Рубрика: Математический анализ

Публикации по учебной дисциплине «Математический анализ» для студентов специальности «Прикладная математика»

Пример ограниченной функции, не интегрируемой по Риману

Если функция интегрируема по Риману, то она ограничена( см. Теорема об ограниченности интегрируемой функции). Однако обратное, вообще говоря, не верно.

В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле, [latex]D:\mathbb{R} \mapsto \left \{ 0,1 \right \}[/latex], принимающую значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число.

Рассмотрим её на отрезке [latex][0;1][/latex]. Очевидно, что она ограничена на нём. Покажем,что она не интегрируема.

Зафиксируем произвольное разбиение [latex]T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}[/latex] этого отрезка.

Если выбрать точки [latex]\xi _{i}\in [x_{i-1};x_{i}],i=\overline{1,n}[/latex] рациональными, то получим интегральную сумму:

[latex]\sigma _{T}(\xi _{i};D)=\sum\limits_{i=1}^{n}\underset{1}{\underbrace{D(\xi _{i})}}\triangle x_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}\triangle x_{i}=b-a[/latex] Перейдём к пределу:

[latex]\lim_{\lambda \to0 }\sigma _{T}(\xi_{i},D)=b-a[/latex] ,

а если взять [latex]\xi _{i}[/latex] иррациональными,то

[latex]\sigma _{T}({\xi }’_{i},D)=\sum\limits_{i=1}^{n}\underset{0}{ \underbrace{D(\xi _{i})}}\triangle x_{i}=0\Rightarrow \lim_{\lambda \to0 }\sigma _{T}({\xi }’_{i},D)=0[/latex].

Как видим, предел интегральной суммы зависит от выбора промежуточных точек, следовательно, исходя из определения интегрируемой по Риману функции, [latex]D(x)[/latex] — не интегрируема по Риману.

Вывод:

ограниченность функции не является достаточным условием её интегрируемости.

Литература:

  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа(в двух томах) — М.:Высш. школа,1981, т.1. — 687 с. (с 443)
  • Р.М.Гаврилова, Г.С.Костецкая, А.Н.Карапетянц Методические указания по теме «Определенный интеграл»( с 6-7)

Дополнительно:

Фундаментальные последовательности

Фундаментальные последовательности

Последовательность $latex \{x_n\}$ называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:
$latex \forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon :\forall n\geq N_\varepsilon\ \forall p\geq N_\varepsilon\ |x_{n+p}-x_n|\leq \varepsilon\ |x_{n+p}-x_n|\rightarrow 0$
Определение сходимости последовательности и фундаментальности эквивалентны.

Примеры:
Фундаментальными последовательностями являются:

  • $latex \{x_n\}=\frac{\sin\alpha}{2} + \frac{\sin2\alpha}{2^2} + … + \frac{\sin n\alpha}{2^n} $ (можно доказать, используя критерий Коши)
    Спойлер

    $latex |x_{n+p}-x_n|=|\frac{\sin\alpha}{2} + \frac{\sin2\alpha}{2^2} + … + \frac{\sin n\alpha}{2^n}+…+$ $latex +\frac{\sin(n+p)\alpha}{2^{n+p}} — (\frac{\sin\alpha}{2} + \frac{\sin2\alpha}{2^2} + … + \frac{\sin n\alpha}{2^n})|= $$latex |\frac{\sin(n+1)\alpha}{2^{n+1}} + \frac{\sin(n+2)\alpha}{2^{n+2}} + … + \frac{\sin(n+p)\alpha}{2^{n+p}}|\le$ $latex \le |\frac{\sin(n+1)\alpha}{2^{n+1}}| + |\frac{\sin(n+2)\alpha}{2^{n+2}}| + … + |\frac{\sin(n+p)\alpha}{2^{n+p}}|\le$$latex \frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{2^{n+2}} + … + \frac{1}{2^{n+p}} = $$latex \frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^n}<\varepsilon \Rightarrow 2^n > \frac{1}{\varepsilon} \Rightarrow n > \log_2\frac{1}{\varepsilon} \Rightarrow n_0=\log_2(\frac{1}{\varepsilon}) + 1$ — таким образом, получили необходимый номер элемента последовательности для каждого $latex \varepsilon$, а значит, последовательность является фундаментальной.

    [свернуть]
  • $latex \{x_n\}=\{1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , … , \frac{1}{n}\}$
    Спойлер

    Примем $latex \frac{1}{N_\varepsilon}<\varepsilon$, тогда: $latex |x_{n+p}-x_n|=|\frac{1}{n+p}-\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}<\frac{1}{n}<\frac{1}{N_\varepsilon}<\varepsilon$ — таким образом, получили необходимый номер элемента последовательности для каждого $latex \varepsilon$, а значит, последовательность является фундаментальной. 

    [свернуть]
  • $latex \{x_n\}=\frac{3n}{n+1}$
    Спойлер

    $latex |x_{n+p}-x_n|=|\frac{3(n+p)}{n+p+1}-\frac{3n}{n+1}|=|\frac{3n^2+3mn+3n+3m-3n^2-3mn-3n}{(n+p+1)(n+1)}|=$ $latex =|\frac{3m}{(n+p+1)(n+1)}|<\frac{3}{n+1}<\frac{3}{n}$ — таким образом, приняв искомое $latex N_\varepsilon > \frac{3}{\varepsilon}$, получим необходимый номер элемента последовательности для каждого $latex \varepsilon$, а значит, последовательность является фундаментальной.

    [свернуть]

Литература: 

Критерий Коши существование границы функции

Определение: Будем говорить что f удовлетворяет в точке a,условию Коши,если она опрелделена в некоторой проколотой окрестности в этой точке

и \forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\delta _{\varepsilon }> 0:\forall {x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}')-f({x}'')|< \varepsilon

0< |x'-a|< \delta

0< |x''-a|< \delta

Теорема(Критерий Коши): Конечный предел в точке x=a существует \Leftrightarrow f-удовлетворает условию Коши в точке а.

Доказательство

Необходимость:Пусть предел\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A:\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:\forall x:0< |x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \frac{\varepsilon }{2}

\forall {x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a):|f({x}')-f({x}'')|=|(f({x}')-A)+(A-f({x}''))|\leq |f({x}')-A|+|f({x}'')-A|< \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon Достаточность:Предположим что выполняется условие Коши в точке а.

Воспользуемся определение по Гейне:

\lim_{n\rightarrow a}x_{n}=a\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty } f(x_{n})=A

Пусть \left \{ x_{n}\right \}^{\infty }-произведение последовательности \in U_{\delta }^{\circ}(a) и \lim_{n\rightarrow \infty } x_{n}=a .

Докажем что \left \{ f(x_{n})\left. \right \}_{n=1}^\infty } не зависит от выбранного \left \{ x_{n}\left. \right \}.

Согласно условию Коши мы имеем следующее:

\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0:{x}',{x}''\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f({x}')-f({x}'')|< \varepsilon

Т.к. \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a( \forall \varepsilon > 0,\exists N _{\varepsilon }:\forall n\geq N _{\varepsilon } :|x_{n}-a|< \varepsilon )

Для \delta _{\varepsilon }:\exists N_{\varepsilon }:\forall n\geq N_{\varepsilon }:0< |x_{n}-a|< \delta _{\varepsilon } \forall m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow 0< |x_{m}-a|< \delta _{\varepsilon } x_{n},x_{m}\in U_{\delta }^{\circ}(a)\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon-следует из условия Коши.

\forall \varepsilon > 0,\exists N_{\varepsilon }:\forall n,m\geq N_{\varepsilon }\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon —\left \{ f(x_{n}) \right \} фундаментальная\Rightarrowпо Критерию Коши \left \{ f(x_{n}) \right \}—сходящаяся.

Покажем что все последующие \left \{ f(x_{n}) \right \} будут сходится к одному и тому же числу А. \left \{ f(x_{n}) \right \}\rightarrow A x_{n}\rightarrow a\sim f(x_{n})\rightarrow A {x}'_{n}\rightarrow {a}'\sim f({x}'_{n})\rightarrow {A}' x_{1},{x}'_{1},x_{2},{x}'_{2},...\rightarrow a\sim f(x_{1}),f({x}'_{1}),f(x_{2}),f({x}'_{2}),...\rightarrow A

Теорема доказана.

Рекомендации:

Для детального ознакомления с этой темой предлагаю обратится к учебникам:

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1,Глава 1, Парагаф 4, Тема 4.9 «Критерий Коши существование предела функций»;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 1, Параграф 2 «Предел функции»;
  • Ильин В.А.,Позняк Э.Г.»Основы математического анализа» Часть 1,Глава 4, Параграф 2 «Понятие предельного значения функции».

Также рекомендую поупражняться по этой теме, в этом вам помогут сборники задач по математическому анализу, вот те которые я бы вам посоветовала:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание,исправленное, Отдел 1, Параграф 5 «Предел функции»;
  • Дороговцев А.Я.»Математический анализ» Глава 2, Параграф 3″Подполедовательности и частичные пределы.Верхний и нижний пределы последовательности.Фундоментальные последовательности и критерий Коши.

Также вы можете воспользоваться данными ссылками для расширения своих знаний по этой теме:

 

 

 

Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции. Примеры

Ранее мы уже доказали, что для любой интегрируемой на $latex [a,b] $ функции $latex f $ интеграл с переменным верхним пределом – непрерывная на $latex [a,b] $ функция.

Теорема. Пусть функция $latex f $ интегрируема на $latex [a,b] $ и непрерывна в точке $latex x_{0} \in [a,b]. $ Тогда функция $latex F $ дифференцируема в точке $latex x_{0} $ и $latex F'(x_{0})=f(x_{0}). $

Доказательство.

Спойлер

Пусть, например, $latex a<x_{0}<b $ (в точках $latex a $ и $latex b $ можно рассматривать только односторонние производные). Тогда для любого $latex h \neq 0 $, такого, что $latex x_{0} + h \in [a,b] $, имеем

$latex \frac{F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h} = \frac{1}{h} ( \int_{a}^{x_{0}+h} f(t)dt — \int_{a}^{x_{0}} f(t)dt ) = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(t)dt.$

Отсюда следует

$latex | \frac{F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h} — f(x_{0}) | = | \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(t)dt — f(x_{0}) | = | \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} [f(t)-f(x_{0})]dt | \leq \frac{1}{|h|} | \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} | f(t)-f(x_{0}) | dt | \equiv \rho (h). $

Если мы покажем, что $latex \rho(h) \rightarrow 0 $ при $latex h \rightarrow 0 $, то тем самым теорема будет доказана. Для оценки $latex \rho(h) $ предположим для определенности, что $latex h>0$. Зададим произвольное $latex \varepsilon > 0 $ и, пользуясь непрерывностью функции $latex f $ в точке $latex x_{0} $, найдем такое $latex \delta > 0 $, что для всех $latex t $, удовлетворяющих условию $latex |t — x_{0}| < \delta $, справедливо неравенство $latex |f(t)-f(x_{0})| < \varepsilon $. Если теперь $latex 0<h<\delta$, то получим

$latex \rho(h) = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} |f(t) — f(x_{0})|dt \leq \varepsilon $

Отсюда следует, что $latex \rho(h) \rightarrow 0 $ при $latex h \rightarrow 0 $.

Случай $latex h<0 $ исчерпывается аналогичным образом. В точках $latex x_{0} = a $ и $latex x_{0} = b $ приведенные выше рассуждения достаточно применить для $latex h>0 $ и $latex h<0 $, соответственно. $latex \blacksquare $

[свернуть]

Замечание.

Спойлер

Условие непрерывности функции $latex f $ в точке $latex x_{0} $ не является необходимым для дифференцируемости $latex F $ в точке $latex x_{0} $. Например, если взять непрерывную на отрезке $latex [a,b] $ функцию $latex f $, то, по доказанной теореме, функция $latex F $ будет дифференцируемой в каждой точке отрезка $latex [a,b]. $ Изменим теперь значение функции $latex f $ в одной точке. В результате получим разрывную функцию $latex f $. В то же время, как легко видеть, функция $latex F $ останется прежней, т.е. $latex \bar{F}(x) \equiv \int_{a}^{x} \bar{f}(t)dt = F(x) (x \in [a,b])$ (поскольку изменение функции в конечном числе точек не влияет на величину ее интеграла). Таким образом, получим, что интеграл с переменным верхним пределом от разрывной функции может оказаться дифференцируемым.

[свернуть]

Пример 1.

Спойлер

Рассмотрим функцию

$latex f(x) =

\begin{cases}
& \sin{\frac{1}{x}}, 0<x\leq 1, \\
& 0 , x=0.
\end{cases} $

Эта функция ограничена на отрезке $latex [0,1] $ и имеет единственную точку разрыва $latex x_{0} = 0 $. Значит, она интегрируема на $latex [0,1] $. Обозначим $latex F(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt $. Поскольку $latex f $ непрерывна в каждой точке $latex x \neq 0 $, то, по предыдущей теореме, функция F дифференцируема в каждой точке $latex x \in (0,1] $ и $latex F'(x) = \sin{\frac{1}{x}}$. В точке $latex x_{0}=0 $ функция $latex f $ разрывна и поэтому предыдущая теорема неприменима. Однако можно показать, что существует $latex F’+(0) = 0 $.

[свернуть]

Пример 2.

Спойлер

Пусть $latex f(x) = \text{sign } x, -1 \leq x \leq 1. $ Если $latex -1 \leq x < 0 $, то $latex f(t) = -1, -1 \leq t \leq x $ и $latex \int_{-1}^{x} f(t)dt = -(x-(-1)) = -(x+1)$.

Если же $latex 0 \leq x \leq 1, $ то $latex \int_{-1}^{x} f(t)dt = \int_{-1}^{0} f(t)dt + \int_{0}^{x} f(t)dt = -1+x$.

Таким образом,

$latex F(x) =

\begin{cases}
& -(x+1), -1 \leq x < 0, \\
& x-1, 0 \leq x \leq 1.
\end{cases}$

Легко видеть, что в точке $latex x_{0} = 0 $ функция $latex F $ недифференцируема.

[свернуть]

Литература :

Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции

Этот тест проверит ваши знания касательно темы «дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом»


Таблица лучших: Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение интеграла с переменным верхним пределом

Пусть функция $latex f $ интегрируема на отрезке $latex [a,b]. $ Обозначим

$latex F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt $   $latex (x \in [a,b]).$

Площадь под графиком f(t) равна значению F(x)
Заштрихованная область под графиком функции $latex f(t) $ это значение нашей функции $latex F(x) $. Легко заметить, если $latex x $ будет стремиться к $latex b $ или $latex a $ то заштрихованная площадь увеличивается или уменьшается соответственно, следовательно и значение функции $latex F(x) $ также будет изменяться.

По свойству аддитивности интегрируемых функций, $latex f $ интегрируема на $latex [a,x] $ для любого $latex x \in [a,b]. $
Поэтому функция $latex F $ определена на $latex [a,b]. $ Заметим, что $latex F(a)=0. $ Функцию $latex F $ называют интегралом с переменным верхним пределом.

Нас в дальнейшем будут интересовать две характеристики этой функции, а именно непрерывность и дифференцируемость

Понятие интеграла с переменным верхним пределом нам будет необходимо при выведении основной формулы дифферендицального исчисления.

Литература :

Определение интеграла с переменным верхним пределом

Этот тест проверит ваши знания по теме «Определение интеграла с переменным верхним пределом»


Таблица лучших: Определение интеграла с переменным верхним пределом

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных