Таблица производных

Функция Производная Условие
c 0 c - const
x^{\alpha} \alpha x^{\alpha -1} x\in \Re , x>0
a^{x}  a^{x}\ln a a>0, x \in \Re
e^{x} e^{x}
\log_{a}x \frac{1}{x \ln{a}} a>0, a\neq 1, x>0
 \ln x \frac{1}{x} x \ne 0
 \sin x  \cos x x\in \Re
 \cos x  -\sin x x\in \Re
\mathop{\rm tg} x  \frac{1}{\cos^{2} x} x\neq \frac{\pi }{2}+\pi n, n\in \mathbb{Z}
 \mathop{\rm ctg} {x} -\frac{1}{\sin^{2}x} x\neq \pi n, n\in \mathbb{Z}
\mathop{\rm arcsin} x \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \left | x \right |< 1
\mathop{\rm arccos} x -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \left | x \right |< 1
\mathop{\rm arctg} x \frac{1}{1+x^{2}} x\in \Re
 \mathop{\rm arcctg} x -\frac{1}{1+x^{2}} x\in \Re
 \mathop{\rm sh} x  \mathop{\rm ch} x x\in \Re
 \mathop{\rm ch} x  \mathop{\rm sh} x x\in \Re
 \mathop{\rm th} x \frac{1}{\mathop{\rm ch}^{2} x} x\in \Re
\mathop{\rm cth} x -\frac{1}{\mathop{\rm sh}^{2} x} x\neq 0

Пример:

Найти f'(x), если функция f(x) задана следующей формулой:

  1. f(x)= \sin2x
  2. f(x)=e^{-x^{2}}\ln(1+x^{3})

Таблица производных

Тест составлен для проверки знания таблицы производных.

Тест на знание таблицы производных

Не хотите ли проверить, как хорошо вы знаете таблицу производных?

Литература

Стягивающаяся последовательность

Стягивающаяся последовательность

Назовем последовательность отрезков \Delta_1, \Delta_2, ...\Delta_n  ,где \Delta_n=[a_n,b_n]  стягивающейся, если выполнены следующие условия:

    • Каждый последующий отрезок принадлежит предыдущему, то есть:
      \forall n\in \mathbb{N}:\Delta_{n+1}\subset\Delta_n Это означает,что: a_1\leq a_2\leq ...\leq a_n\leq a_{n+1}\leq...\leq b_{n+1}\leq b_n\leq ... \leq b_2\leq b_1
  • Длина отрезка \Delta_n стремится к нулю при n\to\infty то есть: lim_{n\to\infty} (b_n-a_n)=0

Литература:

Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках



Формулировка

Пусть дана система вложенных сегментов \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:(I_{1}\supset I_{2}\supset... ), \ I_{n}=\left [ a_{n},b_{n} \right ], n=1, 2... , тогда \exists \ c \in \mathbb{R} : \forall \ n \in \mathbb{N}, c\in I_{n} , то есть c\in \bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n} . Причём, если $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_{0}\in \mathbb{N} \ \forall n > n_{0} :(b_{n}-a_{n}) < \varepsilon $, то такая точка одна.


Стягивающаяся последовательность

Доказательство

Существование:

Рассмотрим множества верхних и нижних граней отрезков (сегментов) \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}: A=\left \{ a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty},B=\left \{ b_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} . Возьмём два числа n,m\in \mathbb{N} :

  1. n=m\Rightarrow a_{n}<b_{m} (по определению сегмента);
  2. $latex n
  3. n>m \Rightarrow a_{n}\leq b_{n}\leq ...\leq b_{m+1}\leq b_{m}

Таким образом \forall a_{n}\in A,b_{m}\in B:a_{n}\leq b_{m} . Тогда по аксиоме непрерывности: \exists \ c, \forall \ n,m\in \mathbb{N}:a_{n}\leq c\leq b_{m}\Rightarrow \forall n\in \mathbb{N} \ c\in I_{n} .

Единственность:

Предположим противное,пусть существуют две различные точки {c},{c}' , принадлежащие всем отрезкам последовательности \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} то есть:

\forall n\in \mathbb{N} \ \exists \ c,c'\in I_{n} . Так, как c\neq {c}', то либо c<{c}' либо c>{c}' .

Не ограничивая общности, предположим, что c<{c}' .

Тогда мы имеем: \forall \ n\in \mathbb{N} \ a_{n}\leq c<c'\leq b_{n} . То есть 0<c-{c}'<b_n-a_n. Так, как\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n-a_n)=0\Rightarrow 0 \leq {c}'-c\leq 0\Rightarrow {c}'-c=0\Rightarrow c={c}' .

Противоречие! Следовательно, наше предположение, что существуют две различные точки {c},{c}' , принадлежащие всем отрезкам последовательности \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} неверно, значит \exists ! \ c \in I_{n} \forall n\in \mathbb{N}.

Замечание:

Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы.

В самом деле,легко видеть,что последовательность вложенных друг в друга интервалов (0,\frac{1}{n}) не имеет общих точек,поскольку \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( 0, \frac{1}{n} \right) = \varnothing

Пример:

  1. Доказать, что если система вложенных сегментов \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:(I_{1}\supset I_{2}\supset... ), \ I_{n}=\left [ a_{n},b_{n} \right ], n=1, 2...\ , причём $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_{0}\in \mathbb{N} \ \forall n > n_{0} :(b_{n}-a_{n}) < \varepsilon $, то последовательности $latex \left \{ {a_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ и $latex \left \{ {b_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ (последовательности верхних и нижних граней сегментов) сходящиеся, причём $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c $.

    Доказательство: показать
  2. Доказать, что теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках не выполняется на множестве \mathbb{Q}.

    Доказательство: показать

Литература:

  1. Вартанян Г. М. Математический анализ (стр. 10-15, 9)
  2. В.И.Коляда, А.А.Кореновский, Курс лекций по математическому анализу К93: в 2-х ч. Ч.1.-Одесса: Астропринт, 2009 (стр 20-21, 28-29)
  3. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр.54 )

Тест

Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках.


Таблица лучших: Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных