[/latex] рассмотрим [latex]\delta = \frac{1}{n}[/latex], а соответствующие значения [latex]x_{\delta }[/latex] будем обозначать [latex]x_{n}[/latex]. Тогда при любом [latex]n\in N[/latex] выполняются условия [latex]|x_{n}-a|<\frac{1}{n}[/latex] и [latex]|f(x_{n})- A | \geq \varepsilon[/latex]. Отсюда следует, что последовательность  является подходящей, но число [latex]A[/latex] не является пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex]. Получили противоречие.

3. Примеры

Пример 3.1.

а) [latex]\lim\limits_{x\rightarrow 2 } x^{2} = 4[/latex]

[latex]\forall \varepsilon >0\exists \delta >0:\forall x:0<|x-2|<\delta \Rightarrow |x^{2}-4|<\varepsilon[/latex][latex]|x^{2}-4|=|(x-2)(x+2)|=|x-2|\cdot|x+2|<5\delta <\varepsilon \Rightarrow 0<\delta <\frac{\varepsilon }{5}[/latex] , например [latex]\delta =\frac{\varepsilon }{6}[/latex]

б) [latex]\forall\left \{ x_{n} \right \}\rightarrow 2[/latex]                                                                                 [latex]\lim\limits_{n\rightarrow 2 } f(x_{n}) =\lim\limits_{n\rightarrow 2} x_{n}^{2}=4[/latex]

Пример 3.2.

Доказать, что [latex]f(x)=\sin \frac{1}{x}[/latex] не имеет предела в точке 0.

[latex]\exists \left \{ {x_{n}}’ \right \}\rightarrow 0[/latex] [latex]\exists \left \{ {x_{n}}» \right \}\rightarrow 0[/latex]

[latex]\left \{ f({x_{n}}’) \right \}\rightarrow A_{1}[/latex] [latex]\left \{ f({x_{n}}») \right \}\rightarrow A_{2}[/latex]

[latex]{x_{n}}’:\sin \frac{1}{{x_{n}}’}=0\Leftrightarrow \frac{1}{{x_{n}}’}=\pi n\Rightarrow {x_{n}}’ = \frac{1}{\pi n}\xrightarrow[ n\neq 0]{n\rightarrow \infty}0[/latex]                                                            [latex]{x_{n}}’= \frac{1}{\pi n} \rightarrow 0:f({x_{n}}’)=0\rightarrow 0[/latex]                                                                                                [latex]{x_{n}}»:\sin \frac{1}{{x_{n}}»}=1\Leftrightarrow \frac{1}{{x_{n}}»}=\frac{\pi }{2}+2\pi n\Rightarrow {x_{n}}» = \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n}\xrightarrow[n\neq 0]{n\rightarrow \infty }0[/latex]                  [latex]{x_{n}}»= \frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n} \rightarrow 0:f({x_{n}}»)=1\rightarrow 1[/latex]

Вывод: последовательность по Гейне не имеет предела.

Литература

• Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 482—483. — 847 с.
• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Предел функции»
• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Глава 2. Функции одной переменной. 2.52. Определение предела функции. (с. 115-117)

 Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме Определение предела по Коши и по Гейне, их эквивалентность.

Желаем удачи!

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Спасибо Вам за прохождение данного теста, надеюсь вы узнали для себя что-нибудь новое!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 2

   Может ли функция иметь два разных предела в одной и той же точке?

   • Да, может.
   • Нет, не может.
   • Затрудняюсь ответить.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 2

   Отнесите заданные функции к соответствующему критерию.

   Элементы сортировки

   • $$\sin\frac{1}{x}$$
   • $$x^{2}$$

   • Не имеет предела в точке 0.

   • Имеет предел равный 4 при $$x\rightarrow 2$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 2

   Что означает следующая фраза:

   [latex]x[/latex] принадлежит проколотой окрестности точки [latex]a[/latex]

   • $$0<|x-a|<\delta$$
   • $$|x-a|<\delta$$
   • $$x\in U_{\delta }(a)$$
   • $$x\in \dot{U_{\varepsilon }}(a)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 2

   Определения по Коши и по Гейне…
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 2

   Дайте определение предела функции по Коши.

   • $$\forall \varepsilon >0$$
   • $$\exists \delta >0$$
   • $$\forall x: 0<|x-a|<\delta$$
   • $$|f(x)-A|<\varepsilon$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

 Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.
Точка $latex x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $latex f(x)$, если выполняется условие: [latex] \exists U_{\delta }(x_{0}) :[/latex][latex] \forall x\in U_{\delta }(x_{0}) f(x_{0})\geq[/latex][latex] f(x).[/latex]
Аналогично точка $latex x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $latex f(x)$ , если выполняется условие: [latex] \exists U_{\delta }(x_{0}):[/latex][latex]\forall x\in U_{\delta}(x_{0}) f(x_{0})\leq [/latex][latex]f(x).[/latex]

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.
Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка $latex x_{0}$ — точка экстремума функции $latex f(x)$, то она критическая.

Доказательство

По условию точка $latex x_{0}$ — точка экстремума функции $latex f(x)$ $latex \Rightarrow$ по теореме Ферма производная $latex {f}'(x_{0})=0$ $latex \Rightarrow$ точка $latex x_{0}$ является критической.

Пример:

Найти экстремум функции $latex f(x)=x^{3}-$ $latex 6x^{2}+9x-4$.
Найдем производную этой функции:$latex {f}’=3x^{2}-12x+9$ $latex \Rightarrow$ критические точки задаются уравнением $latex 3x^{2}-12x+9 =0$. Корни этого уравнения $latex x_{1}=3$ и $latex x_{2}=1$.

Как видно по рисунку функция имеет максимум в точке 1, а минимум в точке 3.
Подставим эти значения чтобы убедиться в исходную функцию: $latex f(3)=27-$ $latex 54+27-4=-4$ и $latex f(1)=1-6+9-4=0$ $latex \Rightarrow$ в точке  $latex x_{1}=3$ функция имеет минимум, равный -4, а в точке $latex x_{2}=1$ функция имеет максимум, равный 0.

Замечания:

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Пример:

Рассмотрим функцию $latex f(x)=x^{3}$. Построим график этой функции:

Производная данной функции в точке $latex x_{0}=0$ $latex {f}'(0)=0$ $latex \Rightarrow$ $latex x_{0}$ по определению является критической точкой, однако в этой точке функция не имеет экстремума.

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция $latex f(x)$ определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки $latex x_{0}$, кроме, быть может, самой точки $latex x_{0}$ и непрерывна в этой точке. Тогда:

1. Если производная $latex {f}’$ меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку $latex x_{0}$: $latex \forall x\in$ $latex (x_{0}-\delta ;x_{0}) {f}'(x)<$ $latex 0$ и $latex \forall x\in$ $latex (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)>$ $latex 0$, то $latex x_{0}$ — точка строго минимума функции $latex f(x).$
2. Если производная $latex {f}’$ меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку $latex x_{0}$: $latex \forall x\in$ $latex (x_{0}-\delta;x_{0} ){f}'(x)>$ $latex 0$ и  $latex \forall x\in$ $latex (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)<$ $latex 0$, то $latex x_{0}$ — точка строго максимума функции $latex f(x).$

Доказательство

Пусть, например, $latex {f}’$ меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку $latex x_{0}$ на сегменте $latex \left [ x;x_{0} \right ].$ Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: $latex f(x)-f(x_{0})$ $latex ={f}'(\xi)(x-x_{0})$, $latex \xi \in (x;x_{0})$. Поскольку при переходе через точку $latex x_{0}$ функция меняет знак с «-» на «+», то $latex {f}'(\xi)<0$ и $latex x< x_{0}$, то $latex x- x_{0}<0$ $latex f(x)-f(x_{0})>0.$
Аналогично рассмотрим сегмент $latex \left [ x_{0};x \right ]$, получим
$latex f(x)-f(x_{0})>0$ $latex \Rightarrow$ $latex f(x_{0})< f(x)$ $latex \Rightarrow$   $latex x_{0}$ — точка строгого минимума функции.

Замечания:

Если $latex x_{0}$ — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная $latex {f}’ (x)$ меняет знак при переходе через точку $latex x_{0}.$

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)

Пусть дана функция $latex f(x)$, она определена в некоторой окрестности точки $latex x_{0}$, ее первая производная $latex {f}'(x_{0})=0$ и пусть $latex \exists {f}»(x_{0})$, тогда:

1. Если $latex {f}»(x_{0})>0$, то точка $latex x_{0}$ — точка строгого минимума;
2. Если $latex {f}»(x_{0})<0$, то точка $latex x_{0}$ — точка строгого максимума.

Доказательство

Докажем теорему для первого случая, когда $latex {f}»(x_{0})>0$. По скольку $latex {f}»(x_{0})$ непрерывна, то на достаточно малом интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0}+\delta)$, т.к $latex {f}»(x_{0})>0$, то $latex {f}'(x_{0})$ возрастает в этом интервале. $latex {f}'(x_{0})=0$, значит $latex {f}'(x_{0})<0$ на интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ и  $latex {f}'(x_{0})>0$ на интервале $latex (x_{0} ;x_{0}+\delta)$.
Таким образом функция $latex f(x)$ убывает на интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ и возрастает на интервале $latex (x_{0} ;x_{0}+\delta)$ $latex \Rightarrow$ по первому достаточному условию экстремума функция в точке $latex x_{0}$ имеет минимум.
Аналогично доказывается второй случай теоремы.

Замечания:

Если $latex {f}'(x)=0$ и $latex {f}»(x)=0$, то функция $latex f(x)$ может и не иметь экстремум в точке $latex x_{0}.$

Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)

Пусть функция $latex f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $latex x_{0}$, и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть $latex \exists f^{(n)}(x_{0})$, $latex n> 2$ и [latex] {f}'(x_{0})={f}»(x_{0})=…[/latex][latex]=f^{(n-1)}(x_{0})=0[/latex], [latex] f^{(n)}(x_{0})\neq 0.[/latex] Тогда:

1. Если $latex n=2k$ (т.е $latex n$ — четное), то $latex x_{0}$ — точка экстремума:
   • если $latex f^{(n)}(x_{0})<0$, то $latex x_{0}$ — точка локального максимума;
   • если $latex f^{(n)}(x_{0})>0$, то $latex x_{0}$ — точка локального минимума;
2. Если $latex n=2k+1$ (т.е $latex n$ — нечетное), то $latex x_{0}$ — не является точкой экстремума.

Доказательство

Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки $latex x_{0}$ с остатком в форме Пеано: $latex f(x)=f(x_{0})+$ $latex \frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+… +$ $latex \frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1}+$ $latex \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $latex o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}$.
По скольку все производные до $latex (n-1)$ порядка включительно равны нулю получим: [latex] f(x)-f(x_{0})=[/latex][latex]\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+[/latex][latex]o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}.[/latex] Запишем полученное выражение в виде: [latex] f(x)-f(x_{0})=[/latex][latex]\frac{f(n)(x_{0})}{n!}(x-[/latex][latex]x_{0})\left [ 1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n}} \right ][/latex]. Выражение $latex [1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n})}]>1$. Пусть $latex n=2k$ $latex \Rightarrow$ $latex (x-x_{0}) ^{n}> 0$, [latex] \text{sign}(f(x)-f(x_{0}))=[/latex] [latex] \text{sign} (\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n})[/latex]. Отсюда следует, что сохранение или изменение знака приращения функции во время перехода через точку $latex x_{0}$ зависит от четности $latex n$. Последний факт и доказывает теорему.

Список литературы:

• В.А.Ильин, Э. Г. Позняк «Основы математического анализа» (часть 1) 4-е издание, 1982, стр. 295;
• Лысенко З. М. Конспект по математическому анализу.
• Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
• Г.М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчечления» (том 1), 1962 год, стр. 278-286;

Экстремум функции

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест для проверки знаний по теме «Экстремум функции».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 4 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Какая точка называется стационарной?

   • Точка, в которой производная функции больше нуля.
   • Точка, в которой производная функции не существует.
   • Точка, в которой производная функции равна нулю.
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 1

   Верно ли то, что функция ${f}(x)=x^{2}$ имеет локальный минимум в точке $x_{0}=0$?

   • Да.
   • Нет.
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Выберите необходимые условия выполнения третьего достаточного условия строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух:

   • $$\exists f^{(n)},n> 2$$
   • $$f'(x_{0})=f''(x_{0})=...=f^{(n-1)}(x_{0})$$
   • $$f^{(n)}=0$$
   • $$f^{(n)}\neq 0$$
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Пусть дана функция $f(x)=x^{2}+4$. В какой точке достигается экстремум?